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2026届中考数学高频考点复习：三角形
1．三角形的角平分线、中线和高
（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
2．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
3．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
4．全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
5．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
6．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
7．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　 　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　 　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
8．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
9．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
10．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
11．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
12．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
13．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
14．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
15．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝BC．
一．选择题（共15小题）
1．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a,b,c,由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A．∠A=∠B-∠C B．∠A：∠B：∠C=1：2：3
C．a2=c2-b2 D．a：b：c=4：5：6
2．如图，AB=AD，CB=CD，∠B=30°，∠BAD=46°，则∠ACD的度数是（　　）
A．120° B．125° C．127° D．104°
3．如图，等腰三角形ABC的周长为21，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，△BEC的周长为（　　）
A．13 B．14 C．15 D．16
4．如图，∠B=30°，以Rt△ABC的顶点B为圆心，直角边BC为半径画弧，与斜边AB交于点D，则∠ADC的度数为（　　）
A．95° B．100° C．105° D．110°
5．如图，等腰△ABC中，点P是底边BC上的动点（不与点B，C重合），过点P分别作AB、AC的平行线PM、PN，交AC、AB于点M、N，则下列数量关系一定正确的是（　　）
A．PM+PN=AB B．PM+PN=BC
C．PM+PN=2BC D．PM+PN=AB+BC
6．如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移n个单位后，得到△A′B′C′，连接A′C，若△A′B′C为等边三角形，则n的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
7．如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，若△ABC的面积为12cm2，则△CDE的面积为（　　）
A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2
8．如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连结DF．若，，则正方形ABCD的面积为（　　）
A．16 B．9 C．8 D．12
9．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，以OC为一边作等边△OCD，连接AD．若△AOD是等腰三角形，则∠BOC的值不可能的是（　　）
A．100° B．110° C．125° D．140°
10．如图，在△ABC中，AD为中线，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F．在DA延长线上取一点G，连结GC，使∠G=∠BAD．有以下四个结论：①△BED≌△CFD：②若点A为FG中点，则FG=4DE；③若AF=CF，则AG=BE；④△AGC的面积是△BDE面积的2倍．以上结论中正确的结论有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠AOB=60°．点E、F分别为线段OA、OB上的点，且AE=2EO，BF=2FO，连接DE并延长交AB于点G，连接GF、EF．若∠BDG=α，则∠GFE用含α的代数式表示为（　　）
A．2α B．30°+2α C．60°-α D．60°+α
12．已知△ABC和△ADE是等边三角形，连接BE、BD，并以其为两边作 BDFE，取BE的中点为N，CD中点为M，连接MN，当BD⊥ED时，若，S BDFE=4，则△ADE的面积为（　　）
A． B． C． D．
13．如图，在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，AE与CD交于点F，连接BF，DE，下列结论中：①AF=BC；②△BDF是等腰直角三角形，③∠DEB=45°，④若E为BC中点，则，正确的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
14．如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC=6，，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接EF，则EF的长是（　　）
A．3 B． C． D．
15．已知在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，点D是CA延长线上任意一点，作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
16．如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，，以斜边AB为边，向上作等边三角形ABD，则CD的长为 ______．
17．如图，AB∥CD，PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，若AD=8cm,BC=10cm,则四边形ABCD的面积是 ______cm2．
18．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线PD与BC的垂直平分线PE交于点P，垂足分别为D、E，连接PA、PB、PC，若∠ABC=48°，则∠PAD=______°．
19．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AB＞BC，点D在边BC上，且DC=3BD，点E、F在线段AD上，满足∠BED=∠CFD=∠BAC，若S△ABC=24，则S△ABE+S△CDF= ______．
20．如图，在四边形ABDE中，点C边BD上一点．∠ABC=∠CDE=∠ACE=90°，AC=CE，点F为AE中点．连接BF、DF，分别交AC、CE于G，H两点，下列结论：①AB+DE=BD；②△BFD为等腰直角三角形；③△BFD≌△ACE；④GH∥BD．其中正确的结论有 ______．
三．解答题（共6小题）
21．如图，△ABC是等边三角形，D为边BC的中点，BE⊥AB交AD的延长线于点E，点F在AE上，且AF=BE，连接CF、CE．
求证：（1）∠CAF=∠CBE；
（2）△CEF是等边三角形．
22．如图，在△ABC和△AED中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD，且点E，A，B在同一直线上，点C，D在EB同侧，连结BD，CE交于点M．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠CAD=100°，求∠DME的度数．
23．如图，△ABC中，∠A=90°，平面内有点D（点D和点A在BC的同侧），连接DC，DB，∠D=45°，∠ABD+2∠ABC=180°．
（1）求证：；
（2）若∠ABD=30°，AB=1，求线段AC的长．
24．如图1，在△ABC中，AB=AC，D是BC边中点，E为AB边上点，DE平分∠ADB，F为AC边上点、EF与AD交于点G，EF⊥AC．
（1）证明：DG=CD；
（2）证明：FD平分∠EFC；
（3）如图2．延长EF至M，连接DM，DM与AC交于点N，若∠M=∠BAD，MN=DN，证明：CN=2NF．
25．如图1，在△ABC中，D为BC上一点，且∠ADC=60°，∠ACB和∠CAD的平分线CF、AE交于点M，CF与AD交于点G．
（1）求∠AMC的度数；
（2）连接BM，交AD于点H，若∠BME=60°，如图2．求证：△AHM≌△BCM．
26．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠B=45°，AD∥BC，DE⊥AB，BE=BC．
（1）如图1，连接CE，CD，当BC=4时，求△DEC的面积；
（2）如图2，点G在线段DE上，连接BG，点N在线段AC上，连接BN，当∠NBG=45°时，求线段AE，AN，DG的关系；
（3）点G在射线ED上，连接BG，点N在线段AC上，连接BN，且∠NBG=45°，连接GN，取GN的中点M，连接AM，若S△ABC=16+8，当AM最小时，求出△AMC的面积．
小明在刚看到这个问题的时候不知道怎么思考，在用几何画板作图时，意外发现当点N在AC上移动时，点M也沿着一条直线运动，马上建立直角坐标系进行了验证，发现点M的运动轨迹确实是一条直线，请你根据小明的发现求解，并写出主要过程．
2026届中考数学高频考点复习：三角形
(参考答案)
一．选择题（共15小题）
1、D 2、C 3、A 4、C 5、A 6、A 7、A 8、D 9、A 10、C 11、D 12、B 13、D 14、C 15、A
二．填空题（共5小题）
16、； 17、40； 18、42； 19、18； 20、①②④；
三．解答题（共6小题）
21、证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠CAB=∠CBA=60°，
∵D为BC的中点，
∴∠CAD=∠CAB=30°，
又∵BE⊥AB，
∴∠ABE=90°，
∴∠CBE=90°-∠CBA=30°，
∴∠CAF=∠CBE；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴CA=CB，
在△CAF和△CBE中，
，
∴△CAF≌△CBE（SAS），
∴CE=CF，∠ACF=∠BCE，
∴∠ECF=∠BCE+∠BCF=∠ACF+∠BCF=∠ACB=60°，
∴△CEF是等边三角形．
22、（1）证明：∵∠BAC=∠EAD，
∴∠BAC+∠DAC=∠EAD+∠DAC，即∠DAB=∠EAC，
在△EAC和△DAB中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：∵∠BAC=∠EAD，∠CAD=100°，
∴∠BAC=∠EAD===40°，
∵∠BAC是△EAC的外角，
∴∠BAC=∠AEC+∠ACE=40°，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ECA=∠DBA，
∵∠DME是△BME的外角，
∴∠DME=∠AEC+∠ABD=∠AEC+∠ACE=40°．
23、（1）证明：如图，作CL⊥DB交DB的延长线于点L，
则∠L=∠A=90°，
∵∠D=45°，
∴∠LCD=∠D=45°，
∴CL=DL，
∵∠ABD+∠ABC+∠LBC=180°，∠ABD+2∠ABC=180°，
∴∠ABD+∠ABC+∠LBC=∠ABD+2∠ABC，
∴∠LBC=∠ABC，
在△LBC和△ABC中，
，
∴△LBC≌△ABC（AAS），
∴LB=AB，
∵，
∴．
（2）解：∵∠ABD+2∠ABC=180°，∠ABD=30°，
∴30°+2∠ABC=180°，
∴∠ABC=75°，∠ACB=15°，
在AC上取一点H，连接BH，使BH=CH，
则∠HBC=∠ACB=15°，
∴∠AHB=∠HBC+∠ACB=30°，
∵AB=1，
∴BH=CH=2AB=2，
∴，
∴，
∴线段AC的长是．
24、证明：（1）∵AB=AC，D是BC边中点，
∴DB=CD，AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，
∴∠ADB=∠ADC=90°，90°-∠BAD=90°-∠CAD，
∵EF⊥AC于点F，
∴∠AFE=∠CFE=90°，
∵∠B=90°-∠BAD，∠DGE=∠AGF=90°-∠CAD，
∴∠B=∠DGE，
∵DE平分∠ADB，
∴∠BDE=∠GDE，
在△BDE和△GDE中，
，
∴△BDE≌△GDE（ASA），
∴DB=DG，
∴DG=CD．
（2）如图1，作DP⊥DF交AC的延长线于点P，则∠FDP=∠ADC=∠AFE=90°，
∴∠PDC=∠FDG=90°-∠CDF，∠ACD=∠AGF=90°-∠CAD，
∴∠PCD=180°-∠ACD=180°-∠AGF=∠FGD，
在△PCD和△FGD中，
，
∴△PCD≌△FGD（ASA），
∴PD=FD，
∴∠DFC=∠P=45°，
∴∠DFE=90°-∠DFC=45°，
∴∠DFE=∠DFC，
∴FD平分∠EFC．
（3）如图2，作DH⊥CN于点H，则∠DHN=∠MFN=90°，
在△DHN和△MFN中，
，
∴△DHN≌△MFN（AAS），
∴NH=NF，
∵∠M=∠BAD，∠BAD=∠FAG，
∴∠M=∠FAG，
∵∠MFN=∠AFG，
∴∠DNF=∠M+∠MFN=∠FAG+∠AFG=∠DGF，
在△DNF和△DGF中，
，
∴△DNF≌△DGF（AAS），
∴DN=DG，
∴DN=CD，
∴NH=CH，
∴CN=2NH，
∴CN=2NF．
25、（1）解：∵D为BC上一点，且∠ADC=60°，
∴∠ACD+∠CAD=180°-∠ADC=120°，
∵∠ACB和∠CAD的平分线CF、AE交于点M，
∴∠MCA=∠MCD=∠ACD，∠MAC=∠MAD=∠CAD，
∴∠AMF=∠MCA+∠MAC=（∠ACD+∠CAD）=60°，
∴∠AMC=180°-∠AMF=120°，
∴∠AMC的度数是120°．
（2）证明：由（1）得∠AMF=60°，∠AMC=120°，
∴∠CME=∠AMF=60°，∠FME=∠AMC=120°，
∵∠BME=60°，
∴∠BMC=∠BME+∠CME=120°，∠HMF=∠FME-∠BME=60°，
∴∠AMH=∠AMF+∠HMF=120°，
∴∠AMH=∠BMC，∠AMC=∠BMC，
∵CF平分∠ACB，AE平分∠CAD，
∴∠ACM=∠BCM，∠CAM=∠HAM，
在△ACM和△BCM中，
，
∴△ACM≌△BCM（ASA），
∴AM=BM，∠CAM=∠CBM，
∴∠HAM=∠CBM，
在△AHM和△BCM中，
，
∴△AHM≌△BCM（ASA）．
26、解：（1）过点C作CF⊥AB于点F，连接DF，如图1，
在△ABC中，∵AC⊥BC，∠B=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AD∥BC，DE⊥AB，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∵CF⊥AB，DE⊥AB，
∴DE∥CF，
∴S△DEC=S△DEF，
∵BC=4，BE=BC，
∴BE=4，AB=BC=4，
∵CF⊥AB，BC=AC，
∴BF=AB=2，AE=DE=AB-BE=4-4，
∴EF=BE-BF=4-2，
∴S△DEC=S△DEF=DE×EF=×（4-4）×（4-2）=12-16；
（2）AN-DG=AE，理由如下：
如图2，延长DE交AC于点H，连接BH，BD，
∵∠ABC=∠NBG=45°，
即∠ABN+∠NBC=∠GBE+∠ABN
∴∠GBE=∠NBC，
∵DE⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠GEB=∠NCB=90°，
在△BGE和△BNC中，
，
∴△BGE≌△BNC（ASA），
∴BG=BN，
由（1）知：△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ADE=45°，
∵DA∥BC，∠ACB=90°，
∴∠DAH=90°，
∴△DAH是等腰直角三角形，
∴AD=AH，
∴AB垂直平分DH，
∴BD=BH，
在Rt△BDE和Rt△BHC中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△BHC（HL），
∴DE=HC，
∴DE-GE=HC-NC，
即DG=HN，
∵∠EAH=45°，∠AEH=90°，
∴△AEH是等腰直角三角形，
∴AH=AE，
∴AN-NH=AN-DG=AE，
即AN-DG=AE；
（3）如图3，取BN的中点P，连接PM，PC，BM，CM，
由（2）知：BG=BN，
∵点M是GN的中点，∠NBG=45°，
∴BM⊥GN，∠GBM=∠NBM=22.5°，
设∠GBM=∠NBM=22.5°=α，∠PBC=β，
∵BP=PM，
∴∠PMB=α，∠PMN=∠PNM=90°-α，
∴PM=PN，
同理可得BP=PN=PC，
∴PB=PC=PM=PN，∠PCB=∠PBC=β，
∴∠MPN=2α，∠CPN=2β，
∵PM=PC，
∴∠PCM=（180°-2α-2β）=90°-α-β，
∴∠BCM=∠BCP+∠PCM=β+90°-α-β=90°-α，
∴∠NCM=α=22.5°，
即点M在射线CM上运动．
∴当AM⊥CM时，AM取得最小值；
如图4，过点B作BQ⊥EC于点Q，过点E作ET⊥AC于点T，
则∠CBQ=∠ABC=22.5°，
∵∠ACM=∠CBQ=22.5°，∠AMC=∠BQC=90°，AC=BC，
∴△AMC≌△CQB（AAS），
∴S△AMC=S△CQB，
∵BE=BC，BQ⊥CE，
∴CQ=EC，
∴S△AMC=S△CQB=S△BCE，
设AC=BC=m,则AB=m,
∴AE=AB-BE=AB-BC=（-1）m,
∴AT=ET=AE=（1-）m,
∵S△ABC=16+8，
∴AC×BC=16+8=m2，
∴m2=32+16，
∴S△AEC=AC×ET=×（1-）m2=×（1-）×（32+16）=8，
∴S△AMC=S△BCQ=S△BCE=（S△ABC-S△AEC）=×（16+8-8）=4+4．

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