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第1课时 等腰三角形、等边三角形的性质定理
1.2 等腰三角形
第一章 三角形的证明及其应用
八下数学 BSD
1. 探索并证明等腰三角形、等边三角形的性质定理.
2. 能用等腰三角形、等边三角形的性质定理进行计算或证明.
我们曾经探索过等腰三角形的一些性质，请你选择其中一条性质进行证明.
定理 等腰三角形的两个底角相等.
这一定理可以简述为：等边对等角.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
分析：有哪些结论可以证明两个角相等
还记得利用折纸的方法探索等腰三
角形的性质吗 这对你有什么启发
知识点1 等腰三角形的性质定理
A
B
C
轴对称的性质、全等三角形的对应角相等.
构造全等三角形来推导角相等.
证明：如图，取BC的中点D，连接AD.
∵ AB=AC，BD=CD，AD=AD，
∴ △ABD≌△ACD(SSS).
∴ ∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).
知识点1 等腰三角形的性质定理
A
B
C
D
还有其他证法吗
有.
如图所示，作等腰三角形ABC顶角的平分线AD.
∵ AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
∴ △ABD≌△ACD(SAS)，
∴ ∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).
知识点1 等腰三角形的性质定理
A
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由“等边对等角”定理的证明过程，你发现线段AD还有哪些特征 为什么
知识点1 等腰三角形的性质定理
A
B
C
D
如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC， AD是中线.
根据△ABD≌△ACD，可知∠BAD=∠CAD，
所以 AD是等腰三角形ABC 顶角的角平分线.
根据△ABD≌△ACD，还可知∠ADB=∠ADC，
因为∠ADB+∠ADC=180°，
所以∠ADB=∠ADC=90°.
所以AD⊥BC，
即AD是等腰三角形ABC底边上的高.
知识点1 等腰三角形的性质定理
A
B
C
D
知识点1 等腰三角形的性质定理
等腰三角形的性质定理 ：
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称“三线合一”).
注意：“三线合一”即如果某线段是一个等腰三角形的“三线”之一，那么它必定也是这个等腰三角形的另“两线”.
A
B
C
D
符号语言：
在△ABC中，∵ AB=AC， ∠1=∠2 (已知)，
∴ BD=CD，AD⊥BC (“三线合一”).
或∵ AB=AC， BD=CD (已知)，
∴ ∠1=∠2，AD⊥BC (“三线合一”).
或∵ AB=AC， AD⊥BC (已知)，
∴ BD=CD，∠1=∠2 (“三线合一”).
知识点1 等腰三角形的性质定理
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A
B
C
D
跟踪训练 如图，在△ABC中，AB=AC，
(1) 如果∠B＝70°，那么∠C＝____，∠A＝____．
(2) 如果∠A＝70°，那么∠B＝____，∠C＝____．
(3) 如果有一个内角等于120°，
那么∠A＝____ ，∠B＝____ ，∠C ＝____ ．
(4) 如果有一个内角等于50°，那么另两个内角等于多少度？
解：若∠A=50°，则∠B=∠C=65°；
若∠B=∠C=50°，则∠A=80°.
知识点1 等腰三角形的性质定理
70°
40°
55°
55°
120°
30°
30°
A
B
C
知识点1 等腰三角形的性质定理
有关等腰三角形性质的一些结论
(1) 等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高相等，两底角的平分线也相等.
如图，DE+DF=CH.
等面积法：∵ S△ABC=S△ABD+S△ADC，
∴ ·AB·CH=·AB·DE+·AC·DF.
又∵ AB=AC，∴ DE+DF=CH.
知识点1 等腰三角形的性质定理
(2) 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.
知识点1 等腰三角形的性质定理
(3) 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角的度数等于顶角度数的一半.
如图，∠HCB=∠BAC.
证明：在Rt△BHC中，∠B=90°-∠HCB，
在等腰三角形ABC中，∠B=(180°-∠BAC)=
90°-∠BAC，
∴90°-∠HCB=90°-∠BAC，即 ∠HCB=∠BAC.
思考 等边三角形是特殊的等腰三角形，它有哪些特殊的性质呢 请尝试证明你发现的结论.
如图，在△ABC中，AB=AC=BC.
由AB=AC，可知∠B=∠C；
由BA=BC，可知∠C=∠A.
所以∠A=∠B=∠C=60°.
知识点2 等边三角形的性质定理
A
B
C
知识点2 等边三角形的性质定理
定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个
角都等于60°.
知识点2 等边三角形的性质定理
等边三角形每条边上的中线，高和所对角的平分线都重合.
B
C
A
知识点2 等边三角形的性质定理
等腰三角形 等边三角形
边
角
三线 合一
对称性
每条边上的中线、高和这边所对的角的平分线都重合(3条)
三个角都相等，且都是60°
轴对称图形(3条对称轴)
轴对称图形(1条对称轴)
两个底角相等
底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合(1条)
两腰相等
三条边都相等
等边三角形与等腰三角形的性质归纳
跟踪训练 如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，AB=4，则BD=　　，AD=　　 ，∠BAD=　　　°.
2
A
B
C
D
知识点2 等边三角形的性质定理
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30
回顾七年级下册及本节研究等腰三角形性质的过程，你积累了哪些研究图形性质的经验？
一般会先研究一般图形的性质，然后再研究特殊图形的性质，并围绕其边、角进行研究，若是三角形，还要研究其高、中线、角平分线的性质.
知识点2 等边三角形的性质定理
1. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，BC=8，求CD的长.
解：∵ AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴ AD是△ABC底边BC上的中线，
∴ CD=BC=×8=4.
A
B
C
D
2. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F. 求证：DE=DF.
证明：连接AD.
∵ AB＝AC，D是BC的中点，
∴ AD平分∠BAC (三线合一).
又 DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE=DF.
3. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且AD＝BD，求证： ∠ADB＝∠BAC．
证明：∵ AB＝AC，AD＝BD，
∴ ∠B＝∠C，∠B＝∠1.(等边对等角)
∴ ∠C＝∠1.
∵ ∠ADB是△ADC的外角，
∴ ∠ADB＝∠C+∠2.
∴ ∠ADB＝∠1+∠2=∠BAC.
1
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4. 如图，已知△ABC为等边三角形，点E，F分别在边AC，BC上，且AE=CF，AF与BE相交于点D.
（1）求证：△ABE≌△CAF.
证明：∵ △ABC为等边三角形，
∴ ∠BAE=∠C=60°，AB=CA，
在△ABE和△CAF中，
∴ △ABE≌△CAF (SAS).
4. 如图，已知△ABC为等边三角形，点E，F分别在边AC，BC上，且AE=CF，AF与BE相交于点D.
（2）求∠BDF的度数.
解：由（1）知△ABE≌△CAF ，
∴∠ABE=∠CAF，
∴∠BDF=∠ABE+∠BAF=
∠CAF+∠BAF=∠BAC=60°.
5. 如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，求∠BAC的度数.
解：∵ △ADE是等边三角形，
∴ AD=DE=EA，∠ADE=∠DAE=60°.
又D，E是BC的三等分点，
∴ BD=DE=EC，∴ AD=BD，∴ ∠B=∠BAD.
∵ ∠ADE=∠B+∠BAD=60°，
∴ ∠BAD=∠B=30°.同理可得∠EAC=∠C=30°，
∴ ∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠EAC=30°+60°+30°=120°.
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合，简述为“三线合一”
等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°
等腰三角形
等边三角形
性质定理
等腰三角形的两个底角相等，简述为“等边对等角”
性质定理

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