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　数列的概念及简单表示
2026年高考数学一轮复习专题课件★★　
按照______________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
回归教材
数列的定义
确定的顺序
(1)根据数列的项数可分为__________、__________．
(2)按照数列的每一项随序号变化的情况可分为：
①递增数列；②递减数列；③摆动数列；④常数列．
数列的分类
有穷数列
无穷数列
如果数列{an}的第n项_______与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
若已知数列{an}的前n项和Sn，
数列的通项公式
an
S1
Sn－Sn－1
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
递推公式
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．数列的通项公式是相应函数的解析式，它的图象是____________．
数列与函数
一群孤立的点
1．判断下面结论是否正确．(对的打“√”，错的打“×”)
(1)1，2，1，2是一个数列．
夯实双基
答案　(1)√　
(2)一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．
答案　(2)×　
(3)一个数列只能有一个通项公式．
答案　(3)×　
(4)任何一个数列，不是递增数列就是递减数列．
答案　(4)×
(5)若数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＝Sn－Sn－1.
答案　(5)×
2．(课本习题改编)在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，…中，x应取(　　)
A．19　　　　　　　　　 B．20
C．21 D．22
解析　设题中数列为{an}，则a1＝1，a2＝1，a3＝2，…，观察可得an＋2＝an＋1＋an，∴x＝8＋13＝21.故选C.
√
√
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2，则{an}的通项公式an＝
______________________．
解析　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2－(n－1)2－2＝2n－1，
又当n＝1时，a1＝S1＝3，不满足上式，
故
5．如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．图中的数1，5，12，22，…称为五边形数，则第8个五边形数是________．
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题型一　 归纳通项公式(自主学习)
根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式an.
(1)－1，7，－13，19，…；
【答案】　(1)an＝(－1)n(6n－5)
【解析】　(1)符号可通过(－1)n或(－1)n＋1调节，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．
(2)3，5，9，17，33，…；
【答案】　(2)an＝2n＋1　
【解析】　(2)观察各项的特点：每一项都比2的n次幂多1，所以an＝2n＋1.
(3)5，55，555，5 555，…；
…，对于分子3，5，7，9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2，5，10，17，…，联想到数列1，4，9，16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，故可得原数列的一个通项公式为an＝ .
状元笔记
　根据数列的前几项求通项公式时应考虑
(1)分式中分子、分母的特征．
(2)相邻项的变化特征．
(3)拆项后的特征：把数列的项分成变化的部分和不变的部分．
(4)各项的符号特征．
思考题1　如图，在n×n的单位正方形网格中，阴影相连的正方形个数依次为1，5，9，13，则下一阴影相连的正方形个数为________，阴影相连的正方形个数构成的数列{an}的一个通项公式为an＝________．
17
4n－3
【解析】　从阴影相连的正方形个数依次为1，5，9，13看出，从第2项起每一项比它的前一项多4，故下一阴影相连的正方形个数为13＋4＝17，且a2＝5＝a1＋4，a3＝9＝a1＋2×4，a4＝13＝a1＋3×4，a5＝17＝a1＋4×4，根据上述规律得an＝a1＋(n－1)×4＝1＋(n－1)×4＝4n－3.
题型二　 由Sn与an的关系求通项公式
(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，则an＝________．
【解析】　当n＝1时，a1＝S1＝3.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－[(n－1)2＋2(n－1)]＝2n＋1.
由于a1＝3也满足上式，∴an＝2n＋1.
2n＋1
(2)已知数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________．
【解析】　当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，∴a1＝－1.
Sn＝2an＋1①，
当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1②.
①－②得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，
即an＝2an－2an－1，即an＝2an－1(n≥2)，
∴{an}是首项为a1＝－1，公比为q＝2的等比数列，∴an＝a1·qn－1＝－2n－1.
－2n－1
(3)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝_____________．
【解析】　当n＝1时，a1＝21＝2.∵a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n①，∴a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2n－1(n≥2)②，由①－②得，(2n－1)·an＝2n
状元笔记
　已知Sn求an的一般步骤
(1)当n＝1时，由a1＝S1，求a1的值．
(2)当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1，求得an的表达式．
(3)检验a1的值是否满足(2)中的表达式，若不满足，则分段表示an.
(4)写出an的完整表达式．
思考题2　(1)在本例(1)中，若Sn＝n2＋2n＋1，则an＝___________．
【解析】　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，
又当n＝1时，a1＝S1＝4，不满足上式，
an＝n
(2)记Sn为数列{an}的前n项和．若a1＝1，an＝ ，则数列{an}的通项公式为________．
(3)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则an＝
__________________．
【解析】　由a1＝－1，an＋1＝Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，易知an＋1≠0，则Sn＋1Sn≠0，
题型三　 由数列的递推关系求通项公式
写出下面各数列{an}的通项公式．
(1)a1＝2，an＋1＝an＋n＋1；
【解析】　(1)由题意得，当n≥2时，an－an－1＝n，
所以an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋2＋3＋…＋n＝
(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2；
【答案】　(3)an＝2×3n－1－1　
【解析】　(3)方法一(累乘法)：由an＋1＝3an＋2，得an＋1＋1＝3(an＋1)，易知an＋1≠0，则
因为a1＝1，所以 ＝3n，
即an＋1＝2×3n－1，
所以an＝2×3n－1－1(n≥2)，
又a1＝1也满足上式，
故数列{an}的通项公式为an＝2×3n－1－1.
方法二(迭代法)：an＋1＝3an＋2，
即an＋1＋1＝3(an＋1)＝32(an－1＋1)＝33(an－2＋1)＝…＝3n(a1＋1)＝2×3n，
所以an＝2×3n－1－1(n≥2)，
又a1＝1也满足上式，
故数列{an}的通项公式为an＝2×3n－1－1.
状元笔记
已知数列的递推关系求通项公式的常用方法
(1)当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解．
(2)当出现 ＝f(n)时，用累乘法求解．
(3)当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列．
2＋ln n(n∈N*)
【解析】　因为an＋1－an＝ln ＝ln(n＋1)－ln n，
所以a2－a1＝ln 2－ln 1，
a3－a2＝ln 3－ln 2，
a4－a3＝ln 4－ln 3，
…，
an－an－1＝ln n－ln(n－1)(n≥2)，
把以上各式相加得an－a1＝ln n－ln 1，
则an＝2＋ln n(n≥2)，又a1＝2也满足此式，因此an＝2＋ln n(n∈N*)．
(2)在数列{an}中，a1＝1，an＝2n－1an－1(n≥2)，则数列{an}的通项公式为an＝________．
(3)已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝( －1)(an＋2)，则数列{an}的通项公式为an＝__________________．
【答案】　an＝n·2n－1
(4)设数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋2n，n∈N*，求数列{an}的通项公式．
题型四　 数列的性质(微专题)
微专题1　数列的周期性
1
状元笔记
解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
1
微专题2　数列的单调性
【答案】　(1)最大项为2，最小项为0
可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*)．
∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.
(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围．
【答案】　(2)(－10，－8)
状元笔记
解决数列的单调性问题的方法
(1)用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列；
(2)用作商比较法，根据 (an>0或an<0)与1的大小关系进行判断；
(3)结合相应函数的图象直观判断．
思考题5　(1)已知数列{an}的通项公式为an＝n2－λn＋1，若{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是____________．
【解析】　由题意得an＋1>an，即(n＋1)2－λ(n＋1)＋1>n2－λn＋1.化简得λ<2n＋1，n∈N*，所以λ<3.
(－∞，3)
(2)已知数列{an}的通项an＝(n＋1)· (n∈N*)，试问该数列{an}有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由．
【答案】　数列{an}有最大项a9，a10，其值为10× ，其项数为9，10
∴当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1故a1a11>a12>…，
本课总结
1．已知数列的前几项，写出数列的通项公式，主要从以下几个方面来考虑：
(1)符号用(－1)n或(－1)n＋1来调节，这是因为第n项和第n＋1项奇偶交错．
(2)分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系．
(3)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决．
(4)此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察规律、类比已知数列、转化成特殊数列(等差、等比)等方法解决．
2．由Sn求an时，注意n＝1和n>1两种情况，最后看二者是否统一．
在数列{an}中，a1＝－1，an＋1＝2an＋4×3n－1，求数列{an}的通项公式．
【答案】　an＝4×3n－1－5×2n－1
【解析】　方法一：原递推式可化为an＋1＋λ·3n＝2(an＋λ·3n－1)①.
比较系数得λ＝－4，①式即是an＋1－4×3n＝2(an－4×3n－1)．
则数列{an－4×3n－1}是首项为a1－4×31－1＝－5，公比为2的等比数列，∴an－4×3n－1＝－5×2n－1，
即an＝4×3n－1－5×2n－1.
∴an＝3n·bn＝4×3n－1－5×2n－1.
【探究】　求形如an＋1＝pan＋qn(其中p，q为常数，且p≠1，pq(p－q)≠0)的数列的通项公式的方法：
构造an＋1＋λ·qn＋1＝p(an＋λ·qn)，即{an＋λ·qn}为等比数列．
已知数列{an}满足an＋1＝2an－n＋1(n∈N*)，a1＝3，求数列{an}的通项公式．
【答案】　an＝2n＋n
【解析】　∵an＋1＝2an－n＋1，
∴an＋1－(n＋1)＝2(an－n)，
易知an－n≠0，
∴ ＝2，
∴数列{an－n}是以a1－1＝2为首项，2为公比的等比数列，
∴an－n＝2×2n－1＝2n，∴an＝2n＋n.
【探究】　求形如an＋1＝pan＋qn＋r(其中p，q为常数，且pq(p－1)≠0)的数列的通项公式的方法：
第一步，尝试将递推公式改写为an＋1＋x(n＋1)＋y＝p(an＋xn＋y)的形式；
第二步，由待定系数法，求出x，y的值；
第三步，写出数列{an＋xn＋y}的通项公式；
第四步，写出数列{an}的通项公式．
已知在数列{an}中，a1＝5，a2＝2，an＝2an－1＋3an－2(n≥3)，求这个数列的通项公式．
【解析】　∵an＝2an－1＋3an－2(n≥3)，
∴an＋an－1＝3(an－1＋an－2)，
又a1＋a2＝7，
∴{an＋an－1}是首项为7，公比为3的等比数列，则an＋an－1＝7×3n－2①，n≥2，
又an－3an－1＝－(an－1－3an－2)(n≥3)，
a2－3a1＝－13，
∴{an－3an－1}是首项为－13，公比为－1的等比数列，
则an－3an－1＝－13×(－1)n－2②，n≥2，①×3＋②得，4an＝7×3n－1＋13×(－1)n－1，
当n＝1时，a1＝5也满足上式．
【探究】　求形如an＋1＝pan＋qan－1(其中p，q为常数，且pq≠0，p2＋4q≥0，n≥2)的数列的通项公式的方法：
第一步，尝试将递推公式改写成an＋1＋san＝t(an＋san－1)的形式；
第二步，利用待定系数法，求出s，t的值；
第三步，求数列{an＋1＋san}的通项公式；
第四步，根据数列{an＋1＋san}的通项公式，求出数列{an}的通项公式．

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