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专题5.8 一次函数与几何图形综合压轴（解答类）
1. 熟练掌握一次函数与特殊的几何图形综合压轴；
2. 熟练掌握一次函数与新定义综合压轴；
3. 熟练掌握一次函数与其他问题综合压轴。
模块1：核心考点 2
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1.一次函数与直角三角形综合压轴 2
考点2.一次函数与等腰三角形综合压轴 5
考点3.一次函数与等腰直角三角形综合压轴 8
考点4.一次函数与全等三角形综合压轴 14
考点5.一次函数与特殊角度综合压轴 18
考点6.一次函数与长度问题综合压轴 22
考点7.一次函数与面积问题综合压轴 27
考点8.一次函数与新定义问题综合压轴 32
考点9.一次函数与其他问题综合压轴 37
模块2：培优训练 42
考点1.一次函数与直角三角形综合压轴
例1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，直线与直线相交于点，直线与轴交于点．
(1)填空： ， ；(2)求的面积；(3)点是轴上一个动点，①当值最小时，请直接写出点的坐标 ；②当以点为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点的坐标 ．
【答案】(1)2，(2)24(3)①；②或
【详解】（1）解：∵点在直线上，∴，解得，∴点，
∵点在直线上，∴，解得，故答案为：2，；
（2）解：∵直线与轴，轴分别交于两点，
令，可得；令，可得，∴点，点，
∵直线与轴交于点，令，可得，∴点，
∴，∴；
（3）解：①作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，如图，
则，此时值最小，最小值为，
∵点，∴点B关于x轴的对称点点，
又点，设直线的表达式为，
∴，解得，∴直线的表达式为，
令，可得，∴点的坐标为；故答案为：；
②∵，∴，
当时，∴，即，∴点的坐标为；
当时，又，∴，即，
∴点的坐标为；综上，点的坐标为或．故答案为：或．
变式2．（25-26八年级上·陕西西安·期中）【初步探究】（1）如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与直线交于点，两条直线与轴分别交于点和点，求的面积；
【灵活应用】（2）如图2，在平面直角坐标系中，是某校将要扩建的校园活动区示意图，边所在直线的表达式为，边所在直线的表达式为，与交于点，为垂直于边的一条跑道，点为线段上的动点，连接，为休闲区域，将沿直线翻折得到，线段交轴于点，为运动区域，为扩建的拉伸区域，当为直角三角形时，求出点的坐标．
【答案】（1）；（2）或
【详解】解：（1）把点代入中，得，
所以直线的表达式为，把点代入中，
得，所以，把代入中，得，
所以直线的表达式为，所以当时，，即点，
所以当，的边上的高为4，所以；
（2）因为点在直线上，所以，所以，即直线的表达式为，
当时，，解得，即，
当为直角三角形时，共有两种情况，
①如图，当时，由题可得，，所以，
因为轴，所以，所以，因为，所以
②如图，当时，由题可知，，，
所以，所以，
设，则，在中，，
所以，解得，所以，所以，
综上所述，点的坐标为或
考点2.一次函数与等腰三角形综合压轴
例1．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图1，已知直线分别交x轴、y轴于A，C两点，直线交x轴于点B，且，．
(1)求k的值；(2)如图2，D为线段上一点，设点D的横坐标为m，过点D作轴交于点E，使，求m的值；(3)在（2）的条件下，探究x轴上是否存在一个动点P，使得以点D、O、P为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)(3)、 、、
【详解】（1）解：∵直线交y轴于点C，∴，即，
∵，∴，即，
将代入可得：，解得：．
（2）解：∵，∴，即，
设直线的解析式为，将代入，得：
，解得，∴直线的解析式为，
∵D为线段上一点，设点D的横坐标为m，∴，
∵轴，∴点E的纵坐标与点D的纵坐标相同，
将代入直线的解析式，得，解得：，
∴，∴ 的长度为，
由，得，解得：或，
∵D在线段上，，∴，∴．
（3）解：由（2）可得，即，
设轴上动点的坐标为，则，，，
①当时，即，解得：或，∴对应点的坐标为和；
②当时，即，解得：或，
当时，P与O重合，不能构成三角形，舍去；当时，P的坐标为，符合条件；
③当时，，解得：，∴对应点的坐标为．
综上，满足条件的点P坐标为、 、、．
变式1．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知直线分别与轴、轴交于点A，B，点在线段的延长线上，且．
(1)求线段的长．(2)求点的坐标．(3)如图2，连接，在轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)(2)(3)存在，点的坐标为或
【详解】（1）解：在中，当时，，当时，，
∴；∴．
（2）解：∵，，设，∴，，∴，，∴．
（3）解：设，而，，∴，，，
∵在轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形，
∴或，
当时，∴，∴，∴或，
当时，∴，解得：或（舍去），∴．
综上所述，点D的坐标为或或．
变式2．（24-25八年级下·重庆九龙坡·月考）如图，直线与轴、轴分别交于点A、B，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点．(1)求点A、B的坐标以及直线m的解析式；(2)若P为直线m上一动点，，求点P的坐标；(3)在x轴上是否存在一个动点Q，使得为等腰三角形？若存在．请求出Q点的所有坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)、，直线的解析式为(2)或
(3)存在，
【详解】（1）解：令则；令则，解得，
∴直线与轴、轴分别交于点、；
设直线的解析式为，代入，得
，解得，∴直线的解析式为；
（2）解：∵直线经过点，且与轴交于点．
∴，∴，，∵为直线上一动点，∴设，
过作轴交于，则，，∴
∵，∴，整理得，
解得或，∴或；
（3）解：∵，∴，
由勾股定理，得，
∵Q在x轴上，∴设，则，，
①当时，∵，
∴，解得或，∴点Q的坐标为或．
②当时，∵，
∴，两边平方，得，即，
解得（与A重合，舍去）或，∴点Q的坐标为，
③当时，∵，∴，
两边平方，得，即，解得，∴点Q的坐标为．
综上所述，满足条件的Q点坐标为：．
考点3.一次函数与等腰直角三角形综合压轴
例1．（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A，B两点，过x轴负半轴上一点C作直线交y轴正半轴于点D，且．
(1)求直线的函数表达式；(2)如图2，点是线段上一点，连接，作交于点N，连接，求点N的坐标；(3)如图3，若点为直线上的点，点P为y轴上的点，点Q为直线上的点，且是以点E为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出此时Q点的坐标．
【答案】(1)；(2)点N的坐标为；(3)Q点的坐标为或．
【详解】（1）解：把代入得：，∴点，∴，
把代入得：，∴点，∴，
∵，∴，∴点，点，
设直线的函数表达式为，则，解得，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：∵直线对应的函数表达式为，当时，，∴，
∵，∴，
又∵，∴，即，
∵∴，则是等腰直角三角形；
，即，∴，∴，
分别过点M、N作轴于点E，轴于点F，∴，

∵，∴，
∴，∴点N的坐标为；
（3）解：直线上存在点Q，使是以E为直角顶点的等腰三角形．
∵为直线上的点，∴，∴，
①当点P在点B下方时，如图，连接，过点Q作，交的延长线于M点，
∵，，∴轴，，点M的纵坐标为3，，
∵是以E为直角顶点的等腰直角三角形，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴Q点的纵坐标为，把代入中得：，∴点；
②当点P在点B上方时，如图，过E点作轴，过点Q作于M点，过P点作交的延长线于N点．则，
∵，，∴N点的横坐标为，则，
∵是以E为直角顶点的等腰直角三角形，∴，
∴，∴，∴，∴，
∵，∴M点的纵坐标为，∴Q点的纵坐标为，
把代入中得：，∴；综上所述，直线上存在点Q，使得是以E为直角顶点的等腰直角三角形，Q点的坐标为或．
变式1．（25-26八年级上·山东济南·期中）【考点构建】（1）如图1，将含有的三角板的直角顶点C放在直线l上，过点A作于点D，过点B作于点E，请写出图1中（除外）相等的线段，并证明；
【初步感知】（2）如图2，直角三角板放置在平面直角坐标系中，点C的坐标为，点B坐标为，请求出点A的坐标和直线的表达式；
【深入探究】（3）如图3，点A坐标为，点B坐标为，过点B作x轴的平行线l，点P是直线l上的一个动点，点D是一次函数图象上的一个动点，当是一个以为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出点D的坐标．
【答案】（1），；证明见解析；（2）；（3）点D坐标为或
【详解】解：（1），；
证明：由题可知，∴，
在和中，，∴，∴，；
（2）如图，过C作轴，再分别过A、B作的垂线段，垂足分别为点D、E，
∵点C的坐标为，点B坐标为，∴，，
由题可知，∴，
在和中，，∴，
∴，，∴，
设直线表达式为，将点A和点B坐标代入得，
，解得，∴直线的表达式；
（3）设点D坐标为，当时，且点D在x轴上方时，如图，
此时，，，
同（1）法可得，∴，
∴，解得，∴；
当时，且点D在x轴下方时，如图，此时，
同理可得，∴，
又∵，∴，此时方程无解，即不存在此种情况；
当时，如图，此时，
同理可得，∴，即，解得，∴；
如图，，点P在左侧，如图，此时，，
同理可得，∴，∴，方程无解，即不存在此种情况；
综上，点D坐标为或．
变式2．（25-26八年级上·陕西西安·期中）美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点作直线，过点作于点，过点作于点，研究图形，不难发现：．
(1)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，，点的坐标为，点的坐标为，则点坐标为 ；(2)如图3，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式；(3)如图4，直线分别交轴、轴于点，直线过点交轴于点，且，若点是直线上的一个动点，点是轴上的一个动点，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点和点的坐标．
【答案】(1)(2)(3)，或，
【详解】（1）解：如图2，过点轴于E，
∵点C的坐标为，A点的坐标为，∴，，
∵等腰，，，又∵轴，∴，
∴，，∴，
在和中，，∴，
∴，，∴，∴，故答案为：；
（2）解：若将直线绕点A顺时针旋转得到，
如图3，过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D，
∵，∴，由（1）的考点可得，
∵与x轴的交点，，∴，，∴，
设直线的解析式为，∴，解得，∴；
（3）解：∵直线分别交x轴、y轴于点A，C，∴，，
∵．∴，∴，设点，点，
∵是以为斜边的等腰直角三角形，∴ ，，
如图4，当点M在上方时，
分别过点Q、B作y轴的平行线、，过点M作x轴的平行线分别交、于点G、H，
由（1）的考点可得：，∴，，即，，
解得，；故点、点；
同理，当点M在下方时，∴，，解得，故点、点；
综上，，或，．
考点4.一次函数与全等三角形综合压轴
例1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图1：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点．
(1)求点的坐标和直线的解析式；(2)如图2，当点运动到某一位置时，，求此时点的坐标；(3)如图3，当于点，点为直线上不与点、重合的一个动点．在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与全等，若存在请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，(2)或(3)或或或
【详解】（1）解：∵直线与轴、轴分别交于、两点，
∴，即，∴，即，
将点A坐标代入得：，解得，∴直线的解析式为．
（2）解：由（1）可知：，∴，
∵，∴，设点C的横坐标为m，则上边上的高为，
∴，解得：，∵点C在直线上，∴当时，，即；
当时，，即．∴点C的坐标为或．
（3）解：存在满足条件的点Q，
∵，∴，
∴以O、P、Q为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，.
①当时，∴，即点P的横坐标为或，如图：
∴点P的纵坐标为或，∴点Q的坐标为或；
②当时，，即点P、Q的纵坐标为或，如图所示：
∴点Q的坐标为或．
综上，点Q的坐标为或或或．
变式1．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点，且．
(1)求的值；(2)若点为线段上一点，连接，将沿着折叠，使点落在轴的点处，求点的坐标；(3)如图2，作，点为直线上一动点，点为轴上一动点，是否存在以为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)(3)存在；或，或．
【详解】（1）解：当时，，∴，∴
∵，∴，∴，把代入，即解得．
（2）解：∵，，∴，
由折叠的性质可知：，，∴，
∴，∴．设，
则，，则，在中，，
即，解得：，∴
（3）解：∵，，∴，
∴以O，E，F为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，，
当时，∴，∴点E的横坐标为：或，
由（1）直线的解析式为，
∴点E的纵坐标为：，或，故或
当时，∴，∴点纵坐标为或，
∴点E的纵坐标为或，即或，
解得：或，∴或
综上：存在以为顶点的三角形与全等，则点E的坐标为：或，或．
变式2．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B．点C在y轴正半轴上，把沿折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点D处．直线交直线于点M．点P是y轴正半轴上的一动点，点Q是直线上的一动点．
(1)填空：点A，B，C坐标分别为A_______，B_______，C______．(2)求的面积，
(3)连接．与全等（点P与点C不重合），直接写出所有满足条件的点Q坐标．
【答案】(1)，，(2)(3)所有满足条件的点Q坐标为或或
【详解】（1）解：在中，当时，，即，
当时，，解得，即，
∴，，∴，设，则，
由折叠的性质可得，，∴，
由勾股定理可得：，∴，解得：，∴；
（2）解：设直线的表达式为，
由（1）可得：，，代入表达式可得，
解得，∴直线的表达式为，
联立，解得，∴，∴；
（3）解：由（1）（2）可得：，，，∴，
∵，，，
∴，∴为直角三角形，且，
，
∵与全等（点P与点C不重合），
∴当点在的延长线上时，当时，过点作轴，过点作轴，如图：
∵，∴，把代入可得，
，此时；
当点在的延长线上时，当时，过点作轴，如图：，
由题意可得：，，∴，
∵，∴，把代入可得，，此时；
当点在上时，∵点与点不重合，∴不存在；
当点在上时，当，如图：
∵，∴，∴把代入可得，，此时；
综上所述，所有满足条件的点Q坐标为或或．
考点5.一次函数与特殊角度综合压轴
例1．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与轴轴分别交于，两点．直线的图象与轴交于．直线与直线交于点．
(1)求点的坐标及直线的表达式；(2)若点在直线上，且为直角三角形，直接写出点的坐标；(3)在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)点，直线的表达式为：．(2)点E的坐标为或；
(3)存在，点P的坐标为或
【详解】（1）解：当时，，解得：，即点，
∵直线经过点，∴，解得：，则直线的表达式为：．
（2）当中时，，解得∴，
当中时，，解得∴，
当时，为直角三角形，此时，则，故；
当时，为直角三角形，过作于F，
∵，，∴，
∴，∴，∴，
当时，，得，∴，
综上，点E的坐标为或；
（3）存在，理由：当点P在y轴左侧时，
∵，则，即，
设，由点A，P，C的坐标得，，，得，即点；
当点在y轴右侧时，则与左侧时的点P关于点H对称，故此时
综上，存在，点的坐标为或
变式1．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与直线相交于点，与轴交于点，与轴交于点，且，满足．
(1)求一次函数的解析式；(2)若点为直线上一点，且，求点的坐标；
(3)如图2，点在第一象限，连接，，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，，求的长．
【答案】(1)(2)点的坐标为或(3)
【详解】（1）解：，，，，，，，
，解得，
（2）如图，过点作轴，交直线于点，
直线的解析式为，且与直线相交于点，，解得，，
，，，，
设直线的解析式为，则，，直线的解析式为，
设，则，，，
即解得：或，
点的坐标为或
（3）在上截取线段，使得，∴，
∵∴为等边三角形∴
∴即
在和中∴∴
∵∴∴
∵在中，，，∴∴
∴∵在中，∴
变式2．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，且直线与直线平行．
(1)k= ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；(2)在y轴正半轴上有一点C满足，与连成直线，直线与直线交点为E．直线上有一动点P，满足，求P点坐标；(3)将直线绕点E顺时针旋转后得到一条直线l，求直线l的表达式．
【答案】(1)，，(2)或(3)
【详解】（1）解：∵直线与直线平行，∴，则直线的解析式为．
当时，，所以点的坐标为．
当时，，解得，所以点的坐标为．故答案为：，，；
（2）解：由，且点在轴正半轴上，∴．
设直线的解析式为，∵直线过点和，
∴，解得，∴直线解析式为．
联立直线和的解析式得：解得，代入得，
∴点的坐标为．的面积，则．
设点的坐标为，如图，过点作轴的平行线交直线于点，
当时，，解得，，，
当点在线段的延长线上时，如图，
解得：，点的坐标为；
当点在线段的延长线上时，即为图中点，解得：，点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或；
（3）解：如图，将线段绕点沿顺时针方向旋转得线段，过点作，过点G作轴的平行线交轴于点，过点作于点，
设，，∴，∴，
，∴，
∴，∴，∴，
，，∴，解得，∴，
由题意可得将直线绕点E顺时针旋转后得到一条直线l，此时直线l过点，
设直线l的关系式为，则，解得，∴直线l的关系式为，
考点6.一次函数与长度问题综合压轴
例1．（25-26八年级上·湖北恩施·期中）如图1所示，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，．
(1)若点．①求点B的坐标；②如图2，若垂直y轴于点C，轴于D，与交于点E，求点E的坐标（直接写出结果）；
(2)如图3，P为第一象限的一动点，Q为x轴上的点，，且，M为的中点，试探究与的数量关系与位置关系．
【答案】(1)①；②(2)，详见解析
【详解】（1）解：①如图，作轴交x轴于点，作轴交x轴于点，
∵，∴，，∵轴，∴，
∵，∴，∴，
∵为等腰直角三角形，，∴，
在和中，∴，
∴，，即；
②解：∵，∴，，
∵垂直y轴于点C，轴于D，∴
∵，∴，，∴，
∵为等腰直角三角形，，∴，
在和中，∴，
∴，，即，；设直线解析式为，
将，代入得：，解得：，即直线解析式为，
同理可得直线解析式为，当时，，此时，即；
（2）解：，理由如下：如图，延长，使，连接，，，
∵M为的中点，∴，在和中，，∴，
∴，，∴，，∴，
∵，，∴，，∴，
∵，，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∵为等腰直角三角形，，∴，
在和中，，∴，∴，，
∵，∴，即为等腰直角三角形，
∵，∴M为等腰直角三角形斜边上的中点，∴．
变式1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于点，与直线相交于第二象限，交点为点，且点的纵坐标为．
(1)点的坐标为_____________，点的坐标为_____________；(2)点为直线上一点，且点在第一象限，若的面积与的面积相等，求直线的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，点为线段上一点，过点作轴的平行线，与直线，直线分别相交于点，若，求点的坐标．
【答案】(1)；(2)(3)点的坐标为或．
【详解】（1）一次函数的图象分别交轴，轴于点，
令，则，解得：，；
令，则，；故答案为：；
（2）因为点的纵坐标为，把代入，得，所以，设，
因为的面积与的面积相等，所以，解得，所以，
设直线的函数表达式为，将代入，得，解得．
所以直线的函数表达式为．
（3）设直线的函数表达式为，将代入，得，解得，
所以直线的函数表达式为，
设，所以，
如图-1，当点在线段上时，因为，所以
所以，所以点的坐标为；
如图-2，当点在线段上时，因为，所以，
所以，所以点的坐标为，综上所述，点的坐标为或．
变式2．（25-26八年级上·福建漳州·期中）设直线（）与轴，轴分别交于，两点．设直线交轴于点，过点作垂线交直线于点．
(1)求点的坐标．(2)当时，记点，点是轴负半轴上一点，且，连接．试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
(3)动点在直线上，从点出发，以每秒1个单位长度的速度向上运动，连接，在运动过程中，直线交轴于点，请直接写出与的数量关系．
【答案】(1)点的坐标为(2)直线经过点(3)当时，；当时，
【详解】（1）解：对于直线（），
当时，，点的坐标为．
（2）解：直线经过点．理由如下：直线与轴交于点，
，，，当时，，点的坐标为．
如图，过点作轴，，，
，，，
由题意知点的横坐标为，，，，
，，，
点是轴负半轴上一点，且，，
设直线的解析式为，将，代入，
得，解得，直线的解析式为，
时，，直线经过点．
（3）解：如图，，设点的运动时间为秒，则，
设直线的解析式为，则，，，
当时，，解得，；
如图，当时，点在点右侧，，
，，
又，，，即；
如图，当时，点在点左侧，则，，
，，即，
综上所述，当时，；当时，．
考点7.一次函数与面积问题综合压轴
例1．（25-26八年级上·内蒙古包头·月考）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线与直线交于点．已知直线与y轴交于点，与x轴交于点E．
(1)求点A、B的坐标；(2)求直线的解析式；(3)求的面积；(4)在直线上有一点P，且满足的面积是面积的，求点P的坐标．
【答案】(1)，(2)(3)5(4)和
【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴当时，，即；当时，，即．
（2）解：∵直线经过点，，，
设直线的解析式为，∴，即，∴直线的解析式为．
（3）解：∵，，∴，∴．
（4）解：∵直线的解析式为．∴，∴，
∴，∴；
①如图，当点P在点D的上方，
设点P的坐标为，
∵，∴，解得：，∴；
②如图，当点P在点D的下方，
设点P的坐标为，
∵，∴，解得：，∴．
综上，点P的坐标为和．
变式1．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图1，直线的函数表达式为：，直线与轴，轴分别交于点，点，与直线交于点，直线与轴，轴分别交于点，点．
(1)求直线函数表达式；(2)如图2，点是轴上的一个动点，过点作直线垂直于轴于点，交直线，直线分别于点，点，设点的纵坐标为，当时，求的值；(3)在直线上存在另一点，使得的面积是面积的2倍，直接写出点的坐标．
【答案】(1)(2)或(3)或
【详解】（1）解：将点代入中，得，解得．
∴点的坐标为设直线函数表达式为
将点、代入中，得解得∴直线函数表达式为．
（2）解：如图所示：中，当时，∴点的坐标为
在直线中，当时，∴点A的坐标为∴．
∵直线轴于点，点的纵坐标为∴点，点的纵坐标都为
∵点在直线上∴点的坐标为．
∵点在直线上∴点的坐标为．∴
∵∴解得，或．
（3）解：令的得，∴，
，故面积为．
设，，，得，
即，对应或．
变式2．（25-26八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系与几何图形变换的综合问题中，我们常常通过旋转构造、函数性质、全等图形等变换方式探究点的坐标与图形性质并解决问题．运用几何与函数结合的考点能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何与函数考点的“数学之美”．
【图形旋转与全等】（1）如图1，在中，，将绕点逆时针旋转得到，延长线交于点，连接，过点作交直线于点．求证：；
【一次函数与旋转交线】（2）如图2，将图1以为原点建立平面直角坐标系，若边所在直线为，分别与轴、轴交于点、点．①求边所在直线的函数表达式；②若点是直线上的动点，当的值最小时，求此时点的坐标．
【面积与点的坐标】（3）在（2）的条件下，点是直线上一动点，当的面积为30时，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】（1）证明见解析；（2）①边所在直线的函数表达式；②点的坐标为；
（3）点坐标为或．
【详解】（1）解：将绕点逆时针旋转得到，
，，，，，，
，，，
，，
在和中，,，
，则为等腰直角三角形，．
（2）①解：边所在直线为，令，则，令，则，
点A的坐标为，点B的坐标为，
根据旋转的性质，点的坐标为，点的坐标为，
设所在直线为，将坐标代入得，可得，直线表达式为．
答：边所在直线的函数表达式．
②解：，，，，，
直线外一点到直线的所有线段中，垂线段最短，当点与点重合时，的值最小，
联立直线与直线，可得，解得，故点坐标为．
答：当的值最小时，点的坐标为．
（3）解：如图，过点作垂直于轴，与交于.
设点， 可得，，．
设到直线的距离为，根据（2）可知直线与直线垂直，故．
，的面积为30，，可得，
，， ，
当以为底时，的面积可表示为：，
当以为底时，的面积可表示为：，
，，，即，
当，解得，将代入，得，点坐标为；
当，解得，将代入得，点坐标为．
综上，点坐标为或．答：点坐标为或．
考点8.一次函数与新定义问题综合压轴
例1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）【材料：学习理解】
定义1：在平面直角坐标系中，点到点的“纵横值”定义为：．例如：到的“纵横值”．
定义2：在平面直角坐标系中，点到射线（或线段）的“纵横值”定义为：点到上所有的“纵横值”的最小值，此时上的对应点称为点在上的“纵横点”．例：求到射线的“纵横值”及在上的“纵横点”坐标．
分析：射线上任一点的坐标可表示为，则．结合正比例函数的图象可知，当时，的最小值为，即“纵横值”，此时在上的“纵横点”为．
【任务1：特值感悟】若坐标为，①到的“纵横值” （直接写出）；
②求到线段的“纵横值”及在上的“纵横点”坐标（写过程）；
【任务2：拓展应用】若，，且，则与的关系式为： （直接写出）；
【任务3：能力提升】若点在某条线段上的“纵横点”坐标为，相应的“纵横值”是8，点在直线上，①所有满足条件的点和直线以及轴组成了一个封闭图形，请在下图中的平面直角坐标系中画出该封闭图形；②若，过点的直线将任务3的①中封闭图形的面积分成两部分，直接写出直线的表达式 ．
【答案】任务1：①，②，；任务2：；任务3：①见详解，②或
【详解】解：任务1：①；故答案为：；
②设线段上任一点的坐标为，，
，，当时，，
即“纵横值”，此时在上的“纵横点”为．
任务2：，，
整理得：，故答案为：；
任务3：①设，“纵横点”坐标为，“纵横值”是8，
，整理得：，
所有满足条件的点和直线以及轴组成了一个封闭图形，如下：
②设，，
，，整理得：，，
联立得，解得，点为直线与直线的交点，
由图得，，，，，
设直线的解析式为，则有，解得，直线的解析式为；
同理可求直线的解析式为；故答案为：或．
变式1．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线l与坐标轴不平行，点P为直线l外一点．过点分别作轴交直线于点，作轴交直线于点，我们称折线为点关于直线的“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为即，
定义理解：（1）如图2，若直线l的表达式为 与x轴和y轴分别交于A，B两点，求．（点O为坐标原点）；
定义运用：（2）如图3，将直线l： 沿y轴向上平移n个单位长度后得到直线 m，与x轴和y轴分别交于D，C两点，当 时 （点O为坐标原点），求平移距离n的值；
定义拓展：（3）在（2）的条件下，y轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形，且点Q关于直线l的“L路径”与直线m有交点．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，点的坐标为或或
【详解】解：（1）把代入得：，把代入得：，解得，
、，，，；
（2）∵将直线l： 沿y轴向上平移n个单位长度后得到直线 m，∴直线m： ，
把代入得：，把代入得：，解得，
、，，，
，，解得：；
（3），、，根据勾股定理可得：，
点Q在y轴上，共分为三种情况：第一种情况，当时，或，
点关于直线l的“L路径”与直线m没有交点，故不符题意，即只有符合题意；
第二种情况，当时，，，；
第三种情况，当时， 设，，
根据勾股定理可得：，则，解得：，；
综上所述，存在，点的坐标为或或．
变式2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，对于图形给出如下定义：将图形上的一点变为点（称点为点的关联点．图形上所有点按上述方法变化后得到的点组成的图形记为图形，称图形为图形的关联图形．）
(1)点的关联点的坐标为 ；(2)点在直线上，点的关联点在直线，求点的坐标；(3)如图1，若点在第一象限，且，点的关联点，判断的形状并证明；
(4)已知，点，，，若四边形与其关联图形重合部分的面积为2，直线经过点，且与该关联图形有交点、请直接写出的最小值．
【答案】(1)(2)(3)为等腰直角三角形，详见解析(4)
【详解】（1）解：根据关联点的定义可知：，，
点的关联点的坐标为，故答案为：；
（2）解：点在直线上，可设点的坐标为，
又，，点的关联点的坐标为，
点在直线，，解得，，点的坐标为；
（3）解：为等腰直角三角形，证明如下：
，点和点在坐标系中的位置如图所示，
过作轴，交轴于点，过作于点，则，
，，，，，，，，
在和中，，，，，
，，，为等腰直角三角形；
（4）解：，，，，点关联点，点关联点，点关联点，点关联点，如图，在平面直角坐标系画出图形，
由图易知，重叠部分为等腰直角三角形，，
解得（负值舍去），，，，
直线经过点，设直线，
若直线与该关联图形有交点，则两个临界点为和，
当该直线经过点时，可有，解得，
当该直线经过点时，可有，解得，
∴取值范围为．∴最小值为．
考点9.一次函数与其他问题综合压轴
例1．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，直线 ：（k为常数，） 与 y轴交于点 A，直线：与 y轴交于点 B，两直线交于点 C．
(1)若点 B坐标为，求 k的值和点 C坐标；(2)在（1）的条件下，探究直线与直线的位置关系，并说明理由；(3)规定：横、纵坐标均为整数的点为整点，当 k为整数时，求 C为整点时的坐标；
(4)设直线落在内部（不含边界）整点的个数为 m，直接写出 m的值．
【答案】(1)2，(2)，理由见详解(3)(4)或
【详解】（1）解：将点代入直线：，可得，解得，
∴直线的解析式为，∴直线 的解析式为，
联立直线和的解析式，可得，解得，∴点 C坐标为；
（2），理由如下：设直线交轴于点，直线交轴于点，如下图，
对于直线：，当时，可有，解得，∴，
∵，∴，对于直线：，
当时，可有，即，
当时，可有，解得，即，∴，，∴，
又∵，∴，∴，
∵，∴，
∴，即；
（3）联立直线和的解析式，可得，解得，∴，
∵为整点，∴为整数，为整数，又∵，为整数，∴，∴点C的坐标为；
（4）把代入直线：，得，
把代入直线：，得，
∵，∴直线与直线和的两个交点间距离为，且，
当直线与直线和的两个交点中有一个点是整点时，可有；
当直线与直线和的两个交点中都不是整点时，可有．综上可知，或．
变式1．（24-25八年级下·江苏南通·期中）已知y关于x的一次函数的图象为直线．
(1)试说明：无论k为何值，直线总经过点；
(2)当时，函数最大值与最小值的差为4，求的解析式；
(3)已知y关于x的一次函数图象为直线，点E为上任意一点，过点E作y轴的平行线交于点F．若点E始终在点F的上方，试探究k与m的数量关系，并求出k的取值范围．
【答案】(1)见解析(2)或(3)且
【详解】（1）证明：∵，
∴当时，，∴无论为何值，直线总经过点；
（2）解：，
当时，随增大而增大，则当时，当时，函数有最小值，最小值为
当时，函数有最大值，最大值为
∵函数最大值与最小值的差为4 ，∴，解得：，∴此时的解析式为；
当时，随增大而减小，则当时，当时，函数有最大值，最大值为，
时，函数有最小值，最小值为
∵函数最大值与最小值的差为 4 ，∴，解得：，
此时，的解析式为；综上，的解析式为或；
（3）解：设点的坐标为，
∵过点作轴的平行线，交于点，∴点的坐标为，
∵点始终在点的上方，∴，∴恒成立，
∴，对于任意都成立，，即，
此时，即，解得：，综上，且．
变式2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）（1）【知识结论】我们知道一次函数的图象可以由直线平移个单位得到．
那么将一次函数的图象向上平移个单位长度，所得到的函数表达式为：________；
（2）【拓展探究】我们已学过平移、轴对称两种基本的图形变换，某数学小组利用平移和轴对称开展“探究一次函数图象经过图形变换后的函数表达式”的数学活动．
①（平移变换）将图1中一次函数的图象沿着轴向左平移个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式．小组探究发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在原图象上任取两点，，将这两点沿着轴向左平移个单位长度，得到对应点，，其坐标分别为（________），（________），从而求出直线对应的函数表达式为：______________________________；
②（轴对称变换）将图1中一次函数的图象关于轴对称，所得到的图象对应的函数表达式为：________________；
（3）【学以致用】将一次函数的图象沿轴翻折，然后将翻折后的部分先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的函数图象对应的函数为．由和的图象组成的函数图象对应的函数为．当时，，则的取值范围为________．

【答案】（1）；（2）①，，；②；（3）
【详解】解：（1）将一次函数的图象向上平移个单位长度，所得到的函数表达式为，
故答案为：；
（2）①，两点沿着轴向左平移个单位长度，得到对应点，，
设直线的解析式为，将点，代入得，解得，
直线对应的函数表达式为，故答案为：，，；
②在一次函数的图象上任取两点，，则，两点关于轴的对称点为，，
设直线的解析式为，将，代入得，解得，
直线的解析式为，即一次函数的图象关于轴对称的函数表达式为，
故答案为：；
（3），函数与轴交点为，与轴交于点．
这两点关于轴对称的对称点坐标分别为，．
将其向左平移个单位，再向上平移个单位得到对应点的坐标分别为，
函数的解析式为．，
当时，，随的增大而减小．
当时，，
当时，代入，得到，
，，矛盾，不合题意，舍去；
当，即时，，随的增大而增大，
当时，，，，不合题意，舍去；
当，即时，由图象知函数最小值为．
，，，，，
当时，，当时，，
当时，，则，当时，，则，
，．

1．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）【问题背景】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点B，C，作直线．
【问题提出】（1）求直线的函数表达式；
【初步探究】（2）如图1，若M是直线上的动点，是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
【拓展延伸】（3）如图2，点D的坐标为，P为x轴正半轴上的动点，以点P为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连接，过点Q作轴交于点G，求的最小值．
【答案】（1）；（2）或 ；（3）
【详解】(1) 解：将代入，则，∴点C的坐标为，
设直线的函数表达式为，将点，代入，
得，解得，∴直线的函数表达式为；
(2) 存在．令，解得，∴点B的坐标为，
∵点，，∴，，，
∴，∴，
∵，∴，∴，∴，∴，
∴当时，，解得，点M的坐标为；
当时，，解得，点M的坐标为．
综上所述存在点M的坐标为或，使得；
(3) 如图，连接，
∵，∴当C，Q，D三点共线时，的值最小，最小值为的长，
∵，，∴，，∴，即的最小值为．
2．（25-26八年级上·广东佛山·期中）新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴不平行，点为直线外一点．过点分别作轴交直线于点，作轴交直线于点，我们称折线为点关于直线的“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为即．
定义理解(1)如图2，若直线的表达式为，与轴和轴分别交于，两点，求．（点为坐标原点）；
(2)定义运用，如图3，将直线l：向左平移个单位长度后得到直线m：，与轴和轴分别交于，两点，当时（点O为坐标原点），求平移距离的值；
(3)定义拓展，在（2）的条件下，轴上是否存在点，使得△QAB为等腰三角形，且点关于直线的“L路径”与直线有交点．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)(3)存在，点的坐标为或或
【详解】（1）把代入得：，把代入得：，解得，
、，，，；
（2）把代入得：，
把代入得：，解得，
、，，，
，，解得：；
（3），、，根据勾股定理可得：，
点Q在y轴上，共分为三种情况：第一种情况，当时，或，
点关于直线l的“L路径”与直线m没有交点，故不符合题意，
即只有符合题意；
第二种情况，当时，，，
第三种情况，当时， 设，，
根据勾股定理可得：，则，解得：，；
综上所述，存在，点的坐标为或或．
3．（24-25八年级下·广东深圳·开学考试）在平面直角坐标系中，对于任意两点，的“特别距离”，给出如下定义：若，则点，的“特别距离”为；若，则，的“特别距离”为；例如：点，点，因为，所以点与点的“特别距离”为，也就是图中线段与线段长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线与垂直于x轴的直线的交点）．
(1)已知点，B为y轴上的一个动点，①若点A与点B的“特别距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标　　　；②直接写出点A与点B的“特别距离”的最小值　　　．
(2)已知C是直线上的一个动点，点D的坐标是，求点C与点D的“特别距离”的最小值及相应的点C的坐标．
【答案】(1)①或；②；(2)，
【详解】（1）解：（1）①∵B为y轴上的一个动点，∴设点B的坐标为．
∵，∴，解得或；
∴点B的坐标是或，故答案为：或；
②设点B的坐标为，当点A与点B的“特别距离”取最小值时，根据运算定义可知，
∴，∴当时，点A与点B的“特别距离”最小，最小值为；故答案为：；
（2）解：当点C与点D的“特别距离”取最小值时，根据运算定义可知，
∵C是直线上的一个动点，点D的坐标是，∴设点C的坐标为，
∴，，∴，此时，，∴，
∴点C与点D的“特别距离”的最小值为：，此时．
4．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点C使得，且，则称点为m的“等垂点”．例如：在，，三点中，因为，且，所以点C为1的“等垂点”．
(1)①点，，则 2的“等垂点”（填“是”或“不是”）．②如图1，若点，，则点C是4的“等垂点”，则点C的坐标为 ．
(2)如图2，若一次函数上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C的坐标．
(3)若在直线上存在无数个5的“等垂点”，且直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段上，点在内，，，连接，设，直接写出面积关于a的表达式．
【答案】(1)①是；②或(2)或(3)
【详解】（1）解：①∵点，∴，
∵，∴，∴，则是2的“等垂点”，故答案为：是．
②当点C在点B上方时，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点和点E，
∵点，，且点是4的“等垂点”，∴，，，，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴．
当点C在点B下方时，过点B作轴的平行线，过点C作于点F，轴于点H，过点A作于点E，如图所示：
∵点，，且点是4的“等垂点”，∴，，，，
同理得：，∴，
∴，∴，∴．故答案为：或．
（2）解：设当时，如图，过作轴于点，
∵轴，∴，∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，即或，
∵点在上，∴或，解得或(舍)，∴．
当时，如图，过作轴于点，同理可得或，
∵点在上，∴或，解得(舍)或，
∴．综上所述：或．
（3）解：∵直线上存在无数个5的“等垂点”，
∴直线与x轴交于点，与y轴交于点，
∴，解得：，∴直线解析式为，
如图，过点分别作轴于点Q，轴于点H，交于点N，
∵，，，∴，∴为直角三角形，
∴，∴，
∴，
即，解得：，
∴．
5．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图1，已知一次函数分别交轴、轴于点、，过点的直线与交于点．
(1)求直线的解析式；(2)如图1，连接，将直线绕点旋转，交直线于点，求的坐标；
(3)如图2，以为边向上方作正方形，正方形以每秒个单位长度的速度沿轴正方向平移，与重叠部分面积记为，请直接写出与时间的表达式（并写出自变量t的取值范围）．
【答案】(1)直线的解析式为(2)或(3)
【详解】（1）解：设直线的解析式为，代入，．
∴解得：∴直线的解析式为
（2）解：∵是与轴的交点，对于，当时，∴
∵一次函数分别交轴、轴于点、，当时，，当时，∴，
∵，，∴，，
∴，∴是等腰直角三角形，且
∴∴当点顺时针旋转，点与点重合，此时
当点逆时针旋转时，则是等腰直角三角形，
∴，即点是点和点中点，
∵，，∴即综上所述，或
（3）∵，则，即正方形的边长为，
如图，设正方形平移后的正方形为，设，交于点，
∴， 当时，，当时，，
∴，当点和重合时，此时，当时，，
∴当时，
当经过点时， 如图，设和交于点，则
∴当时，
当和重合时，，
∴当时， 如图，，，，
当过点时，
当时，如图，设，交于点，
∵直线的解析式为， 当时，
∴，，
∴
综上所述，
6．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）如图1，平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于A、B两点，与直线交于点．直线与轴交于点．
(1)求点，点的坐标；(2)如图2，为直线上的一个动点，当，求点坐标；
(3)如图3，为线段上的一个动点，点关于直线的对称点为，当恰好落在轴上时，直接写出点的坐标；(4)如图4，已知点，在轴负半轴上运动，在线段上运动，且，则最小值为_____．
【答案】(1)，(2)或(3)或(4)
【详解】（1）解：联立，解得：，∴，
令，则：，∴；
（2）当时，，
设则或或
（3）设，点关于直线的对称点，
，解得：，或
当时，的中点坐标为轴
此时，解得：，
当时，的中点坐标为，即为点，
设直线与轴交于点，则，
，解得：
设直线的解析式为：，把代入，得：解得：
联立解得：综上：或
（4）在轴的正半轴上截取，如图：
连接，交轴于，在轴的负半轴上截取，连接，
在和中，
此时的值最小，最小为
的最小值为故答案为：
7．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，正比例函数与经过点的一次函数相交于点，点的坐标为．
(1)观察图象，当时，自变量的取值范围是______；(2)点为正比例函数上一动点，作轴交一次函数于点，若，求点的坐标．
【答案】(1)(2)或
【详解】（1）解：观察图象得当时，函数的图象在函数的图象的上方，
∴当时，自变量的取值范围是．故答案为：．
（2）解：∵正比例函数经过点，∴，∴，
∵一次函数的图象经过点和，
∴，解得∶，∴一次函数的表达式为；
设点C的坐标为，∵轴，∴点D的坐标为，
∵，∴，解得或，∴点C的坐标为或．
8．（24-25八年级下·重庆荣昌·期末）如图，已知一次函数图像分别与轴交于点，两点，正比例函数图象与交于点，已知点的横坐标是1．
(1)求该一次函数的解析式；(2)轴上有一动点，连接，，当取最小值时，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，将正比例函数的图象沿轴向下平移1个单位长度，点对应点为，点对应点为，点是直线图象上一点，当时，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)(2)(3)或
【详解】（1）解：∵点的横坐标为1，当时，，∴，设直线的解析式为，
把，代入，得：，解得：，∴；
（2）作关于轴的对称点，则：，
∴当在线段上时，取的最小值，
∵，，同（1）法可得，直线的解析式为：，
∴当时，，∴；
（3）当时，，∴，∴，
∵，∴，∴，
将正比例函数的图象沿轴向下平移1个单位长度，得到，点对应点为，
∴，当时，，
设，过点作，且，连接，则：，
当点在直线下方时，过点作轴于点，作，交的延长线于点，
则：，，
∴，，
又∵，∴，∴，
∴，∴，同法可得，直线的解析式为：，
∵，∴点为直线与直线的交点，
联立，解得：，∴；
当点在直线上方时，同法可得：，直线的解析式为：，
联立，解得：，∴；综上：或．
9．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知直线分别与轴，轴交于，两点，直线：交于点．
(1)求，两点的坐标；(2)如图1，点是线段的中点，连接，点是射线上一点，当，且时，在轴上找一点，当的值最小时，求点坐标；
(3)在（2）的基础上，在直线上找一点，使，直接写出点的坐标；
(4)如图2，若，过点作，交轴于点，此时在轴上是否存在点，使，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，(2)(3)或(4)存在，或
【详解】（1）解：∵直线分别与轴，轴交于，两点，
∴当时，，即；当时，，即；
（2）设直线与直线交点为，作点关于轴的对称点，连接与，且与轴交于点，再连接，
∴，∴，即最小值为，
∵于点，，∴，∴，
∵，，点是线段的中点，∴，，∴，，
在和中，，∴，
∴，，∴，∴，
∵点在直线：上，∴，∴，∴直线表达式为，
联立，解得：，∴，
设直线表达式为，过点，，
∴，解得：，∴直线表达式为，
当时，，∴点坐标为；
（3）∵，，，∴，，∴，
如图，过点作的垂线，垂足为，连接、，
∵，∴，即，∴，∴点的纵坐标为，
把点纵坐标代入直线表达式中，得，∴点的坐标为或；
（4）过点作射线交轴于点，使，过点作射线交射线于点，再过作轴于点，
∵，直线：，∴设直线表达式为，过点，
∴，∴直线表达式为，当时，，∴，∴，
∵，∴，
∵，轴，∴，，
∴，∴为等腰直角三角形，∴，
∵，，∴，
在和中，，∴，
∴，，∴，∴，
设直线表达式为，过点，，
∴，解得：，∴直线表达式为，当时，，∴，
由对称性可知，另一个点在原点左边，即，
综上所述，在轴上存在点，使，点的坐标为或．
10．（25-26八年级上·吉林通化·月考）如图①，已知的顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，且．点A的坐标为，点B的坐标为，．
(1)求点C的坐标；(2)如图②，过点C作直线轴交于点D，交y轴于点E．
①求线段的长；②在坐标平面内，是否存在点M（除点B外），使得以点M、C、D为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)①；②存在，或或
【详解】（1）由题知，， ，
过作轴，，，
，，，
，，
，，
又在第二象限，所以点C的坐标为．
（2）①由（1）知，轴交于点D，
点D的纵坐标为1，将代入，得，，；
②存在，点M、C、D为顶点的三角形与全等，则M与B对应，
有如下三种情况：当时，则点和点B关于直线对称，则M的坐标为；
当时，则点和点B关于的中垂线对称，故的坐标为；
当时，则点和点关于对称，故的坐标为；
综上所述，点M的坐标为或或．
11．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以、为边在第一象限内作长方形．
(1)点B的坐标为______（直接填空）；(2)如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交于点，交于点D，连接，求点D的坐标；(3)在坐标平面内，是否存在点P（点B除外），使得与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)(3)点P的横坐标为0或或
【详解】（1）解：对于直线，令，则，解得；
令，则；∴，，∴，，
∴在长方形中，，，，
∴点B的坐标为；故答案为：；
（2）解：∵四边形是长方形，∴，由折叠的性质得，
设，则，在中，
∴，解得，∴，∴点D的坐标为；
（3）解：①当点P与点O重合时，，此时点P的横坐标为0；
②当点P在第一象限时，则，设与交于点，
∴，，，，
∴，∴，∴，
过点作，∵，∴，
∴点P的横坐标为；
③当点P在第二象限时，则，设与交于点，
∵，∴，
∴，，，，
∴，∴，即，设，
在中，，∴，解得，∴，
∴，过点作，∵，
∴，∴点P的横坐标为；∴综上所述，点P的横坐标为0或或．
12.（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过两点，点C在x轴正半轴上，且．
(1)求直线的函数表达式；(2)连接，在直线上取一点D，且点D在x轴上方，连接，若以A，C，D为顶点的三角形的面积是面积的2倍，求出D点的坐标；(3)在（2）的条件下，在线段，上分别取M，N，且使得线段轴，在x轴上取一点P，连接，，存在点M，使得为等腰直角三角形，请直接写出M点的坐标．
【答案】(1)直线的解析式为(2)点D的坐标为(3)或
【详解】（1）解：将点代入，
得，解得，∴线段的表达式．
（2）解：令，则，∴，
∵，且点在轴正半轴上，，
∴，，
设点的坐标为，如图①，过点作轴的垂线交轴于点，
则，，
即，解得：，∴点的坐标为．
（3）解：存在，点的坐标为或，
设直线的表达式为，将点代入，
得，解得，∴直线的表达式．
已知点在线段上，设点的坐标为，则，
∵轴，且点在上，∴将代入，得，解得：．
∴点的坐标为，
分三种情况讨论：①如图②，当为直角顶点时，点的坐标为，
，，解得：，∴点的坐标为．
②如图③，当为直角顶点时，点的坐标与①中情况相同；
③如图④，当为直角顶点时，，
过点作轴，交于点，则点为的中点，且，
∴点的坐标为，，
，，解得：，，∴点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或．
13．（25-26八年级上·河南郑州·期中）在“综合与探究”课上，老师让每位同学在练习本上画出一个长方形，然后以该长方形为基本图形，以小组为单位编制一道综合探究题．
经过思考和讨论，励志小组向全班同学分享了他们编拟的试题，得到了老师的认可．同学们也眼前一亮，纷纷动手，开始了探究．请你也跟他们一起来完成这道试题吧．
如图，分别以长方形的边，所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系．已知，，点在线段上，以直线为轴，把翻折，点的对应点恰好落在线段上．
(1)请直接写出点的坐标：______，______．(2)当点在运动过程中，设运动时间为秒．
①点从点出发以每秒个单位的速度沿线段的方向运动，当点与点重合时停止运动，求的面积与之间的关系式；②点是轴负半轴上的一个动点，若与轴交于点，是否存在等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在本题的探究过程中，让我们感悟的数学思想有______（填序号）．
①方程思想；②数形结合思想；③分类讨论思想．
【答案】(1)，(2)①；②存在，或或
(3)①②③
【详解】（1）解：由折叠可得，，
，，，，
，，设，则，，
，，，故答案为：，；
（2）解：①当点在上时，，此时；
当点在上时，如图，此时，
，，此时；
综上，的面积与之间的关系式为；
②存在等腰三角形，点的坐标是或或，理由如下：
当时，点，，，，；
当时，，，
，；
当时，如图，设，则，
，，，
综上，存在等腰三角形，点的坐标为或或；
（3）解：在本题的探究过程中，让我们感悟的数学思想有通过分类讨论求得点坐标，通过设，列出方程求得的长度，所以，让我们感悟的数学思想有方程的思想、数形结合思想和分类讨论的思想方法，
故答案为：①②③．
14．（25-26八年级上·四川成都·月考）如图1，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点，与y轴交于点D，与直线交于点E，且．
(1)求直线的解析式；(2)点F在y轴上，过点F作x轴的平行线，交直线于点M，交直线于点N，若，求点F的坐标；(3)如图2，将直线沿y轴向下平移得到直线，直线经过点C，将绕点A顺时针旋转α度（）得到，在旋转过程中，射线，射线分别交直线于点P，Q，当为等腰三角形时，直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)直线的解析式为 (2)点F的坐标为或
(3)点Q的坐标为或或
【详解】（1）解：令中，得；令，得，
∴，，∴，∵，∴，∴，
设直线的解析式为，∵直线过点，，
∴，解得，∴直线的解析式为；
（2）解：设点F的坐标为，∵过点F作x轴的平行线，交直线于点M，交直线于点N，
∴点M，N的纵坐标都为n，把代入直线，得，解得，
把代入直线，得，解得，∴，，
∵，∴或，∴点F的坐标为或．
（3）解：∵将直线沿y轴向下平移得到直线，直线经过点C，∴直线的解析式为，
①当时，
∵，∴，
∴点P与点C重合，即，∴点Q在y轴上，即；
②当时，∵，，∴，∴，
过点Q作轴于点M，则，∴；
③当时，，∵，∴，∴点Q的横坐标为，
当时，，∴，
综上，点Q的坐标为或或．
15．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与直线交于点，点的横坐标为， ， ．(1)求、两点的坐标；(2)点在射线上运动，点的横坐标为，的面积为．请用含的式子表示，直接写出的取值范围；(3)在（2）的条件下，当点在第一象限，且时，求此时点的坐标；点是平面上的任意一点，且是以为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出此时点的坐标．
【答案】(1)，；(2)(3)，点的坐标为或
【详解】（1）解：如图1，过点作轴于点，点的横坐标为，，
在中，，，，，
，，，，，，；
（2）当时，由（1）知，，，设直线的解析式为，
则，解得，直线的解析式为，，
，
当时，如图3，；综上所述，；
（3）如图4，点在第一象限内，，
，，，过点作，交于，，
过点作于，是等腰直角三角形，，，
，，
在和中，，，
，，，，
过点作于，同理：，综上所述，点的坐标为或．
16．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点．
(1)求m和的值；(2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒．
①求的面积S与时间t的关系式；②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)m的值是6，b的值是(2)①；②或
【详解】（1）解：∵点在直线上，∴，∴点，
∵函数的图象过点，∴，解得，即m的值是6，b的值是；
（2）解：①∵函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，∴点，点，
∵函数的图象与x轴交于点D，∴点D的坐标为，∴，
∵点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动），点E的运动时间为t秒，∴，，，
∴的面积，
即当的面积S与时间t的关系式为；
②如图，分两种情况讨论：
当时，，∵点，点，点，点，
∴，，∴，∴，∴，∴，∴，
∵，∴，解得，；
当时，∵，，∴，
∵，∴，解得，；
综上所述，当或时，是直角三角形．
17．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图1，在同一平面直角坐标系中，直线： 与直线 相交于点， 与x轴交于点 ， 直线与x轴交于点C．
(1)填空： ， ， ；(2)如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F．①求线段的长度；②当点E落在y轴上时，求点E的坐标；③若为直角三角形，请直接写出满足条件的点D的坐标．
【答案】(1)，，；(2)①；②点E的坐标为；③点D的坐标为或．
【详解】（1）解：把代入，
∵，∴，∴直线：，
把代入，∴，∴，
把代入，∵，∴．
∴直线 故答案为：，，；
（2）解：①∵直线，当时，解得，∴点C的坐标为，
如下图，过点A作轴于点H，作轴于点G，则，，
∵翻折得到∴，∴；
②当E点落在y轴上时，在中，∵
∴，∴，∴点E的坐标为；
③如下图，当时，由翻折得，∴，
∵，∴，∴，∴点D的坐标为；
如下图，当时，，设，则，
在中，由勾股定理得：，解得：，
∴，∴点D的坐标为， 综上，点D的坐标为或．
18．（24-25八年级下·四川巴中·期中）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数交于点，点的坐标为．
(1)求一次函数的表达式；(2)如图，点为直线上一动点，且位于第二象限，若，求点的坐标；(3)在（）的情形中，如图，点在轴上且在点左侧且，点从点出发，沿射线的方向以的速度运动，当点不与点重合时，将绕点逆时针方向旋转得到，连接．当点在射线上运动时，是否存在以、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)点的坐标为
(3)存在以、、为顶点的三角形是直角三角形，此时
【详解】（1）解：将点，代入一次函数中得：
，解得，一次函数的表达式为；
（2）解：一次函数的图象与轴交于点，，
当点在延长线上时，如图所示，过点作轴交于点，
设点，则点，，
， ，，
，解得，点的坐标为；
当点在线段上时，如图所示，过点作轴交于点，
设点，直线的解析式为，
则有，解得，，
，，， ，，
，解得，
点的坐标为，由于点位于第二象限，不符合题意，故舍去；综上，点的坐标为；
（3）解：存在，由（）可知，点的坐标为，
，，，，
，是等边三角形，，即，
将绕点逆时针方向旋转得到， ，，即 ，
是等边三角形，，
在和中，，，，
当点在之间时，即当时，如图，记与轴的交点为，
，， ，，
， 当以、、为顶点的三角形是直角三角形，有，，
是等边三角形，，，
是等边三角形，， ，
， ， ， ；
当点在之间时，即当时，如图，
，，，
不存在以、、为顶点的三角形是直角三角形．
综上，存在以、、为顶点的三角形是直角三角形，此时．
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专题5.8 一次函数与几何图形综合压轴（解答类）
1. 熟练掌握一次函数与特殊的几何图形综合压轴；
2. 熟练掌握一次函数与新定义综合压轴；
3. 熟练掌握一次函数与其他问题综合压轴。
模块1：核心考点 2
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1.一次函数与直角三角形综合压轴 2
考点2.一次函数与等腰三角形综合压轴 5
考点3.一次函数与等腰直角三角形综合压轴 8
考点4.一次函数与全等三角形综合压轴 14
考点5.一次函数与特殊角度综合压轴 18
考点6.一次函数与长度问题综合压轴 22
考点7.一次函数与面积问题综合压轴 27
考点8.一次函数与新定义问题综合压轴 32
考点9.一次函数与其他问题综合压轴 37
模块2：培优训练 42
考点1.一次函数与直角三角形综合压轴
例1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，直线与直线相交于点，直线与轴交于点．
(1)填空： ， ；(2)求的面积；(3)点是轴上一个动点，①当值最小时，请直接写出点的坐标 ；②当以点为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点的坐标 ．
变式1．（25-26八年级上·陕西西安·期中）【初步探究】（1）如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与直线交于点，两条直线与轴分别交于点和点，求的面积；
【灵活应用】（2）如图2，在平面直角坐标系中，是某校将要扩建的校园活动区示意图，边所在直线的表达式为，边所在直线的表达式为，与交于点，为垂直于边的一条跑道，点为线段上的动点，连接，为休闲区域，将沿直线翻折得到，线段交轴于点，为运动区域，为扩建的拉伸区域，当为直角三角形时，求出点的坐标．
考点2.一次函数与等腰三角形综合压轴
例1．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图1，已知直线分别交x轴、y轴于A，C两点，直线交x轴于点B，且，．
(1)求k的值；(2)如图2，D为线段上一点，设点D的横坐标为m，过点D作轴交于点E，使，求m的值；(3)在（2）的条件下，探究x轴上是否存在一个动点P，使得以点D、O、P为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
变式1．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知直线分别与轴、轴交于点A，B，点在线段的延长线上，且．
(1)求线段的长．(2)求点的坐标．(3)如图2，连接，在轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
变式2．（24-25八年级下·重庆九龙坡·月考）如图，直线与轴、轴分别交于点A、B，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点．(1)求点A、B的坐标以及直线m的解析式；(2)若P为直线m上一动点，，求点P的坐标；(3)在x轴上是否存在一个动点Q，使得为等腰三角形？若存在．请求出Q点的所有坐标，若不存在，请说明理由．
考点3.一次函数与等腰直角三角形综合压轴
例1．（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A，B两点，过x轴负半轴上一点C作直线交y轴正半轴于点D，且．
(1)求直线的函数表达式；(2)如图2，点是线段上一点，连接，作交于点N，连接，求点N的坐标；(3)如图3，若点为直线上的点，点P为y轴上的点，点Q为直线上的点，且是以点E为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出此时Q点的坐标．
变式1．（25-26八年级上·山东济南·期中）【考点构建】（1）如图1，将含有的三角板的直角顶点C放在直线l上，过点A作于点D，过点B作于点E，请写出图1中（除外）相等的线段，并证明；
【初步感知】（2）如图2，直角三角板放置在平面直角坐标系中，点C的坐标为，点B坐标为，请求出点A的坐标和直线的表达式；
【深入探究】（3）如图3，点A坐标为，点B坐标为，过点B作x轴的平行线l，点P是直线l上的一个动点，点D是一次函数图象上的一个动点，当是一个以为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出点D的坐标．
变式2．（25-26八年级上·陕西西安·期中）美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点作直线，过点作于点，过点作于点，研究图形，不难发现：．
(1)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，，点的坐标为，点的坐标为，则点坐标为 ；(2)如图3，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式；(3)如图4，直线分别交轴、轴于点，直线过点交轴于点，且，若点是直线上的一个动点，点是轴上的一个动点，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点和点的坐标．
考点4.一次函数与全等三角形综合压轴
例1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图1：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点．
(1)求点的坐标和直线的解析式；(2)如图2，当点运动到某一位置时，，求此时点的坐标；(3)如图3，当于点，点为直线上不与点、重合的一个动点．在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与全等，若存在请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
变式1．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点，且．
(1)求的值；(2)若点为线段上一点，连接，将沿着折叠，使点落在轴的点处，求点的坐标；(3)如图2，作，点为直线上一动点，点为轴上一动点，是否存在以为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
变式2．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B．点C在y轴正半轴上，把沿折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点D处．直线交直线于点M．点P是y轴正半轴上的一动点，点Q是直线上的一动点．
(1)填空：点A，B，C坐标分别为A_______，B_______，C______．(2)求的面积，
(3)连接．与全等（点P与点C不重合），直接写出所有满足条件的点Q坐标．
考点5.一次函数与特殊角度综合压轴
例1．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与轴轴分别交于，两点．直线的图象与轴交于．直线与直线交于点．
(1)求点的坐标及直线的表达式；(2)若点在直线上，且为直角三角形，直接写出点的坐标；(3)在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
变式1．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与直线相交于点，与轴交于点，与轴交于点，且，满足．
(1)求一次函数的解析式；(2)若点为直线上一点，且，求点的坐标；
(3)如图2，点在第一象限，连接，，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，，求的长．
变式2．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，且直线与直线平行．
(1)k= ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；(2)在y轴正半轴上有一点C满足，与连成直线，直线与直线交点为E．直线上有一动点P，满足，求P点坐标；(3)将直线绕点E顺时针旋转后得到一条直线l，求直线l的表达式．
考点6.一次函数与长度问题综合压轴
例1．（25-26八年级上·湖北恩施·期中）如图1所示，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，．
(1)若点．①求点B的坐标；②如图2，若垂直y轴于点C，轴于D，与交于点E，求点E的坐标（直接写出结果）；
(2)如图3，P为第一象限的一动点，Q为x轴上的点，，且，M为的中点，试探究与的数量关系与位置关系．
变式1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于点，与直线相交于第二象限，交点为点，且点的纵坐标为．
(1)点的坐标为_____________，点的坐标为_____________；(2)点为直线上一点，且点在第一象限，若的面积与的面积相等，求直线的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，点为线段上一点，过点作轴的平行线，与直线，直线分别相交于点，若，求点的坐标．
变式2．（25-26八年级上·福建漳州·期中）设直线（）与轴，轴分别交于，两点．设直线交轴于点，过点作垂线交直线于点．
(1)求点的坐标．(2)当时，记点，点是轴负半轴上一点，且，连接．试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
(3)动点在直线上，从点出发，以每秒1个单位长度的速度向上运动，连接，在运动过程中，直线交轴于点，请直接写出与的数量关系．
考点7.一次函数与面积问题综合压轴
例1．（25-26八年级上·内蒙古包头·月考）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线与直线交于点．已知直线与y轴交于点，与x轴交于点E．
(1)求点A、B的坐标；(2)求直线的解析式；(3)求的面积；(4)在直线上有一点P，且满足的面积是面积的，求点P的坐标．
变式1．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图1，直线的函数表达式为：，直线与轴，轴分别交于点，点，与直线交于点，直线与轴，轴分别交于点，点．
(1)求直线函数表达式；(2)如图2，点是轴上的一个动点，过点作直线垂直于轴于点，交直线，直线分别于点，点，设点的纵坐标为，当时，求的值；(3)在直线上存在另一点，使得的面积是面积的2倍，直接写出点的坐标．
变式2．（25-26八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系与几何图形变换的综合问题中，我们常常通过旋转构造、函数性质、全等图形等变换方式探究点的坐标与图形性质并解决问题．运用几何与函数结合的考点能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何与函数考点的“数学之美”．
【图形旋转与全等】（1）如图1，在中，，将绕点逆时针旋转得到，延长线交于点，连接，过点作交直线于点．求证：；
【一次函数与旋转交线】（2）如图2，将图1以为原点建立平面直角坐标系，若边所在直线为，分别与轴、轴交于点、点．①求边所在直线的函数表达式；②若点是直线上的动点，当的值最小时，求此时点的坐标．
【面积与点的坐标】（3）在（2）的条件下，点是直线上一动点，当的面积为30时，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
考点8.一次函数与新定义问题综合压轴
例1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）【材料：学习理解】
定义1：在平面直角坐标系中，点到点的“纵横值”定义为：．例如：到的“纵横值”．
定义2：在平面直角坐标系中，点到射线（或线段）的“纵横值”定义为：点到上所有的“纵横值”的最小值，此时上的对应点称为点在上的“纵横点”．例：求到射线的“纵横值”及在上的“纵横点”坐标．
分析：射线上任一点的坐标可表示为，则．结合正比例函数的图象可知，当时，的最小值为，即“纵横值”，此时在上的“纵横点”为．
【任务1：特值感悟】若坐标为，①到的“纵横值” （直接写出）；
②求到线段的“纵横值”及在上的“纵横点”坐标（写过程）；
【任务2：拓展应用】若，，且，则与的关系式为： （直接写出）；
【任务3：能力提升】若点在某条线段上的“纵横点”坐标为，相应的“纵横值”是8，点在直线上，①所有满足条件的点和直线以及轴组成了一个封闭图形，请在下图中的平面直角坐标系中画出该封闭图形；②若，过点的直线将任务3的①中封闭图形的面积分成两部分，直接写出直线的表达式 ．
变式1．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线l与坐标轴不平行，点P为直线l外一点．过点分别作轴交直线于点，作轴交直线于点，我们称折线为点关于直线的“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为即，
定义理解：（1）如图2，若直线l的表达式为 与x轴和y轴分别交于A，B两点，求．（点O为坐标原点）；
定义运用：（2）如图3，将直线l： 沿y轴向上平移n个单位长度后得到直线 m，与x轴和y轴分别交于D，C两点，当 时 （点O为坐标原点），求平移距离n的值；
定义拓展：（3）在（2）的条件下，y轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形，且点Q关于直线l的“L路径”与直线m有交点．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
变式2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，对于图形给出如下定义：将图形上的一点变为点（称点为点的关联点．图形上所有点按上述方法变化后得到的点组成的图形记为图形，称图形为图形的关联图形．）
(1)点的关联点的坐标为 ；(2)点在直线上，点的关联点在直线，求点的坐标；(3)如图1，若点在第一象限，且，点的关联点，判断的形状并证明；
(4)已知，点，，，若四边形与其关联图形重合部分的面积为2，直线经过点，且与该关联图形有交点、请直接写出的最小值．
考点9.一次函数与其他问题综合压轴
例1．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，直线 ：（k为常数，） 与 y轴交于点 A，直线：与 y轴交于点 B，两直线交于点 C．
(1)若点 B坐标为，求 k的值和点 C坐标；(2)在（1）的条件下，探究直线与直线的位置关系，并说明理由；(3)规定：横、纵坐标均为整数的点为整点，当 k为整数时，求 C为整点时的坐标；
(4)设直线落在内部（不含边界）整点的个数为 m，直接写出 m的值．
变式1．（24-25八年级下·江苏南通·期中）已知y关于x的一次函数的图象为直线．
(1)试说明：无论k为何值，直线总经过点；
(2)当时，函数最大值与最小值的差为4，求的解析式；
(3)已知y关于x的一次函数图象为直线，点E为上任意一点，过点E作y轴的平行线交于点F．若点E始终在点F的上方，试探究k与m的数量关系，并求出k的取值范围．
变式2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）（1）【知识结论】我们知道一次函数的图象可以由直线平移个单位得到．
那么将一次函数的图象向上平移个单位长度，所得到的函数表达式为：________；
（2）【拓展探究】我们已学过平移、轴对称两种基本的图形变换，某数学小组利用平移和轴对称开展“探究一次函数图象经过图形变换后的函数表达式”的数学活动．
①（平移变换）将图1中一次函数的图象沿着轴向左平移个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式．小组探究发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在原图象上任取两点，，将这两点沿着轴向左平移个单位长度，得到对应点，，其坐标分别为（________），（________），从而求出直线对应的函数表达式为：______________________________；
②（轴对称变换）将图1中一次函数的图象关于轴对称，所得到的图象对应的函数表达式为：________________；
（3）【学以致用】将一次函数的图象沿轴翻折，然后将翻折后的部分先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的函数图象对应的函数为．由和的图象组成的函数图象对应的函数为．当时，，则的取值范围为________．

1．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）【问题背景】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点B，C，作直线．
【问题提出】（1）求直线的函数表达式；
【初步探究】（2）如图1，若M是直线上的动点，是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
【拓展延伸】（3）如图2，点D的坐标为，P为x轴正半轴上的动点，以点P为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连接，过点Q作轴交于点G，求的最小值．
2．（25-26八年级上·广东佛山·期中）新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴不平行，点为直线外一点．过点分别作轴交直线于点，作轴交直线于点，我们称折线为点关于直线的“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为即．
定义理解(1)如图2，若直线的表达式为，与轴和轴分别交于，两点，求．（点为坐标原点）；
(2)定义运用，如图3，将直线l：向左平移个单位长度后得到直线m：，与轴和轴分别交于，两点，当时（点O为坐标原点），求平移距离的值；
(3)定义拓展，在（2）的条件下，轴上是否存在点，使得△QAB为等腰三角形，且点关于直线的“L路径”与直线有交点．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（24-25八年级下·广东深圳·开学考试）在平面直角坐标系中，对于任意两点，的“特别距离”，给出如下定义：若，则点，的“特别距离”为；若，则，的“特别距离”为；例如：点，点，因为，所以点与点的“特别距离”为，也就是图中线段与线段长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线与垂直于x轴的直线的交点）．
(1)已知点，B为y轴上的一个动点，①若点A与点B的“特别距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标　　　；②直接写出点A与点B的“特别距离”的最小值　　　．
(2)已知C是直线上的一个动点，点D的坐标是，求点C与点D的“特别距离”的最小值及相应的点C的坐标．
4．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点C使得，且，则称点为m的“等垂点”．例如：在，，三点中，因为，且，所以点C为1的“等垂点”．
(1)①点，，则 2的“等垂点”（填“是”或“不是”）．②如图1，若点，，则点C是4的“等垂点”，则点C的坐标为 ．
(2)如图2，若一次函数上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C的坐标．
(3)若在直线上存在无数个5的“等垂点”，且直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段上，点在内，，，连接，设，直接写出面积关于a的表达式．
5．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图1，已知一次函数分别交轴、轴于点、，过点的直线与交于点．
(1)求直线的解析式；(2)如图1，连接，将直线绕点旋转，交直线于点，求的坐标；
(3)如图2，以为边向上方作正方形，正方形以每秒个单位长度的速度沿轴正方向平移，与重叠部分面积记为，请直接写出与时间的表达式（并写出自变量t的取值范围）．
6．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）如图1，平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于A、B两点，与直线交于点．直线与轴交于点．
(1)求点，点的坐标；(2)如图2，为直线上的一个动点，当，求点坐标；
(3)如图3，为线段上的一个动点，点关于直线的对称点为，当恰好落在轴上时，直接写出点的坐标；(4)如图4，已知点，在轴负半轴上运动，在线段上运动，且，则最小值为_____．
7．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，正比例函数与经过点的一次函数相交于点，点的坐标为．
(1)观察图象，当时，自变量的取值范围是______；(2)点为正比例函数上一动点，作轴交一次函数于点，若，求点的坐标．
8．（24-25八年级下·重庆荣昌·期末）如图，已知一次函数图像分别与轴交于点，两点，正比例函数图象与交于点，已知点的横坐标是1．
(1)求该一次函数的解析式；(2)轴上有一动点，连接，，当取最小值时，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，将正比例函数的图象沿轴向下平移1个单位长度，点对应点为，点对应点为，点是直线图象上一点，当时，请直接写出点的坐标．
9．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知直线分别与轴，轴交于，两点，直线：交于点．
(1)求，两点的坐标；(2)如图1，点是线段的中点，连接，点是射线上一点，当，且时，在轴上找一点，当的值最小时，求点坐标；
(3)在（2）的基础上，在直线上找一点，使，直接写出点的坐标；
(4)如图2，若，过点作，交轴于点，此时在轴上是否存在点，使，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（25-26八年级上·吉林通化·月考）如图①，已知的顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，且．点A的坐标为，点B的坐标为，．
(1)求点C的坐标；(2)如图②，过点C作直线轴交于点D，交y轴于点E．
①求线段的长；②在坐标平面内，是否存在点M（除点B外），使得以点M、C、D为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以、为边在第一象限内作长方形．
(1)点B的坐标为______（直接填空）；(2)如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交于点，交于点D，连接，求点D的坐标；(3)在坐标平面内，是否存在点P（点B除外），使得与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
12.（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过两点，点C在x轴正半轴上，且．
(1)求直线的函数表达式；(2)连接，在直线上取一点D，且点D在x轴上方，连接，若以A，C，D为顶点的三角形的面积是面积的2倍，求出D点的坐标；(3)在（2）的条件下，在线段，上分别取M，N，且使得线段轴，在x轴上取一点P，连接，，存在点M，使得为等腰直角三角形，请直接写出M点的坐标．
13．（25-26八年级上·河南郑州·期中）在“综合与探究”课上，老师让每位同学在练习本上画出一个长方形，然后以该长方形为基本图形，以小组为单位编制一道综合探究题．
经过思考和讨论，励志小组向全班同学分享了他们编拟的试题，得到了老师的认可．同学们也眼前一亮，纷纷动手，开始了探究．请你也跟他们一起来完成这道试题吧．
如图，分别以长方形的边，所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系．已知，，点在线段上，以直线为轴，把翻折，点的对应点恰好落在线段上．
(1)请直接写出点的坐标：______，______．(2)当点在运动过程中，设运动时间为秒．
①点从点出发以每秒个单位的速度沿线段的方向运动，当点与点重合时停止运动，求的面积与之间的关系式；②点是轴负半轴上的一个动点，若与轴交于点，是否存在等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在本题的探究过程中，让我们感悟的数学思想有______（填序号）．
①方程思想；②数形结合思想；③分类讨论思想．
14．（25-26八年级上·四川成都·月考）如图1，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点，与y轴交于点D，与直线交于点E，且．
(1)求直线的解析式；(2)点F在y轴上，过点F作x轴的平行线，交直线于点M，交直线于点N，若，求点F的坐标；(3)如图2，将直线沿y轴向下平移得到直线，直线经过点C，将绕点A顺时针旋转α度（）得到，在旋转过程中，射线，射线分别交直线于点P，Q，当为等腰三角形时，直接写出点Q的坐标．
15．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与直线交于点，点的横坐标为， ， ．(1)求、两点的坐标；(2)点在射线上运动，点的横坐标为，的面积为．请用含的式子表示，直接写出的取值范围；(3)在（2）的条件下，当点在第一象限，且时，求此时点的坐标；点是平面上的任意一点，且是以为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出此时点的坐标．
16．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点．
(1)求m和的值；(2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒．
①求的面积S与时间t的关系式；②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
17．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图1，在同一平面直角坐标系中，直线： 与直线 相交于点， 与x轴交于点 ， 直线与x轴交于点C．
(1)填空： ， ， ；(2)如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F．①求线段的长度；②当点E落在y轴上时，求点E的坐标；③若为直角三角形，请直接写出满足条件的点D的坐标．
18．（24-25八年级下·四川巴中·期中）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数交于点，点的坐标为．
(1)求一次函数的表达式；(2)如图，点为直线上一动点，且位于第二象限，若，求点的坐标；(3)在（）的情形中，如图，点在轴上且在点左侧且，点从点出发，沿射线的方向以的速度运动，当点不与点重合时，将绕点逆时针方向旋转得到，连接．当点在射线上运动时，是否存在以、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
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