资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题5.7 一次函数与几何图形综合压轴（选填类）
1. 熟练掌握一次函数与图形交点、整数点、动态参数等问题；
2. 熟练掌握一次函数与特殊图形、、角度、面积等问题；
3. 熟练掌握一次函数与数形结合、新定义等问题。
模块1：核心考点 2
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1.一次函数与线段交点（公共点）综合压轴 2
考点2.一次函数与整数点综合压轴 4
考点3.一次函数与动态含参综合压轴 6
考点4.一次函数与面积等分综合压轴 8
考点5.一次函数与特殊角度综合压轴 10
考点6.一次函数与特殊线段综合压轴 12
考点7.一次函数与特殊三角形结合综合压轴 15
考点8.一次函数与数形结合（几何问题代数化）综合压轴 17
考点9.一次函数与新定义综合压轴 20
考点10.一次函数与其他综合压轴 22
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块2：培优训练 24
考点1.一次函数与线段交点（公共点）综合压轴
例1．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知函数与轴交于，与交于B，C两点．（1）点的坐标是 ；（2）若一次函数与有交点，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：（1）当时，，当时，，
联立，解得，则，
联立，解得，则，故答案为：；
（2）在中，当时，，∴，
∵，∴直线经过定点，
如图所示，当直线恰好经过点A时，则，解得，
当直线恰好经过点B时，则，解得，
∴当时，一次函数与有交点，故答案为：．
变式1．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图所示，以长方形的边的中点为原点建立平面直角坐标系，且位于轴上，，，点在轴上，点是轴上的一个动点，直线经过点和点．
(1)若经过点，则_____．(2)若与长方形的边有两个公共点，则的取值范围为_____．
【答案】(1)(2)或
【详解】（1）解：在长方形中，，，∴，
将代入得，解得，故答案为：．
（2）在长方形中，，，∴，
将代入得，解得，
将代入得，解得，
则的取值范围为：或，故答案为：或．
变式2．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）一次函数（a为常数）．
①一次函数的图象一定经过点A，点A的坐标为 ；
②已知，，若一次函数的图象与线段有交点，则a的取值范围为 ．
【答案】 且
【详解】解：①，
当时，，故一次函数的图象一定经过点．故答案为：．
②∵是一次函数，∴，
当点在一次函数图象上时，，解得：，
当点在一次函数图象上时，，解得：，
∵一次函数的图象与线段有交点，∴且．
故答案为：且．
考点2.一次函数与整数点综合压轴
例1．（25-26八年级上·安徽·期中）平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，直线与坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中只有四个整点，则的取值范围是 ．
【答案】且
【详解】解：，直线经过点，如图，
当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则，解得；
当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则，解得；
当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，则，解得；
直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，
因此，当 且 时，区域中只有四个整点．故答案为 且 ．
变式1．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图，点，，在平面直角坐标系中，将直线向上平移n个单位长度，当平移后的直线与折线只有一个交点时，满足条件的整数n有 个．
【答案】3
【详解】解：将直线向上平移n个单位长度，得到直线，
把代入得，，解得，把代入得，，解得，
由图象可知，当平移后的直线与折线只有一个交点时，
则或，∴满足条件的整数n有2，3，5共3个．故答案为：3．
变式2．（24-25八年级下·河北邢台·期末）我们知道横、纵坐标都为整数的点叫做整点．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．从点处发出光线照射到线段上，光线将段分成了两部分．若这两部分上的整点个数相同，则k的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：设的解析式为，由点A，B的坐标分别为，
得，解得，故解析式为，且，
故整点有，，，，，，，，共有8个，
由这两部分上的整点个数相同，故一边各有4个整点，其中点，是临界点，
当直线经过点时，得，解得，
符合题意的直线在此时直线的右侧，故；
当直线经过点时，得，解得，
此时符合题意的直线在此时直线的左侧，故；
综上所述，符合题意的k的取值范围是．故答案为：。
考点3.一次函数与动态含参综合压轴
例1．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知，点是线段上一动点（可与点，重合，点为直线上一点，过、两点的直线解析式为（为常数）
（1）直线过定点，点的坐标为 ；（2）在点的移动过程中，的取值范围为 ．
【答案】 或或
【详解】（1）解：将直线变形为，
当，即时，的取值不影响的值，此时，定点．
（2）直线与轴交于点，令，解得，，
①当点与点重合时，将点代入直线得：，解得：，
②当点与点重合时，将点代入直线得：，解得：，
③当直线与直线平行时，此时，与直线无交点，故，
结合图形分析，当时，与线段（及右侧延伸）相交；
当时，与线段（及左侧延伸）相交；
当时，与线段相交．的取值范围为或或．
变式1．（25-26八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，已知△顶点坐标分别为点、，，是过点与轴垂直的直线．若直线上存在点，使点关于直线的对称点在△的内部或边上，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：点、，，是过点，
关于直线的对称点为，关于直线的对称点为，
如图，当经过点时，则，解得，
当直线经过点时，则，解得，
故由图形可知，若直线上存在点，使点关于直线的对称点在△的内部或边上，则的取值范围是．故答案为：．
变式2．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，直线与直线交于点A，两条直线与轴的交点分别为C和B，若动点不在的内部，则的取值范围为（ ）

A． B． C．或 D．或
【答案】D
【详解】解：当动点在的内部时，
∴列不等式组，解得：或，
∴点不在的内部，则m的取值范围为或．故选：D．
考点4.一次函数与面积等分综合压轴
例1．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）边长为1个单位长度的个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线平分这个正方形所组成的图形的面积，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：过点作轴于点，则，
∵直线平分这8个正方形所组成的图形的面积，∴，
∴，∴，∴点的坐标为，
把代入得：解得：．故答案为：．
变式1.（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知平面直角坐标系中有三点，，，若直线将分成面积之比为两部分，则的值是（ ）
A．2 B．2或 C．2或 D．或
【答案】D
【详解】解：根据题意作出如下图形：
直线经过点，且将的面积分成两部分，
由图可知有两种情况，当直线经过时，则，解得：，
当直线经过时，，解得：，的值为：或，故选：D．
变式2.（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是直线上一动点，且在第一象限．（1）的面积为 ；
（2）当的面积与的面积相等时，点的坐标为 ．
【答案】 /1.5
【详解】解：（1）∵直线交轴于点，
令，可得，∴点，∴，，
∴的面积为；故答案为：；
（2）∵直线交轴于点，∴，解得，∴直线，
∵点是直线上一动点，∴点的横坐标为2，则有，
∴点，设点，∴，∴，
若的面积与的面积相等，即，
则，即，解得，
∴点的坐标为．故答案为： ．
考点5.一次函数与特殊角度综合压轴
例1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，另一条经过B点的直线交x轴于点C且与直线构成的夹角，则直线的解析式为 ．
【答案】或
【详解】解：由题意，∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴，∴．
分两种情形，①当C在x轴负半轴上，如图1，过A作交于D，再过D作轴于E，
∵，∴，∴．
∵，，∴．
又∵，∴()．∴．
∴．∴．又∵，设直线解析式为，
则，解得：，∴此时直线解析式为；
②当C在x轴正半轴上，如图2，过A作交于D，再过D作轴于E，
同理可得．又∵，设直线解析式为，则，解得：，
∴此时直线BC为．综上，直线为或．故答案为：或．
变式1．（2025八年级上·成都·专题练习）在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，点D的坐标为，点E是线段上的一点，以为腰在第二象限内作等腰直角，．设点F的坐标为，连接并延长交x轴于点G，点G的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：当时，，则点A的坐标，
当时，，则点B的坐标，过F作轴于M，过E作轴于N，如图，
，，，
在和中，，（），
，，，
，，
又∵E在上，，，，
设直线解析式为，则有，解得：，，
当时，；，故答案为：．
变式2．（24-25八年级上·江苏·校考期末）如图，已知直线：交轴负半轴于点，交轴于点，，点是轴上的一点，且，则的度数为 ．
【答案】或
【详解】解：与轴的交点坐标为，．
又点是轴上的一点，且，点的坐标是或．如图：
①当点的坐标是时，，．
，，，，
②当点的坐标是时，，，
，．故答案为：或．
考点6.一次函数与特殊线段综合压轴
例1．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，函数 的图象分别与x轴，y轴交于点 A，B，的平分线与轴交于点，则点 的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：如图，过点作，交于点，
当时，，即，，
当时，，解得，即，，由勾股定理得，，
∵平分，∴，设，则，
∴，即，解得，即，故答案为：．
变式1．（25-26八年级上·福建漳州·期中）已知的顶点在轴上，顶点在轴上，且．点的坐标为（0,3），点的坐标为（-1,0），．过点作直线轴交于点，交轴于点．则线段的长为 ．
【答案】
【详解】解：∵，，∴，，过作轴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
同时，，∴，∴，，
∴，∴的坐标为，根据，，求得的直线方程式为，
∵，∴的纵坐标为，代入方程式得到，，∴．故答案为：．
变式2．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点，点在上，且，动点在内（不包括的边界），连接，过点作的垂线交直线于点，若，则点的纵坐标的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：令，则；令，则；
∴，∴；∵，∴；
设，则，解得或（舍），∴；
过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，交于点，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，交于点，如图所示：由题意得：且，∴，
∵，∴，∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
设点，则，∴，即；
∵动点在内（不包括的边界），
∴，解得：，∴，
即：点的纵坐标的取值范围是；故答案为：
考点7.一次函数与特殊三角形结合综合压轴
变式1．（25-26八年级上·山东济南·期中）定义：已知，若点的对应点在的内部或边上，则称点为的“纵横叠入点”．在平面直角坐标系中，点，，，点是直线上的一点，若点为的“纵横叠入点”，且是等腰三角形，则点的坐标为 ．
【答案】或
【详解】解：∵点，，，∴，，
设，则，∴点在直线上，
当是等腰三角形，分两种情况：①当时，过点作，
则，∵，∴，两点重合，∴，∴，∴；
②当时，过点作，
则，∴，∴，∴，∴，∴；
综上可知：点的坐标为：或．故答案为：或．
变式1．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，直线交轴于点，交轴于点，，点是坐标轴上一点，且是直角三角形，满足这样条件的点有 个．
【答案】3
【详解】，点在轴的负半轴，，
直线过点，，，，，
当点在轴上，当，点与原点重合，；当，设，
，，，，，，
，解得：，；
当点在轴上， 当，设，
，，，，，，
，，；
符合条件的点的坐标是或或，有个；故答案是：．
变式2．（25-26八年级上·江苏·期末）如图，点M是直线上的动点，过点M作垂直于x轴于点N，y轴上是否存在点P，使为等腰直角三角形，请写出符合条件的点P的坐标 （写出一个即可）．
【答案】或或或（写出一个即可）
【详解】解：设点，则，
当点运动到时，此时，，轴，是等腰直角三角形，
为等腰直角三角形，点与点重合，即点P的坐标为，
同理可知，点也是满足条件的点P；
当点运动到第三象限时， 若，且，
，，，解得，此时点P的坐标为；
若，且，此时点P的坐标为；
当点运动到第二象限，且为斜边时，，，
，，，
，解得，此时点P的坐标为；
综上可知，符合条件的点P的坐标为或或或，
故答案为：或或或
考点8.一次函数与数形结合（几何问题代数化）综合压轴
例1．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在等腰中， ，点 E，F 分别在边 上，且 ，连接相交于点 P ，则 的长为 ．
【答案】/
【详解】解：∵，，∴，
建立如图所示的平面直角坐标系，∴
设的解析式为，代入，
，解得，∴解析式为，
设的解析式为，代入，
，解得，∴解析式为，
联立，解得，∴，作轴，
由勾股定理得，．故答案为：．
变式1．（2025·四川南充·一模）如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到，连接，延长交于点F，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：∵，，，建立如图所示的平面直角坐标系，
∵将绕点B顺时针旋转得到，，
∴设的解析式为，代入，
，解得，∴解析式为，
设的解析式为，代入，
，解得，∴解析式为，
联立 ，解得，∴，作，
由勾股定理得：故答案为：．
变式2．（2025·广东·校考二模）如图，在中，，，，关于对称的直线恰好交于点则的长为 ．

【答案】
【详解】如图所示：以所在边为轴，以所在边为轴，以为原点建立坐标系，设关于对称的对应点为相交于点

∵，，
∴直线的解析式为：
∴设直线的解析式为：把代入
∴直线的解析式为：直线和直线联立，
是的中点，∴直线的解析式为：
∵直线的解析式为：∴直线与直线联立可得出点
故答案为：．
考点9.一次函数与新定义综合压轴
例1．（24-25八年级下·河南鹤壁·期末）定义：在平面直角坐标系中，若点到轴、轴的距离和为1，则称点为“和一点”．例如：点到轴、轴距离和为1，则点是“和一点”，点，也是“和一点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“和一点”，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意可得：点到轴，轴的距离和为1，即，去绝对值后可得：
，将“和一点”的函数表示在直角坐标系中如图：
一次函数的图象经过点，且图象上存在“和一点”，
一次函数至少与“和一点”构成的图象有1个交点，
当一次函数的图象在直线与直线之间时，一次函数至少与“和一点”构成的图象有1个交点，
当最小时，一次函数图象过点， 由题意可得：，解得：，即的最小值为．
当最大时，一次函数与图象过点，
由题意可得：则有，解得：，即的最大值为2．．故选：A．
变式1．（25-26八年级上·安徽宣城·期中）定义：在平面直角坐标系中，若点到轴、轴的距离和为1，则称点为“励志点”．例如：点到轴、轴距离和为1，则点是“励志点”，点，也是“励志点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“励志点”，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵点在直线上，∴，即．∴直线方程为．
当直线经过点时，代入得，解得；
当直线经过点时，代入得 ，解得，
∴当时，直线与正方形有交点，即存在“励志点”．故选：A．
变式2．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数进行了相关探究：对一次函数（）进行探究后，得出下列结论：①是“不动点函数”，且只有一个不动点；②是“不动点函数”，且不动点是；③是“不动点函数”，且有无数个不动点．以上结论中，你认为正确的是 ．（填写正确的序号）
【答案】③
【详解】解：根据不动点定义，令，
对于①：，解方程，得，无解，故①错误；
对于②：，解方程，得，，此时，不动点为，故②错误；
对于③：，解方程，恒成立，故有无数个不动点，③正确．故答案为：③．
考点10.一次函数与其他综合压轴
例1．（25-26八年级上·重庆·期中）若正实数满足，我们称一次函数与正比例函数互为“勾股对称一次函数”．已知一次函数与正比例函数互为“勾股对称一次函数”，点在一次函数上，点在正比例函数上，则以为边长的三角形的面积为 ．
【答案】
【详解】解：∵一次函数与正比例函数互为“勾股对称一次函数”，∴
∵点 在 上，∴，
∵点 在 上，∴,∴,
∵，∴，即，∴，解得，
∵，∴以为边长的三角形为直角三角形，且为斜边，和为直角边，
∴三角形的面积为，故答案为：．
变式1．（24-25八年级下·江苏南通·月考）如图，将函数的图象位于x轴下方的部分，沿x轴翻折至其上方，所得的折线是函数的图象，与直线的图象交点的横坐标x均满足，则b的取值范围为 ．
【答案】
【详解】解：根据题意，得当时，直线解析式为，
当时，直线解析式为，根据与直线的图象交点的横坐标x均满足，
故当时，，此时交点坐标为，把代入，解得；
当时，，此时交点坐标为，把代入，解得；
当时，，此时交点坐标为，把代入，解得；
综上所述，当时，，故答案为：．
变式2．（24-25八年级下·四川成都·期末）小亮在学习了《光的反射定律》后，知道入射光线经过反射后形成反射光线．如图1，是法线，垂直于反射面，其中入射角等于反射角．同时，他还发现可以用一次函数的图象来刻画光线的反射．如图2，一次函数与构成的图象，可看作从轴上点发出的一束光经轴上的点反射后得到的图象．小亮把这样的能刻画光线反射的函数图象称为一组“反射函数线”．如图3，从轴上点发出一束光线，经过轴上一点反射后形成的“反射函数线”．若反射光线过点，则点的坐标为 ；若，，均为“反射函数线”上的点，且，则的取值范围是 ．
【答案】 ，
【详解】解：如图，作轴，
由题知，∴，
反向延长射线交轴于点，则，∴，　
又∵，，∴，∴，
∵，∴，设直线的表达式为 ，
则，解得，∴直线的表达式为．
当时，，∴点的坐标为．故空１答案为：．
由题意，根据图像可得，“反射函数线”关于直线对称，且图像上的点离对称轴越近函数值越小．
∵，，均为“反射函数线”上的点，且，∴，
∴①当时，，∴此时无解；
②当时，，∴，∴此时；
③当时，，∴，此时；
④当时，，∴此时无解；
综上，的范围为：．故空2答案为： ．
1．（24-25八年级下·河北衡水·期末）在直线、直线与轴所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，则“美点”的个数为（ ）
A．300 B．400 C．360 D．320
【答案】B
【详解】解：令，解得：，
把代入得：，∴两条直线的交点为，
把分别代入，得：，，
∴直线与直线与y轴的交点坐标分别为：，，
∴y轴上的“美点”有；
对于，当x为偶数时，为整数，当时，最大偶数为，
因此在上有“美点”的个数为：（个），
对于，当x整数时，为整数，当时，最大整数为，
因此在上有“美点”的个数为：个，∴“美点”的个数为：（个）．故选：B．
2．（24-25八年级下·江西新余·期末）若平面直角坐标系内的点满足横，纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”例如，，都是“整点”，四边形为原点为正方形且点坐标为，有条直线，其中，，，互不相等，则这条直线在正方形内包括边上经过的整点个数最多是（ ）个
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由画图可知：
直线在正方形内包括边上经过的整点的个数有个，
直线在正方形内包括边上经过的整点的个数有个，
直线在正方形内包括边上经过的整点的个数有个，
直线在正方形内包括边上经过的整点的个数有个，
其中点是四条直线的交点，故经过的整点的个数最多是个，故选：．
3．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，与直线交于点C，点P在直线上，且的面积被y轴平分，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：当时，，解得，则，
作点A关于y轴的对称点，则 ∵的面积被y轴平分，
∴点P的横坐标为，如图，Q为与y轴的交点，则Q为的中点，
∵点P在直线上，∴点P的坐标为．故选：D．
4．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，直线l：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点E为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在x轴正半轴上存在点F，使得以O、E、F为顶点的三角形与全等，这样的点F有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】解：将代入得：，解得，∴，
将代入得：，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，
∵是的斜边，∴也是以为顶点的三角形的斜边，则分以下两种情况：
①如图1，当时，∴，∴此时点的坐标为；
②如图2和图3，当时，∴，∴点的纵坐标为或，
将代入得：，解得，∴此时点的坐标为；
将代入得：，解得，∴此时点的坐标为；
综上，这样的点有3个．故选：C．
5．（25-26八年级上·四川成都·期中）点 P 是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点 P 向 x 轴，y 轴作垂线段，若垂线段的长度的和为 4，则点 P 叫做“垂距点”，例如：如图中的 是“垂距点”．若为“垂距点”，m的值是 ；若过点 的一次函数 的图象上存在“垂距点”，则 k 的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：由题意得：，
①当时，则，解得，
②当时，则，解得，故m的值为；
如图，取．连接，
依题意，得：“垂距点”所构成的图形解析式为，去掉绝对值符号后应该分为四段，图象即为如图所示的正方形（不包括顶点），
∵过点的一次函数图象存在“垂距点”，
则说明点的一次函数图象与正方形有交点，
∵直线经过点，∴，∴，
∴过点 的一次函数表达式为，
∴当直线经过时，则，解得：，
当直线经过时，则，解得：，
观察图象可知满足条件的k的取值范围为．故答案为：；．
6．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、两点关于轴对称，则称函数和具有“对立关系”，此时点或点的纵坐标称为“对立值”．
（1）满足题设条件的、两点坐标，横坐标互为相反数，纵坐标 ；
（2）下列结论中，正确的是： ．（写出所有正确结论）
①函数与函数不具有“对立关系”；
②函数与函数的“对立值”为；
③若是函数与函数的“对立值”，则．
【答案】 相等 ②③
【详解】解：（1）∵、两点关于轴对称，
根据点关于y轴对称的性质可知：∴、两点坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相等；故答案为：相等；
（2）①设这两个函数具有“对立关系”，
令函数的x值为a，则函数的值是，
∴，解得：，∴∴，
∴存在函数上的点和函数图象上的点关于y轴对称，
即这两个函数图象上存在点关于y轴对称，即这两个函数具有“对立关系”，故此项说法错误；
②由①函数与函数的“对立值”为，故此项说法正确；
③令函数值为1，分别代入函数与函数，得：，
根据函数是“对立关系”可得：，解得：，故此项正确；故答案为：②③．
7．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，．将绕某点逆时针旋转，得到，与相交于点．若是的中点，则的长是 ．
【答案】
【详解】解：以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，如图：
将绕某点逆时针旋转，得到，
，，，
为中点，，，，，，
由，得直线解析式为，由得直线解析式为，
联立，解得，，，，故答案为：．
8．（25-26九年级上·山东菏泽·月考）李华在数学学习中遇到了如下问题：求函数的最小值．李华的思路如下：将函数改写为，根据两点间距离公式，可将问题转化为在轴上找一点使得到点、距离之和最小．显然在线段上时，最小，此时，即为函数的最小值．根据李华的思路，求解以下问题：
函数的最大值为 ；
函数的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：整理，
可得：，
表示点到点的距离与到点的距离之差，
设，作直线交轴于点，设，
，
，那么当位于点时，，取得最大值，最大值为，
的最大值是，故答案为：；
解：整理，
可得：，
表示点到点的距离的一半与点到点的距离之和的最小值，
设点，，为的中点，设点，连接，过点作轴于点，那么，为的中点，，
移动点，使直线与轴正半轴的夹角为，即，过点作交的延长线于点，，，，
此时，，取得最小值，最小值为，
，，，，，，
不妨设，，，（舍去负值）
，，，，，
,．
函数的最小值为．故答案为：．
9．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，直线：交轴于点，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，点是垂线上一点，且，点坐标是 ；以为腰，在第一象限找一点，作等腰，则点的坐标为 ．
【答案】 或 或或或
【详解】当时，，解得：，∴，当时，，∴，
当时，，解得，∴点或，
当点时，∴，∴，
第种情况，如图，，，过点作直线于点，
∵，，∴，
又∵，，∴，
∴，∴，∴；
第种情况，如图，，，过点作轴于点，
∵，，∴，
又∵，，∴，
∴，∴，∴；
当时，第1种情况，如图，，，∴；
第种情况，如图4，，，∴；
∴以为边在第一象限作等腰直角三角形，点的坐标是或或或．
故答案为：或；或或或．
10．（2025·西藏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，以原点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点C，交y轴于点D，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点E，作射线交于点F，则点F的坐标是 ．
【答案】
【详解】解：∵，，设直线的解析式为：,
∴，解得：，直线的解析式为：,
是的角平分线，，所在直线的解析式为．
联立方程组：将代入中，得到：，解得．
，． 所以，直线与的交点F的坐标为．故答案为：．
11．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，一次函数y=-x+4的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C为AO中点，OD=3，点P为AB上的动点，当∠APC=∠BPD时，点P的坐标为 ．
【答案】（，）
【详解】解：过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，
∵一次函数y＝﹣x+4的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（4，0），B（0，4），∴OA＝OB＝4，AB＝4，
∵点C为AO中点，OD＝3，∴OC＝AC＝2，BD＝1，
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠ABO＝∠OAB＝45°，
过点作，交轴于点，过点作轴，交的延长线与点，如图，
则，是等腰直角三角形，，
轴，，，设，则，
，，
∠APC=∠BPD,，，
又，，，，，
三点共线，设直线的解析式为，
则，解得，直线的解析式为，
将点代入得，，解得，
∴P（，）．故答案为：（，）．
12．（24-25八年级下·河南商丘·期末）如图,在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，一次函数的图象与x轴交于点B，与交于点P，直线过点A且与x轴垂直，若上有一动点C，使得，则点C的坐标为 ．

【答案】或
【详解】解：对于，当时，，解得，∴，
对于，当时，，解得，∴，
解方程组，得，∴，∴，

作于点E，如图，∵直线过点A且与x轴垂直，∴，即，
∵，∴，
当点C在A点下方时，∵，∴，∴，∴，
当点C在A点上方时，即为点，同理可得，
∵，∴，∴，∴，
∴，∴，故答案为：或．
13．（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，直线与轴交于点，与直线交于点．
（1）的面积是 ；（2）点在直线上，直线经过点，且与轴交于点，若的面积是面积的，则的值为 ．
【答案】 10 1或
【详解】（1）解：联立，解得：，所以，
令，则0，解得，所以，所以的面积是；
（2）因为点在直线上，所以，所以，
因为的面积是面积的，所以的面积是，设，
因为，所以 ．因为，即，则或，
当时，解得，所以；
当时，解得，所以．
当时，得出，解得；
当时，得出，解得；所以的值为1或，故答案为：10；1或．
14．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与长方形的边、分别交于点E、F，与y轴交于点G，已知，，则梯形的面积为 ．
【答案】
【详解】解：令直线中，则，故．
∵，∴
∵长方形中，，故点横坐标为，代入直线解析式：，即．
∵，∴．梯形的高为，
则．故答案为：．
15．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，点，点．直线与交于点，当点在内部（不包括边界）时，的取值范围是 ．

【答案】
【详解】解：联立，解得：，∴点P的坐标为，∴点P在直线上，
设直线的解析式为，把，代入得：
，解得：，∴直线的解析式为，
联立，解得：，∴直线与直线的交点为，
∴当点在内部（不包括边界）时，．
16．（24-25八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，将点A按下列方式变换：①作点A关于x轴对称的点，得到点，②作点关于直线对称的点，得到点，则我们称是A的“双对称”点．若一个点坐标为，则它的“双对称”点坐标为 ；若正方形的四个顶点坐标分别为，，，，若点的“双对称”点刚好落在正方形内部（不包含边界），则a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】点关于轴的对称点为，点关于直线对称点为
∴的“双对称”点坐标为；
点的“双对称”点，
∴点刚好落在正方形内部（不包含边界）时，
解得，．故答案为：；．
17．（25-26八年级上·山东济南·月考）定义：在平面直角坐标系中，对于任意一次函数的图象，作该图象在直线的右侧部分关于直线的轴对称图形，与原图象在直线的右侧部分及与直线的交点共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“型函数”．例如：图1就是一次函数关于直线的“型函数”图象．如图2，点，以为斜边在轴上方作等腰，当函数关于直线的“型函数”图象与的边只有两个交点时，则的取值范围为 ．
【答案】或
【详解】解：令，则，，∴函数与轴的交点是，
∵等腰中，点，，，
∴直线的解析式为，解方程，，
∵函数与轴的交点为，
∴当时，函数关于直线的“型函数”图象与的边只有两个交点，
∵直线与的边已经有两个交点，
∴函数关于直线的“型函数”图象与的边不能再有交点，即在点的左侧，
∴与点关于对称，
∴时，函数关于直线的“型函数”图象经过点，
∴函数关于直线的“型函数”图象与的边只有两个交点时，的取值范围为或．故答案为：或．
18．（25-26八年级上·上海·期中）如图是某函数的图像，当时，若在该函数图像上可以找到n个不同的点（其中为大于1的正整数），使得恒成立，则所有可能的值的和是 ．
【答案】14
【详解】解：设，则在该函数图象上n个不同的点，，也都在的图象上，画出函数图象观察交点即可求解．
如图正比例函数与该函数图象有1个交点,不符合题意；
如图正比例函数与该函数图象有2个交点；
如图正比例函数与该函数图象有3个交点；
如图正比例函数与该函数图象有5个交点；
如图正比例函数与该函数图象有4个交点；
综上，所有可能的值的和是，故答案为：14．
19．（24-25八年级上·江苏·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，，．D为中点，E为边上一点，以为边作正方形与交于点M，连接．若B，F，D三点共线，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：连接，则点F在上，，，D为中点，，
设直线表达式为，则，解得：，直线表达式为，
作于点P，作于点Q，四边形为正方形，，
，，
，，同理，，
，设，则，，
把代入，则，解得：，，
设直线表达式为，则，解得：，
直线表达式为，设直线表达式为，
则，解得：，直线表达式为，
联立：，解得：，，，故答案为：．
20．（24-25八年级下·福建·期中）如图，平面直角坐标系中，已知直线上一点，C为y轴上一点，连接，线段绕点P顺时针转至，，且，过点D作直线轴，垂足为B，直线与直线交于点A，且，连接，直线与直线交于点Q，则点Q的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：过作轴，交轴于，交于，过作轴，交轴于，

，，，，
，，，
在和中，，，，
，设，，
，，则，，即．
直线，，点，
在中，由勾股定理得：，则的坐标是，
设直线的解析式是，把代入得：，即直线的解析式是，
组成方程组解得：点，故答案为：．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题5.7 一次函数与几何图形综合压轴（选填类）
1. 熟练掌握一次函数与图形交点、整数点、动态参数等问题；
2. 熟练掌握一次函数与特殊图形、、角度、面积等问题；
3. 熟练掌握一次函数与数形结合、新定义等问题。
模块1：核心考点 2
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1.一次函数与线段交点（公共点）综合压轴 2
考点2.一次函数与整数点综合压轴 4
考点3.一次函数与动态含参综合压轴 6
考点4.一次函数与面积等分综合压轴 8
考点5.一次函数与特殊角度综合压轴 10
考点6.一次函数与特殊线段综合压轴 12
考点7.一次函数与特殊三角形结合综合压轴 15
考点8.一次函数与数形结合（几何问题代数化）综合压轴 17
考点9.一次函数与新定义综合压轴 20
考点10.一次函数与其他综合压轴 22
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块2：培优训练 24
考点1.一次函数与线段交点（公共点）综合压轴
例1．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知函数与轴交于，与交于B，C两点．（1）点的坐标是 ；（2）若一次函数与有交点，则的取值范围是 ．
变式1．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图所示，以长方形的边的中点为原点建立平面直角坐标系，且位于轴上，，，点在轴上，点是轴上的一个动点，直线经过点和点．
(1)若经过点，则_____．(2)若与长方形的边有两个公共点，则的取值范围为_____．
变式2．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）一次函数（a为常数）．
①一次函数的图象一定经过点A，点A的坐标为 ；
②已知，，若一次函数的图象与线段有交点，则a的取值范围为 ．
考点2.一次函数与整数点综合压轴
例1．（25-26八年级上·安徽·期中）平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，直线与坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中只有四个整点，则的取值范围是 ．
变式1．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图，点，，在平面直角坐标系中，将直线向上平移n个单位长度，当平移后的直线与折线只有一个交点时，满足条件的整数n有 个．
变式2．（24-25八年级下·河北邢台·期末）我们知道横、纵坐标都为整数的点叫做整点．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．从点处发出光线照射到线段上，光线将段分成了两部分．若这两部分上的整点个数相同，则k的取值范围是 ．
考点3.一次函数与动态含参综合压轴
例1．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知，点是线段上一动点（可与点，重合，点为直线上一点，过、两点的直线解析式为（为常数）
（1）直线过定点，点的坐标为 ；（2）在点的移动过程中，的取值范围为 ．
变式1．（25-26八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，已知△顶点坐标分别为点、，，是过点与轴垂直的直线．若直线上存在点，使点关于直线的对称点在△的内部或边上，则的取值范围是 ．
变式2．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，直线与直线交于点A，两条直线与轴的交点分别为C和B，若动点不在的内部，则的取值范围为（ ）

A． B． C．或 D．或
考点4.一次函数与面积等分综合压轴
例1．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）边长为1个单位长度的个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线平分这个正方形所组成的图形的面积，则的值为 ．
变式1.（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知平面直角坐标系中有三点，，，若直线将分成面积之比为两部分，则的值是（ ）
A．2 B．2或 C．2或 D．或
变式2.（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是直线上一动点，且在第一象限．（1）的面积为 ；
（2）当的面积与的面积相等时，点的坐标为 ．
考点5.一次函数与特殊角度综合压轴
例1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，另一条经过B点的直线交x轴于点C且与直线构成的夹角，则直线的解析式为 ．
变式1．（2025八年级上·成都·专题练习）在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，点D的坐标为，点E是线段上的一点，以为腰在第二象限内作等腰直角，．设点F的坐标为，连接并延长交x轴于点G，点G的坐标为 ．
变式2．（24-25八年级上·江苏·校考期末）如图，已知直线：交轴负半轴于点，交轴于点，，点是轴上的一点，且，则的度数为 ．
考点6.一次函数与特殊线段综合压轴
例1．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，函数 的图象分别与x轴，y轴交于点 A，B，的平分线与轴交于点，则点 的坐标为 ．
变式1．（25-26八年级上·福建漳州·期中）已知的顶点在轴上，顶点在轴上，且．点的坐标为（0,3），点的坐标为（-1,0），．过点作直线轴交于点，交轴于点．则线段的长为 ．
变式2．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点，点在上，且，动点在内（不包括的边界），连接，过点作的垂线交直线于点，若，则点的纵坐标的取值范围是 ．
考点7.一次函数与特殊三角形结合综合压轴
变式1．（25-26八年级上·山东济南·期中）定义：已知，若点的对应点在的内部或边上，则称点为的“纵横叠入点”．在平面直角坐标系中，点，，，点是直线上的一点，若点为的“纵横叠入点”，且是等腰三角形，则点的坐标为 ．
变式1．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，直线交轴于点，交轴于点，，点是坐标轴上一点，且是直角三角形，满足这样条件的点有 个．
变式2．（25-26八年级上·江苏·期末）如图，点M是直线上的动点，过点M作垂直于x轴于点N，y轴上是否存在点P，使为等腰直角三角形，请写出符合条件的点P的坐标 （写出一个即可）．
考点8.一次函数与数形结合（几何问题代数化）综合压轴
例1．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在等腰中， ，点 E，F 分别在边 上，且 ，连接相交于点 P ，则 的长为 ．
变式1．（2025·四川南充·一模）如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到，连接，延长交于点F，则的长为 ．
变式2．（2025·广东·校考二模）如图，在中，，，，关于对称的直线恰好交于点则的长为 ．

考点9.一次函数与新定义综合压轴
例1．（24-25八年级下·河南鹤壁·期末）定义：在平面直角坐标系中，若点到轴、轴的距离和为1，则称点为“和一点”．例如：点到轴、轴距离和为1，则点是“和一点”，点，也是“和一点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“和一点”，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
变式1．（25-26八年级上·安徽宣城·期中）定义：在平面直角坐标系中，若点到轴、轴的距离和为1，则称点为“励志点”．例如：点到轴、轴距离和为1，则点是“励志点”，点，也是“励志点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“励志点”，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数进行了相关探究：对一次函数（）进行探究后，得出下列结论：①是“不动点函数”，且只有一个不动点；②是“不动点函数”，且不动点是；③是“不动点函数”，且有无数个不动点．以上结论中，你认为正确的是 ．（填写正确的序号）
考点10.一次函数与其他综合压轴
例1．（25-26八年级上·重庆·期中）若正实数满足，我们称一次函数与正比例函数互为“勾股对称一次函数”．已知一次函数与正比例函数互为“勾股对称一次函数”，点在一次函数上，点在正比例函数上，则以为边长的三角形的面积为 ．
变式1．（24-25八年级下·江苏南通·月考）如图，将函数的图象位于x轴下方的部分，沿x轴翻折至其上方，所得的折线是函数的图象，与直线的图象交点的横坐标x均满足，则b的取值范围为 ．
变式2．（24-25八年级下·四川成都·期末）小亮在学习了《光的反射定律》后，知道入射光线经过反射后形成反射光线．如图1，是法线，垂直于反射面，其中入射角等于反射角．同时，他还发现可以用一次函数的图象来刻画光线的反射．如图2，一次函数与构成的图象，可看作从轴上点发出的一束光经轴上的点反射后得到的图象．小亮把这样的能刻画光线反射的函数图象称为一组“反射函数线”．如图3，从轴上点发出一束光线，经过轴上一点反射后形成的“反射函数线”．若反射光线过点，则点的坐标为 ；若，，均为“反射函数线”上的点，且，则的取值范围是 ．
1．（24-25八年级下·河北衡水·期末）在直线、直线与轴所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，则“美点”的个数为（ ）
A．300 B．400 C．360 D．320
2．（24-25八年级下·江西新余·期末）若平面直角坐标系内的点满足横，纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”例如，，都是“整点”，四边形为原点为正方形且点坐标为，有条直线，其中，，，互不相等，则这条直线在正方形内包括边上经过的整点个数最多是（ ）个
A． B． C． D．
3．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，与直线交于点C，点P在直线上，且的面积被y轴平分，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，直线l：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点E为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在x轴正半轴上存在点F，使得以O、E、F为顶点的三角形与全等，这样的点F有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（25-26八年级上·四川成都·期中）点 P 是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点 P 向 x 轴，y 轴作垂线段，若垂线段的长度的和为 4，则点 P 叫做“垂距点”，例如：如图中的 是“垂距点”．若为“垂距点”，m的值是 ；若过点 的一次函数 的图象上存在“垂距点”，则 k 的取值范围是 ．
6．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、两点关于轴对称，则称函数和具有“对立关系”，此时点或点的纵坐标称为“对立值”．
（1）满足题设条件的、两点坐标，横坐标互为相反数，纵坐标 ；
（2）下列结论中，正确的是： ．（写出所有正确结论）
①函数与函数不具有“对立关系”；
②函数与函数的“对立值”为；
③若是函数与函数的“对立值”，则．
7．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，．将绕某点逆时针旋转，得到，与相交于点．若是的中点，则的长是 ．
8．（25-26九年级上·山东菏泽·月考）李华在数学学习中遇到了如下问题：求函数的最小值．李华的思路如下：将函数改写为，根据两点间距离公式，可将问题转化为在轴上找一点使得到点、距离之和最小．显然在线段上时，最小，此时，即为函数的最小值．根据李华的思路，求解以下问题：
函数的最大值为 ；
函数的最小值为 ．
9．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，直线：交轴于点，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，点是垂线上一点，且，点坐标是 ；以为腰，在第一象限找一点，作等腰，则点的坐标为 ．
10．（2025·西藏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，以原点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点C，交y轴于点D，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点E，作射线交于点F，则点F的坐标是 ．
11．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，一次函数y=-x+4的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C为AO中点，OD=3，点P为AB上的动点，当∠APC=∠BPD时，点P的坐标为 ．
12．（24-25八年级下·河南商丘·期末）如图,在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，一次函数的图象与x轴交于点B，与交于点P，直线过点A且与x轴垂直，若上有一动点C，使得，则点C的坐标为 ．

13．（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，直线与轴交于点，与直线交于点．
（1）的面积是 ；（2）点在直线上，直线经过点，且与轴交于点，若的面积是面积的，则的值为 ．
14．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与长方形的边、分别交于点E、F，与y轴交于点G，已知，，则梯形的面积为 ．
15．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，点，点．直线与交于点，当点在内部（不包括边界）时，的取值范围是 ．

16．（24-25八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，将点A按下列方式变换：①作点A关于x轴对称的点，得到点，②作点关于直线对称的点，得到点，则我们称是A的“双对称”点．若一个点坐标为，则它的“双对称”点坐标为 ；若正方形的四个顶点坐标分别为，，，，若点的“双对称”点刚好落在正方形内部（不包含边界），则a的取值范围是 ．
17．（25-26八年级上·山东济南·月考）定义：在平面直角坐标系中，对于任意一次函数的图象，作该图象在直线的右侧部分关于直线的轴对称图形，与原图象在直线的右侧部分及与直线的交点共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“型函数”．例如：图1就是一次函数关于直线的“型函数”图象．如图2，点，以为斜边在轴上方作等腰，当函数关于直线的“型函数”图象与的边只有两个交点时，则的取值范围为 ．
18．（25-26八年级上·上海·期中）如图是某函数的图像，当时，若在该函数图像上可以找到n个不同的点（其中为大于1的正整数），使得恒成立，则所有可能的值的和是 ．
19．（24-25八年级上·江苏·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，，．D为中点，E为边上一点，以为边作正方形与交于点M，连接．若B，F，D三点共线，则的长为 ．
20．（24-25八年级下·福建·期中）如图，平面直角坐标系中，已知直线上一点，C为y轴上一点，连接，线段绕点P顺时针转至，，且，过点D作直线轴，垂足为B，直线与直线交于点A，且，连接，直线与直线交于点Q，则点Q的坐标为 ．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑