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八下数学 BSD
第1课时 三角形内角和定理
全等三角形的判定定理与性质
1.1 三角形内角和定理
第一章 三角形的证明及其应用
1. 探索并证明三角形内角和定理、全等三角形的判定定理(AAS).
2. 掌握三角形内角和定理、全等三角形的判定定理和性质，并能解决简单问题，进一步发展推理能力.
在八年级上册“证明”一章中，我们给出了八条基本事实，并从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论.
运用这些基本事实和已经学习过的定义、定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论.
知识点1 三角形内角和定理
思考
我们知道，三角形三个内角的和等于180°.你还记得这个结论的探索过程吗
测量法
60°+48°+72°=180°
知识点1 三角形内角和定理
思考
我们知道，三角形三个内角的和等于180°.你还记得这个结论的探索过程吗
折叠法
知识点1 三角形内角和定理
思考
我们知道，三角形三个内角的和等于180°.你还记得这个结论的探索过程吗
在七年级，我们曾剪下三角形的一个内角进行转移，
然后借助平行线的判定与性质证明这个结论.
知识点1 三角形内角和定理
思考
(1) 如图，如果只把∠A移动到∠1的位置，那么你能说明这个结论的正确性吗
如图，由操作可知∠A=∠1，可以利用“内错角相等，两直线平行”证明一组平行线，进而利用平行线的性质及平角的定义说明结论是正确的.
知识点1 三角形内角和定理
思考
如果不移动∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果
如果不移动∠A，那么可以思考构造平行线
将等角进行转移.
如图，可以构造CE∥AB，这样同样可以达到
将∠A转移到∠1的位置的效果.
知识点1 三角形内角和定理
思考
(2) 你能说说这个结论的证明思路吗 请试着写出证明过程.
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证明：如图，延长BC至D，过点C作射线CE，使CE∥BA，
则∠1=∠A，∠2=∠B.
∵ 点B，C，D在同一条直线上，
∴ ∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴ ∠A+∠B+∠ACB=180°.
知识点1 三角形内角和定理
这里的CD，CE称为辅助线，辅助线通常画成虚线.
知识点1 三角形内角和定理
三角形内角和定理：
三角形三个内角的和等于180°.
思考
(1) 如图，在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个内角“凑”到点A处，过点A作直线PQ，使PQ∥BC，他的想法可行吗 如果可行，你能写出证明过程吗
知识点1 三角形内角和定理
可行.
∵ PQ∥BC(已知)，
∴ ∠PAB=∠ABC，∠QAC=∠ACB(两直线平行，内错角相等).
又∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°(平角的定义)，
∴ ∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°(等量代换).
知识点1 三角形内角和定理
思考
(2) 对于三角形内角和定理，你还有其他证明方法吗
证明：在BC上任取一点D，过点D分别作MD∥ AC
交AB于点M，ND∥ AB交AC于点N，
∵ MD∥ AC ， ND∥ AB，
∴ ∠1=∠C，∠3=∠B ， ∠2=∠BMD=∠A .
又∠1+∠2+∠3=180°，
∴ ∠C+∠A+∠B=180°.
知识点1 三角形内角和定理
知识点1 三角形内角和定理
为了证明三个角的和为180°,将其转化为一个平角，这种转化思想是数学中的常用方法.
例1 如图，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
知识点1 三角形内角和定理
B
C
A
D
解：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°(三角形内角和定理).
∵ ∠B=38°，∠C=62°，
∴ ∠BAC=180°-38°-62°=80°.
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD=∠CAD = ∠BAC=×80°=40°.
在△ADB中，∠B+∠BAD+∠ADB=180°(三角形内角和定理).
∵ ∠B=38°，∠BAD=40°，
∴ ∠ADB=180°-38°- 40°=102°.
思考
我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗
知识点2 全等三角形的判定定理与性质定理
已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF.
求证：△ABC≌△DEF.
知识点2 全等三角形的判定定理与性质定理
证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，
在△DEF中，∠D+∠E+∠F=180°，
∵ ∠A=∠D，∠B=∠E，
∴ ∠C=∠F.
又∵ BC=EF，∠B=∠E，
∴ △ABC≌△DEF(ASA) .
根据全等三角形的定义，我们可以得到
知识点2 全等三角形的判定定理与性质定理
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.(AAS)
全等三角形的对应边相等、对应角相等.
跟踪训练 已知：如图， AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2，
试说明：AB=AD.
知识点2 全等三角形的判定定理与性质定理
证明：∵ AB⊥BC，AD⊥DC，
∴ ∠B=∠D=90 °.
在△ABC和△ADC中，
∴ △ABC≌△ADC (AAS)，
∴ AB=AD.
1. 已知：如图，在△ABC中，∠A=60°，∠C=70°，点D，E分别在边AB和AC上，且 DE∥BC. 求证：∠ADE=50°.
证明：在△ABC中，
∵ ∠A=60°，∠C=70° (已知)，
∴ ∠B=180°-∠A-∠C=180°-60°-70°=50°
(三角形内角和定理).
又DE∥BC，
∴ ∠ADE=∠B=50°(两直线平行，同位角相等).
2. 如图，在△ABC中，已知∠A=50°，BD与CE是△ABC的高，点O是它们的交点，求∠ABD，∠COD的度数.
解：∵ BD与CE是△ABC的高，
∴ ∠ADB=90°，∠BEC=90°.
∵ ∠A=50°，
∴ ∠ABD=180°-∠A-∠ADB=180°-50°-90°=40°，
∴ ∠BOE=180°-∠BEC-∠ABD=180°-90°-40°=50°，
∴ ∠COD=∠BOE=50°.
3. 如图，在△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高，试证明∠DAC与∠EBC的数量关系．
证明：因为AD，BE分别是边BC，AC上的高，
所以∠ADC＝90°，∠BEC＝90°．
所以∠DAC＋∠C＝90°，
∠EBC＋∠C＝90°．
所以∠DAC＝∠EBC．
4. 已知：点F在AB上，点E在AC上，BE和CF相交于点O，AE=AF，∠B=∠C. 求证： BF=CE.
证明：在△ABE和△ACF中，
∴ △ABE≌ △ACF (AAS)，
∴ AB=AC (全等三角形对应边相等).
∵ AE=AF，
∴ AB-AF=AC-AE (等式性质)，
∴ BF=CE.
A
B
C
F
E
O
5. 如图，已知：AB⊥AC ，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.
(1) 你能在图中找出一对全等三角形吗 并说明全等的理由；
A
E
m
C
B
D
证明：能， △BDA≌△AEC.
∵ BD⊥m，CE⊥m，
∴ ∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴ ∠B＋∠BAD＝90°.
∵ AB⊥AC，
∴ ∠BAD＋∠CAE＝90°，
∠B＝∠CAE.
A
E
m
C
B
D
在△BDA和△AEC中，
∴ △BDA≌△AEC (AAS).
5. 如图，已知：AB⊥AC ，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.
(2) 试探索BD、CE、DE之间的关系.
∵ △BDA≌△AEC，
∴ BD＝AE，AD＝CE，
∵ DE＝AD＋AE
∴ DE＝CE＋BD.
A
E
m
C
B
D
三角形内角和定理
判定：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
借助平行线将三角形的三个内角拼成一个平角
性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等
证明
全等三角形
内容
三角形三个内角的和等于180°

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