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第1课时 角平分线的性质定理与判定定理
1.5 角平分线
第一章 三角形的证明及其应用
八下数学 BSD
1. 探索并证明角平分线的性质定理及判定定理，掌握这些定理及其推理证明的方法，进一步体会证明的必要性，发展推理能力.
2.能运用角平分线的性质定理和判定定理解决问题.
我们曾经探索过角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
请你尝试证明这一结论.
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
求证：PD=PE.
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，
∴ ∠PDO=∠PEO=90°.
∵ ∠1=∠2，OP=OP，
∴ △PDO≌△PEO(AAS).
∴ PD=PE(全等三角形的对应边相等).
知识点1 角平分线的性质定理
O
B
A
C
P
E
D
1
2
知识点1 角平分线的性质定理
角平分线的性质定理：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
符号语言：
∵ OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ PD＝PE.
O
B
A
C
P
E
D
注意：该定理中，“点到这个角的两边的距离”是指该点到角两边的垂线段的长度.
例1 如图，P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是(　　)
A. 2 B. 3 C. 1 D. 4
知识点1 角平分线的性质定理
D
你能写出这个定理的逆命题吗 它是真命题吗 请你证明自己结论的正确性.
知识点2 角平分线的判定定理
角平分线的性质定理：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
逆命题：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE.
求证：OP平分∠AOB.
知识点2 角平分线的判定定理
O
B
A
P
E
D
1
2
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，
∴ ∠ODP=∠OEP=90°.
∵ PD=PE， OP=OP，
∴ Rt△DOP≌Rt△EOP(HL).
∴ ∠1=∠2(全等三角形的对应角相等).
∴ OP平分∠AOB.
简记为“两垂直 + 一相等，得点在角平分线上”.
知识点2 角平分线的判定定理
角平分线性质定理的逆定理：
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的
平分线上.
符号语言：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，
∴ 点P在∠AOB的平分线上 .
O
B
A
P
E
D
知识点2 角平分线的判定定理
O
A
B
C
P
D
E
F
如图，把直尺的一边落在∠AOB的边OA 上，沿直尺的另一边画出直线CD；再把直尺的一边落在∠AOB的边OB上，沿直尺的另一边画出直线EF. CD与EF相交于点P，连接OP.
OP是∠AOB的平分线吗 为什么
OP是∠AOB的平分线
角的内部到角两边距离相等的点
在这个角的平分线上.
角平分线和线段垂直平分线的比较：
相同点：都有定理和逆定理，都有“距离相等”，证明方法都利用了三角形全等.
不同点：角平分线是在角的内部，到角的两边距离相等的点的集合，是点到线(射线)的距离相等；
线段垂直平分线是到线段的两个端点距离相等的点的集合，是点到点的距离相等.
知识点2 角平分线的判定定理
例2 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在边BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.
知识点2 角平分线的判定定理
解：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，
∴ AD平分∠BAC(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).
又∵ ∠BAC=60°，
∴ ∠BAD= 30°.
在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=10，
∴ DE=AD=×10=5(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
那么它所对的直角边等于斜边的一半).
知识点2 角平分线的判定定理
1. 如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.
下列结论中不一定成立的是(　　)
A．PA＝PB B．PO平分∠APB
C．OA＝OB D．AB垂直平分OP
D
2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6 cm，则△DBE的周长是______.
6 cm
3. 如图，AD为△ABC的角平分线，DF⊥AC于点F，∠B=
90°，DE=DC. 求证：BE=FC.
证明：∵ ∠B=90°，
∴ BD⊥AB.
又∵ AD为△ABC的角平分线，且DF⊥AC，
∴ DB=DF.
在Rt△BDE和Rt△FDC中，
∴ Rt△BDE≌Rt△FDC(HL).
∴ BE=FC.
4. 已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，F，G分别是OA，OB上的点，且PF=PG，DF=EG.
求证：OC是∠AOB的平分线.
证明： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ∠PDF=∠PEG=90°.
在Rt△PFD和Rt△PGE中，
∴ Rt△PFD≌Rt△PGE(HL)，
∴ PD=PE.
又∵ P是OC上点，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ OC是∠AOB的平分线.
5. 如图，某工地在A区，到公路、铁路距离相等，距公路与铁路交叉处500 m，请你在图中标出它的位置(比例尺为1：20 000).
解：如图所示，把公路、铁路看成两条相交直线(交点为O)，作出其夹角(A区所在角)的平分线OB，在OB上截取OC=2.5 cm，点C即为所求作的目标的位置.
O
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
添加辅助线的依据
性质定理
判定定理
角平分线

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