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导数的应用
第 1课时利用导数研究函数的单调性
观察下图
y y
b
a b x a x
图1 图2
发现图 1是单增函数的函数，并且切线的斜率大于零，图 2是个单调递减的函数，并且切线的斜率小于零.
一般地，设函数 y= f(x)，在区间 (a，b)上，
如果 f ′ (x)> 0，则 f(x)在该区间上单调递增；如果 f ′ (x)< 0，则 f(x)在该区间上单调递减．
壹 无参函数的单调性
例题分析
例 求函数 f(x) = 12 x
2- ln x的单调区间：
求单调区间的步骤：
解 函数 f(x) = 1 x22 - ln x的定义域为 (0，+∞)，
1.确定函数 f(x)的定义域．
又 f′ ( ) = (x+1)(x-1) 2.求 f′ (x)．x x .
令 f′ (x)> 0 ,则 x> 1或 x<-1 ,又 x> 0 ,所以 x> 1 3.在定义域内解不等式 f ′ (x) >
0，得单调递增区间．
令 f′ (x)< 0 ,则-1< x< 1 ,又 x> 0 ,所以0< x< 1
故函数 f(x) = 1 4.在定义域内解不等式 f ′ (x) <2 x
2- ln x的单调递增区间为 (1，+∞)； 0，得单调递减区间．
单调递减区间为 (0 , 1)．
变式1 求下列函数的单调区间 ∴函数的单调递增区间为 1e ,+∞ ，单调递减区间为 0,
1
e .
(1) f x = x3- 2x2+ x (3) y= xex
答案：增区间为 -∞, 1 和 (1 ,+∞)，减区间为 1 ,1 答案：单调增区间为 -1,+∞ ，单调减区间为 -∞,-1 .3 3
解析：设 f x = xex，f R x = x+1 e
x，因为 x∈R时，ex> 0恒成
解析：由题可得函数的定义域为 ，
1 立，f x = 3x2- 4x+ 1= 3 x-1 x- 3 ． 则当 1+ x> 0，即 x>-1时，f x > 0，此时函数 f x 单调递增，
令 f x 1 1 > 0，可得 x> 1或 x< ；令 f x < 0，可得 < x< 1． 当 1+ x< 0，即 x<-1时，f x < 0，此时函数 f x 单调递减，3 3
1 则函数的单调增区间为 -1,+∞ ，单调减区间为 -∞,-1 .∴函数 f x = x3- 2x2+ x的单调递增区间为 -∞, 3 和 (1 ,
2 1
+∞)，单调递减区间为 1 ,1 (4) y= 4x +3 ． x
答案：单调递增区间为 12 ,+∞ ，单调递减区间为 (-∞ , 0)和
(2)y= xlnx． 0, 12
答案：(2)单调递增区间为 1 ,+∞ ，单调递减区间为 0, 1e e 解析：y= 4x2+ 1 , x≠ 0，则 y = 8x- 1 = 8x3-1x 2 2 ，
解析：y= xlnx , x> 0，则 y = 1+ lnx， x x
1 由 y
= 0，得 x= 1 ，
由 y = 0，得 x= ， 2e
1 当 x>
1 时，y > 0；当 x< 0或 0< x< 1 时，y < 0，
当 x> e 时，y > 0；当 0< x<
1
e 时，y
< 0， 2 2
∴函数的单调递增区间为 12 ,+∞ ，单调递减区间为 (-∞ , 0)和
1
0, 12 . 变式2 函数 f(x) = (x2+ 2x)ex(x∈R)的单调递
(5)f(x) = x2- lnx 减区间为 (-2- 2，-2+ 2) ．
答案：单调递增区间为 2 ,+∞ ，单调递减区间为 0, 2 ． 解析　由 f ′ (x) = (x
2+ 4x+ 2)ex< 0，即 x2+ 4x+ 2< 0，
2 2 解得-2- 2< x<-2+ 2 .
2
解析：函数 f(x)的定义域为 1 2x -1 0,+∞ ，f (x) = 2x- = ． 所以 f(x) = (x2x x + 2x)e
x的单调递减区间为 (-2- 2，-2+ 2 )．
令 f (x)> 0，得 x> 2 ，令 f 2 (x)< 0，得 0< x<
2
2 ， 变式3 函数 f(x) = ln x- 4x+ 1的单调递增区
∴ f(x)在 22 ,+∞ 上单调递增，在 0,
2
2 上单调递减， 间为 0，14 .
∴函数 f(x)的单调递增区间为 22 ,+∞ ，单调递减区间为 解析　 f(x) = ln x- 4x+ 1的定义域是 {x|x> 0}，f ′ (x) = 1x - 4
0, 2 ． = 1-4x2 x ，当 f ′ (x)> 0时，解得 0< x<
1
4 ，故选A.
贰 含参函数的单调区间的讨论
类型一 导函数为一根
例题分析
例已知函数 f(x) = x3+ ax.讨论 f(x)的单调性；
解 因为 f x = x3+ ax，所以 f x = 3x2+ a.
①当 a≥ 0时，因为 f x = 3x2+ a≥ 0，所以 f x 在R上单调递增；
②当 a< 0时，令 f x > 0，解得 x<- -3a 或 x> -3a .令 f x < 0，解得- -3a 3 3 3 < x<
-3a
3 ，
则 f x 在 -∞,- -3a3 ，
-3a
3 ,+∞ 上单调递增；在 -
-3a , -3a3 3 上单调递减.
变式1 已知函数 f (x) = ex ex-a - a2x，讨论 - 2a，
当 a≤ 0时，f x > 0.
f(x)的单调性. 故 f x 在定义域 0,+∞ 上单调递增，此时无减区间.
【解析】由题意得 f ′ (x) = 2e2x- aex- a2= 2ex+a ex-a .
当 a> 0时，令 f x = 1 - 2a= 0，得 x= 1 > 0；
当 a< 0时，f′ (x)> 0 x> ln - a2 , f′ (x)< 0 x< ln -
a x 2a2 ， 1
a a 当 x∈ 0, 时，f x > 0，故 f x 单调递增；故 f(x)在 -∞, ln - 2 上单调递减，在 ln - 2 ,+∞ 上单调递增；
2a
1
当 a= 0时，f ′ (x)> 0，故 f(x)在R上单调递增； 当 x∈ 2a ,+∞ 时，f x < 0，故 f x 单调递减.
当 a> 0时，f ′ (x)> 0 x> lna , f ′ (x)< 0 x< lna.故 f(x)在 综上所述，当 a≤ 0时，f x 在定义域 0,+∞ 上单调递增，此时无
(-∞ , lna)上单调递减，在 (lna ,+∞)上单调递增. 减区间；
当 a> 0时，f x 在 0, 12a 上单调递增，在
1 ,+∞ 上单调递减.
变式2 已知函数 f x = x2-2x+a ex.讨论函 2a
数 f x 的单调性； 变式4 已知函数，f (x) = alnx+ 1x (a∈ R).讨
【解析】f x 的定义域为R，f x = 2x-2 ex+ x2-2x+a ex=
x2+a-2 ex， 论 f x 的单调性；
当 a≥ 2时，f x ≥ 0，则 f x 在R上是增函数； 【答案】当 a≤ 0时，f(x)在 (0 ,+∞)上单调递减；
当 a< 2时，f x = x2-(2-a) ex= x+ 2-a x- 2-a ex， 当 a> 0时，f(x)在 0, 1 上单调递减，在 1a a ,+∞ 上单调递增；
所以 f x = 0 x=± 2-a； 【解析】因为 f(x) = alnx+ 1 ，所以 f (x) = a - 1 ax-1x x x2 = 2 (x> 0).f x > 0 x<- 2-a或 x> 2-a； x
当 a≤ 0时，f (x)< 0恒成立，f(x)在 (0 ,+∞)上单调递减；
f x < 0 - 2-a< x< 2-a，
所以 f x 在 - 2-a , 2-a 上是减函数，在 -∞,- 2-a 和 当 a> 0时，由 f
(x)< 0，得 0< x< 1 a ；由 f (x)> 0，得 x>
1
a .
2-a ,+∞ 上是增函数. 故 f(x)在 0, 1a 上单调递减，在
1
a ,+∞ 上单调递增.
3 f x = lnx - 2ax + 1 a∈R . 综上，当 a≤ 0时，f(x)在 (0 ,+∞)上单调递减；变式 已知函数
当 a> 0时，f(x)在 0, 1 1
讨论 f x 的单调性； a
上单调递减，在 a ,+∞ 上单调递增.
【解析】函数 f x = lnx- 2ax+ 1，定义域为 0,+∞ ，f x 1 = x
类型 2 导函数为两根
2
例题分析
例已知函数 f x = ax2+ a-2 x- lnx， a∈R .讨论 f x 的单调性；
解 函数 f(x)的定义域为 (0，+∞)
/ 1 2ax
2+ a-2 x-1 2x+1 ax-1
又 f x = 2ax+ a-2 - x = x = x
当 a≤ 0时，在 (0，+∞)上，f′ (x)< 0，f(x)是减函数
当 a> 0时，由 f′ (x) = 0得：x= 1a 或 x=-
1
2 (舍)
所以：在 0，1a 上，f′ (x)< 0，f(x)是减函数，在
1
a ，+∞ 上，f′ (x)> 0，f(x)是增函数
1 递增.变式1 已知函数 f (x) = lnx - 2 ax
2 + x(a ∈
②当 ln(-2a)<- 1 即- e2 2e < a< 0时，f
1
x 在 ln(-2a),- 2
R)，函数 g(x) =-2x+ 3．判断函数F(x) = f(x) + 上单调递减，
1
2 ag(x)的单调性； 在 -∞, ln -2a ， - 12 ,+∞ 上单调递增 .
【解析】由题意得F(x) = f(x) + 1 ag(x) = lnx- 1 ax22 2 + (1- a)x ③当 ln(-2a)>- 12 即 a<-
e
2e 时，f x 在 -
1
2 ,ln(-2a) 上
+ 32 a，x∈ (0 ,+∞)； 单调递减，在 -∞,- 12 ， ln(-2a),+∞ 上单调递增.2
∴F (x) = 1x - ax+ - =
-ax +(1-a)x+1 = (-ax+1)(x+1)1 a x x ．
当 a≤ 0时，F (x)≥ 0，函数F(x)在 (0 ,+∞)上单调递增； = 1 3- (a+1)变式3 已知函数 f x x x2+ ax，
当 a> 0时，令F (x)> 0，有 0< x< 1a ：F(x) 0,
1 3 2在 a 上单调递
讨论函数 f x 的单调性；
增；令F (x)< 0，有 x> 1a ：F(x)在
1
a ,+∞ 上单调递减；
= 1 3- (a+1) 2综上，当 a≤ 0时，函数F(x)在 (0 ,+∞)上单调递增；当 a> 0时， 【解析】因为 f x 3 x 2 x + ax，
函数 y=F(x)在 0, 1 上单调递增，在 1 ,+∞ 上单调递减． 所以 f
(x) = x2- (a+ 1)x+ a= 0.
a a 令 f (x) = 0，解得 x= a或 x= 1.
1 1 2 若 a> 1，当 f x > 0即 x< 1或 x> a时，变式2 已知函 f(x) = x- x2 e + a x+ 2 .讨 故函数 f(x)的单调递增区间为 -∞,1 , a,+∞ ；

论 f x 的单调性； 当 f x < 0即 1< x< a时，故函数 f(x)的单调递减区间为 1,a .
若 a= 1，则 f (x) = x2- 2x+ 1= (x- 1)2≥ 0，
(2)若 f x 有两个零点，求 a的取值范围. 当且仅当 x= 1时取等号，故函数 f(x)在 -∞,+∞ 上是增函数.
【解析】f (x) = x+ 12 ex+2a . 若 a< 1，当 f
(x)> 0即 x< a或 x> 1时，
1 故函数 f(x)的单调递增区间为 -∞,a , 1,+∞ ；当 a≥ 0时，令 f x < 0，得 x∈ -∞,-

2 ， 当 f (x)< 0即 a< x< 1时，故函数 f(x)的单调递减区间为 a,1 .
令 f x > 0，得 x∈ - 12 ,+∞ . 综上，a> 1时，函数 f(x)单调递增区间为 (-∞ , 1) , (a ,+∞)，单调
故 f x 在 -∞,- 1 12 单调递减，在 - 2 ,+∞ 单调递增.
递减区间为 (1 , a)；
a= 1时，函数 f(x)单调递增区间为 (-∞ ,+∞)；
当 a< 0时，令 f x = 0，得 x =- 1 1 2 ，x2= ln(-2a). a< 1时，函数 f(x)单调递增区间为 (-∞ , a) , (1 ,+∞)，单调递减
①当 ln(-2a) =- 1 即 a=- e 时，f x ≥ 0，f x 在R上单调 区间为 (a , 1).2 2e
类型 3 不能因式分解
例题分析
例设函数 f(x) = x- 1x - alnx(a∈R)讨论 f(x)的单调性。
2
解 f x 定义域为 0,+∞ ，f ' x = 1+ 1 - a = x -ax+12 x 2 ，令 g x = x
2- ax+ 1 ,Δ= a2- 4，
x x
①当-2≤ a≤ 2时，Δ≤ 0，f ' x ≥ 0，故 f x 在 0,+∞ 上单调递增，
②当 a<-2时，Δ> 0，g x = 0的两根都小于零，在 0,+∞ 上，f ' x > 0，
故 f x 在 0,+∞ 上单调递增，
2 2
③当 a> 2时，Δ> 0，g x = 0的两根为 x = a- a -4 , x = a+ a -41 2 2 2 ，
当 0< x< x1时，f ' x > 0；当 x1< x< x2时，f ' x < 0；当 x> x2时，f ' x > 0；
3
故 f x 分别在 0,x1 , x2,+∞ 上单调递增，在 x1,x2 上单调递减.
2 综上，当 k≤ 2时，f(x)在 (0 ,+∞)上单调递增；当 k> 2时，f(x)
变式1 已知函数 f (x) = lnx + x2 - kx，其中 k 2在 0, k- k -42 上单调递增，
∈R.讨论函数 f(x)的单调性； k- k2-4 k+ k2-4 k+ k2-4
【解析】函数 f( ) 在 , 上单调递减，在 ,+∞x 的定义域为 (0 ,+∞). 2 2 2
当 k≤ 2时，f (x) = 1x + x- k≥ 2
1
x x- = - ≥
上单调递增.
k 2 k 0恒成
立，故 f(x)在 (0 ,+∞)上单调递增；
变式2 f(x) = 2x
2-1
2 已知函数 - alnx(a∈R)，
② 当 k> 2时，f (x) = 1 + x- k= x -kx+1 ，令 f x x (x) = 0，得
x
x2- kx+ 1= 0. 讨论 f(x)的单调性；
2
∵Δ= k2- 4> 0，∴方程 f (x) = 0有两不等实根 x = k- k -4 【解析】f(x)的定义域为 (0 ,+∞)，f(x) = 2x-
1
x - alnx1 2
2
2
, x = k+ k -4

. f (x) = 2+
1 - a2 x =
2x -ax+1
2 x x2
，
2
2 2
∵ x1+ x2= k> 0，x1x2= 1> 0，∴ x2> x > 0. 对于 2x - ax+ 1= 0，Δ= a - 8，1

令 f (x)> 0，得 0< x< x1或 x> x2；令 f (x)< 0，得 x < x< x . 当 a∈ [-2 2 , 2 2]时，f (x)≥ 0，则 f(x)在 (0 ,+∞)上是增函数.1 2
综上所述，当 k≤ 2时，f(x)在 (0 ,+∞)上单调递增；当 k> 2时， 当 a∈ (-∞ ,-2 2 )时，对于 x> 0，有 f
(x)> 0，则 f(x)在 (0 ,
k- k2-4 +∞)上是增函数.f(x)在 0, 2 上单调递增， 当 a∈ (2 2 ,+∞)时，
在 k- k
2-4 2 2 2 2
2 ,
k+ k -4 k+ k -4
2 上单调递减，在 2 ,+∞ 令 f (x)> 0，得 0< x< a- a -84 或 x> a+ a -84 ，
上单调递增. 2令 f (x)< 0，得 a- a -8 < x< a+ a
2-8 ，
另法 (常规方法)：讨论Δ= k2- 4的符号. 4 4
a- a2= 2- ≤ -8 a+ a
2-8
当Δ k 4 0，即-2≤ k≤ 2时，x2- kx+ 1≥ 0恒成立，则 f 所以 f(x)在 0, 4 ， 4 ,+∞ 上是增函数，
(x)≥ 0，f(x)在 (0 ,+∞)上递增； a- a2-8 a+ a2-8
② 当Δ= k2- 4> 0，即 k<-2或 k> 2时，方程 f (x) = 在 4 , 4 上是减函数.0有两不
等实根 x1 , x2. 综上，当 a∈ (-∞ , 2 2]时，f(x)在 (0 ,+∞)上是增函数；
(i)当 k<-2时，由 x1+ x2= k< 0 , x1x2= 1> 0知 x1< x2< 0，则 2当 a∈ (2 2 ,+∞)时，f(x)在 0, a- a -8 ， a+ a
2-8
4 4 ,+∞ 上是增函
( ) = (x-x1)(x-xf x 2)x > 0恒成立，故 f(x)在 (0 ,+∞)上递增；
数，
2 2
(ii)当 k> 2时，由 x1+ x2= k> 0 , x1x2= 1> 0知 x2> x1> 0， 在 a- a -8 , a+ a -84 4 上是减函数.
令 f (x)> 0，得 0< x< x 或 x> x ；令 f 1 2 (x)< 0，得 x1< x< x2.
故 f(x)在 (0 , x1)、(x2 ,+∞)上递增，在 (x1 , x2)上递减.
叁 已知单调性求参数
例题分析
例已知函数 f(x) = x3- ax- 1为增函数，求实数 a的取值范围．
解 由已知得 f′ (x) = 3x2- a，
因为 f(x)在 (-∞，+∞)上是增函数，
所以 f′ (x) = 3x2- a≥ 0在 (-∞，+∞)上恒成立，
即 a≤ 3x2对 x∈R恒成立，
因为 3x2≥ 0，所以只需 a≤ 0.
又因为 a= 0时，f′ (x) = 3x2≥ 0，
即 f(x) = x3- 1在R上是增函数，所以 a≤ 0.
变式1 函数 f(x) = ax3- x在R上为减函数，则 a>1或a<-2 。
a≤ 20 。 解析　若函数 f(x)有 3个单调区间，则 f ′ (x) = 4x - 4ax- (a-
2)有 2个零点，故Δ= 16a2+ 16(a- 2)> 0，解得 a> 1或 a<-2.
解析　 f ′ (x) = 3ax2- 1≤ 0恒成立，∴ a≤ 0.
4 1 2变式2 若函数 f(x) = 33 x - 2ax
2- (a- 2)x+ 5 变式3 若 f (x) =- 2 x + bln(x + 2)在 (-1，
恰好有三个单调区间，则实数 a的取值范围为 +∞)上单调递减，则 b的取值范围是 (-∞，-1] ．
解析　∵ f(x)在 (-1，+∞)上单调递减，∴ f ′ (x)≤ 0在 (-1，+∞)
4
上恒成立． 数 f(x)在区间 [1，+∞)上为单调递减，求实数 a的
∵ f ′ (x) =-x+ b bx+2 ，∴-x+ x+2 ≤ 0在 (-1，+∞)上恒成立， 取值范围．
即 b≤ x(x+ 2)在 (-1，+∞)上恒成立．
答案： -∞，- 1
设 g(x) = x(x+ 2) = (x+ 1)2- 1， 4
则当 x>-1时，g(x)>-1，∴ b≤-1. 解：因为函数 f(x)在区间 [1，+∞)上单调递减，
所以 f ′ (x) = 2ax+ 1 ≤ 0对任意 x∈ [1，+∞)恒成立，
变式4 若函数 f(x) = (x2+mx)ex x+1的单调递减区
即 a≤- 1( + ) 对任意 x∈ [1，+∞)恒成立．
间是 - 3
2x x 1
2 ，1 ，则实数m的值为 _________ 令 g(x) =- 1 ，x∈ [1，+∞)，
2x(x+1)
_____，函数 f(x)的单调递增区间是______ 易求得在区间 [1，+∞)上 g′ (x)> 0，
__________． 故 g(x)在区间 [1，+∞)上单调递增，
3 3 1 1答案　- 2 　 -∞，- 2 ，(1，+∞)
故 g(x)min= g(1) =- 4 ，故 a≤- 4 .
解析　 f ′ (x) = [x2+ (m+ 2)x+m]ex， 即实数 a的取值范围为 -∞，- 1 4 .
因为 f(x)的单调递减区间是 - 3 2 ，1 ，
变式8 13 已知函数 f (x) = lnx，g(x) = ax 2 +所以 f ′ (x) = 0的两个根分别为 x1=- 2 ，x2= 1， 2
f ′ - 32 =0， 3 2x(a≠ 0)．即 解得m=- .f ′(1)=0， 2 (1)若函数 h(x) = f(x) - g(x)在 [1，4]上单调
由 f ′ (x) = x2+ 12 x-
3 ex= 12 2 (x- 1) (2x+ 3)ex， 递减，求 a的取值范围；
得 f ′ (x)> 0时，x<- 32 或 x> 1. (2)若函数 h(x) = f(x) - g(x)在 [1，4]上存在
变式5 已知函数 f(x) = x2- ax+ 3在 (0 , 1)上 单调递减区间，求 a的取值范围；
为单调递减，函数 g(x) = x2- aln x在 (1 , 2)上为 (3)若函数 h(x) = f(x) - g(x)在 [1，4]上不单
单调递增，则 a等于 调，求 a的取值范围．
解析　 (1)由 h(x)在 [1，4]上单调递减得，当 x∈ [1，4]时，h′ (x)
答案　 2
1
解析　因为函数 f(x) = x2- ax+ 3在 (0 , 1)上单调递减， = x - ax- 2≤ 0恒成立，
1 2 1 2
所以 a ≥ 1，解得 a≥ 2.g′ (x) = 2x- a ， 即 a≥ 2 - x 恒成立．所以 a≥G(x)x max，而G(x) = x -1 - 1，2 x
依题意得，g′ (x)≥ 0在 (1 , 2)上恒成立， 因为 x∈ [1，4]，所以 1x ∈
1
4 ，1 ，
即 2x2≥ a在 (1 , 2)上恒成立，故 a≤ 2.所以 a= 2.
所以G(x) =- 7 7max 16 (此时 x= 4)，所以 a≥- 16 且 a≠ 0，即 a的
变式6 已知函数 f(x) = x3- 12x，若 f(x)在区间 取值范围是 7 - 16 ，0 ∪ (0，+∞)．
(2m，m+ 1)上单调递减，则实数m的取值范围是 (2)h(x)在 [1，4]上存在单调递减区间，则 h′ (x)< 0在 [1，4]上有解，
． 所以当 x∈ [1，4]时，a>
1 2
2 - x 有解，又当 x∈ [1，4]时，
1
2 -
2
x =x x min
答案　 [-1 , 1) -1，
解析　令 f ′ (x)≤ 0，即 3x2- 12≤ 0，解得-2≤ x≤ 2. 所以 a>-1且 a≠ 0，即 a的取值范围是 (-1，0) ∪ (0，+∞)．
∴ f(x)的单调递减区间为 [-2 , 2]， (3)因为 h(x)在 [1，4]上不单调，所以 h′ (x) = 0在 (1，4)上有解，
( 1 2由题意得 2m，m+ 1) [-2 , 2]， 即 a= - 有解，
x2 x
2m≥-2， 令m(x) = 1 - 2 7
∴ m+1≤2， 解得-1≤m< 1. x
2 x ，x∈ (1，4)，则-1 2m变式7 已知函数 f (x) = ax2+ ln(x+ 1)．若函
课后练习
A组
1.函数 f(x) = (x2+ x+ 1)ex的单调递减区间为________________．
答案　 (-2，-1)
解析　 f′ (x) = (2x+ 1)ex+ (x2+ x+ 1)ex= ex(x2+ 3x+ 2) = ex(x+ 1) (x+ 2)，
令 f′ (x)< 0，解得-2< x<-1，所以函数 f(x)的单调递减区间为 (-2，-1)．
2.函数 f(x) = x3- 3x2+ 1的单调递减区间为 。
5
答案　 (0 , 2)
解析　 f′ (x) = 3x2- 6x= 3x(x- 2)，令 f′ (x)< 0，得 0< x< 2，所以 f(x)的单调递减区间为 (0 , 2)．
3.函数 f(x) = ln x- 4x+ 1的单调递增区间为 .
答案　 0，14
解析　 f(x) = ln x- 4x+ 1的定义域是 {x|x> 0}，f ′ (x) = 1x - 4=
1-4x
x ，当 f ′ (x) > 0时，解得 0
< x< 14 .
4. (多选)函数 f(x) = xe-x的单调递增区间可以是 (　　)
A. [-1 , 0] B. [2 , 8] C. [1 , 2] D. [0 , 1]
答案　AD
解析　由 f′ (x) = e-x- x·e-x= (1- x)·e-x> 0，e-x> 0，得 x< 1.
B组
5.若函数 f(x) = 4 x3- 2ax23 - (a- 2)x+ 5恰好有三个单调区间，则实数 a的取值范围为 (　　)
A. - 1≤ a≤ 2 B. - 2≤ a≤ 1 C. a> 2或 a<-1 D. a> 1或 a<-2
答案　D
解析　若函数 f(x)有 3个单调区间，则 f ′ (x) = 4x2- 4ax- (a- 2)有 2个零点，故Δ= 16a2+ 16(a-
2)> 0，解得 a> 1或 a<-2.
6. 1若 f(x) =- 2 x
2+ bln(x+ 2)在 (-1，+∞)上单调递减，则 b的取值范围是________．
答案　 (-∞，-1]
解析　∵ f(x)在 (-1，+∞)上单调递减，∴ f′ (x)≤ 0在 (-1，+∞)上恒成立．∵ f′ (x) =-x+ bx+2 ，
∴-x+ bx+2 ≤ 0在 (-1，+∞)上恒成立，即 b≤ x(x+ 2)在 (-1，+∞)上恒成立．
设 g(x) = x(x+ 2) = (x+ 1)2- 1，则当 x>-1时，g(x)>-1，∴ b≤-1.
7.试求函数 f(x) = kx- ln x的单调区间．
解　函数 f(x) = kx- ln x的定义域为 (0，+∞)，f′ (x) = k- 1 = kx-1x x .
当 k≤ 0时，kx- 1< 0，∴ f′ (x)< 0，则 f(x)在 (0，+∞)上单调递减．
当 k> 0时，由 f′ (x)< 0，即 kx-1 < 0，解得 0< x< 1x ；k
由 f′ (x)> 0，即 kx-1x > 0，解得 x>
1 .∴当 k> 0时，f(x)的单调递减区间为 0，1 ，k k
单调递增区间为 1 ，+∞ .k
综上所述，当 k≤ 0时，f(x)的单调递减区间为 (0，+∞)，无单调递增区间；
当 k> 0时，f(x)的单调递减区间为 0，1 ，单调递增区间为 1 ，+∞k k .
8.已知函数 f(x) = x3- 12x，若 f(x)在区间 (2m，m+ 1)上单调递减，则实数m的取值范围是____．
答案　 [-1 , 1)
解析　令 f′ (x)≤ 0，即 3x2- 12≤ 0，解得-2≤ x≤ 2.∴ f(x)的单调递减区间为 [-2 , 2]，
6
2m≥-2，由题意得 (2m，m+ 1) [-2 , 2]，∴ m+1≤2， 解得-1≤m< 1.2m9.己知函数 f x = ax+ lnx+ 1 a∈R ，讨论 f(x)的单调性。
解：f (x) = ax+1x , x> 0，
①当 a≥ 0时，f (x) = ax+1x > 0恒成立，f(x)在 (0 ,+∞)上单调递增
②当 a< 0时，令 f (x)> 0得 0< x<- 1a ，
∴ f(x)在 0,- 1a 上单调递增，在 -
1
a ,+∞ 上单调递减
综上所述：当 a< 0时，f x 在 0,- 1a 上单调递增，在 -
1
a ,+∞ 上单调递减；
当 a≥ 0时，f(x)在 (0 ,+∞)上单调递增；
10.已知函数 f(x) = ex+ (1- a)x , (a∈R).讨论函数 f(x)的单调性；
解：函数 f x 的定义域为R , f x = ex+ 1- a，
①当 1- a≥ 0，即 a≤ 1时，f x > 0在R上恒成立，所以 f x 在R上单调递增；
②当 1- a< 0，即 a> 1时，由 f x < 0得 x< ln a-1； 由 f x > 0得 x> ln a-1；
所以 f x 在 -∞, ln a-1 上单调递减，在 ln a-1 ,+∞ 上单调递增.
综上，当 a ≤ 1时，f x 在 R上单调递增；当 a > 1时，f x 在 -∞, ln a-1 上单调递减，在
ln a-1 ,+∞ 上单调递增.
11. 1已知函数 f x = lnx+ ax22 + a+1 x，a∈R.讨论函数 f x 的单调性；
解：函数 f x = lnx+ 1 ax22 + a+1 x的定义域为 0,+∞ ，
所以 f x = 1
ax2+
+ + + =
a+1 x+1 ax+1 x+1
x ax a 1 x = x .
当 a≥ 0时，f x > 0，所以 f x 在 0,+∞ 上单调递增；
当 a< 0时，令 f 1 x < 0得 x>- a ，令 f
x > 0得 0< x<- 1a ，
所以 f x 1 在 - a ,+∞ 上单调递减：在 0,-
1
a 上单调递增.
综上，当 a≥ 0时，函数 f x 在 0,+∞ 上单调递增；当 a< 0时，f 1 x 在 - a ,+∞ 上单调递减，在
0,- 1a 上单调递增.
12. 1已知函数 f x = 22 x - alnx- ax a>0 ，讨论 f x 的单调性；
解：f x = x- ax - a=
1
x x
2-ax-a ，令 f x = 0，得 x2- ax- a= 0．
因为 a> 0，则Δ= a2+ 4a> 0，即原方程有两根设为 x1 , x2
x> 0，所以 x = a- a
2+4a 2
1 2 < 0(舍去)，x2=
a+ a +4a
2 ．
则当 x∈ 0, a+ a
2+4a 2
2 时，f x < 0，当 x∈ a+ a +4a2 ,+∞ 时，f x > 0
a+ a2f +4a
2
x 在 0, 2 上是减函数，在 a+ a +4a2 ,+∞ 上是增函数．
2x
13.函数 f(x) = e2m - e
x- 2mx．讨论函数 f(x)的单调性；
7
e2x-mex-2m2 ex x +m e -2m解：函数定义域为 ， ( ) = = R f x m m ．
①若m> 0．令 f (x) = 0．解得 x= ln2m．
当 x> ln2m时． f (x)> 0．所以 f(x)的单调递增区间为 (ln2m ,+∞)；
当 x< ln2m时． f (x)< 0．所以 f(x)的单调递减区间为 (-∞ , ln2m)
②若m< 0．令 f (x) = 0．解得 x= ln(-m)．
当 x> ln(-m)时，f (x)< 0，所以 f(x)的单调递减区间为 (ln(-m) ,+∞)；
当 x< ln(-m)时． f (x)> 0．所以 f(x)的单调递增区间为 (-∞ , ln(-m))．
综上，当m> 0时，f(x)的单调递增区间为 (ln2m ,+∞)，单调递减区间为 (-∞ , ln2m)．
当m< 0时，f(x)的单调递增区间为 (-∞ , ln(-m))，单调递减区间为 (ln(-m) ,+∞)．
14.已知函数 f(x) = 2a(x- 1)ex- x2(其中 a∈R , e为自然对数的底数)．讨论 f(x)的单调性；
解：由 f(x) = 2a(x- 1)ex- x2可得 f (x) = 2x aex-1 ，
当 a≤ 0时，aex- 1< 0，
当 x< 0时，f (x)> 0，当 x> 0时，f (x)< 0，
从而 f(x)的单调递增区间为 (-∞ , 0)，单调递减区间为 (0 ,+∞)；
当 a> 0时，由 f (x) = 0得，x1= 0，x2= ln 1a ，
①若 ln 1 a = 0，即 a= 1时，f (x)≥ 0恒成立，故 f(x)在R上单调递增：
②若 ln 1a < 0，即 a> 1时，由 f
(x)> 0可得，x< ln 1a 或 x> 0．
令 f (x)< 0可得 ln 1a < x< 0，
此时 f(x)的单调递增区间为 -∞, ln 1a 和 (0 ,+∞)，单调递减区间为 ln
1
a ,0；
③若 ln 1a > 0，即 0< a< 1时，由 f
(x)> 0可得，x< 0或 x> ln 1a ，
令 f (x)< 0可得 0< x< ln 1a ，
此时 f(x)的单调递增区间为 (-∞ , 0)和 ln 1a ,+∞ ，单调递减区间为 0,ln
1
a ；
综上所述，当 a≤ 0时，f(x)的单调递增区间为 (-∞ , 0)，单调递减区间为 (0 ,+∞)；
当 a= 1时，f(x)在R上单调递增；
当 a> 1时，f(x)的单调递增区间为 -∞, ln 1a 和 (0 ,+∞)，单调递减区间为 ln
1
a ,0；
当 0< a< 1时，f(x)的单调递增区间为 (-∞ , 0)和 ln 1a ,+∞
1
，单调递减区间为 0,ln a ；
8导数的应用
第 1课时利用导数研究函数的单调性
观察下图
y y
b
a b x a x
图1 图2
发现图 1是单增函数的函数，并且切线的斜率大于零，图 2是个单调递减的函数，并且切线的斜率小于零.
一般地，设函数 y= f(x)，在区间 (a，b)上，
如果 f ′ (x)> 0，则 f(x)在该区间上单调递增；如果 f ′ (x)< 0，则 f(x)在该区间上单调递减．
壹 无参函数的单调性
例题分析
例 求函数 f(x) = 1 x22 - ln x的单调区间： 求单调区间的步骤：
解 函数 f(x) = 1 x22 - ln x的定义域为 (0，+∞)，
1.确定函数 f(x)的定义域．
′ ( ) = (x+1)(x-1) 2.求 f′ (x)．又 f x x .
令 f′ (x)> 0 ,则 x> 1或 x<-1 ,又 x> 0 ,所以 x> 1 3.在定义域内解不等式 f ′ (x) >
0，得单调递增区间．
令 f′ (x)< 0 ,则-1< x< 1 ,又 x> 0 ,所以0< x< 1
( ) = 1 2- 4.在定义域内解不等式 f ′ (x) <故函数 f x 2 x ln x的单调递增区间为 (1，+∞)； 0，得单调递减区间．
单调递减区间为 (0 , 1)．
变式1 求下列函数的单调区间
(1) f x = x3- 2x2+ x
(2)y= xlnx． (5)f(x) = x2- lnx
(3) y= xex 变式2 函数 f(x) = (x2+ 2x)ex(x∈R)的单调递
减区间为 ．
变式3 函数 f(x) = ln x- 4x+ 1的单调递增区
间为 .
(4) y= 4x2+ 1x
1
贰 含参函数的单调区间的讨论
类型一 导函数为一根
例题分析
例已知函数 f(x) = x3+ ax.讨论 f(x)的单调性；
解 因为 f x = x3+ ax，所以 f x = 3x2+ a.
①当 a≥ 0时，因为 f x = 3x2+ a≥ 0，所以 f x 在R上单调递增；
②当 a< 0时，令 f -3a -3a -3a -3a x > 0，解得 x<- 或 x> 3 3 .令 f x < 0，解得- 3 < x< 3 ，
则 f x 在 -∞,- -3a -3a3 ， 3 ,+∞ 上单调递增；在 -
-3a , -3a3 3 上单调递减.
变式1 已知函数 f (x) = ex ex-a - a2x，讨论 变式3 已知函数 f x = lnx - 2ax + 1 a∈R .
f(x)的单调性. 讨论 f x 的单调性；
变式4 已知函数，f (x) = alnx+ 1x (a∈ R).讨
变式2 已知函数 f x = x2-2x+a ex.讨论函
论 f x 的单调性；
数 f x 的单调性；
类型 2 导函数为两根
例题分析
例已知函数 f x = ax2+ a-2 x- lnx， a∈R .讨论 f x 的单调性；
解 函数 f(x)的定义域为 (0，+∞)
/ 1 2ax
2+ a-2 x-1 2x+1= + - - = =
ax-1
又 f x 2ax a 2 x x x
当 a≤ 0时，在 (0，+∞)上，f′ (x)< 0，f(x)是减函数
当 a> 0时，由 f′ (x) = 0得：x= 1a 或 x=-
1
2 (舍)
所以：在 0，1a 上，f′ (x)< 0，f(x)是减函数，在
1
a ，+∞ 上，f′ (x)> 0，f(x)是增函数
2
变式1 f (x) = lnx - 1已知函数 22 ax + x(a ∈
R)，函数 g(x) =-2x+ 3．判断函数F(x) = f(x) +
1 = 1 3- (a+1)变式3 已知函数 f x x x2+ ax，
2 ag(x)的单调性； 3 2
讨论函数 f x 的单调性；
2
变式2 1已知函 f(x) = x- 2 ex+ a x+
1
2 .讨
论 f x 的单调性；
(2)若 f x 有两个零点，求 a的取值范围.
类型 3 不能因式分解
例题分析
例设函数 f(x) = x- 1x - alnx(a∈R)讨论 f(x)的单调性。
2
解 f x 定义域为 0,+∞ ，f ' x = 1+ 1 - a = x -ax+12 x 2 ，令 g x = x
2- ax+ 1 ,Δ= a2- 4，
x x
①当-2≤ a≤ 2时，Δ≤ 0，f ' x ≥ 0，故 f x 在 0,+∞ 上单调递增，
②当 a<-2时，Δ> 0，g x = 0的两根都小于零，在 0,+∞ 上，f ' x > 0，
故 f x 在 0,+∞ 上单调递增，
2 2
③当 a> 2时，Δ> 0，g a- a -4 x = 0的两根为 x1= 2 , x =
a+ a -4
2 2 ，
当 0< x< x1时，f ' x > 0；当 x1< x< x2时，f ' x < 0；当 x> x2时，f ' x > 0；
故 f x 分别在 0,x1 , x2,+∞ 上单调递增，在 x1,x2 上单调递减.
2 2
变式1 已知函数 f (x) = lnx + x2 - kx
2x -1
，其中 k 变式2 已知函数 f(x) = x - alnx(a∈R)，
∈R.讨论函数 f(x)的单调性； 讨论 f(x)的单调性；
3
叁 已知单调性求参数
例题分析
例已知函数 f(x) = x3- ax- 1为增函数，求实数 a的取值范围．
解 由已知得 f′ (x) = 3x2- a，
因为 f(x)在 (-∞，+∞)上是增函数，
所以 f′ (x) = 3x2- a≥ 0在 (-∞，+∞)上恒成立，
即 a≤ 3x2对 x∈R恒成立，
因为 3x2≥ 0，所以只需 a≤ 0.
又因为 a= 0时，f′ (x) = 3x2≥ 0，
即 f(x) = x3- 1在R上是增函数，所以 a≤ 0.
变式1 函数 f(x) = ax3- x在R上为减函数，则
。
变式5 已知函数 f(x) = x2- ax+ 3在 (0 , 1)上
为单调递减，函数 g(x) = x2- aln x在 (1 , 2)上为
单调递增，则 a等于
变式2 若函数 f(x) = 4 3 23 x - 2ax - (a- 2)x+ 5
恰好有三个单调区间，则实数 a的取值范围为
。
变式6 已知函数 f(x) = x3- 12x，若 f(x)在区间
(2m，m+ 1)上单调递减，则实数m的取值范围是
．
变式3 1若 f (x) =- 2 x
2 + bln(x + 2)在 (-1，
+∞)上单调递减，则 b的取值范围是 ．
变式7 已知函数 f (x) = ax2+ ln(x+ 1)．若函
变式4 若函数 f(x) = (x2+mx)ex的单调递减区 数 f(x)在区间 [1，+∞)上为单调递减，求实数 a的
3
间是 - 2 ，1
，则实数m的值为 _________ 取值范围．
_____，函数 f(x)的单调递增区间是______
__________．
4
变式8 已知函数 f (x) = lnx，g(x) = 12 ax
2 +
2x(a≠ 0)．
(1)若函数 h(x) = f(x) - g(x)在 [1，4]上单调
递减，求 a的取值范围；
(2)若函数 h(x) = f(x) - g(x)在 [1，4]上存在
单调递减区间，求 a的取值范围；
(3)若函数 h(x) = f(x) - g(x)在 [1，4]上不单
调，求 a的取值范围．
课后练习
A组
1.函数 f(x) = (x2+ x+ 1)ex的单调递减区间为________________．
2.函数 f(x) = x3- 3x2+ 1的单调递减区间为 。
3.函数 f(x) = ln x- 4x+ 1的单调递增区间为 .
4. (多选)函数 f(x) = xe-x的单调递增区间可以是 (　　)
A. [-1 , 0] B. [2 , 8] C. [1 , 2] D. [0 , 1]
B组
5.若函数 f(x) = 43 x
3- 2ax2- (a- 2)x+ 5恰好有三个单调区间，则实数 a的取值范围为 (　　)
A. - 1≤ a≤ 2 B. - 2≤ a≤ 1 C. a> 2或 a<-1 D. a> 1或 a<-2
6.若 f(x) =- 1 x22 + bln(x+ 2)在 (-1，+∞)上单调递减，则 b的取值范围是________．
7.试求函数 f(x) = kx- ln x的单调区间．
8.已知函数 f(x) = x3- 12x，若 f(x)在区间 (2m，m+ 1)上单调递减，则实数m的取值范围是____．
9.己知函数 f x = ax+ lnx+ 1 a∈R ，讨论 f(x)的单调性。
10.已知函数 f(x) = ex+ (1- a)x , (a∈R).讨论函数 f(x)的单调性；
5
11.已知函数 f x = lnx+ 1 22 ax + a+1 x，a∈R.讨论函数 f x 的单调性；
12.已知函数 f x = 12 x
2- alnx- ax a>0 ，讨论 f x 的单调性；
2x
13.函数 f(x) = e x2m - e - 2mx．讨论函数 f(x)的单调性；
14.已知函数 f(x) = 2a(x- 1)ex- x2(其中 a∈R , e为自然对数的底数)．讨论 f(x)的单调性；
6

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