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第2课时 尺规作图
1.4 线段的垂直平分线
第一章 三角形的证明及其应用
八下数学 BSD
1. 已知底边及底边上的高，能用尺规作等腰三角形、能用尺规过直线外一点作已知直线的垂线.
2. 初步认识三角形三条边的垂直平分线的性质，并能解决相关的实际问题.
问题 前面我们用尺规作出了满足一定条件的直角三角形，那么，你能用尺规作出满足一定条件的等腰三角形吗
思考 (1) 已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗
能，这样的三角形能画出无数个，因为高的位置可以不同，所以它们不都全等.
知识点1 尺规作图
(2) 已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗 能作几个
因为等腰三角形底边上的高的位置是固定的，所在直线只能垂直平分底边，所以能用尺规作出满足条件的等腰三角形，且这样的三角形只有一个.
知识点1 尺规作图
作法 图形
已知线段a，h，用尺规作△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h.
知识点1 尺规作图
△ABC就是所要作的等腰三角形．
a
h
a
l
A
B
C
h
D
1．作线段BC，使BC ＝a．
2．作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D．
3．在l上作线段DA，使DA＝h．
4．连接AB，AC．
思考
还记得用尺规过直线l上一点P作的垂线的方法吗
这种方法将作直线的垂线问题转化为作线段的垂直平分线问题.
知识点1 尺规作图
A
B
M
l
P
如果点P在直线l外呢 此时，还能运用这种转化的方法吗

作法 图形
已知直线l和l外一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P.
知识点1 尺规作图
A
B
m
l
P
Q


1. 任取一点Q，使点Q与点P在直线l两旁.
2. 以点P为圆心，以PQ的长为半径作弧，
交直线l于点A和点B.
3. 作线段 AB的垂直平分线m.
直线m就是所要作的直线.
为什么直线m经过点P
因为点P到直线上点A，B的距离相等，
所以点P一定在线段 AB的垂直平分线m上.
知识点1 尺规作图
例1 已知线段a，求作以a为底，以a为底边上的高的等腰三角形.
解：已知线段a，如图(1)所示.
求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=a.
知识点1 尺规作图
(1)
作法：如图(2)所示.
① 作线段BC=a.
② 作线段BC的垂直平分线MN，交BC于点D.
③ 在DM上依次截取DE，EA，使DE=a，EA= a
(即等于线段BD或CD的长).
④ 连接AB，AC.
△ABC为所要作的等腰三角形.
知识点1 尺规作图
(2)
(1)
M
B
C
D
A
N
E
例2 已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P，垂足分别为D，E.
求证：边AC的垂直平分线经过点P.
知识点2 三角形三条边的垂直平分线的性质
分析：要证明点P在边AC的垂直平分线上，需要什么条件 已知的两条垂直平分线相交于点P，由此你能得到哪些相关的结论
B
A
C
P
E
D
证明：如图，连接PA，PB，PC.
∵ 点P在边AB的垂直平分线上，
∴ PA=PB(线段垂直平分线上的点
到这条线段两个端点的距离相等).
同理，PB=PC.
∴ PA=PB=PC.
∴ 点P在线段AC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)，
即边AC的垂直平分线经过点P.
知识点2 三角形三条边的垂直平分线的性质
B
A
C
P
E
D
符号语言：
∵ 直线MN，EF，PQ分别垂直平
分线段BC，AB，AC，
∴ 直线MN，EF，PQ相交于点O，
且OA=OB=OC.
知识点2 三角形三条边的垂直平分线的性质
三角形三条边的垂直平分线的性质
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 这个点叫作三角形的外心.
三角形三条边的垂直平分线的交点位置如下：
锐角三角形
三角形内部
直角三角形
斜边中点
钝角三角形
三角形外部
知识点2 三角形三条边的垂直平分线的性质
1. 已知：线段a，直线l及l外一点A.
求作：等腰三角形ABC，使底边BC在l上，且BC=a.
作法：
① 作线段a的垂直平分线；
② 过点A作l的垂线AO，点O为垂足；
③ 以点O为圆心， a为半径画弧交直线l于B，C两点；
④ 连接AB，AC.
△ABC即为所要作的等腰三角形.
B
C
l
A
O
2. 如图，已知△ABC，完成下列尺规作图：
(1) 作AC边上的高；
(2) 作BC边上的高.
C
B
A
解：(1) 如图所示，任取一点M，使点M与点B在AC的两侧；
以点B为圆心，以BM的长为半径画弧，分别交AC于点F，G；
分别以点F，G为圆心，大于FG的长为半径画弧交于点E；
连接BE，交AC 于点D，则BD即为所求.
C
B
A
F
M
G
E
D
(2) 如图所示，延长CB，任取一点N，使点N与点A在CB延长线的两侧；
以点A为圆心，以AN的长为半径画弧，分别交CB所在的直线于点Q和点P；
分别以点Q，P为圆心，大于QP的
长为半径画弧交于点H；
连接AH，交CB的延长线于点I，
则AI即为BC边上的高.
C
B
A
N
Q
P
H
I
3. 如图，在△ABC中，∠A=52°，O为AB，AC的垂直平分线的交点，连接OB，OC，那么∠OCB= .
解析：如图，连接OA.
∵ O为AB，AC的垂直平分线的交点，
∴ OA=OB=OC，
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，
∴ ∠1+∠4=∠2+∠3=∠BAC=52°，
∴ ∠5+∠6=180°-(∠1+∠2+∠3+∠4)=180°-2×52°=76°，
∴ ∠6=×76°=38°，即∠OCB=38°.
38°
已知底边及底边上的高，作等腰三角形
过直线外一点作已知直线的垂线
尺规作图
线段的垂直平分线
三角形三条边的垂直平分线的性质
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等

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