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2026届中考数学高频考点复习：二次函数
1．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
2．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
3．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
4．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
5．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
6．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
7．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
8．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
9．二次函数与不等式（组）
二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系
①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．
②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
10．根据实际问题列二次函数关系式
根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．
11．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
12．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
一．选择题（共15小题）
1．抛物线y=x2-2x+3的对称轴为（　　）
A．直线x=-1 B．直线x=-2 C．直线x=1 D．直线x=2
2．将抛物线y=-（x-2）2+3先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的函数关系表达式为（　　）
A．y=-（x-5）2+1 B．y=-（x-5）2+5
C．y=-（x+1）2+1 D．y=-（x+1）2+5
3．一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx在同一坐标系中的图象大致为（　　）
A． B． C． D．
4．二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴的交点个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定
5．二次函数y=（x-3）2+1的最小值是（　　）
A．1 B．-1 C．3 D．-3
6．为方便市民出行，某公司第一个月在市内投放了1500辆电动自行车，计划第三个月投放电动自行车y辆，设该公司第二、三两个月投放电动自行车数量的月平均增长率为x,那么y与x的函数关系是（　　）
A．y=1500（1+x）2 B．y=1500（1+x）
C．y=1500（1-x）2 D．y=1500+x2
7．如图，抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A（-1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2-mx+c＜n的解集为（　　）
A．x＞-1 B．x＜3 C．x＜-3或x＞1 D．-1＜x＜3
8．已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（　　）
A．有最小值0，有最大值2 B．有最小值0，有最大值3
C．有最小值-1，有最大值2 D．有最小值-1，有最大值3
9．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：①abc＞0；②2a+b=0；③3b-2c＜0，④am2+bm＞a+b（m为实数）．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，一次函数y=x+a和二次函数y=x2+bx的图象交于点A（-3，0）和点B，则x+a＞x2+bx的解集是（　　）
A．x＞1 B．x＞1或x＜-3 C．-3＜x＜ D．-3＜x＜1
11．如图，P是抛物线y=-x2+x+3在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
12．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且对称轴为直线x=-1，点A的坐标为（-3，0），则下面的结论中：①abc＞0；②2a+b=0；③4a-2b+c＞0；④当y＜0时，x＜-3或x＞1，其中正确的结论个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
13．在校运动会上，小明同学进行了投实心球比赛，我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线，如图建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是，则该同学此次投掷实心球的成绩是（　　）
A．8m B．9m C．10m D．11m
14．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的正半轴交于点A（m,0），m＜3，与y轴的负半轴交于点B，对称轴为直线x=1．其中判断错误的是（　　）
A．3a+c＞0
B．若点P（4，2n），Q（-1，4n+2）在图象上，则n＜-1
C．3b＜2c
D．若点P（1+2k,2n），Q（1-2k,4n+2）在图象上，则a-c≥2
15．如图，抛物线y=x2-4x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B、E，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD=BE．当AD+BC的值最小时，点C的坐标是（　　）
A．（2，1） B． C． D．
二．填空题（共5小题）
16．把二次函数y=x2+4x-10向上平移k个单位长度（k＞0），如果平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点，那么k应满足条件 ______．
17．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么b ______0，c ______0（填“＞”，“=”，或“＜”）．
18．二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，若关于x的一元二次方程ax2+bx+m-1=0有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为 ______．
19．如图，直线y=kx+t（k≠0）与抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）交于A（1，m），B（4，n），不等式ax2+（b-k）x+c-t＜0的解集是 ______．
20．如图，抛物线y=-x2+x+6交x轴于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，点D是线段AC的中点，点P是线段AB上一个动点，△APD沿DP折叠得△A'PD，则线段A'B的最小值是 ______．
三．解答题（共5小题）
21．如图，抛物线y=-x2+mx与直线y=x+b交于点A和点B，直线AB与y轴交于点C（0，-2）．
（1）求直线和抛物线的解析式；
（2）求点A的坐标，并结合函数图象，求出不等式-x2+mx＞x+b的解集．
22．如图，直角坐标系中，抛物线y=ax2-4ax+10，（a＜0，a为常数）经过点（3，13），分别交y轴正半轴于点C，顶点为点D，P为线段OC上一动点，过点P作x轴的平行线分别交抛物线于点A，B（点A在点B的左边）．
（1）求该抛物线的函数表达式和顶点坐标．
（2）当OP=4CP时，求AB的长．
23．2022年教育部正式印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，《劳动》成为一门独立的课程．某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖园ABCD（靠墙的一边BC不需用篱笆），墙长为16米．
（1）当围成的矩形养殖园面积为108平方米时，求养殖园的边BC的长；
（2）求矩形养殖园ABCD面积的最大值．
24．如图，二次函数y=ax2+bx+4交x轴于点A（-1，0）和B（4，0）交y轴于点C，顶点为D，对称轴与BC交于点E，动直线l垂直于x轴，交线段BC于点F，交抛物线于点P，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当四边形DEFP为平行四边形时，求点P的坐标；
（3）连接CP，CD，在直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
25．如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AC，点P是线段AC上方抛物线上一动点，过点P作PD∥y轴交线段AC于点D，点M为y轴上一动点，点N为抛物线对称轴上一动点，连接PM，MN，NB，当取得最大值时，求PM+MN+NB的最小值；
（3）将抛物线沿CA方向平移，平移后的抛物线经过（-1，2），点T为平移后抛物线上一动点，原抛物线的对称轴交x轴于点K，当∠KCO+∠TAC=45°时，求所有符合条件的点T的坐标，并写出其中一种情况的解答过程．
2026届中考数学高频考点复习：二次函数
(参考答案)
一．选择题（共15小题）
1、C 2、C 3、A 4、B 5、A 6、A 7、D 8、D 9、C 10、D 11、C 12、B 13、C 14、B 15、C
二．填空题（共5小题）
16、0＜k＜14且k≠10； 17、＜；＜； 18、0； 19、1＜x＜4； 20、5-；
三．解答题（共5小题）
21、解：（1）点C（0，-2）代入y=x+b中，b=-2，
∴一次函数解析式为y=x-2，
当y=0时，x-2=0，
解得x=2，
∴B（2，0），
把B（2，0）代入y=-x2+mx中，
得-4+2m=0，
解得m=2，
∴二次函数解析式为y=-x2+2x；
（2）令x2+2x=x-2，
解得x=2或x=-1，
∴A（-1，-3），
∴不等式-x2+mx＞x+b的解集为-1＜x＜2．
22、解：（1）将（3，13）代入y=ax2-4ax+10得：
13=9a-12a+10，
∴a=-1，
∴y=-x2+4x+10，
∴顶点坐标为（2，14）；
（2）令x=0，则y=10，
∴点C（0，10），
∴OC=10，
∵OP=4CP，
∴OP=8，
∵过点P作x轴的平行线分别交抛物线于点A，B，
∴令y=8，则-x2+4x+10=8，
∴x=，
∴A（2-，8），B（2+，8），
∴AB=．
23、解：（1）设养殖园的边BC的长为x m,
由题意得：x =108，
整理得：x2-30x+216=0，
解得：x1=12，x2=18，
∵x≤16，
x2=18，不符合题意，舍去，
答：BC的长为12m.
（2）设矩形养殖园ABCD面积为y m2，
由题意得：y=x ，
=-x2+15x,
当x=-=15时，y有最大值，最大值为112.5 m2，
答：矩形养殖园ABCD面积的最大值为112.5m2．
24、解：（1）将点A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx+4，得：
，解得：，
∴二次函数的表达式为：y=-x2+3x+4；
（2）∵y=-x2+3x+4
=，
∴点D，
当x=0时，y=4，
∴C（0，4），
设直线BC的解析式为：y=kx+b,
把B（4，0）、C（0，4）代入得：
，
解得：，
∴BC所在直线的表达式为：y=-x+4，
将代入y=-x+4得：
，
∴点E，
∴DE=，
设点P为（t,-t2+3t+4），则F为（t,-t+4），
∴PF=-t2+3t+4-（-t+4）
=-t2+4t,
∵DE∥PF，只要DE=PF，四边形DEFP即为平行四边形，
∴-t2+4t=，
解得：t1=（不合题意舍去），t2=，
当t=时，-t2+3t+4=，
∴点P的坐标为；
（3）存在，如图：
由（2）得：PF∥DE，
∴∠CED=∠CFP，
∵∠PCF与∠DCE有共同的顶点C，且∠PCF在∠DCE的内部，
∴∠PCF≠∠DCE，
∴只有∠PCF=∠CDE时，△PCF∽△CDE，
∴，
∵C（0，4）、E，
∴CE=，
由（2）得：DE=，PF=-t2+4t,
F的坐标为：（t,-t+4），
∴CF==，
∴，
解得：t=，
当t=时，-t2+3t+4=，
∴点P的坐标为：．
25、解：（1）由题意得，
，
∴，
∴y=-x2-2x+3；
（2）如图1，
作DE⊥y轴于点E，
设PD+CD=n,
∵C（0，3），A（-3，0），
，∴OA=OC=3，直线AC的解析式为：y=x+3，
∵∠AOC=90°，
∴∠ACO=45°，
∴DE=CD，
∴n=PD+=2（）==PD+2DE，
设P（m,-m2-2m+3），D（m,m+3），
∴n=（-m2-2m+3）-（m+3）+2（-m）=-m2-5m=-（，
∴当m=-时，n最大，
∴-（-=，
∴P（-），
作点P关于y轴的对称点Q（，），连接AQ，交直线x=-1于点N，交y轴于点M，
则（PM+MN+NB）最小==；
（3）如图2，
∵y=-（x+1）2+4，
∴设平移后的抛物线解析式为：y=-（x+1+n）2+4-n,
∴2=-（-1+1+n）2+4-n,
∴n=1，n=-2（舍去），
∴y=-（x+2）2+3=-x2-4x-1，
∵∠OCA=90°，
∴∠KCO+∠ACK=45°，
∵∠KCO+∠TAC=45°，
∴∠TAC=∠ACK，
当AT∥CK时，满足条件，
∵C（0，3），K（-1，0），
∴直线CK的解析式为：y=3x+3，
∴直线AT的解析式为：y=3x+9，
由3x+9=-x2-4x-1得，
x=-2，或x=-5（舍去），
∴y=3×（-2）+9=3，
∴T（-2，3），
作∠CAQ=∠TAC，交y轴于Q，交新抛物线于T′，
∴∠CAQ=∠ACK，
∵∠ACO=∠CAO=45°，
∴∠ACO-∠ACK=∠CAO-∠CAQ，
∴∠OCK=∠OAQ，
∵OA=OC，∠AOQ=∠COK=90°，
∴△AOQ≌△COK（ASA），
∴OQ=OK=1，
∴直线AQ的解析式为：y=，
由得，
x=或x=（舍去），
∴y=，
∴T′（），
综上所述：T（-2，3）或（）．

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