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八下数学 BSD
第3课时 等边三角形的判定定理
含 30°角的直角三角形的性质定理
1.2 等腰三角形
第一章 三角形的证明及其应用
1. 能从基本事实和已学定理出发，探索并证明等边三角形的判定定理、含30°角直角三角形的性质定理.
2. 能利用等边三角形的判定定理进行证明，能利用含30°角直角三角形的性质定理进行计算.
问题 一个三角形满足什么条件时是等边三角形 一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形 请证明自己的结论.
如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形吗 为什么
是.理由如下：
已知△ABC，∠A=∠B=∠C.
求证：△ABC是等边三角形.
证明：∵ ∠B=∠C，
∴ AB=AC . (等角对等边)
同理 BC=AC .
∴ AB=AC=BC.
∴ △ABC是等边三角形.
知识点1 等边三角形的判定定理
A
B
C
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗 为什么
是.理由如下：
已知△ABC，AB=AC，其中一个内角等于60°.
求证：△ABC是等边三角形.
证明：当∠A=60°时，∵AB=AC，
∴∠B=∠C=60°，即∠A=∠B=∠C，
∴△ABC是等边三角形.
当∠B=60°时，∵AB=AC，
∴∠B=∠C=60°，∴∠A=60°，
∴∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形.
知识点1 等边三角形的判定定理
A
B
C
知识点1 等边三角形的判定定理
等边三角形的判定定理：
三个角都相等的三角形是等边三角形.
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
等边三角形与等腰三角形的判定定理归纳：
知识点1 等边三角形的判定定理
等腰三角形 等边三角形
边
角
三条边都相等的三角形是等边三角形
两个角相等的三角形是等腰三角形
三个角都相等的三角形是等边三角形
两条边相等的三角形是等腰三角形
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
例1 如图，AC与BD相交于点O，若OA=OB，∠A =60°，且AB//
CD，求证：△OCD是等边三角形.
证明： ∵∠A=60°,OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠B=60°.
∵ AB//CD，
∴ ∠C= ∠A =60°，∠D = ∠B =60°，
∴∠COD=60°，
∴∠D=∠C=∠COD，
∴△OCD是等边三角形.
知识点1 等边三角形的判定定理
知识点2 含 30°角的直角三角形的性质定理
思考
(1) 用两个完全相同的含30°角的三角尺，你能拼成怎样的三角形 能拼出一个等边三角形吗
两个完全相同的含 30°角的三角尺，可以拼成一个等边三角形.
(2) 在上述拼接过程中，你发现了什么结论 请证明你的结论.
由此可以发现：
30°角的对边等于三角尺斜边的一半.
知识点2 含 30°角的直角三角形的性质定理
已知：如图，△ABC是直角三角形，∠C=90°，∠A=30°.
求证：BC= AB.
证明：延长BC至D，使CD=BC，连接 AD.
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠ ACD=90°.
∵ AC=AC，
∴ △ABC≌△ADC(SAS).
∴ AB=AD(全等三角形的对应边相等).
知识点2 含 30°角的直角三角形的性质定理
A
B
C
D
A
B
C
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°(三角形内角和定理).
∵ ∠BAC=30°，∠ACB=90°，
∴ ∠B=180°-30°- 90°=60°.
∴ △ABD是等边三角形(有一个角等于60°
的等腰三角形是等边三角形).
∴ BC=BD=AB.
知识点2 含 30°角的直角三角形的性质定理
A
B
C
D
知识点2 含 30°角的直角三角形的性质定理
直角三角形性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
30°
A
B
C
几何语言：
在Rt△ABC中，
∵∠C=30°，∠A=30°，
∴BC=.
例2 求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=15°，CD是腰AB上的高.
求证：CD=AB.
A
B
C
D
知识点2 含 30°角的直角三角形的性质定理
证明：在△ABC中，∵ AB=AC，∠B=15°，
∴ ∠ACB=∠B=15°(等边对等角).
∴ ∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°
(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和).
∵ CD是腰 AB上的高，
∴ CD=AC(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它
所对的直角边等于斜边的一半).
∴ CD=AB.
A
B
C
D
∴ ∠ADC=90°.
知识点2 含 30°角的直角三角形的性质定理
1. 已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为(　　)
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
B
2. 已知：如图，BD∥AC，∠C=60°，DA平分∠BDC.
求证：△ACD是等边三角形.
证明：∵ BD∥ AC，
∴ ∠C+∠BDC=180°，∠DAC=∠ADB.
∵ ∠C=60°，
∴ ∠BDC=120°.
∵ DA平分∠BDC，
∴ ∠ADC=∠ADB=∠BDC=60°，
∴ ∠ADC=∠C=∠DAC，
∴ △ACD是等边三角形.
3. 如图，△ABC是等边三角形，BD = CE，∠1 =∠2.求证：△ADE是等边三角形.
证明：∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC，∠BAC=60°.
在△ABD与△ACE中，AB=AC，∠1 =∠2，BD = CE,
∴△ABD≌△ACE（SAS）.
∴∠EAD=∠BAC=60°，EA=DA.
∴△ADE是等边三角形.
4. 如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线取一点E，使CE＝CD，连接BD，DE. 求证：∠ABD＝∠E.
证明：∵ △ABC为等边三角形， BD是AC边上的中线，
∴ BD平分∠ABC，∠ACB＝∠ABC＝60°，
∴ ∠DBE＝∠ABD＝∠ABC＝30°.
∵ CD＝CE，
∴ ∠CDE＝∠E.
∵ ∠CDE＋∠E＝∠ACB＝60°，
∴ ∠CDE＝∠E＝30°，
∴ ∠ABD＝∠E.
5. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，CD是△ABC的高，且BD=1，求AD的长.
解：∵ CD是△ABC的高，
∴ CD⊥AB，
∴ ∠BDC=90°.
在Rt△BDC中，∠B=60°，
∴ ∠BCD=90°-60° =30°，
∴ BD=BC.
∵ BD=1，
∴ BC=2BD=2×1=2.
在Rt△ABC中，
∠ACB=90°，∠B=60°，
∴ ∠A=90°-∠B=90°-60°=30°，
∴ BC=AB，
∴ AB=2BC=2×2=4.
∴ AD=AB-BD=4-1=3.
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半
等边三角形的判定
定义法
三个角都相等的三角形是等边三角形
有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形
判定定理
直角三角形的性质定理
三条边都相等的三角形是等边三角形

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