资源简介

(共29张PPT)
1.5 角平分线
第一章 三角形的证明
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
角平分线的性质定理
角平分线的判定定理
三角形三条内角平分线的性质定理
知1－讲
感悟新知
知识点
角平分线的性质定理
1
1. 性质定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
两个必要条件：
(1)点在角平分线上；
(2) 这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度 .
指该点到角两边的垂线段的长度。
感悟新知
2. 几何语言 如图1.5-1，
∵ OP 平分 ∠ AOB， PD ⊥ OA 于点 D，
PE ⊥ OB 于点 E，∴ PD=PE.
知1－讲
感悟新知
知1－讲
特别提醒
1. 该定理简记为“两垂直+一平分→线段相等”。
2. 利用角平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段”，而不是“垂直于角平分线的线段”。
知1－练
感悟新知
如图1.5-2， OD 平分 ∠ EOF， 在 OE， OF 上分别取点 A， B， 使 OA=OB， P 为 OD
上一点， PM ⊥ BD，PN ⊥ AD，
垂足分别为 M， N. 求证： PM=PN.
例1
考向： 利用角平分线的性质解与垂线段相关的题
题型1 利用角平分线的性质证明线段相等
知1－练
感悟新知
解题秘方：在图中找出符合角平分线的性质的模型，利用角平分线的性质证线段相等 。
知1－练
感悟新知
证明：∵ OD平分∠ EOF，∴∠ BOD=∠ AOD.
在△ BOD和△ AOD中，
∴△ BOD ≌△ AOD(SAS).
∴∠ BDO= ∠ ADO，即 DO 平分∠ BDA.
又∵ P 为 DO 上一点，且 PM ⊥ BD， PN ⊥ AD，
∴ PM=PN.
知1－练
感悟新知
如图1.5-3，在△ ABC 中，∠ C=90°，AC=BC， AD 平分∠ CAB，交 BC 于点 D， DE ⊥ AB，垂足为E. 若 AB=8 cm，求△ DEB 的周长 .
例2
题型2 利用角平分线的性质求线段的和差关系
知1－练
感悟新知
解题秘方：运用角平分线的性质及全等三角形的性质，将求△ DEB 的周长转化为求线段 AB 的长 .
知1－练
感悟新知
解：在△ ABC 中，∵∠ C=90°，∴ DC ⊥ AC.
又∵ DE ⊥ AB， AD 平分∠ CAB，∴ DC=DE.
在 Rt △ ACD 和 Rt △ AED 中，
∴ Rt △ ACD ≌ Rt △ AED(HL) .
∴ AC=AE. 又∵ AC=BC，∴ AE=BC.
∴ △ DEB的周长 =DE+DB+EB=DC+DB+EB=BC+EB=
AE+EB=AB=8 .
知1－练
感悟新知
如图1.5-4， BD 是△ ABC 的角平分线， DE ⊥ AB 于 E，S △ ABC=90 cm2， AB=18 cm， BC=12 cm，求 DE 的长 .
例3
题型3 利用角平分线的性质求线段长
知1－练
感悟新知
解：如图1.5-4，过点 D 作 DF ⊥ BC， 垂足为 F，
∵ BD 是 ∠ ABC 的平分线， DE ⊥ AB，
DF ⊥ BC，∴ DE=DF.
又 ∵ S △ ABC=S △ ABD+S △ BDC= × 18× DE+ × 12×DF=90 cm2，∴ DE=6 cm.
解题秘方： 紧扣总面积等于各部分面积的和求解 .
感悟新知
知2－讲
知识点
角平分线的判定定理
2
1. 判定定理
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 。
感悟新知
知2－讲
2. 几何语言 如图1.5-5，
∵ PD ⊥ OA，PE ⊥ OB，垂足分别为 D， E，
∴点 P 在∠ AOB 的平分线 上 .
感悟新知
知2－讲
3. 角平分线的判定定理与性质定理的关系
如图1.5-5， 都与距离有关，
即都具备条件PD ⊥ OA， PE ⊥ OB；
(2)点在角的平分线上 (角的内部的)点到角两边的距离相等 .
知2－讲
感悟新知
特别提醒
1. 使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部.
2. 角平分线的判定是由两个条件(垂线，线段相等)得到一个结论(角平分线).
3. 角平分线的判定定理是证明两角相等的重要依据。
感悟新知
知2－练
如图1.5-6，BE=CF， BF ⊥ AC 于点 F， CE ⊥ AB
于点 E， BF 和 CE 交于点 D.
求证： AD 平分∠ BAC.
例4
考向：利用角平分线的判定定理解决问题
题型1 利用角平分线的判定定理证明角平分线
知2－练
感悟新知
解题秘方：紧扣角平分线的判定定理，把证明角平分线转化为证明线段相等。
知2－练
感悟新知
证明：∵ BF ⊥ AC， CE ⊥ AB，
∴∠ DEB= ∠ DFC=90° .
在△ BDE 和△ CDF 中，
∴△ BDE ≌△ CDF(AAS) .
∴ DE=DF.
又∵ BF ⊥ AC， CE ⊥ AB，∴ AD 平分∠ BAC.
感悟新知
知2－练
如图1.5-7，∠ MAC 和∠ NCA 是△ ABC 的外角，
∠ ABC 的平分线 BD 与∠ MAC 的平分线 AD 交于点 D.
求证： CD 平分∠ ACN.
例5
题型2 角平分线的性质定理与判定定理的综合应用
知2－练
感悟新知
解题秘方：紧扣“到 CA， CN 的距离相等的点在∠ ACN 的平分线上”进行证明 .
证明：如图1.5-7，过点 D 作 DE⊥BM于点 E， DF ⊥ BN 于点 F， DG ⊥ AC 于点 G.
∵ BD 平分∠ ABC，∴ DE=DF.
∵ AD 平分∠ MAC，∴ DE=DG.
∴ DG=DF. ∴ CD 平分∠ CAN.
由此例的结论可知，三角形的一条内角平分线与另外两条外角平分线也相交于一点。
感悟新知
知3－讲
知识点
三角形的角平分线的性质定理
3
1. 性质定理 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等 .
感悟新知
知3－讲
2. 几何语言 如图1.5-8，在△ ABC 中，AD， BM， CN 分别是∠ BAC，∠ ABC，∠ ACB 的平分线，则 AD， BM， CN 交于一点 O，且点 O 到三边 BC， AB， AC 的距离( OE， OG， OF 的长)相等，即 OE=OG=OF.
知3－讲
感悟新知
要点解读
三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等。反之，三角形内部到三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点。
知3－练
感悟新知
如图1.5-9，在△ ABC 中，点 O 是∠ ABC，∠ ACB
的平分线的交点， AB+BC+AC=20. 过 O 作 OD ⊥ BC 于点 D，且 OD=3，求△ ABC 的面积 .
例6
考向：利用三角形的角平分线的性质求三角形的面积
知3－练
感悟新知
解题秘方：紧扣三角形内角平分线的性质，得出点 O 到三角形三边的距离相等是关键 。
知3－练
感悟新知
解：如图1.5-9，过点 O 作 OE ⊥ AB 于
点 E， OF ⊥ AC 于点 F，连接 OA.
∵点 O 是∠ ABC 的平分线与∠ ACB 的平分线的交点，∴ OE=OF=OD=3.
∴ S △ ABC=S △ ABO+S △ BCO+S △ ACO
=AB· OE+ BC· OD+ AC· OF
=× 3×(AB+BC+AC) =× 3× 20=30。
角平分线
三角形三条
内角平分线
角平分线
性质
判定

展开更多......

收起↑