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2.1 不等式及其性质
第二章 不等式与不等式组
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
不等式
列不等式
不等式的基本性质
不等式的解集
知1－讲
感悟新知
知识点
不等式
1
1. 定义 一般地，用符号“<”(或“≤”)，“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式 .
特别提醒 1. 判断一个式子是否为不等式，关键是看所给式子是否含不等号；2. 不等号具有方向性，不等号两边的数(或式子) 不能随意交换。
感悟新知
2. 基本的表达形式 (1) 常见的不等号：
知1－讲
符号 名称 实际意义 读法 举例
< 小于号 小于、不足 小于 3+2<6
> 大于号 大于、高出 大于 3+3>5
≤ 小于或等于号 不大于、不超过、至多 小于或等于 x ≤ 8
≥ 大于或等于号 不小于、不低于、至少 大于或 等于 x ≥ 5
≠ 不等于号 不相等 不等于 4 ≠ 5
感悟新知
(2) 常见的不等式基本语言与符号表示：
① a 是正数表示为 a>0， a 是负数表示为 a<0；
② a 是非负数表示为 a≥ 0， a 是非正数表示为 a≤ 0；
③ a， b 同号表示为 ab>0， a， b 异号表示为 ab<0.
知1－讲
知1－练
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判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不
是等式也不是不等式 .
(1) x+y； (2)3x>7； (3)5=2x+3； (4) x2>0；
(5)2x－3y=1； (6)5÷2； (7)2>3.
例1
考向：利用不等式的定义解决问题
题型1 不等式的定义在识别中的应用
知1－练
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解：(3)(5) 是等式，(2)(4)(7) 是不等式，(1)(6)既不是等式也不是不等式 .
解题秘方：紧扣不等式的定义进行识别，关键是看式子是否含有不等号 .
知1－练
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用不等式表示：
(1) a 的一半与 3 的和大于 5；
(2) x 的 3 倍与 1 的差小于 2；
例2
解题秘方：紧扣不等关系中的关键词语列出不等式 .
解： a+3>5.
3x － 1<2.
题型2 不等关系在列不等式中的应用
知1－练
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(3) a 的 与 1 的差是正数；
(4) m 与 2 的差是负数 .
解： a － 1>0.
m － 2<0.
知2－讲
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知识点
不等式的解与解集
2
1. 不等式的解在 一个含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解。
判断一个数是否为不等式的解的方法：用这个数代替不等式中的未知数，看不等式是否成立，若成立，则该数就是不等式的一个解，若不成立，则该数就不是不等式的解。
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2. 不等式的解集 一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集 .
不等式的解集必须符合两个条件：
(1)解集中的每一个数值都能使不等式成立；
(2)能够使不等式成立的所有数值都在解集中 .
知2－讲
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3. 解不等式 求不等式解集的过程叫做解不等式 .
知2－讲
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知2－讲
特别解读
不等式的解与不等式的解集的区别与联系：
1. 区别：不等式的解集是能使不等式成立的未知数的所有取值，是所有解的集合，而不等式的解是使不等式成立的未知数的值 .
2. 联系：解集包括所有的解，所有的解组成了解集 .
知2－练
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有下列 4 种说法：
① x= 是不等式 4x－5>0 的一个解；
② x= 是不等式 4x－5>0 的一个解；
③ x> 是不等式 4x－5>0 的解集；
例3
考向：利用不等式的解与解集的定义进行辨析
知2－练
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④ x>2 中的任何一个数都可以使不等式 4x－5>0 成立，所以 x>2 是不等式 4x－5>0 的解集。
其中正确的有( )
A. 1 种 B. 2 种 C. 3 种 D. 4 种
知2－练
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解：①将 x= 代入不等式左边，得左边等于 0，不等式不成立，所以 x= 不是这个不等式的解；
②将 x= 3代入不等式左边，得左边等于 7， 7>0，所以x= 3是这个不等式的一个解；
解题秘方：紧扣不等式的解与解集的定义以及它们的区别与联系进行辨析 .
知2－练
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③在x>-1 的范围内，并不是所有x 的值都满足不等式4x-5>0，所以x>-1 不是不等式4x-5>0 的解集；
④尽管x>2 中的任何一个数都可以使不等式4x-5>0 成立，但这个范围并不包含这个不等式所有的解，所以x>2 不是不等式4x-5>0的解集。
答案：A
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知识点
不等式的解集的表示方法
3
在数轴上表示不等式的解集
特别解读: 用数轴表示解集的一般步骤：
1.画数轴；
2.定界点，注意界点是实心圆点，还是空心圆圈；
3.定方向，原则是“小于向左，大于向右”.
▲ ▲ ▲
▲ ▲ ▲
▲ ▲ ▲
知3－讲
感悟新知
不等式的解集表示的是未知数的取值范围，所以不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来。一般地，利用数轴表示不等式的解集通常有以下四种情况(设 a>0)：
不等式的解集 x>a x ≥ a x数轴表示
感悟新知
知3－讲
注意： 在数轴上表示不等式的解集时，大于向右画，小于向左画，有等号画实心圆点(表示包括这一点)，无等号画空心圆圈(表示不包括这一点) 。
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知3－练
在数轴上表示下列不等式的解集： (1) x>－1；
例4
解题秘方：根据在数轴上表示解集的方法，确定界点以及方向 .
考向：在数轴上表示不等式的解集
解：如图2.1-1 所示。
知3－练
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(2) x ≤ 1.
解：如图2.1-2 所示。
知4－讲
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知识点
不等式的基本性质
4
1. 不等式的基本事实
（1）如果a>b，那么b（2）如果a特别解读：不等式的三条基本性质是不等式变形的依据。运用不等式的基本性质时，不等式的两边要同时进行相同的变形。
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2. 不等式的基本性质
知4－讲
性质 文字描述 数学语言
基本性质1 不等式的两边都加（或减）同一个代数式，不等号的方向不变 如果a>b，那么a±c>b±c
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知4－讲
性质 文字描述 数学语言
基本性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 如果a>b，c>0，那么ac>bc（或a÷c>b÷c）
基本性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 如果a>b，c<0，那么ac感悟新知
3. 不等式的基本性质与等式的基本性质的关系
知4－讲
式子 不同点 相同点
不等式 两边都乘 ( 或除以 ) 同一个负数，不等号的方向要改变 (1) 两边都加 ( 或减 ) 同一个整式，不等式和等式仍成立；
(2) 两边都乘 ( 或除以 ) 同一个正数，不等式和等式仍成立
等式 两边都乘 ( 或除以 ) 同一个负数，等式仍然成立
知4－练
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若 x>y， 则下列式子中错误的是( )
A. x－3>y－3 B. >
C. x+3>y+3 D. －3x>－3y
例5
D
考向：利用不等式的基本性质解决问题
题型1 利用不等式的基本性质判断不等式的变形
知4－练
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解题秘方：弄清每个选项变形的方式，紧扣不等式的基本性质进行解答 。
知4－练
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解：分析如下表所示 .
将 x>y 变形 依据 结论
两边同时减 3，得 x－3>y－3 不等式的基本性质 1 A 正确
两边同时除以 3，得 > 不等式的基本性质 2 B 正确
两边同时加 3，得 x+3>y+3 不等式的基本性质 1 C 正确
两边同时乘 －3，得 －3x<－3y 不等式的基本性质 3 D 错误
题型2 利用不等式的基本性质求字母系数的取值范围
知4－练
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若关于 x 的不等式( m－1) x>m－1 变形为 x<1，求 m
的取值范围 .
例2
知4－练
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解：∵关于 x 的不等式(m－1) x>m－1 变形为 x<1，
∴ m－1<0，即 m<1.
解题秘方：根据运用不等式的基本性质得到的结果，识别变形的条件 .
知4－练
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方法点拨：判断不等式两边乘(或除以)同一个数的符号时，只需看不等号的方向是否改变 . 若不变，则这个数为正数；若改变，则这个数为负数 .
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知4－练
根据不等式的基本性质解下列不等式，并将解集表示在数轴上：
(1) x<－ x+2；
例7
题型3 利用不等式的基本性质解不等式
知4－练
感悟新知
解题秘方：先用不等式的基本性质 1，再用不等式的基本性质 2 或基本性质 3，可把题中的不等式化为 x>a(x ≥ a)或 x知4－练
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解：根据不等式的基本性质 1，两边都加 x，得 x+ x<－ x+2+ x，即x<2。
这个不等式的解集在数轴上
的表示如图2.1-3 所示。
知4－练
感悟新知
解：根据不等式的基本性质 1， 两边都减 7x，得
5x － 6 － 7x ≤ 7x － 4 － 7x，即－ 2x － 6 ≤ － 4.
根据不等式的基本性质 1， 两边都加 6，得－ 2x － 6+6 ≤ － 4+6，即－ 2x ≤ 2。
(2)5x－6 ≤ 7x－4.
根据不等式的基本性质 3， 两边都除以－2，
得≥ ，
即x ≥ －1.
这个不等式的解集在数轴上
的表示如图2.1-4 所示。
知4－练
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不等式两边都除以－2时，
切记不等号的方向要改变 .
不等式
及其性质
不等式的
基本性质
不等式的解
不等式的解集
不等式
用数轴
表示解集