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第1课时 直角三角形的性质定理和判定定理
1.3 直角三角形
第一章 三角形的证明及其应用
八下数学 BSD
1. 经历探索并证明直角三角形的性质定理及判定定理的过程，熟练掌握这些定理并会进行相关计算和证明.
2. 结合具体例子了解逆命题、互逆命题、逆定理等的概念，会识别互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立.
我们曾经探索过直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余.请你证明这一结论.
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.
求证：∠A+∠B=90°.
证明：在Rt△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.
∵∠C=90°，
∴ ∠A+∠B=180°-∠C=180°-90°=90°.
C
B
A
知识点1 直角三角形的性质定理和判定定理
定理 直角三角形的两个锐角互余.
C
B
A
符号语言：
在△ABC中，
∵ ∠C=90°，
∴ ∠A+∠B=90°.
知识点1 直角三角形的性质定理和判定定理
思考 如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗
已知：如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°.
求证：△ABC是直角三角形.
证明：在△ABC中， ∠A+∠B+∠C=180°.
∵∠A+∠B=90°，
∴ ∠C=180°-（∠A+∠B）=180°-90°=90°，
∴ △ABC是直角三角形.
C
B
A
知识点1 直角三角形的性质定理和判定定理
定理 有两个角互余的三角形是直角三角形.
C
B
A
符号语言：
在△ABC中，
∵ ∠A+∠B=90°，
∴ △ABC是直角三角形，且∠C=90°.
我们曾经利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理. 实际上，利用基本事实和已有定理，我们能够证明勾股定理.（证明可参考本节“阅读·赏析”）
知识点1 直角三角形的性质定理和判定定理
勾股定理: 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
符号语言：在Rt△ABC中，
∵ ∠C=90°，
∴ AC2+BC2=AB2.
C
B
A
在一个三角形中，当两条边的平方和等于第三条边的平方时，我们曾用测量的办法得出“这个三角形是直角三角形”的结论. 你能用基本事实和已有定理证明这一结论吗
知识点1 直角三角形的性质定理和判定定理
已知：如图，在△ABC中，AB2+AC2=BC2.
求证：△ABC是直角三角形.
分析：要证明△ABC是直角三角形，一般需要证明有一个角是直角.这里的已知条件是边的关系，由此你能想到什么
借助边的关系，你能构造一个直角三角形，使它与△ABC全等吗？
知识点1 直角三角形的性质定理和判定定理
C
A
B
证明：如图，作Rt△A′B′C′，使∠A′=90°，A′B′=AB，A′C′=AC，
则A′B′2+A′C′2=B′C′2(勾股定理).
∵ AB2+AC2=BC2，
∴ BC2=B′C′2.
∴ BC=B′C′.
∴ △ABC≌△A′B′C′(SSS).
∴ ∠A=∠A′=90°(全等三角形的对应角相等).
因此，△ABC是直角三角形.
知识点1 直角三角形的性质定理和判定定理
C
A
B
C ′
A′
B′
知识点1 直角三角形的性质定理和判定定理
定理 如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
符号语言：
在△ABC中，
∵AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°.
C
B
A
例1 如图，AD⊥BC，垂足为D. 如果CD=1，AD=2，BD=4，那么∠BAC是直角吗 请说明理由.
知识点1 直角三角形的性质定理和判定定理
C
A
B
D
∟
1
2
4
解：∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADC=∠ADB=90°.
∴ 在Rt△ADC中，AC2=AD2+DC2=22+12=5.
在Rt△ADB中，AB2=AD2+BD2=22+42=20.
∵ AC2+AB2=20+5=25，BC2=52=25.
∴ AC2+AB2=BC2.
∴ △ABC是直角三角形，且∠BAC=90°.
(1) 观察本节第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系 第三个定理和第四个定理呢
定理 直角三角形的两个锐角互余.
定理 有两个角互余的三角形是直角三角形.
第一个定理的条件和结论分别是第二个定理的结论和条件.
第三个定理(勾股定理)的条件和结论，分别是第四个定理(勾股定理的逆定理)的结论和条件.
知识点2 互逆命题与互逆定理
(2)观察下面三组命题：
如果两个角是对顶角，那么它们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角.
如果a=b，那么a2=b2；
如果a2=b2，那么a=b.
一个三角形中相等的边所对的角相等；
一个三角形中相等的角所对的边相等.
上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗
有.
知识点2 互逆命题与互逆定理
知识点2 互逆命题与互逆定理
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题；
如果把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就称为它的逆命题.
注意：(1)写原命题的逆命题时，最好先将原命题改写成“如果……那么……”的形式，再根据改写后的命题写出原命题的逆命题.
(2)判定一个命题是真命题要经过证明，但判定一个命题是假命题只需举出一个反例即可.
你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗 它们都是真命题吗
逆命题为“如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等”.
原命题是真命题，逆命题是假命题.
知识点2 互逆命题与互逆定理
例如：定理 直角三角形的两个锐角互余.
定理 有两个角互余的三角形是直角三角形.
知识点2 互逆命题与互逆定理
原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
注意：命题都有逆命题，但定理不一定都有逆定理.
跟踪训练 写出一对互逆命题，并判断原命题及其逆命题的真假.
原命题：若x2=1，则x=1，是假命题；
它的逆命题：若x=1，则x2=1，是真命题.
知识点2 互逆命题与互逆定理
1. △ABC的三边分别为a，b，c，则无法判断△ABC为直角三角形的是（　　）
A．b2＝a2﹣c2
B．∠A＝∠B+∠C
C．a∶b∶c＝3∶4∶5
D．a∶b∶c＝1∶2∶3
D
2. 说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假.
(1) 四边形是多边形；
(2) 两直线平行，同旁内角互补；
(3) 如果ab=0 ，那么a=0，b=0.
解：(1) 逆命题：多边形是四边形.
原命题为真，逆命题为假.
(2) 逆命题：同旁内角互补，两直线平行.
原命题为真，逆命题为真.
(3) 逆命题：如果a=0，b=0，那么ab=0.
原命题为假，逆命题为真.
3. 在△ABC中，已知∠A=∠B=45°，BC=3，求AB的长.
解：∵ ∠A=∠B=45°，
∴ AC=BC=3.
∵ ∠A+∠B+∠C=180°，
∴ ∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-45°=90°.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2，
∴ AB2=32+32=18，
∴ AB=3或AB=-3(舍去)，
∴ AB的长为3.
4. 已知：在△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm.求证：AB=AC.
证明：如图所示.∵ AD是BC边上的中线，
∴ BD=CD=BC=×10=5(cm).
在△ABD中，∵ AB=13cm，AD=12cm，BD=5cm，
∴ AD2+BD2=AB2，
∴ △ABD为直角三角形，且∠ADB=90°(如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形)，
4. 已知：在△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm.求证：AB=AC.
∴ AD⊥BC.
在Rt△ADC中，根据勾股定理，得
AC===13(cm)，
∴ AB =AC.
5.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ，PQ.
(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由；
解：AP＝CQ.理由：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝CB，∠ABC＝60°.
∵∠PBQ＝60°，
∴∠ABP＝∠ABC－∠PBC＝∠PBQ－∠PBC＝∠CBQ.
又∵BP＝BQ，
∴△ABP≌△CBQ(SAS).
∴AP＝CQ.
(2)若PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，试判断△PQC的形状，并说明理由.
解：△PQC是直角三角形．
由PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，可设PA＝3a，PB＝4a，PC＝5a(a＞0)．
在△PBQ中，∵PB＝BQ＝4a，∠PBQ＝60°，
∴△PBQ是等边三角形．∴PQ＝4a.
由(1)知AP＝CQ＝3a，
∴PQ2＋QC2＝16a2＋9a2＝25a2＝PC2.
∴△PQC是直角三角形．
直角三角形
如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
有两个角互余的三角形是直角三角形
判定定理
性质定理
直角三角形的两个锐角互余

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