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第2课时 等腰三角形的判定、反证法
1.2 等腰三角形
第一章 三角形的证明及其应用
八下数学 BSD
1. 探索并掌握等腰三角形的判定定理.
2. 会利用等腰三角形的判定定理进行证明.
3. 通过实例体会反证法的含义，并能够运用反证法来证明一些问题.
问题 前面已经证明了等腰三角形的两底角相等. 反过来有两个角相等的三角形是等腰三角形吗
A
B
C
知识点1 等腰三角形的判定
可以发现：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
如何证明这一结论呢
如图，在△ABC中，∠B=∠C，要想证明AB=AC，
只要能构造两个全等的三角形，使AB与AC成为
对应边就可以了.
A
B
C
如图所示，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则∠ADB=∠ADC=90°.
在△ABD和△ACD中，
∠B=∠C，∠ADB=∠ADC，AD=AD，
∴ △ABD≌△ACD(AAS)，
∴ AB=AC(全等三角形的对应边相等).
知识点1 等腰三角形的判定
A
B
C
D
知识点1 等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).
B
C
A
符号语言：在△ABC中，∵ ∠B =∠C ，∴ AB =AC .
注意：（1）“等角对等边”的运用前提是在同一个三角形中.
（2）在未判定出三角形是等腰三角形时，不能用“底角”“顶角”“腰”“底边”这些名词.
等腰三角形判定方法归纳：
知识点1 等腰三角形的判定
判定方法
边 两条边相等的三角形是等腰三角形
角 两个角相等的三角形是等腰三角形
例1 已知：如图，AB=DC，BD=CA，BD与CA相交于点E.
求证：△AED是等腰三角形.
证明：∵ AB=DC，BD=CA，AD=DA，
∴ △ABD≌△DCA(SSS).
∴ ∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等).
∴ AE=DE(等角对等边).
∴ △AED是等腰三角形.
知识点1 等腰三角形的判定
知识点1 等腰三角形的判定
解题通法
“等角对等边”是证明两条线段相等的常用方法
在证明时，往往通过计算三角形各角的度数、利用角的关系或全等三角形得到同一个三角形中的两个角相等，进而得到边相等.
小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等.
你认为小明这个结论成立吗
知识点2 反证法
小明的思考过程如下.你能理解他的推理过程吗
如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等.
假设AB=AC，那么根据定理“等边对等角”可得∠C=∠B，
这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因此AB≠AC.
知识点2 反证法
B
C
A
知识点2 反证法
像小明那样，在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法.
注意：用反证法证明时，如果结论的反面不止一种情况，那么必须把各种可能的情况一一加以否定，才能肯定原结论是正确的;
例2 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
已知：△ABC.
求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角.
证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A和∠B是直角，即∠A=90°，∠B=90°.
于是 ∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°.
这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立. 所以，一个三角形中不能有两个角是直角.
知识点2 反证法
注意：用反证法证明时，否定的是命题的结论，而不是条件.
知识点2 反证法
解题通法 用反证法证明的一般步骤
(1) 先假设结论的反面是正确的；
(2) 然后通过逻辑推理，得出与基本事实、已有定理、定义或已知条件相矛盾的结果；
(3) 从而说明假设不成立，进而得出原结论正确.
1. 已知：如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC．求证：AB＝AC．
证明：∵ AD∥BC，
∴ ∠EAD=∠B，∠DAC=∠C.
∵ AD平分∠EAC，
∴ ∠EAD=∠DAC，
∴ ∠B=∠C，
∴ AB＝AC (等角对等边)．
A
B
C
D
E
2. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由.
解：△BDE是等腰三角形.理由如下：
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠EBD=∠CBD.
∵ DE∥ BC，
∴ ∠EDB=∠CBD，
∴ ∠EBD=∠EDB，
∴ EB=ED(等角对等边)，
∴ △BDE是等腰三角形.
3. 如图，在△ABC中，AB=AC，角平分线BD，CE相交于点O. OB与OC相等吗 请说明理由.
A
B
C
O
E
D
证明：OB=OC. 理由如下：
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB (等边对等角).
∵ BD，CE是角平分线，
∴ ∠OBC=∠ABC，∠OCB= ∠ACB (角平分线定义).
∴ ∠OBC=∠OCB (等量代换).
∴ OB=OC (等角对等边).
4. 用反证法证明：“若ab=0，则a，b中至少有一个为0”应假设( )
A. a，b都不为0 B. a，b只有一个为0
C. a，b至少有一个为0 D. a，b都为0
分析：反证法的第一步是假设结论的反面成立，即假设结论不成立的情况.
A
5. 已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个正数中至少
有一个数大于或等于.
证明：假设这五个正数分别为a1，a2，a3，a4，a5，其中没有
一个大于或等于，即都小于，
则a1+a2+a3+a4+a5<1.
这与已知a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾，
所以假设不成立.
所以，这五个正数中至少有一个数大于或等于.
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法
有两个角相等的三角形是等腰三角形，简述为“等角对等边”
等腰三角形的判定
反证法
判定定理
有两条边相等的三角形是等腰三角形
定义法
引入

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