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专题5.6 一次函数与几何变换、几何最值压轴（选填类）
1. 熟练掌握一次函数与三种几何变换结合问题；
2. 熟练掌握一次函数与五类几何最值结合问题；
3. 熟练掌握一次函数与轨迹问题结合问题；
4. 熟练掌握一次函数与规律探究类问题。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：核心考点 2
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1.一次函数与几何变换综合压轴-平移 2
考点2.一次函数与几何变换综合压轴-对称（翻折） 4
考点3.一次函数与几何变换综合压轴-旋转 6
考点4.一次函数与轨迹问题综合压轴 9
考点5.一次函数与几何最值综合压轴-将军饮马 11
考点6.一次函数与几何最值综合压轴-逆等线 13
考点7.一次函数与几何最值综合压轴-瓜豆原理 16
考点8.一次函数与几何最值综合压轴-胡不归 19
考点9.一次函数与几何最值综合压轴-其他类型 22
考点10.一次函数与探究规律综合压轴 25
模块2：培优训练 28
考点1.一次函数与几何变换综合压轴-平移
例1．（24-25八年级下·江西抚州·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，将线段沿轴正方向平移至，若为等腰三角形，则平移的距离为 ．
变式1．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）如图，直线与x轴交于点A，以为斜边在x轴上方作等腰直角三角形，将沿y轴向下平移，当点B落在直线上时，平移后A点坐标为 ．
变式2．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，已知，点C为的中点，过点C作轴，垂足为D．将向右平移，当点C的对应点落在边上时，点D的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
考点2.一次函数与几何变换综合压轴-对称（翻折）
例1．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，直线分别与轴、轴交于两点，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，又经直线反射后回到点，则光线所经过的路线长是（ ）

A． B．2 C． D．
变式1．（24-25八年级下·山东滨州·期末）如图，从光源发出的一束光，遇到平面镜（轴）上的点后的反射光线交轴于点，若光线满足的函数关系式为：，则的值是 ．
变式2．（25-26八年级上·福建三明·期中）如图，直线分别与、轴交于、两点，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处．以下结论：①；②点的坐标为；③直线的解析式为；④点的坐标为．正确的有（ ）
A．①②③ B．①③ C．①④ D．①③④
考点3.一次函数与几何变换综合压轴-旋转
例1．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是 ．（填写一个值即可）
变式1．（2024·江苏苏州·中考真题）直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是 ．
变式2．（2025·江苏·校考一模）已知直线过点且平行于轴，点的坐标为，将直线绕点逆时针旋转60°，则旋转后的直线对应的函数表达式为 ．
考点4.一次函数与轨迹问题综合压轴
例1．（2025·广东佛山·一模）在平面直角坐标系中，点M在y轴的非负半轴上运动，点N在x轴上运动，满足．点Q为线段的中点，则点Q运动路径的长为 ．
变式1．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）平面直角坐标系中，点在轴的非负半轴上运动，点在轴上从点向点运动，且，为线段的中点，以点为旋转中心将点逆时针旋转至点，则点运动的总路程是（ ）
A． B．8 C． D．
变式2．（24-25八年级下·四川广元·期末）在平面直角坐标系中，经过点且与平行的直线，交x轴于点B，现在有点在线段上运动，点在x轴上，N为线段的中点，当点C从点A运动到点B时，则点N运动的轨迹长度是 ．
考点5.一次函数与几何最值综合压轴-将军饮马
例1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C是线段的中点，点D是直线上的点，且点D的横坐标为2，点P为线段上的动点，连接，，当值最小时，点P的坐标为 ．
变式1．（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B．C，D分别为线段上的两个动点，点P的坐标为，则的周长的最小值为 ．
变式2．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，、，动点在直线上，动点在轴上，当取最小值时，点的坐标为 ．
考点6.一次函数与几何最值综合压轴-逆等线
例1．（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，中，，则点B的坐标为 ；若点E，F分别是的边上的动点，且，当的值最小时，点E的坐标为 ．
变式1．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，以所在直线为轴，过点作的垂线为轴建立直角坐标系，分别为线段和线段上一动点，且．当的值最小时，点的坐标为 ．
变式2．（2025·山东·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，等腰三个顶点在坐标轴上，，点D，E分别为上的两个动点，且．当的值最小时，则点D的坐标为 ．
考点7.一次函数与几何最值综合压轴-瓜豆原理
例1．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）在平面直角坐标系中，，过点 B 作直线l x 轴，点 是直线上的动点，以 为边在右侧作等腰，，直线 交 y 轴于点 C ．当点 P 在直线上运动时，点 Q 也随之运动．当 时，的值最小为 ．
变式1．（2025·河南南阳·二模）如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段绕点P逆时针旋转得到线段，就称点B是点A关于点P的“等垂点”，如图2，已知点，点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“等垂点”，连接，则的最小值是 ，此时点P的坐标为 ．
变式2．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，直线分别与x，y轴交于A，B两点，过点B的直线交x轴负半轴于点，，P为x轴正半轴上的一动点，以P为直角顶点、为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接，则的最大值为 ．
考点8.一次函数与几何最值综合压轴-胡不归
例1．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线与轴、轴交于，两点，点为线段的中点，点为上一动点，连接，则的最小值为 ．
变式1．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，已知直线：与x轴交于点B，点C在直线上，且点C的横坐标为，点F为线段上一点（不含端点），点，连接，一动点M从点A出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段以每秒个单位的速度运动到C后停止，当点M在整个运动过程中用时最少时点F的坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，直线交x轴于点，交y轴于点C，点D在直线上，且D的横坐标为3，E是线段上的点（不和端点重合），连接，一动点M从点A出发沿线段以每秒1个单位的速度运动到E，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点E的坐标是 时，点M在整个运动过程中用时最少．

考点9.一次函数与几何最值综合压轴-其他类型
例1．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线：与坐标轴交于点、两点，点为线段外一动点，且，以为直角边作等腰直角三角形，其中．连接，求线段长的最大值 ，此时点的坐标为 ．
变式1．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点是直线在第二象限上的一个点，点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为，连接，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C的坐标为．给出下面四个结论：
①点A的坐标为；②是等腰三角形；③若点、在直线AB上，则一定有；④若点P是直线上的一个动点，则的最小值为4．上述结论中，正确结论的序号有 ．
考点10.一次函数与探究规律综合压轴
例1．（25-26八年级上·广东揭阳·月考）如图，已知直线（n为正整数）与x轴、y轴分别交于点、，的面积为，则 ．
变式1．（25-26八年级上·陕西西安·期中）《庄子天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”如图，直线：与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，则（ ）
A． B． C． D．
变式2．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，过点作x轴的垂线，交直线于点；点与点O关于直线对称；过点作x轴的垂线，交直线于点；点与点O关于直线对称；过点作x轴的垂线，交直线于点；…，按此规律作下去，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
1．（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点的坐标为，直线的表达式为：．将直线沿轴向下平移个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，以点P为中心，把点A按逆时针方向旋转得到点B，在，，，四个点中，直线经过的点是（ ）

A． B． C． D．
4．（2025·陕西西安·一模）直线与轴交于点，将直线绕点顺时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26八年级上·福建三明·阶段练习）已知直线分别交轴、轴于点、，点在第一象限内，且纵坐标为4．若点关于直线的对称点恰好落在轴的正半轴上，则点的横坐标为 ．
6．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）如图，已知直线与轴、轴分别交于点和点，是线段上一点，将沿直线折叠，点恰好落在轴上的点处，则直线的函数解析式是 ．
7．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点．经过点A且与直线平行的直线交x轴于点B，现有点在线段上运动，点在x轴上，M为线段的中点．当C从点A开始运动，到点B停止运动，M点的运动路径长为 ．
8．（2025·广东东莞·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在轴运动，点在轴上运动，满足．点为线段的中点，则点运动路径的长为 ．
9．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为和，点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当的周长最小时，点C的坐标是 ．
10．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，与轴、轴分别交于点和点，点、分别为线段、的中点，点为线段上一动点，当的值最小时，则点的坐标为 ．
11．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，中，，，则点的坐标为 ；若点，分别是的边，上的动点，且，当的值最小时，点的坐标为 ．
12．（24-25八年级下·绵阳市·专题练习）如图，已知直线分别交x轴、y轴于点B、A两点，，D、E分别为线段和线段上一动点，交y轴于点H，且．当的值最小时，则H点的坐标为

13．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点，A为x轴上一动点，将线段绕点A顺时针旋转得到连接当取最小值时，点A的坐标是 ．
14．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，，连接，则的最小值是 ．

15．（24-25八年级·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线l1和直线l2:相交于y轴上的点B，分别交x轴于A、C且∠OBC＝30度．点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，当EF＋CF最小时，此时的最小值为 ．
16．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为_________．
17．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在线段上，轴，垂足为C，则周长的最小值为 ．
18．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，C为中点(O为坐标原点)，D点在第四象限，且满足，则线段长度的最大值等于 ．
19．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为 ．
20．（25-26八年级上·安徽六安·月考）正方形，，，…，按如图的方式放置，点和点分别在直线和轴上，则点的坐标是 ．
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专题5.6 一次函数与几何变换、几何最值压轴（选填类）
1. 熟练掌握一次函数与三种几何变换结合问题；
2. 熟练掌握一次函数与五类几何最值结合问题；
3. 熟练掌握一次函数与轨迹问题结合问题；
4. 熟练掌握一次函数与规律探究类问题。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：核心考点 2
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1.一次函数与几何变换综合压轴-平移 2
考点2.一次函数与几何变换综合压轴-对称（翻折） 4
考点3.一次函数与几何变换综合压轴-旋转 6
考点4.一次函数与轨迹问题综合压轴 9
考点5.一次函数与几何最值综合压轴-将军饮马 11
考点6.一次函数与几何最值综合压轴-逆等线 13
考点7.一次函数与几何最值综合压轴-瓜豆原理 16
考点8.一次函数与几何最值综合压轴-胡不归 19
考点9.一次函数与几何最值综合压轴-其他类型 22
考点10.一次函数与探究规律综合压轴 25
模块2：培优训练 28
考点1.一次函数与几何变换综合压轴-平移
例1．（24-25八年级下·江西抚州·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，将线段沿轴正方向平移至，若为等腰三角形，则平移的距离为 ．
【答案】13或24或
【详解】解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，
令，解得：，将代入，则，,∴点，，
∴，由平移可知：，，
∵为等腰三角形，当时，如图1：设，则，
∵，∴，解得：，即；
当时，如图2：
当时，如图3：则，∴，
综上所述平移的距离为或或．故答案为：或或．
变式1．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）如图，直线与x轴交于点A，以为斜边在x轴上方作等腰直角三角形，将沿y轴向下平移，当点B落在直线上时，平移后A点坐标为 ．
【答案】
【详解】解：当时，，解得：，即，∴
如图，过作于，
是以为斜边的等腰直角三角形，，即点的坐标是，
设平移的距离为，则点的对应点的坐标为，
代入得：，解得：，即平移的距离是，
∵A点坐标为，沿y轴向下平移单位后，∴ 平移后的'坐标为，故答案为：．
变式2．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，已知，点C为的中点，过点C作轴，垂足为D．将向右平移，当点C的对应点落在边上时，点D的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解∶如图，过点B作轴于点P，
∵，∴点，，
∴，∴，∴，∴点，
∵点C为的中点，∴点，∵轴，∴，
∵将向右平移，点C的对应点为点，点D的对应点为点，
∴点，的纵坐标均为，，轴，
设直线的解析式为，把点，代入得：
，解得：，∴直线的解析式为，
当时，，解得：，∴点，
∴点的横坐标为，∴点的坐标为．故选：B
考点2.一次函数与几何变换综合压轴-对称（翻折）
例1．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，直线分别与轴、轴交于两点，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，又经直线反射后回到点，则光线所经过的路线长是（ ）

A． B．2 C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意知中，当时，，当时，，得到；
∴点，点，∴，∴，

∵点，设光线分别射在上的M、N处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点，
根据反射规律，则．
作出点P关于的对称点，作出点P关于的对称点，
则，
∴共线，，∵，即；
∴．故选：A．
变式1．（24-25八年级下·山东滨州·期末）如图，从光源发出的一束光，遇到平面镜（轴）上的点后的反射光线交轴于点，若光线满足的函数关系式为：，则的值是 ．
【答案】/
【详解】解：延长交x轴于点D，
入射角等于反射角，，又∵，，
，，，，
，， ，
将代入得，解得：，故答案为：．
变式2．（25-26八年级上·福建三明·期中）如图，直线分别与、轴交于、两点，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处．以下结论：①；②点的坐标为；③直线的解析式为；④点的坐标为．正确的有（ ）
A．①②③ B．①③ C．①④ D．①③④
【答案】D
【详解】解：直线分别与、轴交于点、，
点，点，，，，故①正确；
线段沿翻折，点落在边上的点处，
，，，，
，，，点，故②不正确；
设直线的解析式为：，，，
直线的解析式为：，故③正确；如图，过点作于，
，，，
，当时，，，
点的坐标为，故④正确．故选：D．
考点3.一次函数与几何变换综合压轴-旋转
例1．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是 ．（填写一个值即可）
【答案】6（答案不唯一，大于5均可）
【详解】解：直线经过点，，即
设直线分别交x轴和y轴与、两点，
当时，；当时，，即，，∴，，
过点分别作直线轴，直线轴，交x轴于，交y轴于，如图，
则轴，，∴，∴
∴当绕A点顺时针旋转，旋转角为时，在如图所示位置，
∵点在上，∴当，则点在点的右上方，此时，
故答案为：6（答案不唯一，大于5均可）．
变式1．（2024·江苏苏州·中考真题）直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是 ．
【答案】
【详解】解：依题意画出旋转前的函数图象和旋转后的函数图象，如图所示∶

设与y轴的交点为点B， 令，得；令，即，
∴， ，∴，，即
∵直线绕点A逆时针旋转，得到直线，∴，，
∴，则点，
设直线的解析式为，则，解得，
那么，直线的解析式为，故答案为：．
变式2．（2025·江苏·校考一模）已知直线过点且平行于轴，点的坐标为，将直线绕点逆时针旋转60°，则旋转后的直线对应的函数表达式为 ．
【答案】
【详解】解：设绕点逆时针旋转的对应点为，旋转后的直线交直线于，过作直线于，如图：绕点逆时针旋转的对应点为，，，是等边三角形，
，，，，，
，，
，，，∴
设直线解析式为，将，代入得：
，解得，直线解析式为；故答案为：．
考点4.一次函数与轨迹问题综合压轴
例1．（2025·广东佛山·一模）在平面直角坐标系中，点M在y轴的非负半轴上运动，点N在x轴上运动，满足．点Q为线段的中点，则点Q运动路径的长为 ．
【答案】
【详解】解：∵点M在y轴的非负半轴上运动，点N在x轴上运动，
设点M的坐标为，点N的坐标为，
∵点Q为线段的中点，则点Q的坐标为，
∵，∴，（，），
∵当时，，∴，∴，
∴此时点Q在一条线段上运动，线段的一个端点在x轴的负半轴上，坐标为，另一端在y轴的非负半轴上，坐标为，∴此时点Q的运动路径长为；
∵当时，，∴，∴，
∴此时点Q在一条线段上运动，线段的一个端点在x轴的正半轴上，坐标为，另一端在y轴的非负半轴上，坐标为，∴此时点Q的运动路径长为；
综上分析可知，点Q运动路径的长为．故答案为：．
变式1．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）平面直角坐标系中，点在轴的非负半轴上运动，点在轴上从点向点运动，且，为线段的中点，以点为旋转中心将点逆时针旋转至点，则点运动的总路程是（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】B
【详解】如图所示，

∵以点为旋转中心将点逆时针旋转至点，∴，，
∵为线段的中点，∴，∴，
∴点Q可以看作是点N绕点P顺时针旋转得到，
∵点在轴上从点向点运动，∴点Q的轨迹是一条线段，且运动的路程等于点N运动的路程，
∵点N运动的总路程为，∴点运动的总路程是8．故选：B．
变式2．（24-25八年级下·四川广元·期末）在平面直角坐标系中，经过点且与平行的直线，交x轴于点B，现在有点在线段上运动，点在x轴上，N为线段的中点，当点C从点A运动到点B时，则点N运动的轨迹长度是 ．
【答案】
【详解】解：直线与直线平行，可设直线的解析式为，
将点的坐标代入，得，直线的解析式为，
令，则，解得，，
点在线段上运动，，且，
设点N的坐标为，N为线段的中点，
，消去m，得，
，，，解得，
令，则，令，则，设，，
则点N运动的轨迹长度为线段的长，且．故答案为：．
考点5.一次函数与几何最值综合压轴-将军饮马
例1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C是线段的中点，点D是直线上的点，且点D的横坐标为2，点P为线段上的动点，连接，，当值最小时，点P的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：如图，作点关于轴对称的点，连接交轴于点，
根据轴对称可知：，∴，
∵两点之间线段最短，∴此时最小，即最小，
在中，当时，，即，当时，，即，
∵点C是线段的中点，∴，∴，设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，解得：，∴直线的解析式为，
当时，，解得，∴，故答案为：．
变式1．（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B．C，D分别为线段上的两个动点，点P的坐标为，则的周长的最小值为 ．
【答案】
【详解】由直线的函数表达式，得点，，，则．
点P的坐标为，，，如图，
作点P关于y轴的对称点，点P关于直线的对称点N，则，
连接，交于点C，交y轴于点D，此时，的周长最小，
的周长．
连接，由对称可知，，，，
∴点N的坐标为．，的周长的最小值为．
故答案为．
变式2．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，、，动点在直线上，动点在轴上，当取最小值时，点的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：如图，作点A关于x轴的对称点D，连接，作点B关于直线的对称点E，连接，则，∴，
即当点D，P，Q，E四点共线时，取最小值，最小值为的长，
∵、，∴点，
设直线的解析式为，∴，解得：，
∴直线的解析式为，当时，，∴点．故答案为：
考点6.一次函数与几何最值综合压轴-逆等线
例1．（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，中，，则点B的坐标为 ；若点E，F分别是的边上的动点，且，当的值最小时，点E的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：作轴于点D，则，
∵点，中，，，∴∴
∵，∴，解得，
∴，∴点D的坐标是，∴点B的坐标是，
将线段绕点A逆时针旋转得到线段，作轴于点H，则，
∵∴，∴，
∴，，∴，
∴点C的坐标为，连接交于点P，连接，
设直线的函数解析式为，则，解得，∴，
设直线的解析式为，
，解得，∴直线的解析式为，
联立得到，解得，∴点P的坐标为，
∵，∴，∴，
∵，，∴当点E与点P重合时，取得最小值，
∴当的值最小时，点的坐标为，故答案为：，
变式1．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，以所在直线为轴，过点作的垂线为轴建立直角坐标系，分别为线段和线段上一动点，且．当的值最小时，点的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：过点作，使，连接，，，
∵，∴，∴，
∵，，∴，，∴，，，
∵，，∴，∴，∴，
∴当三点共线时，的值最小， 此时，点为线段与线段的交点，
∵，，∴，∴，
∵，，，∴，
设线段的函数解析式为，把、代入得，
，解得，∴线段的函数解析式为，
设线段的函数解析式为，把、代入得，
，解得，∴线段的函数解析式为，
联立函数式得，，解得，∴点的坐标为 ，故答案为：．
变式2．（2025·山东·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，等腰三个顶点在坐标轴上，，点D，E分别为上的两个动点，且．当的值最小时，则点D的坐标为 ．
【答案】/
【详解】解：如图：过点C作使，连接，
在和中，，∴，∴，，
∴最小值可转化成最小值，
当A、D、B在同一直线上时，最小，即长度；
∵，∴，∴
设表达式为:，由题意可得：
，解得：， ∴表达式为:，
将代入得: ，解得：，
∴D点坐标为．故答案为：．
考点7.一次函数与几何最值综合压轴-瓜豆原理
例1．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）在平面直角坐标系中，，过点 B 作直线l x 轴，点 是直线上的动点，以 为边在右侧作等腰，，直线 交 y 轴于点 C ．当点 P 在直线上运动时，点 Q 也随之运动．当 时，的值最小为 ．
【答案】
【详解】解：作轴，，则：，
∵为等腰直角三角形，，∴，
∵轴，∴，∴，
又∵，，∴，∴，
∵，，∴，
∴，即：，令，则：，
∴，∴点在直线上运动，
设直线与轴分别交于点，当时，，当时，，
∴，∴，∴，
作点关于直线的对称点，连接，则，，，
∴，即：，∴，∵，∴，
∴当点在直线上时，的长最小，为的长，
∵，，∴，
设直线的解析式为，把代入，得，解得，∴，
联立，解得，故当，
即，解得时，的值最小为；故答案为：，．
变式1．（2025·河南南阳·二模）如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段绕点P逆时针旋转得到线段，就称点B是点A关于点P的“等垂点”，如图2，已知点，点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“等垂点”，连接，则的最小值是 ，此时点P的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：如图，设，过点作轴，
，，，
，，，
，∴，∵，，点在上，
当垂直直线时，取得最小值，设直线与轴和轴的交点分别为，
令，得，令，得，∴，∴是等腰直角三角形，∴，
∵，∴，即的最小值是，此时，点的坐标为，
∴点的坐标为，∵，∴，∴点的坐标为，故答案为：，．
变式2．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，直线分别与x，y轴交于A，B两点，过点B的直线交x轴负半轴于点，，P为x轴正半轴上的一动点，以P为直角顶点、为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接，则的最大值为 ．
【答案】
【详解】解：∵直线分别与轴交于两点，令，则，∴，且，
∵为轴正半轴上的一动点，∴设，∴在中，，
∵是等腰直角三角形，，∴；如图所示，过点作轴于，
在中，，，
∴，∴，∴，
∴，，∴，
∴，且轴，∴是等腰直角三角形，，
则点的轨迹在射线上，如图所示，作点关于直线的对称点，
连接，，，，
∵是等腰直角三角形，即，根据对称性质，
∴，∴轴，且，∴，则，
如图所示，当点在一条直线上时，的值最大，最大值为的值；
∴由勾股定理得：，故答案为：．
考点8.一次函数与几何最值综合压轴-胡不归
例1．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线与轴、轴交于，两点，点为线段的中点，点为上一动点，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：直线与轴、轴交于，两点，
令，则有，令，则有，解得，
，，即，，，
，，，如图所示，连接，
点为线段的中点，，，
，为等边三角形，
过点作并延长与轴的交点即为所求的点，作点关于轴的对称点，连接，
则有，，
为等边三角形，，，
，为线段的垂直平分线，
，，，，
当、、三点共线时，值最小，最小值即为的长，
轴，轴，，，
，．故答案为： ．
变式1．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，已知直线：与x轴交于点B，点C在直线上，且点C的横坐标为，点F为线段上一点（不含端点），点，连接，一动点M从点A出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段以每秒个单位的速度运动到C后停止，当点M在整个运动过程中用时最少时点F的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解： 如图，分别作轴，轴，使直线交于点，
∵与x轴交于点B，∴时，，即，
∵点C的横坐标为，∴点C的纵坐标为，，，
又，为等腰直角三角形，过点作于点，连接，
，∴，
又当时，取得最小值此时即此时与交于
的横坐标等于的横坐标把代入得
即当时，在整个运动过程中用时最少．故选：A
变式2．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，直线交x轴于点，交y轴于点C，点D在直线上，且D的横坐标为3，E是线段上的点（不和端点重合），连接，一动点M从点A出发沿线段以每秒1个单位的速度运动到E，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点E的坐标是 时，点M在整个运动过程中用时最少．

【答案】
【详解】解：如图，过点作轴，轴点．过点作，交延长线于点．

动点从点出发沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止点在整个运动过程的用时，
点在直线上，，解得，
直线的解析式为：点的坐标为：，
，即点在整个运动过程所用的时间是线段与的长度之和，
当、、三点共线时，取得最小值．点的横坐标与点的横坐标相等，点在直线上
点的坐标为：点的坐标为故答案为：．
考点9.一次函数与几何最值综合压轴-其他类型
例1．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线：与坐标轴交于点、两点，点为线段外一动点，且，以为直角边作等腰直角三角形，其中．连接，求线段长的最大值 ，此时点的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：∵直线：与坐标轴交于点、两点，
当时，，即，当时，，即，
∴，是等腰直角三角形，∴，
如图，以为直角边作等腰直角三角形，连接，∴，，
∵等腰直角三角形，，∴，
∴即，∴，∴，
∵，∴∴，当在上时取得等于号，
此时，即线段长的最大值为；
∵等腰直角三角形，在上，∴
∵∴又∵∴
∵是等腰直角三角形，∴∴
如图所示，过点作轴于点，∴是等腰直角三角形，∴
∵∴，∴．故答案为：；．
变式1．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点是直线在第二象限上的一个点，点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为，连接，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：设直线分别与x轴，y轴交于G，H，连接，
在中，当时，，当时，，
∴，∴，∴；
设，∵点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为，
∴，，∴点D和点E关于原点对称，
∴三点共线，∴，
∴当时，有最小值，即此时有最小值，∵此时，
∴，∴的最小值为，故选：D．
变式2．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C的坐标为．给出下面四个结论：
①点A的坐标为；②是等腰三角形；③若点、在直线AB上，则一定有；④若点P是直线上的一个动点，则的最小值为4．上述结论中，正确结论的序号有 ．
【答案】①②④
【详解】解：当时，；当时，，解得，
∴，，故①正确；∴，
又，∴，∴，∴是等腰三角形，故②正确；
∵直线中， ，∴y随x 的增大而减小，
∵点、在直线AB上，，∴，故③错误；
∵点P是直线上的一个动点，∴当时，最小，
设的最小值为h，则，∴，∴，
∴的最小值为4，故④正确；故答案为：①②④．
考点10.一次函数与探究规律综合压轴
例1．（25-26八年级上·广东揭阳·月考）如图，已知直线（n为正整数）与x轴、y轴分别交于点、，的面积为，则 ．
【答案】
【详解】解：由题意得：和分别是直线与x轴，y轴的交点，
当时，当时，
∴，，∴，，∴，
∴，
，故答案为：．
变式1．（25-26八年级上·陕西西安·期中）《庄子天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”如图，直线：与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：把代入：得，∴，∴，即，
∵过点A作x轴的平行线交直线于点，把代入得，∴，
∵过点作轴的平行线交直线于点，把代入得，
∴，∴，即，同理可得，，
∴，即，∴，
∴，
∴当时得到：，故选：．
变式2．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，过点作x轴的垂线，交直线于点；点与点O关于直线对称；过点作x轴的垂线，交直线于点；点与点O关于直线对称；过点作x轴的垂线，交直线于点；…，按此规律作下去，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵点，轴，轴，轴，轴，……，轴，轴，点与点O关于直线对称；∴点，即；
点与点O关于直线对称；∴点，即；
点与点O关于直线对称；∴点，即；……，∴，
当时，，代入，
得，∴．故选：B．
1．（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：设直线的解析式为，代入
∴∴∴直线的解析式为
∵，A. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，
∴直线平移后的解析式为，此时经过原点，对应的经过整点，符合题意，B. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，
∴直线平移后的解析式为，此时原点在下方，对应的在整点上方，不符合题意，
C. 当为时，平移方式为向右平移个单位，，
∴直线平移后的解析式为，此时点在正方形内部，不符合题意，
D. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，
∴直线平移后的解析式为，此时点和在正方形边上或内部，不符合题意，故选：A．
2．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点的坐标为，直线的表达式为：．将直线沿轴向下平移个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵点的坐标为，正方形边长为3，
∴，，，将直线沿轴向下平移个单位，则平移后解析式为，
当过时，，解得；
当过时，，解得；
∴平移后的直线与正方形有交点，的取值范围是，故选：D．
3．（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，以点P为中心，把点A按逆时针方向旋转得到点B，在，，，四个点中，直线经过的点是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵点，点，

∴轴，，由旋转得：，
如图，过点B作轴于C，∴，∴，∴），
设直线的解析式为：，
则，∴，∴直线的解析式为：，
当时，，∴点不在直线上，
当时，，∴在直线上，
当时，∴不在直线上，
当时，，∴不在直线上．故选：B．
4．（2025·陕西西安·一模）直线与轴交于点，将直线绕点顺时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，设直线与轴交于点，与轴交于点，
在中，当时，，当时，，解得，
∴直线与轴交于点，与轴交于点，，
，是等腰直角三角形，，
设直线绕点逆顺时针旋转后所得直线与轴交于点，如图所示，
则，，
，∴，
设直线的解析式为，把点代入，得，解得，
∴直线的解析式为．故选：C．
5．（25-26八年级上·福建三明·阶段练习）已知直线分别交轴、轴于点、，点在第一象限内，且纵坐标为4．若点关于直线的对称点恰好落在轴的正半轴上，则点的横坐标为 ．
【答案】
【详解】解：直线，当时，，当时，，
∴，∴，
∵点在第一象限内，且纵坐标为4，若点关于直线的对称点恰好落在轴的正半轴上，
∴点的纵坐标为，轴，，设垂足为点，如图所示，连接，
∴，即线段与直线的交点的纵坐标为，∴当时，，解得，，
∴线段与直线的交点的横坐标为，∴线段与直线的交点坐标为，
∴，则，∴，
又，∴，∴，
∵对称，∴，且，∴，
∴，则，设，则，
∴，∴，在中，，
∴，解得，，∴，∴，故答案为： ．
6．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）如图，已知直线与轴、轴分别交于点和点，是线段上一点，将沿直线折叠，点恰好落在轴上的点处，则直线的函数解析式是 ．
【答案】
【详解】解：直线与轴、轴分别交于点和点，，，
在中，由勾股定理可知：，由折叠性质可知，
，设，则，由勾股定理得：，解得，，
设直线解析式为，代入点坐标得：，解得，
直线的函数解析式是．故答案为：．
7．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点．经过点A且与直线平行的直线交x轴于点B，现有点在线段上运动，点在x轴上，M为线段的中点．当C从点A开始运动，到点B停止运动，M点的运动路径长为 ．
【答案】)
【详解】解：设直线的解析式为，将代入关系式，得，
∴直线的解析式为：，令时，解得：，
∴，，，
取的中点，连接，，，∴；
将代入直线解析式可得，，
点M是的中点，，，
点C在直线上运动，点C从点A开始运动，到点B停止运动，
当时，此时的中点坐标为，当时，此时的中点坐标为，
设过这两个中点坐标的直线解析式为，代入这两点，得：，
解得：∴过这两个中点坐标的直线解析式为，
将点代入直线解析式，即，点M满足直线解析式，
∴点M的运动轨迹是一条从点运动到的线段，
，∴M点的运动轨迹长度为；故答案为：．
8．（2025·广东东莞·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在轴运动，点在轴上运动，满足．点为线段的中点，则点运动路径的长为 ．
【答案】
【详解】解：当点M和点N都在正半轴上时，设点M的坐标为，点N的坐标为，则点Q的坐标为，此时点Q在第一象限，
∵，∴，∴，即，
∴此时点Q在一条线段上运动，线段的两个端点都在正半轴上，坐标为和，
∴此时点Q的运动路径长为；同理，点Q可能在第二、三、四象限，
综上分析可知，点Q运动路径的长为．故答案为：．
9．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为和，点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当的周长最小时，点C的坐标是 ．
【答案】
【详解】解：作点A关于y轴的对称点，连接，，，如图所示：
根据轴对称可知：，∴，
∵为定值，两点之间线段最短，∴当点C在点处时，最小，即的周长最小，
点关于轴的对称点，设的解析式是，
则，解得：，则一次函数的解析式是，
当时，，∴此时点的坐标是．故答案为：．
10．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，与轴、轴分别交于点和点，点、分别为线段、的中点，点为线段上一动点，当的值最小时，则点的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：对于，令，则，解得，故；
令，则，故；是中点，故；是中点，故
作关于轴的对称点，设直线的解析式为，
代入、，得，，解得，
故直线的解析式为．令，则，解得，故．故答案为：．
11．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，中，，，则点的坐标为 ；若点，分别是的边，上的动点，且，当的值最小时，点的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：作轴于点D，则，
∵点，中，，，∴∴
∵，∴，解得，
∴，∴点D的坐标是，∴点B的坐标是，
将线段绕点A逆时针旋转得到线段，作轴于点H，则，
∵∴，∴，
∴，，∴，
∴点C的坐标为，连接交于点P，连接，
设直线的函数解析式为，则，解得，∴，
设直线的解析式为，，解得，∴直线的解析式为，
联立得到，解得，∴点P的坐标为，
∵，∴，∴，
∵，，∴当点E与点P重合时，取得最小值，
∴当的值最小时，点的坐标为，故答案为：，
12．（24-25八年级下·绵阳市·专题练习）如图，已知直线分别交x轴、y轴于点B、A两点，，D、E分别为线段和线段上一动点，交y轴于点H，且．当的值最小时，则H点的坐标为

【答案】
【详解】解：令，则，∴，
令，则，解得：，∴，
∵，∴，取点连接．
∵，∴，∴，，
∵，，∴，∴，
∵，，∴，∴，∴，
∵，∴的最小值为线段的长，
∴当B，E，F共线时，的值最小，设直线的解析式为：，
把，代入，得，解得：，∴，
当，则，∴，∴当的值最小时，则H点的坐标为．
13．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点，A为x轴上一动点，将线段绕点A顺时针旋转得到连接当取最小值时，点A的坐标是 ．
【答案】
【详解】解：在x轴的正半轴上取一点H，使得，在上取一点D，使得．
，，，
，，，
，，，
，，，，，
设直线的解析式为，，直线的解析式为，
点C在直线上运动，作于点P，，
此时点，即，设，
，，解得，点故答案为：．
14．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，，连接，则的最小值是 ．

【答案】3．
【详解】如图，作DH⊥x轴于H．
∵∠AOB=∠ABD=∠BHD=90°，∴∠ABO+∠BAO=90°，∠ABO+∠DBH=90°，∴∠BAO=∠DBH，
∵AB=DB，∴△ABO≌△BDH（AAS），∴OA=BH=3，OB=DH，∴HD=OH-3，∴点D在直线y=x-3上运动，
作O关于直线y=x-3的对称点E′，连接AE′交直线y=x-3于D′，连接OD′,则OD′= D′E′
根据“两点之间，线段最短”可知此时OD+AD最小，最小值为AE′，
∵O（0，0），O关于直线y=x-3的对称点为E′，∴E′（3，-3），
∵A（0，3），∴AE′=3，∴OD+AD的最小值是3，故答案为：3．
15．（24-25八年级·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线l1和直线l2:相交于y轴上的点B，分别交x轴于A、C且∠OBC＝30度．点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，当EF＋CF最小时，此时的最小值为 ．
【答案】F（1，），PF+OP的最小值为 ；
【详解】解：令x=0，则y=，∴B（0，），∴OB=，
∵∠OBC=30°，∴OC=×，∴C（1，0），
令y=0，则，∴x=3，∴A（3，0），∴OA=3，∴AB=2，
∴∠ABO=60°，∴∠ABC=90°，∴C点关于直线l1的对称点C'在l2上，
如图1，过点C'作C'K⊥y轴交K点，
∵∠KBC'=∠CBO，∠C'KB=∠BOC，BC=BC'，∴△C'KB≌△COB（AAS），∴BK=BO=，
∴C'的纵坐标为2，∴，∴x=1，∴C'（1，2），
连接C'E交l1于F，∵EF+CF=EF+C'F≥C'E，∴当C'、E、F三点共线时，EF+CF的值最小为C'E，
设直线C'E的解析式为y=kx+b，
∵E（5，0），C'（-1，2），则，∴，∴，
∴，解得x=1，∴F（1，），
作第二、四象限的角平分线l3，，过点F作FQ⊥l3，，交y轴于点P，交l3，于点Q，
在Rt△PQO中，∠POQ=45°，∴，∴PF+OP=PF+PQ≥FQ，
当P、F、Q三点共线时，PF+OP的值最小，
过F作FG⊥x轴交l3，于点G，∴△FQG为等腰直角三角形，∴FQ=FG，
∵l3，的解析式为y=x，∴G（1，1），∴FG=1+，∴FQ=+，
∴PF+OP的最小值为+．
16．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为_________．
【答案】6
【详解】如图所示，作，过点C作于D，则；
在中，当时，，当时，，
∴，∴，，
∴，∴；∵，
∴当有最小值时有最小值，此时B、C、D三点共线，
在中，BD=3，∴的最小值为6．
17．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在线段上，轴，垂足为C，则周长的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：在函数中，当时，，当时，，
，，∴，∴，，
∵轴，∴为等腰直角三角形，∴，
∴的周长，
∴当最小时，的周长最小，∴当时，最小，
此时：，∴，∴，
∴的周长最小为；故答案为：．
18．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，C为中点(O为坐标原点)，D点在第四象限，且满足，则线段长度的最大值等于 ．
【答案】
【详解】解：∵直线分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴，∴，∴，
取中点E，连接、、，作交延长线于M，
∵，∴，∴，∴为等腰直角三角形，
∵，∴，即，
在和中，，∴，∴，∴，
∵，∴，
∴，故的最大值为，故答案为：
19．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为 ．
【答案】
【详解】根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点、、、、、、、、、等的坐标．解：当时，，点的坐标为；当时，，∴点的坐标为；
同理可得：，，，，，，，．
故答案为：．
20．（25-26八年级上·安徽六安·月考）正方形，，，…，按如图的方式放置，点和点分别在直线和轴上，则点的坐标是 ．
【答案】
【详解】解：如图，
∵直线，∴当时，，∴，
∴的横坐标是，的纵坐标是，
当时，，∴，∴的横坐标是，的纵坐标是，
当时，，∴，∴的横坐标是，的纵坐标是，……
∴的横坐标是，的纵坐标是∴点的坐标是，即．
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