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1.4 线段的垂直平分线
第一章 三角形的证明
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线的判定定理
三角形三条边的垂直平分线的性质定理
知1－讲
感悟新知
知识点
线段垂直平分线的性质定理
1
1. 性质定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 .
条件： 点在线段的垂直平分线上 .
结论： 这个点到线段两个端点的距离相等 .
感悟新知
2. 几何语言 如图1.4-1，
∵ AD ⊥ BC 于 D， BD=CD，
∴ AB=AC.
知1－讲
感悟新知
知1－讲
特别解读
1. 该性质定理中的“距离”是指该点与这条线段两个端点所连线段的长度。
2. 该性质定理是证明线段相等的常用方法，也是作辅助线的常用依据。
知1－练
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如图1.4-2，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5，△ABD的周长为12，则△ABC的周长为( )
A. 17
B. 22
C. 29
D. 30
例1
考向： 利用线段垂直平分线的性质求线段的长
B
知1－练
感悟新知
解题秘方：利用线段垂直平分线的性质将要求的周长向已知条件转化。
知1－练
感悟新知
解：∵ DE 是AC 的垂直平分线，
∴ AD=CD，AE=CE= AC。
∵△ ABD 的周长=AB+BD+AD=12，AE=5，
∴△ ABC 的周长=AB+BC+AC
=AB+（BD+CD）+2AE
=AB+BD+AD+2AE
=12+2×5
=22。
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知2－讲
知识点
线段垂直平分线的判定定理
2
1. 判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 .
条件：点到线段两个端点距离相等 .
结论：点在线段的垂直平分线上 .
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2. 几何语言 如图1.4-3，
∵ AB=AC，
∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线上 .
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特别解读
用判定定理证明线段的垂直平分线，必须证明两个点在线段的垂直平分线上。
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知2－练
如图1.4-4，在△ABC中，D是边AB上一点，AD=AC，过点D 作DE∥BC交AC于点E，点F是BC上一点，连接DF，CD，AF，且DC 平分∠EDF。求证：AF垂直平分CD。
例2
考向：利用线段垂直平分线的判定定理证明线段的垂直平分线
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解题秘方：紧扣线段的垂直平分线的判定，证明直线AF 上的点A 和点F 到线段CD 的两个端点的距离相等即可。
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解：∵ DE ∥ BC， ∴∠ CDE= ∠ DCF。
∵ DC 平分∠ EDF， ∴∠ CDF= ∠ CDE。
∴∠ CDF= ∠ DCF。∴ DF=CF。
∴点F 在线段CD 的垂直平分线上。
∵ AD=AC，
∴点A 在线段CD 的垂直平分线上。
∴ AF 垂直平分CD。
切忌只证明一个点在线段的垂直平分线上，就说过
该点的直线是线段的垂直平分线。
知2－练
感悟新知
教你一招：判定线段垂直平分线的两种方法：
一是定义法，思路有两种：①作垂直，证平分；②取中点，证垂直。
二是判定定理，证明直线上有两点到线段两个端点的距离相等。
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知3－讲
知识点
用尺规作已知直线(或线段)的垂线
3
作图 已知、求作 作法
作等
腰三
角形 已知：如图，线段a，h.
求作：△ ABC，使AB=AC， BC=a，高 AD=h.
(1)如图，作线段 BC=a.
(2)作线段 BC 的垂直平分线 l，
交BC 于点 D.
(3)在 l 上作线段 DA，使 DA=h.
(4)连接 AB， AC.
△ ABC 为所求作的等腰三角形 .
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知3－讲
作图 已知、求作 作法
过直
线上
一点
作直
线的
垂线 已知：如图，直线
l 和 l 上一点 P.
求作：直线 l 的垂
线，使它过点 P.
如图，(1)任取一点Q，
使点Q 与点P 在
直线l 两旁。
(2)以点P 为圆心，
以PQ 长为半径画弧，交直线l 于点A 和点B。
(3)作线段AB 的垂直平分线m。直线m 就是所要作的直线。
归纳总结
作图题的一般思路：
1. 假设所要作的图形已作出，画出草图；
2. 在草图上标出已知的边、角的对应位置及规定的交点字母；
3. 从草图中找出可作的基本图形，确定作图顺序；
4. 按确定的顺序作出所求作的图形。
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感悟新知
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知3－练
如图1.4-5，已知线段 a.
(1)只用直尺(没有刻度)和圆规，求作一个直角三角形ABC，以 AB 和 BC 为两条直角边，使 AB=a， BC= a(要求保留作图痕迹，不必写出作法)；
例3
考向：利用尺规作垂线的方法进行作图与计算
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解题秘方：紧扣尺规作图作线段垂直平分线及过直线上一点作已知直线的垂线的步骤作出三角形，并按提供的数据求高 .
知3－练
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解：如图1.4-6，△ABC就是所要作的三角形。
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知3－练
(2)在(1)作出的Rt△ ABC中，若AB=4 cm，求 AC 边上的高。
知3－练
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解：∵ BC= AB=2 cm，
∴ AC= =2 cm.
设斜边 AC 上的高为 h ，
∴ × 4× 2= × 2 × h，解得 h= .
∴ AC 边上的高为 cm.
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知4－讲
知识点
三角形三条边的垂直平分线的性质定理
4
性质定理 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等 .
特别解读
因为三角形任意两条边的垂直平分线一定交于一点，所以要证明三角形三条边的垂直平分线的性质，只要证明这个交点在第三条边的垂直平分线上即可。该性质综合了线段垂直平分线的性质定理和判定定理，是这两个定理的升华，同时也给出了判定三线共点的一种特殊方法。
知4－讲
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2. 几何语言
如图1.4-7，∵直线 MN， EF， PQ分别垂直平分 BC， AB， AC，∴直线 MN，EF， PQ 相交于一点 O，且 OA=OB=OC.
感悟新知
知4－讲
3. 拓展
几种三角形三条边的垂直平分线交点的情况如图1.4-8所示。
感悟新知
知4－讲
知4－练
感悟新知
如图1.4-9，在△ABC中，∠A=52°，O为AB，AC的垂直平分线的交点，连接OB，OC，
那么∠OCB= _______。
例4
考向：利用三角形三条边的垂直平分线的性质解决问题
38°
知4－练
感悟新知
解题秘方：根据三角形三条边的垂直平分线交于一点，可知点O 也在BC 的垂直平分线上，再根据垂直平分线的性质和等边对等角求解即可。
知4－练
感悟新知
解：如图1.4-9，连接OA。
∵ O 为AB，AC 的垂直平分线的交点，
∴ OA=OB=OC，
∴∠ OBA= ∠ OAB，
∠ OAC= ∠ OCA，
∠ OBC= ∠ OCB。
知4－练
感悟新知
∴∠ OBA+ ∠ OCA= ∠ OAB+ ∠ OAC= ∠ BAC=52°。
∴∠ OBC+ ∠ OCB
=180°-（∠ OBA+ ∠ OCA+ ∠ BAC）
=180°- 2×52°
=76°。
∴∠ OCB= ×76°=38°
线段的垂直平分线
三角形三条
边的垂直平
分线
线段的垂
直平分线
性质
判定

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