资源简介

(共22张PPT)
第2课时 角平分线的性质定理和判定定理的应用
1.5 角平分线
第一章 三角形的证明及其应用
八下数学 BSD
1.能运用角平分线的性质定理和判定定理解决相关的问题，进一步增强推理能力.
2.知道三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
问题 角平分线的性质定理及判定定理是什么？
性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
例1 如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.
(1) 已知CD=4cm，求AC的长；
(2) 求证：AB=AC+CD.
知识点1 角平分线的性质定理和判定定理的应用
C
D
A
B
E
(1) 解：∵ AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴ DE=CD=4cm(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
∵ AC=BC，∴ ∠B=∠BAC(等边对等角).
∵ ∠C=90°，∴ ∠B=×90°=45°.
∴ ∠BDE=90°-45°=45°.
∴ BE=DE(等角对等边).
在等腰直角三角形BDE中，
BD===4cm(勾股定理).
∴ AC=BC=CD+BD=(4+4)cm.
C
D
A
B
E
知识点1 角平分线的性质定理和判定定理的应用
(2) 证明：由(1)的求解过程易知，
Rt△ACD≌Rt△AED(HL).
∴ AC=AE(全等三角形的对应边相等).
∵ BE=DE=CD，
∴ AB=AE+BE=AC+CD.
C
D
A
B
E
知识点1 角平分线的性质定理和判定定理的应用
例2 已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P. 求证：∠A的平分线经过点P.
分析：要证明∠A的平分线经过点P，需要什么条件
已知的两条角平分线相交于点P，由此你能得到哪些相关的结论
知识点2 三角形三个内角的平分线的性质
P
A
B
N
C
M
点P到∠A的两边的距离相等
点P到∠ABC， ∠ACB的两边的距离相等
证明：如图，过点P分别作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为 D，E，F.
∵ BM是△ABC的角平分线，
∴ PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边
的距离相等). 同理，PE=PF.
∴ PD=PE=PF.
∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)，即∠A的平分线经过点P.
知识点2 三角形三个内角的平分线的性质
P
A
B
N
C
M
D
F
E
知识点2 三角形三个内角的平分线的性质
三角形的角平分线：三角形的三条角平分线交与一点，并且这点到三边的距离相等.
该点称为三角形的内心.
符号语言：
① 在△ABC中，
∵ BD，CE，AG分别是∠ABC，∠ACB，∠BAC的平分线，
∴ BD，CE，AG相交于一点P.
② 若过点P作PM⊥BC，PN⊥AC，PF⊥AB，
垂足分别为点M，N，F，则PM=PN=PF.
知识点2 三角形三个内角的平分线的性质
知识点2 三角形三个内角的平分线的性质
取一张半透明纸，在半透明纸上画一个三角形，折出所画三角形的三条角平分线，你有什么发现
三角形的三条角平分线交于一点，交点在三角形内部.
锐角三角形
钝角三角形
直角三角形
1. 下列说法错误的是( )
A. 三角形的角平分线能把三角形分成面积相等的两部分
B. 三角形的三条中线相交于一点
C. 直角三角形三条高交于三角形的一个顶点
D. 三角形三条角平分线相交于一点，这个点是三角形的内心
A
2. 一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪( )
A. 三条角平分线的交点处
B. 三条高线的交点处
C. 三条中线的交点处
D. 以上都不对
A
3. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C，点E在边BC上．AE平分∠BAD，DE平分∠ADC．求证：BE＝CE.
D
遇角平分线，过角平分线上一点向两边作垂线段是常用的辅助线.
分析：要证明线段相等，常通过证明三角形全等，但BE与CE所在三角形显然不全等，故需要构造全等三角形.
证明：过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥AD于点G，EM⊥CD于点M.
∵ AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，
∴ EF＝EG＝EM， =90°.
在△BEF和△CEM中
∴ △BEF≌△CEM (AAS)，
∴ BE＝CE.
D
解题通法
证明线段相等的常用依据
(1)线段中点的定义；(2)等式的基本性质；
(3)全等三角形的对应边相等；(4)等角对等边；
(5)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
(6)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
4. 如图，已知△ABC的周长是10，点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC于点D.若OD=2，则△ABC的面积是 .
解析：如图，作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点 F，连接OA.
∵ 点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，
∴ AO为∠BAC的平分线.
又OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，
∴ OE=OF=OD=2，
∴ S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC
=×(AB+BC+AC)×OD
=×10×2=10.
4. 如图，已知△ABC的周长是10，点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC于点D.若OD=2，则△ABC的面积是 .
10
5. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD， CE是△ABC的角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为 M，N.求证：FE=FD.
证明：如图所示，过点F作FG⊥AC于点G.
又∵ AD平分∠BAC，FM⊥AB，
∴ FM=FG(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
同理可得FN=FG，
∴ FM=FN.
∵ ∠ACB=90°，CE平分∠ACB，
∴ ∠ECA=45°，
∵ ∠B=60°，
G
∴ ∠BAC=30°，
∴ ∠BAD=∠BAC=15°，
∠MEF=∠EAC+∠ECA=30°+45°=75°(三角形外角的性质)，
∴∠NDF=∠BAD+∠B=15°+60°=75°(三角形外角的性质)，
∴ ∠MEF=∠NDF.
在△EMF和△DNF中，
∴ △EMF≌△DNF(AAS)，
∴ FE=FD(全等三角形的对应边相等).

展开更多......

收起↑