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中小学教育资源及组卷应用平台
重难点专题 常见函数图像与性质
对勾函数
重难点一： 对勾函数图像
形如的函数，其图象类似于两个勾，故称之为对勾函数.
1．（24-25高一下·广东深圳·期末）已知函数，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C． D．
2．（22-23高一上·江西吉安·期末）已知，则使得取得最小值时x的值为（ ）
A．1 B．2 C．±1 D．±2
重难点二 、对勾函数值域
详解式图像定义域渐近线值域奇偶性奇函数单调性在上是增函数，在是减函数在上是增函数，在是减函数
3．（24-250高三·湖南·阶段练习）已知函数，若存在，使得，则正整数的最大值为 .
4．（24-25高三下·浙江·开学考试）已知，若函数有零点，则的取值范围是 .
双刀函数
重难点一、双刀函数图像
形如的函数，其图象类似于两根飘带，故称之为对勾函数.
1.试讨论函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，并画出函数图象.
2.已知函数，则函数的图象大致为( ).
A. B. C. D.
重难点二、双刀函数应用
解析式图像定义域渐近线值域奇偶性奇函数单调性在上是增函数在是减函数
3.（多选）给定函数，．分别用、表示、中的最小者、最大者，记为,．下列说法正确的是（ ）
A．
B．当直线与曲线有三个不同交点时，
C．当时，曲线在点处的切线与曲线有且仅有一个交点
D．函数的值域为
4.已知函数，则该函数的最大值为 。
“反比例”函数
重难点一、“反比例”函数图像
形如函数。可以通过分离常数，利用左加右减，从反比例函数平移过来
1．（24-25高一·河南南阳阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高一上·江苏镇江 阶段练习）已知函数，，则不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
重难点二、反比例函数含参应用
反比例与分式型函数 解分式不等式，一般是移项（一侧为零），通分，化商为积，化为一元二次求解，或者高次不等式，再用穿线法求解 形如：。对称中为P，其中 。
3．（24-25高一下·云南昭通·开学考试）已知函数，若对任意的恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一上·安徽阶段练习）已知函数，当时，，若定义在上的有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
分式型函数
重难点一、分式型上“低”下“高” 性质
形如称为“上低下高”型分式函数。
1.（23-24高一上·江苏盐城·期中，多选）几位同学在研究函数时给出了下列结论，其中正确的是（ ）
A．的图象关于轴对称
B．在上单调递减
C．当时，有最大值
D．的值域为
2．（多选题）（24-25高一上·河南信阳·阶段练习）已知，则下列关于的说法正确的是（ ）
A．是偶函数
B．当时，的单调增区间为，
C．当时的值域
D．当时，的值域为
重难点二、分式型函数应用
两类基础型函数如图
3.（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数，若对，，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.(多选题）（23-24高一上·山东济宁·期中）若函数，定义域为，下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于轴对称 B．，使
C．在和上单调递减 D．的值域为
高斯取整函数
重难点一、取整函数图像
记 表示不超过实数 的最大整数,例如: , ,这一规定最早为数学家高斯所使用,故函数 被称为高斯函数, 又称取整函数.
1．（2021高一上·全国·专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，已知函数，则下列选项中，正确的是（ ）
A．区间，上的值域为，
B．区间，上的值域为，
C．区间，上的值域为，
D．区间，上的值域为
2．（21-22高一上·山西太原·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
重难点二 、取整函数应用
取整函数性质： （1）定义域: ；值域: . （2）不具有单调性、奇偶性、周期性. （3）注意，取整函数图像可以理解为“夹在两条平行线中间”
3．（21-22高一上·陕西咸阳·阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．的最小值是1
C．的值域是 D．是单调函数
4．（21-22高一上·广东梅州·阶段练习）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，已知函数，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
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重难点专题 常见函数图像与性质
对勾函数
重难点一： 对勾函数图像
形如的函数，其图象类似于两个勾，故称之为对勾函数.
1．（24-25高一下·广东深圳·期末）已知函数，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式，即可求出的最小值.
【详解】由题意，，
在中，
，
当且仅当，即时等号成立，
∴的最小值为，
故选：D.
2．（22-23高一上·江西吉安·期末）已知，则使得取得最小值时x的值为（ ）
A．1 B．2 C．±1 D．±2
【答案】C
【分析】把化为，从而利用基本不等式即可.
【详解】解：，
当且仅当，即时取等号．
故选：C.
重难点二 、对勾函数值域
详解式图像定义域渐近线值域奇偶性奇函数单调性在上是增函数，在是减函数在上是增函数，在是减函数
3．（24-250高三·湖南·阶段练习）已知函数，若存在，使得，则正整数的最大值为 .
【答案】4
【分析】根据单调性得到，要使正整数尽可能大，则可以是，得到答案.
【详解】当时，，单调递减，故，
要使正整数尽可能大，则可以是，故的最大值为4.
故答案为：4.
【点睛】本题考查了函数的单调性，值域，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
4．（24-25高三下·浙江·开学考试）已知，若函数有零点，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】令得到方程有实数根，将其看成关于的直线方程，则的最小值为原点到直线的距离的平方，利用点到直线距离公式得到，换元后由基本不等式和对勾函数得到最小值，得到答案.
【详解】令得，，
由题意可知，方程有实数根，
将关于的方程看成关于的直线方程，
则可视为直线上的点到原点的距离的平方，
其最小值即为原点到直线的距离的平方，
所以距离的平方
，
令，则，
因为，所以，当且仅当，即时取等号，
则，由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增，
所以，所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：有实数根，将关于的方程看成关于的直线方程，则可视为直线上的点到原点的距离的平方，其最小值即为原点到直线的距离的平方，利用点到直线距离公式进行求解.
双刀函数
重难点一、双刀函数图像
形如的函数，其图象类似于两根飘带，故称之为对勾函数.
1.试讨论函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，并画出函数图象.
【答案】定义域为，值域为R. 在，上为增函数， 奇函数，图像见解析
【分析】计算函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，画出函数图像得到答案.
【详解】定义域为，值域为R.，且，
则.
，即.
在上为增函数.，，且，则.
，且.
，即.在上为增函数.
设.是奇函数.
的图像如图.
2.已知函数，则函数的图象大致为( B ).
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题可知，函数是一个非奇非偶函数，图象不关于原点对称，故排除选项，；又，所以排除选项.故选.
重难点二、双刀函数应用
解析式图像定义域渐近线值域奇偶性奇函数单调性在上是增函数在是减函数
3.给定函数，．分别用、表示、中的最小者、最大者，记为,．下列说法正确的是（ ）
A．
B．当直线与曲线有三个不同交点时，
C．当时，曲线在点处的切线与曲线有且仅有一个交点
D．函数的值域为
【答案】ACD
【分析】求出函数、的解析式，可判断A选项；数形结合可判断B选项；求出切线方程，将切线方程与函数的解析式联立，求出交点个数，可判断C选项；化简函数的解析式，并求其值域，可判断D选项.
【详解】函数、的定义域均为，且，
所以，，，对于A选项，当时，，则，此时，，当时，，则，此时，，A对；对于B选项，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，B错；对于C选项，当时，，则，因为，则，所以，曲线在点处的切线方程为，即，当时，由，整理可得，可得（舍去），当时，由可得，解得或（舍去），综上所述，当时，曲线在点处的切线与曲线有且仅有一个交点，C对；对于D选项，当时，，当时，.综上所述，函数的值域为，D对.故选：ACD.
4.已知函数，则该函数的最大值为 。
【答案】
【解析】先整理函数，由函数的单调性，可知本题函数的单调性，利用单调性知函数没有最小值，在时，函数取得最大值，判断选项即可.因为，所以，，令，下面证明在单减，单增，任取，且，则
，，，，，即，所以函数在上是减函数，同理可证函数在上是增函数.故知在上是减函数，在上是增函数.所以在上是增函数，在上是减函数，当时，函数取得最大值为。
“反比例”函数
重难点一、“反比例”函数图像
形如函数。可以通过分离常数，利用左加右减，从反比例函数平移过来
1．（24-25高一·河南南阳阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出函数图像，由图像判断函数的单调性，进而解出答案.
【详解】函数图像如图所示，
则不等式等价于
或
∴.
故选：A.
2．（22-23高一上·江苏镇江 阶段练习）已知函数，，则不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 ，从而有在上单调递增，再结合单调性可求解．
【详解】解： ，
在在上单调递增，
，
或，
解可得，或，
即，
故选A．
【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求解不等式，体现了分类讨论思想的应用．
重难点二、反比例函数含参应用
反比例与分式型函数 解分式不等式，一般是移项（一侧为零），通分，化商为积，化为一元二次求解，或者高次不等式，再用穿线法求解 形如：。对称中为P，其中 。
3．（24-25高一下·云南昭通·开学考试）已知函数，若对任意的恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先用基本不等式求最值，再解一元二次不等式即可.
【详解】对任意的，，
因为，令，，
因为，当且仅当，即，即时，等号成立，
所以，
因为恒成立，所以，即，解得：，
故选：D.
4．（23-24高一上·安徽阶段练习）已知函数，当时，，若定义在上的有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据得到图像关于对称，画出在上的图像，画出的图像，该图像恒过，找到和图像有三个交点的临界位置，从而得到方程组，利用得到临界时的值，从而得到的取值范围，得到答案.
【详解】因为函数满足，
所以可得的图像关于点成中心对称，
根据时，
画出在上的图像，
画出的图像，可知该图像是恒过点的一条直线
有三个不同的零点
即和的图像有三个交点，
如图所示位置为临界位置，
其中，
联立
得，
令，即
求得或，
因为，所以，
所以得到，
因此直线的斜率的范围为.
故选：D.
【点睛】本题考查函数图像的应用，函数图像变换，函数与方程，属于中档题.
分式型函数
重难点一、分式型上“低”下“高” 性质
形如称为“上低下高”型分式函数。
1.（23-24高一上·江苏盐城·期中）几位同学在研究函数时给出了下列结论，其中正确的是（ ）
A．的图象关于轴对称
B．在上单调递减
C．当时，有最大值
D．的值域为
【答案】ABC
【分析】A选项，由奇偶性可判断选项正误；B选项，，，即可判断单调性；
C选项，注意到此时，即可判断函数最大值；D选项，注意到此时，结合奇偶性可判断值域.
【详解】A选项，注意到的定义域为，关于原点对称，且，则为偶函数，即的图象关于轴对称，故A正确；
B选项，时，，因函数在上单调递增，则在上单调递减，故B正确；
C选项，此时，当时，单调递增，当时，单调递减，则，即有最大值，故C正确；
D选项，，由奇偶性可知，仅判断时的值域即可.当时，由C选项分析可知，当时，
，则的值域为，故D错误.
故选：ABC
2．（多选题）（24-25高一上·河南信阳·阶段练习）已知，则下列关于的说法正确的是（ ）
A．是偶函数
B．当时，的单调增区间为，
C．当时的值域
D．当时，的值域为
【答案】ACD
【分析】根据函数奇偶性的判定方法判断A的真假；结合函数的奇偶性与对勾函数的单调性判断B的真假；利用基本不等式，结合函数的奇偶性判断C的真假；求函数的值域判断D的真假.
【详解】对A：因为当时，函数定义域为；当时，函数定义域为；当时，函数定义域为，
且，所以当时，必为偶函数.故A正确；
对B：当时，为偶函数，
且当时，（当且仅当即时取“”），
所以在上单调递增，在上单调递减.
又函数是偶函数，所以函数的单调递增区间为：，.故B错误；
对C：当时，为偶函数，
且当时，（当且仅当即时取“”），
所以函数在上的值域为，
又，为偶函数，所以函数在上的值域为，故C正确；
对D：当，为偶函数，
且当时，
设，则在上单调递增，且当时，；当时，；当时，.
所以当时，；
又，为偶函数，所以函数的值域为，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点拨：判断函数的奇偶性，首先应该确定函数的定义域，观察定义域的特点，若函数的定义域关于原点对称，再进一步讨论与的关系，确定函数的奇偶性；若函数的定义域不关于原点对称，则函数时非奇非偶函数.
重难点二、分式型函数应用
两类基础型函数如图
3.（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数，若对，，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对，，使得，由包含关系列不等式求解.
【详解】解：，
令，则，
由对勾函数的性质得：m在上递减，在上递增，
所以，则，
易知在上递增，则，
因为对，，使得，
所以，解得，
故选：A
4.(多选题）（23-24高一上·山东济宁·期中）若函数，定义域为，下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于轴对称 B．，使
C．在和上单调递减 D．的值域为
【答案】AC
【分析】分析函数的奇偶性判断A；令，求出的值和定义域比较判断B；分别在和研究函数单调性判断C；求出函数的值域判断D.
【详解】对于A，，定义域为，关于原点对称，
，所以为偶函数，关于轴对称，故A正确；
对于B， ，则，即，解得，与定义域矛盾，
所以不存在，使，故B错误；
对于C，，
因为当和，单调递增，所以单调递减，即单调递减，故C正确；
对于D，，
因为且，则且，
所以且，即且，
所以的值域为，故D错误，
故选：AC.
高斯取整函数
重难点一、取整函数图像
记 表示不超过实数 的最大整数,例如: , ,这一规定最早为数学家高斯所使用,故函数 被称为高斯函数, 又称取整函数.
1．（2021高一上·全国·专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，已知函数，则下列选项中，正确的是（ ）
A．区间，上的值域为，
B．区间，上的值域为，
C．区间，上的值域为，
D．区间，上的值域为
【答案】A
【分析】根据高斯函数的定义，可得函数的图象，即可的解.
【详解】由高斯函数的定义可得：
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示，
由图象可知，在，的值域也为，.
故选：A
2．（21-22高一上·山西太原·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据二次函数的性质求出的值域，再根据高斯函数的定义求出的值域；
【详解】解：因为，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，又，，所以，因为，所以；故选：B
重难点二 、取整函数应用
取整函数性质： （1）定义域: ；值域: . （2）不具有单调性、奇偶性、周期性. （3）注意，取整函数图像可以理解为“夹在两条平行线中间”
3．（21-22高一上·陕西咸阳·阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．的最小值是1
C．的值域是 D．是单调函数
【答案】C
【分析】对于A，通过计算和的值进行判断即可，对于B，举例判断，对于C，通过计算求解即可，对于D，举例判断
【详解】对于A，因为，，所以，所以不是偶函数，所以A错误，
对于B，因为，所以的最小值不是1，所以B错误，
对于C，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，所以的值域是，所以C正确，
对于D，由C选项可知，当时，，当时，，当时，，当时，，所以不是单调函数，所以D错误，
故选：C
4．（21-22高一上·广东梅州·阶段练习）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，已知函数，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式可求得函数的值域，由此可求得函数的值域.
【详解】当时，，当且仅当时，等号成立；
当时，，当且仅当时，等号成立，
此时；
又因为，所以，函数的值域为，
当时，；当时，；
当时，.
综上所述，函数的值域为.
故选：D.
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