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八上数学 BSD
第一章 三角形的证明及其应用
章末小结
线段垂直平分线的性质与判定
角平分线的性质与判定
三角形内角和定理
特殊线
全等三角形
与等腰三角形有关的结论
三角形的证明及其应用
通过探索、猜想、证明得到定理
与直角三角形有关的结论
已知底边及底边上的高作等腰三角
已知一条直角边和斜边作直角三角形
过直线外一点作已知直线的垂线
互逆命题及其真假
尺规作图
一、三角形内角和定理
1.三角形
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°.
推论 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
2.n边形
定理 n边形的内角和等于(n-2)·180°.
定理 多边形的外角和等于360°.
一、三角形内角和定理
3.正多边形
各边相等、各角也相等的多边形是正多边形.
正n边形的每个内角都为.
1. 某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠DEF=60°.当AD∥BC时，∠ADE的大小为( )
A. 5° B. 15° C. 25° D. 35°
B
2. (1) 若一个六边形的每个内角都是x°，则x的值为( ).
A. 60 B. 90 C. 120 D. 150
(2) 已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引( )条对角线.
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
B
C
B
A
C
P
1
2
3. 如图，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC， ∠ACB的平分线，
试说明： ∠P= 90 +∠A.
B
A
C
P
1
2
证明：因为BP，CP分别是∠ABC， ∠ACB的平分线，
所以∠1=∠ABC，∠2=∠ACB.
因为∠P+∠1+∠2=180 ，∠A+∠ABC+∠ACB=180 ，
所以∠P=180 (∠1+∠2 )=180 (∠ABC+∠ACB)
=180 (∠ABC+∠ACB)
=180 (180 ∠A)
=90 +∠A.
二、等腰三角形
1. 性质定理
等腰三角形的两个底角相等.简述为等边对等角.
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合.简述为“三线合一”.
A
B
C
D
二、等腰三角形
2. 有关等腰三角形的性质的一些结论
(1) 等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高相等，两底角的平分线也相等.
(2) 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.
(3) 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角的度数等于顶角度数的一半.
二、等腰三角形
3. 判定定理
定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形.
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.简述为等角对等边.
三、等边三角形
1. 性质定理
等边三角形的三条边都相等.
等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
三、等边三角形
2. 判定定理
三条边都相等的三角形是等边三角形.
三个角都相等的三角形是等边三角形.
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
四、反证法
1.定义：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法.
注意：用反证法证明时，否定的是命题的结论，而不是条件.
2.用反证法证明的步骤一般为：
(1) 先假设结论的反面是正确的；
(2) 然后通过逻辑推理，得出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾的结论；
(3) 从而说明假设不成立，进而得出原结论正确.
1. 如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作BC的平行线交∠ABC的平分线于点D，连接CD.
(1) 求证：△ACD为等腰三角形.
(2) 若∠BAD=140°，求∠BDC的度数.
(1) 证明：∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠1=∠2.
∵ AD∥BC，
∴ ∠2=∠3，
∴ ∠1=∠3，
∴ AB=AD.
∵AB=AC，
∴ AC=AD，
∴ △ACD为等腰三角形.
(2) 解：由(1)知∠1=∠2=∠3.
∵ ∠BAD=140°，∠BAD+∠1+∠3=180°，
∴ ∠1=∠2=∠3=(180°-∠BAD)=20°，
∴ ∠ABC=∠1+∠2=40°.
∵ AB=AC，
∴ ∠ACB=∠ABC=40°.
∵ AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB=40°，
由（1）知AD=AC,
∴∠ADC=∠ACD=(180°-∠CAD)=70°,
∴∠BDC=∠ADC-∠3=70°-20°=50°.
2. 如图，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形.
(1) 线段AN与线段BM是否相等 请说明理由；
证明：(1) AN＝BM.
理由：∵ △ACM与△CBN都是等边三角形，
∴ AC＝MC，CN＝CB，
∠ACM＝∠BCN＝60°.
∴ ∠ACN＝∠MCB.
∴ △ACN≌△MCB (SAS)．
∴ AN＝BM.
2. 如图，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形.
(2) AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，连接EF，探究△CEF的形状，并证明你的结论．
E
F
(2) △CEF是等边三角形．
证明：由（1）知 ∠ACE＝∠FCB=60°，
∴ ∠ECF=60°.
∵ △ACN≌△MCB，
∴ ∠CAE＝∠CMB.
∵ AC＝MC，
∴ △ACE≌△MCF (ASA)，
∴ CE＝CF.
∴ △CEF是等边三角形．
E
F
3. 如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF.若点D在边BC上，求证：CE+CF=CD.
证明：如图，在CD上取一点H，使得CH=CE，连接EH.
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ECH=60°
∴ △CEH是等边三角形，
∴ EH=EC，∠CEH=60°，
∴ ∠FEC+∠HEF=60°.
∵ △DEF是等边三角形，
∴ DE=FE，∠DEF=60°，
∴ ∠DEH+∠HEF=60°，
∴ ∠DEH+∠HEF=∠FEC+∠HEF，
∴ ∠DEH=∠FEC.
在△DEH和△FEC中，
∴ △DEH≌△FEC(SAS)，
∴ HD=CF，
∴ CD=CH+HD=CE+CE，
∴ CE+CF=CD.
五、直角三角形
1. 性质定理
角：直角三角形的两个锐角互余.
边：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方(勾股
定理)
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对
的直角边等于斜边的一半.
五、直角三角形
2. 判定定理
角：有两个角互余的三角形是直角三角形.
边：如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那
么这个三角形是直角三角形(勾股定理的逆定理).
五、直角三角形
3. 尺规作图
已知斜边和一条直角边作直角三角形.
作法 图形
如图，已知线段a，c(aa c
N
C
M
B
A
1. 作射线CN.
2. 过点C作射线CN的垂线CM.
3. 在射线CM上截取CB=a.
4. 以点B为圆心，以线段c的长为半径作弧，交射线CN于点A.
5. 连接AB.
△ABC就是所要作的直角三角形.
六、互逆命题
互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题；如果把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就称为它的逆命题.
逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
七、全等三角形
1. 判定定理
SSS，SAS，ASA，AAS，HL(其中HL仅适用于判定直角三角形全等)
HL：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
2. 性质定理
全等三角形的对应边相等、对应角相等.
符号语言：
在△ABC和△A′B′C′中， ∠C ∠90°，
所以Rt△ABC ≌ Rt△A′B′C′ (HL).
A
B
C
A ′
B′
C ′
∥
∥
|
|
1. 如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向南偏东40°的方向航行，乙船以12海里/时的速度向另一方向航行，3小时后，甲船到达B岛，乙船到达C岛，若B，C两岛相距60海里，通过计算说明乙船航行的方向.
A
北
东
C
B
E
F
解：如图，由题可得AB=16×3=48 (海里)，
AC=12×3=36 (海里)，BC=60 (海里).
∵ 482+362=602，
∴ AB2+AC2=BC2.
∴ △ABC为直角三角形，且∠BAC=90°.
∵ ∠EAB=40°，
∴ ∠FAC=180°-40°-90°=50°.
∴ 乙船是沿北偏东50°方向航行的.
A
北
东
C
B
E
F
2. 如图，已知AD，BC相交于点O，AB=CD，AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，BN=CM．
(1) 求证：△ABM≌△DCN．
(1) 证明：∵ BN=CM，
∴ BN+MN=CM+MN，即BM=CN，
∵ AM⊥BC，DN⊥BC，
∴ ∠AMB=∠DNC=90°，
在Rt△ABM和Rt△DCN中，
∴ △ABM≌△DCN (HL)；
2. 如图，已知AD，BC相交于点O，AB=CD，AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，BN=CM．
(2) 试猜想OA与OD的大小关系，并说明理由．
(2) 解：OA=OD.理由如下：
∵ △ABM≌△DCN，
∴ AM=DN，
在△AMO和△DNO中
∴ △AMO≌△DNO (AAS)，
∴ OA=OD．
3. 写出下面命题的逆命题，并判断其真假.
如果a，b都是无理数，那么ab也是无理数.
解：逆命题：如果ab是无理数，那么a，b都是无理数.
逆命题是假命题.
例如，当a=2，b=时，ab=2是无理数，此时a，b不都是无理数.
八、线段的垂直平分线
1. 性质定理
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
符号语言：
∵点P在直线MN上， MN是AB的垂直平分线，
∴PA=PB.
八、线段的垂直平分线
2. 判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
符号语言：
∵PA=PB，
∴点P在AB的垂直平分线MN上.
3. 三角形三条边的垂直平分线的性质
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
4. 尺规作图
作法 图形
已知直线l和l外一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P.
A
B
m
l
P
Q


1. 任取一点Q，使点Q与点P在直线l两旁.
2. 以点P为圆心，以PQ的长为半径作弧，
交直线l于点A和点B.
3. 作线段 AB的垂直平分线m.
直线m就是所要作的直线.
1. 如图，在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝30°，分别以点A
和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点
M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为_________.
50°
2. 如图，在△ABC中，BC=2，∠BAC>90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，垂足分别是点M，N，请找出图中相等的线段，并求△AEF的周长.
解：∵ AB的垂直平分线交BC于点E，
∴ EA=EB，BM=AM.
同理可得AF=FC，AN=CN，
∴ △AEF的周长=AE+EF+AF
=BE+EF+CF=BC=2.
3. 已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D，连接CD.
求证：OE是CD的垂直平分线.
证明：∵ OE平分∠AOB， EC⊥OA，ED⊥OB，
∴ ∠EDO=∠ECO=90°，DE=EC,
∴点E在线段CD的垂直平分线上.
又∵ OE=OE，
∴ Rt△OED≌Rt△OEC(HL).
∴ DO=CO，
∴点O在线段CD的垂直平分线上，
∴ OE是CD的垂直平分线.
九、角平分线
1. 性质定理
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
符号语言：
∵ OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ PD＝PE.
O
B
A
C
P
E
D
1
2
九、角平分线
2. 判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
符号语言：
∵QD⊥OA，QE⊥OB， QD＝QE，
∴点Q在∠AOB的平分线上 .
九、角平分线
3. 三角形三个内角的平分线的性质
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
该点称为三角形的内心.
1. 如图，AP，BP分别是△ABC的外角∠MAC和内角∠MBC的平分线，且相交于点P.
求证：CP为∠ACN的平分线.
证明：如图，过点P分别作AB，AC，BC的垂线段PD，PF，PE.
∵ AP是∠MAC的平分线，PD⊥AD，PF⊥AC，
∴ PD=PF.
∵ BP是∠MBC的平分线，PE⊥CE，PD⊥AD，
∴ PE=PD，
∴ PF=PE.
又PF⊥AC，PE⊥CE，
∴ CP为∠ACN的平分线.

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