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第1课时 垂直平分线的性质定理与判定定理
1.4 线段的垂直平分线
第一章 三角形的证明及其应用
八下数学 BSD
1. 探索并证明线段垂直平分线的性质定理及判定定理，进一步发展推理能力.
2. 能运用线段垂直平分线的性质定理及判定定理解决问题.
我们曾经探索过线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
请你尝试证明这一结论.
已知：如图，直线MN⊥AB，垂足为C，且AC=BC，P是MN上的任意一点.
求证：PA=PB.
证明：∵ MN⊥AB，
∴ ∠PCA=∠PCB=90°，
∵ AC=BC，PC=PC，
∴ △PCA≌△PCB(SAS).
∴ PA=PB(全等三角形的对应边相等).
知识点1 线段垂直平分线的性质定理
如果点P与点C重合，那么结论显然成立.
知识点1 线段垂直平分线的性质定理
定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
符号语言：
∵ 点P在直线MN上， MN⊥AB于点C，AC=BC，
∴ PA=PB.
注意：线段垂直平分线上的“点”是任意一点，这个点到线段两个端点的距离相等是指它与已知线段的两个端点所连线段的长度相等.
知识点1 线段垂直平分线的性质定理
B
A
O
P
跟踪训练 如图所示，PO是AB的垂直平分线，则下列结论正确的有 (　　)
① PA=PB；② OA=OB；③ ∠A=∠B；④ ∠APO=∠BPO.
A. ①②③ B. ①②④
C. ①②③④ D. ②③④
C
跟踪训练 在△ABC中，DE是AC的垂直平分线.
若△ABD的周长为13 cm，则AB+BC=　　　　cm；
知识点1 线段垂直平分线的性质定理
分析： ∵ DE是AC的垂直平分线，
∴ AD=CD (线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等).
∵ AB+BD+AD=13cm，
∴ AB+BC=AB+BD+CD=AB+BD+AD=13 cm.
13
知识点1 线段垂直平分线的性质定理
思考
你能写出“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”这个定理的逆命题吗
逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
它是真命题吗 请证明自己结论的正确性.
已知：如图，线段AB，PA=PB.
求证：点P在线段AB的垂直平分线上.
证明：过点P作直线MN⊥AB，垂足为点C，
则PC是△PAB的高.
∵PA=PB，
∴△PAB是等腰三角形.
∴PC是△PAB的中线（三线合一）.
∴AC=BC.
∴直线MN是线段AB的垂直平分线.
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
知识点2 线段垂直平分线的判定定理
B
M
P
A
N
C
符号语言：
∵ PA=PB，
∴ 点P在线段AB的垂直平分线MN上.
知识点2 线段垂直平分线的判定定理
定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
注意：由PA=PB只能判定点P一定在线段AB的垂直平分线上，但不能判定过点P的直线就是线段AB的垂直平分线，因为过点P的直线有无数条.
知识点2 线段垂直平分线的判定定理
例1 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内
一点，且 OB=OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.
知识点2 线段垂直平分线的判定定理
A
B
C
O
证明：∵ AB=AC，
∴ 点A在线段BC的垂直平分线上(到一条线段两个
端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上).
同理，点O在线段BC的垂直平分线上.
∴ 直线AO是线段BC的垂直平分线(两点确定
一条直线).
还有其他证法吗
有其他证法.
证明：如图所示，设AO交BC于点D.
在△ABO和△ACO中，
∵ AB=AC，OB=OC，AO=AO，
∴ △ABO≌△ACO(SSS)，
∴ ∠BAO=∠CAO，又AB=AC，
∴ AD⊥BC，BD=CD，
∴ 直线AO垂直平分线段BC.
知识点2 线段垂直平分线的判定定理
A
B
C
O
D
知识点2 线段垂直平分线的判定定理
如图，AB=AD，CB=CD，AC，BD相交于点E，你能在图中找到哪些相等的角
A
B
E
C
D
∵ AB=AD，CB=CD，
∴ AC是BD的垂直平分线.
像AB=AD，CB=CD这样的四边形ABCD叫作“筝形”.
1. 还记得用尺规作线段垂直平分线的方法吗 试用本节所学的定理解释其中的道理.
解：因为“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”，
所以我们只需利用尺规作出到已知线段两个端点的距离分别相等的两个点，
然后利用“两点确定一条直线”即可作出已知线段的垂直平分线.
2. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交AC于点E，若AE＝2，则B，E两点间的距离是(　　)
A. 4 B. 2 C. 3 D.
B
A
B
C
D
E
3. 已知：如图，AB是线段CD的垂直平分线，E，F是AB上的两点.
求证：∠ECF=∠EDF.
证明：∵ AB是线段CD的垂直平分线，
∴ EC=ED，FC=FD(线段垂直平分线上
的点到这条线段两个端点的距离相等)，
∴ ∠ECD=∠EDC，∠FCD=∠FDC(等边对等角)，
∴ ∠ECD+∠FCD=∠EDC+∠FDC，即∠ECF=∠EDF.
4. 如图，OM垂直平分AB，ON垂直平分AC，BC与OM，ON分别交于点D，E，连接AD，AE.若BC=10，求△ADE的周长.
证明：∵ OM垂直平分AB，点D在OM上，
∴ BD=AD.
同理可得CE=AE.
∴ △ADE的周长=AD+DE+AE=
BD+DE+CE=BC=10.
5. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在BC，AB，AC上，且BE=CD，BD=CF，G为EF的中点.
求证：DG垂直平分EF.
证明：如图所示，连接ED，FD.
∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠C.
又BE=CD，BD=CF，
∴ △BED≌△CDF(SAS)，
∴ ED=DF，
∴点D在线段EF的垂直平分线上.
又G为EF的中点，
∴ GE=FG，
∴点G在线段EF的垂直平分线上，
∴ DG垂直平分EF.
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
判定定理
作辅助线的依据
性质定理
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
线段的垂直平分线

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