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问题解决策略：反思
第一章 三角形的证明及其应用
八下数学 BSD
1.经历证明线段相等，以及证明后的反思过程，了解反思策略的意义、常见视角，进一步强化反思意识.
2.通过反思获得解决问题策略的过程,形成多样的解决问题策略,进一步丰富解决问题的经验，发展解决问题后进行反思的能力.
知识点 问题解决策略：反思
问题 证明：等腰三角形两腰上的中线相等.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD和CE分别是边AC，AB上的中线.
求证：BD=CE.
A
B
C
E
D
理解问题
已知条件是什么 目标是什么 将条件标注到图形中，你发现了哪些相等关系
已知条件：AB=AC，BD和CE分别是边AC，
AB上的中线.
目标是求证：BD=CE.
知识点 问题解决策略：反思
A
B
C
E
D
理解问题
已知条件是什么 目标是什么 将条件标注到图形中，你发现了哪些相等关系
由“AB=AC”可知∠ABC=∠ACB，
由BD和CE分别是边AC，AB上的中线，
可知AE=BE，AD=CD.
知识点 问题解决策略：反思
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拟定计划
(1) 证明两条线段相等有哪些常用的方法
证明线段相等可考虑全等三角形、等角对等边、等腰三角形“三线合一”、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、等面积法(有高线)等.
知识点 问题解决策略：反思
(2) 以BD为边的三角形有哪些 以CE为边的三角形呢 其中哪些三角形有可能全等
以BD为边的三角形：△ABD，△BDC.
以CE为边的三角形：△ACE，△BCE.
可能全等的三角形：△ABD和△ACE，
△BDC和△CEB.
知识点 问题解决策略：反思
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B
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(3) 找出两个有可能全等的三角形，要证明这两个三角形全等，已知哪些边或角相等 还需要证明哪些边或角相等
△ABD和△ACE，
已知∠A是公共角，AB=AC，
还需要证明的边或角：AD=AE；
△EBC和△DCB，
已知：BC是公共边，∠ABC=∠ACB，
还需要证明的边或角：BE=CD.
知识点 问题解决策略：反思
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实施计划
按照下述思路写出证明过程，并说明每一步的理由.
(1) 通过△ABD≌△ACE，证明BD=CE.
知识点 问题解决策略：反思
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证明：∵BD，CE是△ABC的中线，
∴AD=AC，AE=AB.
又∵AB=AC，∴AD=AE.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴BD=CE.
知识点 问题解决策略：反思
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(2) 通过△CBD≌△BCE，证明BD=CE.
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB.
∵BD，CE是△ABC的中线，
∴CD=AC，BE=AB.
又∵AB=AC，
∴CD=BE.
知识点 问题解决策略：反思
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在△CBD和△BCE中，
∴△CBD≌△BCE(SAS).
∴BD=CE.
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回顾反思
(1) 比较两种证明方法，你更喜欢哪种方法
喜欢第一种.
理由：逻辑更简单，能直接利用等腰三角形的腰相等、公共角以及中线带来的边相等，通过“SAS”快速证明三角形全等，步骤简洁，易于把握核心逻辑.
知识点 问题解决策略：反思
(2) 根据题目的条件，你还能得到哪些结论
角的关系 ∠ADB=∠AEC，∠BCE=∠CBD
……
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(3) 适当改变题目的条件，你还能得到哪些结论
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E.
求证：BE=CD.
证明：∵ CD⊥AB，BE⊥AC，
∴ ∠AEB=∠ADC=90°.
又∠A=∠A，AB=AC，
∴ △ABE≌△ACD(AAS)，
∴ BE=CD.
知识点 问题解决策略：反思
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(4) 本题证明了等腰三角形两腰上的中线相等.
反过来，如果一个三角形两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形吗 你能证明自己结论的正确性吗
这个三角形是等腰三角形.
知识点 问题解决策略：反思
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已知：在△ABC中，BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线，且BD=CE.
求证：△ABC是等腰三角形(AB=AC).
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D
证明：连接DE，过点D作DF∥EC，交BC延长线于F，
∴∠DFB=∠ECB,
∵BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线，
∴点D,E分别是AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，即DE∥CF,
又DF∥EC，
∴四边形ECFD是平行四边形，
∴EC=DF,
知识点 问题解决策略：反思
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F
知识点 问题解决策略：反思
又BD=EC，
∴BD=DF,
∴∠DBF=∠DFB,
∴∠DBF=∠ECB,
又BD=CE,BC=CB,
∴△BCD≌△CBE(SAS)，
∴∠DCB=∠EBC，
∴AB=AC.
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B
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E
D
F
(5) 你认为还可以研究哪些问题
知识点 问题解决策略：反思
等腰三角形底角的平分线是否相等？
如果一个三角形的两角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形吗？
如果一个三角形的两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形吗？
……
解决问题之后，还可以继续进行思考与尝试：
① 条件不变，尝试寻找更多可能成立的结论；
② 适当改变条件(如将条件改成更一般的条件或类似的条件)探究结论是否仍然成立；
③ 研究是否可以将一些条件和结论互换.
知识点 问题解决策略：反思
1.(1) 证明：全等三角形对应边上的中线相等；
解：已知：如图，△ABC≌△DEF，AM，DN分别是边BC，EF上的中线.
求证：AM=DN.
证明：∵ △ABC≌△DEF，
∴ ∠B=∠E，AB=DE，BC=EF.
∵ AM，DN分别是边BC，EF上的中线，
∴ BM=BC，EN=EF，
∴ BM=EN，
∴ △ABM≌△DEN，
∴ AM=DN.
(2) 参考上述命题提出几个新的命题，并说明它们与原来命题的联系与区别.
解：新命题：全等三角形对应角的平分线相等，对应边上的高相等.
联系：都是利用全等三角形的性质与判定证明对应边上的高或中线、对应角的平分线分别相等.
区别：有的利用“SAS”判定全等三角形，有的用“ASA”判定全等三角形，有的用“AAS”判定全等三角形.
2. (1) 将0~9这10个数字填写到图中10个圆圈内，使得相邻两数差的绝对值的和最大；
要使相邻两个数的差的绝对值最大，如图所示，填法不唯一.
|9-0|+|1-9|+|8-1|+|2-8|+|7-2|+|3-7|+|6-3|+|4-6|+|5-4|+|0-5|
=9+8+7+6+5+4+3+2+1+5
=50.
(2) 参考上述问题提出几个新的问题，并说明它们与原来问题的联系与区别.
新问题：将0~9这10个数字填写到图4中10个圆圈内，使得相邻两数差的绝对值的和最小.
联系：本质都是通过调整数字排列顺序，控制“相邻两数差的绝对值”，实现总和的极值.
(2) 参考上述问题提出几个新的问题，并说明它们与原来问题的联系与区别.
新问题：将0~9这10个数字填写到图4中10个圆圈内，使得相邻两数差的绝对值的和最小.
区别：最大化和的核心是“对立极值相邻”，让大数字避开大数字、小数字避开小数字.
最小化和的核心是“连续数字相邻”，让数字按自然顺序衔接，无额外差值.
反思通常需要在较为重要的数学知识、较难理解的某些结论、蕴含着重要的数学思想方法、典型的题目等学习研究后开展，反思环节大致有三步：
一是前期解决问题环节，解决某一个问题，继而得出结论；
二是核心反思环节，对前面的问题、学习过程等再思考，反思研究的过程、知识间的关联、方法的优化等，从而得到具有个体特征的更有价值的结论；
三是后期升华环节，学生根据反思形成新认识、加深对新知识的理解，从而提炼出内在规律，对后续相关问题的解决、研究提供策略，体会其普适性与迁移性，并逐步形成反思的习惯.

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