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第2课时 “斜边、直角边”定理
1.3 直角三角形
第一章 三角形的证明及其应用
八下数学 BSD
1. 已知斜边和一条直角边，能用尺规作出直角三角形，增强动手能力.
2. 探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理，并能进行相关证明，进一步发展推理能力.
问题 两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等吗 如果其中一组等边的对角都是直角呢
两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等.
A
B
C
A ′
B′
C ′
∥
∥
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问题 两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等吗 如果其中一组等边的对角都是直角呢
它们全等.
在直角三角形中，若斜边和一条直角边确定，则另一条直角边也就确定了，然后根据“SSS”即可判定两个三角形全等.
A
B
C
A ′
B′
C ′
∥
∥
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知识点 “斜边、直角边”定理
思考
已知斜边和一条直角边，如何作出这个直角三角形呢
假设满足条件的直角三角形已经作出，你能画出这个直角三角形的草图吗 你是按照怎样的步骤画这个草图的？
能，先画出已知直角边，取该直角边的一个顶点为直角顶点，然后过直角顶点作该直角边的垂线，再利用斜边确定另一个顶点，从而画出满足“斜边和一条直角边“条件的直角三角形.
作法 图形
如图，已知线段a，c(a知识点 “斜边、直角边”定理
a c
N
C
M
B
A
1. 作射线CN.
2. 过点C作射线CN的垂线CM.
3. 在射线CM上截取CB=a.
4. 以点B为圆心，以线段c的长为半径作弧，交射线CN于点A.
5. 连接AB.
△ABC就是所要作的直角三角形.
把你作的三角形与同伴作的三角形进行比较，它们一定全等吗
可以发现：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
请你尝试证明这一结论.
知识点 “斜边、直角边”定理
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，
AC＝A′C′，求证△ABC≌△A′B′C′.
知识点 “斜边、直角边”定理
证明：在Rt△ABC中，
∵ ∠C=90°，
∴ BC2=AB2-AC2(勾股定理).
同理，B′C′2=A′B′2-A′C′2.
∵ AB=A′B′，AC=A′C′，
∴ BC=B′C′.
∴ △ABC≌△A′B′C′(SSS).
知识点 “斜边、直角边”定理
定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等三角形.
这一定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL”.
符号语言：
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C∠C′ 90°，
所以Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).
A
B
C
A ′
B′
C ′
∥
∥
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知识点 “斜边、直角边”定理
例1 如图，有两个长度相等的梯子，左边梯子竖直方向的高度 AC与右边梯子水平方向的长度DF相等，两个梯子的倾斜角∠CBA和∠EFD的大小有什么关系
解：根据题意，可知
∠BAC=∠EDF=90°，BC=EF，AC=DF，
∴ Rt△BAC≌Rt△EDF(HL).
∴ ∠CBA=∠DEF(全等三角形的对应角相等).
∵ ∠DEF+∠EFD=90°(直角三角形的两个锐角互余)，
∴ ∠CBA+∠EFD=90°.
知识点 “斜边、直角边”定理
跟踪训练 如图，AB⊥BD，CD⊥DB，AD=BC. 求证：AB=CD，AD∥ BC.
证明：∵ AB⊥BD，CD⊥DB，
∴ ∠ABD=∠CDB=90°.
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
∴ Rt△ABD≌Rt△CDB (HL).
∴ ∠ADB=∠CBD， AB=CD.
∴ AD∥BC.
一般三角形与直角三角形全等的判定方法的比较：
注意：在应用“HL”定理时，要在两个直角三角形的前提下，利用“斜边和一条直角边对应相等”证明这两个直角三角形全等.
知识点 “斜边、直角边”定理
一般三角形全等的判定
直角三角形全等的判定
SAS
ASA
AAS
SSS
SAS
ASA
AAS
HL
SSS
1. 如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是( )
A. AE=DF B. ∠A=∠D
C. ∠B=∠C D. AB=DC
C
B
A
D
F
E
D
2. 判断下列命题的真假，并说明理由：
(1) 两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；
(2) 斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等；
(3) 两条直角边分别相等的两个直角三角形全等；
(4) 一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等.
(1) 假命题.
Rt△ABC与Rt△A′B′C′不全等.
2. 判断下列命题的真假，并说明理由：
(1) 两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；
(2) 斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等；
(3) 两条直角边分别相等的两个直角三角形全等；
(4) 一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等.
(2) 真命题.
Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(AAS).
2. 判断下列命题的真假，并说明理由：
(1) 两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；
(2) 斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等；
(3) 两条直角边分别相等的两个直角三角形全等；
(4) 一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等.
(3) 真命题.
Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(SAS).
2. 判断下列命题的真假，并说明理由：
(1) 两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；
(2) 斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等；
(3) 两条直角边分别相等的两个直角三角形全等；
(4) 一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等.
(4) 真命题.
已知：如图所示，∠C=∠C′=90°，AC=A′C′，中线AD=A′D′.
求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.
证明：∵ 在Rt△ACD和Rt△A′C′D′中，
∠C=∠C′=90°，AD=A′D′，AC=A′C′ ，
∴ Rt△ACD≌Rt△A′C′D′(HL)，
∴ DC=D′C′(全等三角形的对应边相等).
∵ BC=2DC，B′C′=2D′C′，
∴ BC=B′C′，
∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(SAS).
3. 如图，两根长度均为12m的绳子，一端系在旗杆上的A点，另一端拉直后分别固定在地面的两个木桩(用B，C两点表示)上，两个木桩到旗杆底部的距离相等吗 请说明你的理由.
解：相等.理由：∵ AB=AC=12m，
∴ 由A，B，C三点构成的三角形是等腰三角形.
又AO⊥BC，
∴ AO是等腰三角形ABC底边BC上的中线，
∴ BO=CO，
∴ 两个木桩到旗杆底部的距离相等.
4. 如图，已知AD，AF分别是△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE. 求证：BC＝BE.
证明：∵ AD，AF分别是△ABC和△ABE的高，
∴ ∠ADB=∠AFB=90° .
在Rt△ADC和Rt△AFE中，
∴ Rt△ADC≌Rt△AFE (HL).
∴ CD=EF.
4. 如图，已知AD，AF分别是△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE. 求证：BC＝BE.
在Rt△ADB和Rt△AFB中，
∴ Rt△ADB≌Rt△AFB (HL).
∴ BD=BF.
∴ BD-CD＝BF-EF，即BC＝BE.
直角三角形
SSS、SAS、ASA、AAS
“HL” 定理:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
直角三角形全等的判定定理
尺规作图
已知斜边和一条直角边，作出唯一的直角三角形

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