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四川省眉山市东坡区苏辙中学2025－2026学年
九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）．
1．下列关于x的方程中，一定属于一元二次方程的是（　　）
A．ax2﹣2x+3＝0 B．x2+9＝0
C． D．x2+2y+6＝0
2．从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（　　）
A． B． C． D．
3．点P1（﹣1，y1），，P3（6，y3）均在二次函数y＝mx2﹣2mx+1（m＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2
4．若一次函数y＝ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2+bx的图象只可能是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，l1∥l2∥l3，直线AC、DF与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，AB＝3，BC＝6，DE＝4，BC＝6，DE＝4，则DF的长是（　　）
A．8 B．9 C．11 D．12
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则tanA＝（　　）
A． B． C． D．
7．如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝4，tanC＝3，则边AB的长为（　　）
A．2 B． C． D．
8．据统计，某市国庆期间前三天外来游客按相同的增长率增长，第一天外来游客约3万人，三天后累计达到10万人．若增长率为x，则下列方程正确的是（　　）
A．3（1+x）＝10 B．3（1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
9．如图，DE是△ABC的中位线，∠ACB的平分线交DE于点F，连接AF并延长交BC于G，若AC＝12，DE＝10，则BG的长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
10．如果（a2+b2）2+4a2+4b2＝5，则a2+b2的值为（　　）
A．1 B．2 C．﹣5 D．1或﹣5
11．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是（　　）
A． B．1 C． D．
12．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），则以下结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③若y≥c，则x≤﹣2或x≥0；④b+c＝m．其中正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
13．已知sinA＝，则锐角∠A＝　 　．
14．若α，β是方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为 　 　．
15．菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且AO，BO的长分别是关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2+3＝0的根，则m的值为　 　．
16．如图是数学实践课上一同学设计的测量旗杆高度的示意图，其中AB是旗杆，BC是高1米的旗台，在距旗台前24米的地面D处平放一平面镜，该同学站在平面镜后2米的F处正好从平面镜里看到了旗杆的顶部A，若该同学的眼睛E距离地面1.5米，且AB和EF均垂直地面，则旗杆AB＝ 　 　．
17．已知：如图等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高，CD＝4，P，P是BD上一动点，则的最小值为 　 　．
18．如图，正方形ABCD中，BF＝FG＝CG，BE＝2AE，CE，BE＝2AE，CE交DF、DG于M、N两点，有下列结论：
①DF⊥EC；②；③DM：MF＝2：1；④．
其中，正确的有 　 　．
三、解答题：（本大题共7个小题，共78分）解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
19．（12分）（1）计算：；（2）解方程：x（x﹣6）﹣7＝0．
20．（8分）已知关于x的方程b（x2﹣1）+2ax+c（x2+1）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）若x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状；
（2）若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．
21．（8分）某校初中部举行诗词大会预选赛，学校对参赛同学获奖情况进行统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合图中相关数据解答下列问题：
（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有　 　人；
（2）在扇形统计图中，“三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数为　 　；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）若获得一等奖的同学中有来自七年级，来自九年级，其余的来自八年级，学校决定从获得一等奖的同学中任选两名同学参加全市诗词大会比赛，请通过列表或树状图方法求所选两名同学中，恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率．
22．（10分）春节前，某厂家准备将一件工艺品投放市场，其成本价为60元/件，在试销过程中发现每天的销量y（件）与售价x（元）满足如图所示的函数关系．
（1）写出y与x的函数关系式．
（2）春节期间，该商品将正式上市销售，同时厂家规定每天的销售量不低于150件，请你制定一种销售策略：当售价定为多少时商家获得最大利润，并求出最大利润？
23．（10分）宜宾五粮液集团公司的鹏程广场有五粮液标志性建筑物——五粮液瓶楼，2003年被大世界基尼斯评定为“全球规模最大的实物广告”．小张学习了解直角三角形后，想用所学知识测量五粮液瓶楼的高度．在垂直地面的五粮液瓶楼前阶梯下有一广场，小张在阶梯CD前26米A处（AC＝26米）测得瓶楼顶B的仰角为45°，走上阶梯CD，在D处测得瓶楼顶B的仰角为60°，又知道阶梯CD的坡度i＝1：2，阶梯CD的坡面长度为米，请你帮小张算算．
（1）求阶梯CD的垂直高度；
（2）求瓶楼高度．
24．（10分）如图，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠ABC和∠CDE是直角，B、C、E三点共线，连接AE和BD，相交于点F，AE交CD于点O．求证：
（1）△BCD∽△ACE；
（2）OC2＝OA OF．
25．（10分）如图，点E在正方形ABCD边AD上，点F是线段AB上的动点（不与点A重合），DF交AC于点G，GH⊥AD于点H，AB＝1，DE＝0.25．
（1）求tan∠ACE；
（2）设AF＝x，GH＝y，试探究y与x的函数关系式（写出x的取值范围）；
（3）当∠ADF＝∠ACE时，判断EG与AC的位置关系并说明理由．
26．（10分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；
（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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