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第2课时 三角形的外角及性质
1.1 三角形内角和定理
第一章 三角形的证明及其应用
八下数学 BSD
1. 理解三角形外角的概念.
2. 掌握三角形内角和定理的推论，并会运用它们解决问题.
△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角，叫作△ABC的外角.
外角的一条边是该内角的一边
外角的另一条边是该内角另一边的反向延长线
外角的顶点是该内角的顶点
如图，∠1是△ABC的一个外角.
问题 你能在图中画出△ABC的其他外角吗
每一个三角形都有6个外角.
每一个顶点相对应的外角都有2个，
且这2个角为对顶角.
B
C
A
D
4
2
3
1
知识点 三角形外角的性质
思考
∠1与其他角有什么关系 请证明你的结论.
B
C
A
D
4
2
3
1
∠1 +∠4 =180°，
∠1=∠2+∠3，
∠1>∠2，∠1>∠3.
知识点 三角形的外角及性质
证明如下：
∵∠2+∠3+∠4=180°(三角形内角和定理)，
∴∠2+∠3=180°-∠4(等式的基本性质)，
∵∠1+∠4=180°(平角的定义)，
∴∠1=180°-∠4(等式的基本性质)，
∴ ∠1=∠2+∠3(等量代换)，
∴ ∠1>∠2，∠1>∠3.
B
C
A
D
4
2
3
1
知识点 三角形的外角及性质
由三角形内角和定理，可以得到
推论 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
由此可得
推论 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
例1 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC.
求证：AD∥BC.
分析：只要具备什么条件，就能说明AD∥BC
知识点 三角形的外角及性质
C
B
A
D
E
∠DAC=∠C
或者
∠EAD=∠B
或者
∠DAB+∠B=180°
证明：∵ ∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)，∠B=∠C，
∴ ∠C=∠EAC.
∵ AD平分∠EAC，
∴ ∠DAC=∠EAC.
∴ ∠DAC=∠C.
∴ AD∥BC.
知识点 三角形的外角及性质
C
B
A
D
E
例1 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC.
求证：AD∥BC.
证明：∵ ∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和) ，∠B=∠C(已知) ，
∴ ∠B=∠EAC.
∵ AD平分∠EAC，
∴ ∠EAD=∠EAC，
∴ ∠EAD=∠B，
∴ AD∥BC.
知识点 三角形的外角及性质
C
B
A
D
E
例1 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC.
求证：AD∥BC.
还有其他证法吗
例2 已知：如图，P是△ABC内一点，连接PB，PC.
求证：∠BPC>∠A.
分析：你学过哪些关于角的不等关系的定理
这里能直接使用吗 你遇到的困难是什么
你能通过添加辅助线，构造出直接使用相
关定理的图形吗
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
不能直接使用，∠BPC与∠A不是同一个三角形的内、外角.
知识点 三角形的外角及性质
B
A
C
P
证明：如图，延长BP，交AC于点D.
∵ ∠BPC是△PDC的一个外角(外角的定义)，
∴ ∠BPC>∠PDC(三角形的一个外角大于
任何一个和它不相邻的内角).
∵ ∠PDC是△ABD的一个外角(外角的定义)，
∴ ∠PDC>∠A(三角形的一个外角大于任何
一个和它不相邻的内角).
∴ ∠BPC>∠A.
知识点 三角形的外角及性质
B
A
C
P
D
例2 已知：如图，P是△ABC内一点，连接PB，PC.
求证：∠BPC>∠A.
有.证明：如图，连接AP，并延长AP交BC于点 D，
∵ ∠BPD>∠BAD，∠CPD>∠CAD，
∴ ∠BPD+∠CPD>∠BAD+∠CAD，
即∠BPC>∠BAC.
知识点 三角形的外角及性质
B
A
C
P
D
例2 已知：如图，P是△ABC内一点，连接PB，PC.
求证：∠BPC>∠A.
还有其他证法吗
1. 如图，∠1，∠2是不是△ABC的外角 图中还有哪些角可以看作一个三角形的外角
解：∠1不是△ABC的外角，∠2是△ABC的外角.
图中∠BAC，∠BFE是△AEF的外角，
∠BAE是△ABC的外角.
2. 如图，在△ABC中， ∠A=45°，外角∠DCA=100°，求∠B和∠ACB的度数.
解：∵∠A+∠B=∠DCA=100°，∠A=45°，
∴ ∠B=55°.
∵ ∠DCA+∠ACB=180°，∠DCA=100°，
∴ ∠ACB=80°.
B
C
A
D
3. 若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
C
4. 如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角，那么∠1，∠2，∠3的和是多少度
解：∵ ∠1=∠ABC+∠ACB，
∠2=∠BAC+∠ACB，
∠3=∠ABC+∠BAC，
∴∠1+∠2+∠3=∠ABC+∠ACB+∠BAC+∠ACB+∠ABC+∠BAC
=2(∠ABC+∠ACB+∠BAC)=2×180°=360°.
A
B
C
1
3
2
5. 如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=________.
360°
6. 在△ABC中，若∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶4∶5，E为线段BD上任一点，∠CDB=90°.
(1)求∠ABD的度数.
解：∵∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶4∶5(已知)，
∴可设∠A=3x，∠ABC=4x，∠ACB=5x.
由题意得3x+4x+5x=180°(三角形内角和定理)，
解得x=15°，
∴∠A=45°.
又∠CDB=∠A+∠ABD=90°(三角形的一个外角
等于和它不相邻的两个内角的和)，
∴ ∠ABD=90°-∠A=90°-45°=45°.
(2) 求证：∠BEC>∠A.
证明： ∵ ∠BEC是△CDE的一个外角(外角的定义)，
∴ ∠BEC>∠BDC(三角形的一个外角大于任何
一个和它不相邻的内角).
∵ ∠BDC是△ABD的一个外角(外角的定义)，
∴ ∠BDC>∠A(三角形的一个外角大于任何一
个和它不相邻的内角)，
∴ ∠BEC>∠A.
三角形内角和定理
三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
推论
三角形的外角
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和

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