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第 2课时 利用导数求函数的极值极值
壹 利用导数法求极值
1.极小值：函数 y= f(x)在点 x= a的函数值 f(a)比它在点 x= a附近其他点的函数值都小，f ′ (a) =
0；而且在点 x= a附近的左侧 f ′ (x)< 0，右侧 f ′ (x)> 0，则点 a叫做函数 y= f(x)的极小值点，f(a)叫做
函数 y= f(x)的极小值．
先↗后↘极大值点
先↘后↗极小值点
2.极大值：函数 y= f(x)在点 x= b的函数值 f(b)比它在点 x= b附近其他点的函数值都大，f ′ (b) =
0；而且在点 x= b附近的左侧 f ′ (x) > 0，右侧 f ′ (x) < 0，则点 b叫做函数 y= f(x)的极大值点，f(b)叫做
函数 y= f(x)的极大值．
3.从导函数的角度看
y= f '(x) y= f '(x)
+ +
- -
左+右-极小值点 左-右+极大值点
①极值点就是导函数的变号零，点，这是一句需要刻在脑门上的话，经常会用到.
②变号零点：经过这个零点时，函数的值变号，由正转负或由负转正.
③若 x0为 f′ (x)的变号零点，则 x0是 f(x)的极值点，f x0 是 f(x)的极值.
例题分析
例求函数 f(x) = x3- 3x2- 9x+ 5的极值： y
解 f′ (x) = 3x2- 6x- 9，令 f′ (x) = 0，
利用导数求函数极值的步骤如下：
即 3x2- 6x- 9= 0，解得 x1=-1，x2= 3. -1 3 x
f '( )的图象 1.求函数 fx x 的定义域；
当 x变化时，f(x)，f′ (x)的变化情况如下表： 2.求导；

x (-∞，-1) -1 (-1 , 3) 3 (3，+∞) 3.解方程 f x0 = 0，当 f x0 = 0；
f′ (x) + 0 - 0 + 4.列表，分析函数的单调性，求极值：
①如果在 x 附近的左侧 f f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 0 x < 0，右
侧 f x > 0，那么 f x0 是极小值；
∴当 x=-1时，函数 y= f(x)有极大值，且 f(-1) = 10； ②如果在 x0附近的左侧 f x > 0，右

当 x= 3时，函数 y= f(x)有极小值，且 f(3) =-22. 侧 f x < 0，那么 f x0 是极大值
变式1 求函数 f(x) = (x2- 1)3+ 1的极值
解　 (1)f ′ (x) = 6x(x2- 1)2= 6x(x+ 1)2(x- 1)2.
令 f ′ (x) = 0，解得 x1=-1，x2= 0，x3= 1.
当 x变化时，f ′ (x)，f(x)的变化情况如下表：
x (-∞,-1) -1 (-1 , 0) 0 (0 , 1) 1 (1,+∞)
f ′ (x) - 0 - 0 + 0 + lnx
f(x) ↘ 无极值 ↘ 极小值 ↗ 无极值 ↗ 变式2 求 f(x) = x 的极值，并画出函数的草
∴当 x= 0时，f(x)有极小值且 f(x)极小值= 0. 图
函数的草图如图所示．
1
解：函数 f(x) = lnxx 的定义域为 (0，+∞)，且 f ′ (x) =
1-lnx .
x2 (1)求 a , b的值；
令 f ′ (x) = 0，解得 x= e. (2)求 f(x)的极值.
当 x变化时，f ′ (x)与 f(x)的变化情况如下表：
【答案】(1)a=-1，b= 3 ; (2)极大值为- 34 + 3ln
3
2 ，无极小值.
x (0，e) e (e，+∞)
【解析】(1)由 f(x) = x+ ax2+ blnx，得 f (x) = 1+ 2ax+ b
f ′ (x) + 0 - x
，
∵ f(x)的图象在点P(1 , f(1))处的切线方程为 y= 2x- 2，
f(x) 单调递增 1 单调递减 f e (1)=1+2a+b=2 a=-1所以 ，解得 ，所以 a=-1 , b= 3.f(1)=1+a=2×1-2=0 b=3
因此，x= e是函数的极大值点，极大值为 f(e) = 1e ，没有极小值． (2)由 (1)可得 f(x) = x- x2+ 3lnx x>0 ，
函数的草图如图所示． 2 -2x+3 x+1
则 f x = 1- 2x+ 3 = -2x +x+3

x x = x ，
则 f(x)与 f (x)随着 x的变化情况如下表.
x 0, 3 3 32 2 2 ,+∞
f ′ (x) + 0 -
f(x) ↗ 极大值 ↘
2
变式3 函数 f(x) = x+ ax2+ blnx的图象在点P 由表可知，函数 f(x)的极大值为 f
3
2 =
3
2 -
3
2 + 3ln
3
2 =
3 3
(1 , f(1))处的切线方程为 y= 2x- 2. - 4 + 3ln 2 ，无极小值.
贰 已知极值求解析式
例题分析
例若函数 f(x) = x3+ ax2+ bx+ a2在 x= 1处取得极值 10，则 a=______，b=_____.
解 f′ (x) = 3x2+ 2ax+ b，
f(1)=10， a2+a+b=9，依题意得 即 解得 a=4， a=-3，
x=1处取得极值和 f '(1)=0
′( )= + =- =- 或 不是等价关系f 1 0， 2a b 3， b 11 b=3. 所以一定要检验求出的答案
但由于当 a=-3，b= 3时，f′ (x) = 3x2- 6x+ 3= 3(x- 1)2≥ 0，
故 ( )在 上单调递增，不可能在 = 处取得极值，所以 a=-3，f x R x 1 b= 不符合题意，应舍去．3
而当 a= 4，b=-11时，经检验知符合题意，
故 a，b的值分别为 4，-11.
变式1 已知函数 f(x) = x3+ 3ax2+ bx+ a2在 x 当 x∈ (-1，+∞)时，f ′ (x)> 0，此时 f(x)为增函数．
故 f(x)在 x=-1时取得极小值，∴ a= 2，b= 9.
=-1处有极值 0，则 a=___，b=____.
答案　 2　 9　 变式2 若函数 f(x) = ax- ln x x= 2在 处取
解析　∵ f ′ (x) = 3x2+ 6ax+ b，且函数 f(x)在 x=-1处有极值 0. 2
f ′(-1)=0， 3-6a+b=0， a=1， a=2，∴ 即 解得 或 得极值，则实数 a的值为 . f(-1)=0， -1+3a-b+a2=0， b=3 b=9. 答案　 2
当 a= 1，b= 3时，f ′ (x) = 3x2+ 6x+ 3= 3(x+ 1)2≥ 0，此时函数
( ) 解析因为 f ′ (x) = a-
1
x ，所以 f ′
2
2 = 0，即 a-
1 = 0，解得
f x 在R上为增函数，无极值，故舍去． 2
a= 2 2当 ，b= 9时，f ′ (x) = 3x2+ 12x+ 9= 3(x+ 1) (x+ 3)．
a= 2 .
当 x∈ (-∞，-3)时，f ′ (x)> 0，此时 f(x)为增函数；
当 x∈ (-3，-1)时，f ′ (x)< 0，此时 f(x)为减函数；
叁 极值点与根的分布
例题分析
例 已知函数 f(x) = 13 x
3- 12 (m+ 3)x
2+ (m+ 6)x(x∈R，m为常数)，在区间 (1，+∞)内有两个极
2
值点，求实数m的取值范围．
解 f′ (x) = x2- (m+ 3)x+m+ 6.
因为函数 f(x)在 (1，+∞)内有两个极值点，
所以 f ′ (x) = x2- (m+ 3)x+m+ 6在 (1，+∞)内与 x轴有两个不同的交点，如图所
示．
Δ=(m+3)
2-4(m+6)>0，

所以 f′(1)=1-(m+3)+m+6>0，解得m> 3.故实数m的取值范围是 (3，+∞)．

m+3
2 >1，
变式1 若函数 f(x) = 1 x3- x2+ ax- 1有极值 取值范围．3 解　① f ′ (x) = x2- 2x+ a，
点，则 a的取值范围为________． 由题意得，f ′ (-1) = 1+ 2+ a= 0，
答案：(-∞，1) 解得 a=-3，则 f ′ (x) = x2- 2x- 3，
解析：f ′ (x) = x2- 2x+ a，由题意，方程 x2- 2x+ a= 0有两个不 经验证可知，f(x)在 x=-1处取得极大值，故 a=-3.
同的实数根，所以Δ= 4- 4a> 0，解得 a< 1. ②由题意得，方程 x2- 2x+ a= 0有一正一负两个根，
引申探究 设为 x1，x2，则 x1x2= a< 0，
故 a的取值范围是 (-∞，0)．
若本题中函数的极大值点是-1，求 a的值．
解　 f ′ (x) = x2- 2x+ a，由题意得 f ′ (-1) = 1+ 2+ a= 0， 变式3 已知函数 f(x) = 1+lnxx ，若函数在区间解得 a=-3，则 f ′ (x) = x2- 2x- 3，经验证可知，f(x)在 x=-1处
取得极大值． a，a+ 1 (其中 a> 0)上存在极值，求实数 a的取
若本题中函数 f(x)有两个极值点，均为正值， 2
值范围．
求 a的取值范围．
2- + = 解：∵ f(x) =
1+lnx
x ，x> 0，则 f ′ (x) =-
lnx .当 0< x< 1时，f ′
解　由题意，方程 x 2x a 0有两个不等正根， x2
Δ=4-4a>0， (x)> 0，当 x> 1时，f ′ (x)< 0.
设为 x1，x2，则 x1+x2=2>0， ∴ f(x)在 (0 , 1)上单调递增，在 (1，+∞)上单调递减，∴函数 f(x)
x1x2=a>0， 在 x= 1处取得极大值．
解得 0< a< 1.故 a的取值范围是 (0 , 1)． ∵函数 f(x)在区间 a，a+ 12 (其中 a> 0)上存在极值，
1 a<1，变式2 已知函数 f(x) = x3- x2+ ax- 1. ∴ 1 解得
1
2 < a< 1.3 a+ 2 >1，
①若函数的极大值点是-1，求 a的值；
②若函数 f(x)有一正一负两个极值点，求 a的
肆 极值中的含参讨论
例题分析
例已知函数 f(x) = x2- 2x- alnx，g(x) = ax。求函数F(x) = f(x) + g(x)的极值；
2x22 + a-2 x-a 2x+a x-1解 F x = x - 2x- alnx+ ax，F' x =

x = x ，
∵F x 的定义域为 0,+∞ .
① - a2 ≤ 0即 a≥ 0时，F x 在 0,1 上递减，F x 在 1,+∞ 上递增，F x 极小= a- 1，F x 无极
大值.
② 0<- a2 < 1即-2< a< 0时，F x 在 0,-
a
2 和 1,+∞ 上递增，在 -
a
2 ,1 上递减，
F a a
2 a
x 极大=F - 2 = a- 4 - aln - 2 ，F x 极小=F 1 = a- 1.
③ - a2 = 1即 a=-2时，F x 在 0,+∞ 上递增，F x 没有极值.
3
④ - a2 > 1即 a<-2时，F x 在 0,1
a
和 - 2 ,+∞ 上递增，F x 在 1,-
a
2 上递减，
2
∴F x 极大= f 1 = a- 1，F x 极小=F - a2 = a-
a
4 - aln -
a
2 .
2
综上可知：a≥ 0时，F x 极小= a- 1，F x 无极大值；-2< a< 0时，F x 极大=F - a2 = a-
a
4
- aln - a2 ，F x 极小=F 1 = a- 1；a=-2时，F x 没有极值；a<-2时，F x 极大= f 1 = a- 1，
a a2F x 极小=F - 2 = a- 4 - aln -
a
2 .
变式1 已知函数 f(x) = x- alnx(a∈R)．求函 a≤ 0时，f(x)在 (0 , e )单减，( e ,+∞)单增，极小值点为 x=
e；
数 f(x)的极值． 0< a< e时，f(x)在 (0 , a)单增，(a , e )单减，( e ,+∞)单增，
解：f ′ (x) = 1- a = x-ax x ，x> 0， 极小值点为 x= e，极大值点为 x= a；
①当 a≤ 0时，f ′ (x)> 0，函数 f(x)为 (0，+∞)上的增函数，函数 a= e时，f(x)在 (0 ,+∞)单增，无极值点；
f(x)无极值； a> e时，f(x)在 (0 , e )单增，( e , a)单减，(a ,+∞)单增，极
②当 a> 0时，由 f ′ (x) = 0，解得 x= a. 小值点为 x= a，极大值点为 x= e .
又当 x∈ (0，a)时，f ′ (x)< 0， 1 3
当 x∈ (a，+∞) 2时，f ′ (x)> 0， 变式4 已知函数 f (x) = lnx+ 2 ax - 2x+ 2
从而函数 f(x)在 x= a处取得极小值，且极小值为 f(a) = a-
alna (a≥ 0)。讨论函数 f(x)的极值点的个数；，无极大值．
2
综上，当 a≤ 0时，函数 f(x)无极值； 【解析】f (x) = 1x + ax- 2=
ax -2x+1
x , x∈ (0 ,+∞).
当 a> 0时，函数 f(x)在 x= a处取得极小值 a- alna，无极大值．
① 当 a= 0时，f (x) = -2x+1x .
变式2 已知函数 f(x) = x+ a + 1，a∈R.求此 当 x∈ 0, 12 时，f (x)> 0，所以 f(x)在 0,
1
2 上单调递增；x
当 x∈ 12 ,+∞ 时，f
(x)< 0，所以 f(x)在 12 ,+∞ 上单调递减.函数的极值．
2 1
解　函数的定义域为 {x|x≠ 0} ′ ( ) = - a = x -a 即函数 f(x)只有一个极大值点 ，无极小值点.，f x 1 2
x2 2
.
x ② 当 0< a< 1时，Δ= 4- 4a> 0，
当 a≤ 0时，显然 f ′ (x)> 0，这时函数 f(x)在区间 (-∞，0)，(0，
1± 1-a
+∞) 上均单调递增，此时函数无极值． 令 f (x) = 0，得 x= a .
当 a> 0时，令 f ′ (x) = 0，解得 x=± a . 当 x∈ 0, 1- 1-a ∪ 1+ 1-a ,+∞ 时，f (x)> 0，
当 x变化时，f ′ (x)，f(x)的变化情况如下表： a a
所以 f(x)在 0, 1- 1-a , 1+ 1-a ,+∞ 上单调递增；
x (-∞，- a ) - a (- a，0) (0， a ) a ( a，+∞) a a
f ′ (x) + 0 - - 0 +
当 x∈ 1- 1-a 1+ 1-a f(x) ↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗ a , a 时，f (x)< 0，
由上表可知，当 x=- a时，函数取得极大值 f(- a ) =-2 a+ 所以 f(x)在 1- 1-a , 1+ 1-a1. a a 上单调递减.
当 x= a时，函数取得极小值 f( a ) = 2 a+ 1.
即函数 f(x)有一个极大值点 1- 1-a ，有一个极小值点
综上，当 a≤ 0时，函数 f(x)无极值；当 a> 0时，函数 f(x)在 x= a
- a处取得极大值-2 a+ 1，在 x= a处取得极小值 2 a+ 1. 1+ 1-a
a .
1 1 ③ 当 a≥ 1时，Δ= 4- 4a≤ 0，此时 f
(x)≥ 0恒成立，
变式3 已知函数 f (x) = 22 x -ax lnx - x22 即 f(x)在 (0 ,+∞)上单调递增，无极值点.
综上所述，当 a= 0时，f(x)有且仅有一个极大值点，即只有 1个极
+ 32 ax。讨论函数 f(x)的极值点； 值点；
1 3 当 0< a< 1时，f(x)有一个极大值点和一个极小值点，即有 2个【解析】f (x) = (x- a)lnx+ 2 x- a- x+ 2 a= (x- a) 极值点；
lnx- 1 当 a≥ 1时，f(x)没有极值点.2
伍 利用函数极值解决函数零点 (方程根)问题
例题分析
例 已知函数 f(x) = x3- 6x2+ 9x+ 3，若函数 y= f(x)的图象与 y= 13 f ′ (x) + 5x+m的图象有
三个不同的交点，求实数m的取值范围．
4
解 由 f(x) = x3- 6x2+ 9x+ 3，可得 f′ (x) = 3x2- 12x+ 9，
1
3 f′ (x) + 5x+m=
1 (3x23 - 12x+ 9) + 5x+m= x
2+ x+ 3+m.
则由题意可得 x3- 6x2+ 9x+ 3= x2+ x+ 3+m有三个不相等的实根，即 g(x) = x3- 7x2+ 8x-
m的图象与 x轴有三个不同的交点．
∵ g′ (x) = 3x2- 14x+ 8= (3x- 2) (x- 4)，
∴令 g′ (x) = 0，得 x= 23 或 x= 4.
当 x变化时，g(x)，g′ (x)的变化情况如下表：
x -∞，2 2 23 3 3 ，4 4 (4，+∞)
g′ (x) + 0 - 0 +
g(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
则函数 g(x)的极大值为 g 2 683 = 27 -m，极小值为 g(4) =-16-m.由 g(x)的图象与 x轴有三
g 2 = 683 27 -m>0，个不同的交点，得 解得-16∴实数m的取值范围为 -16，6827 .
变式1 若函数 f(x) = 13 x
3- 4x+ 4的图象与直 A. 42 ，+∞ B. 0 4，e e2
线 y= a恰有三个不同的交点，则实数 a的取值范 C. (0 , 4e2) D. (0，+∞)
围是________． 答案　B
答案　 - 4 ，28 解析　令 g(x) = x
2ex，则 g′ (x) = 2xex+ x2ex= xex(x+ 2)．令 g′
3 3
1 (x) = 0，得 x= 0或 x=-2，∴ g(x)在 (-2 , 0)上单调递减，在 (-∞，解析　∵ f(x) = 33 x - 4x+ 4， -2)，(0，+∞)上单调递增．∴ g(x)极大值= g(-2) =
4 ，g(x)极小值=
∴ f ′ (x) = x2- 4= (x+ 2) (x- 2) 2． e
令 f ′ (x) = 0，得 x= 2或 x=-2. g(0) = 0，又 f(x) = x2ex- a恰有三个零点，则 0< a< 4
e2
.
当 x变化时，f ′ (x)，f(x)的变化情况如下表：
3 2
x (-∞,-2) -2 (-2 , 2) 2 (2,+∞) 变式3 设 a为实数，函数 f(x) = x - x - x+ a.
f ′ (x) + 0 - 0 + (1)求 f(x)的极值；
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ (2)当 a在什么范围内取值时，曲线 y= f (x)
∴当 x=-2时，函数取得极大值 f(-2) = 28 ； 与 x轴仅有一个交点？3
4 解　 (1)f ′ (x) = 3x2- 2x- 1.当 x= 2时，函数取得极小值 f(2) =- 3 .
令 f ′ (x) = 0，得 x=- 1 或 x= 1.
且 f(x)在 (-∞，-2)上单调递增，在 (-2 , 2)上单调递减，在 (2， 3
+∞)上单调递增． 当 x变化时，f ′ (x)，f(x)的变化情况如下表：
根据函数单调性、极值的情况，它的图象大致如图所示，
x -∞,- 13 -
1
3 -
1
3 ,1 1 (1,+∞)
f ′ (x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴ f(x)的极大值是 f - 13 =
5
27 + a，
极小值是 f(1) = a- 1.
(2)函数 f(x) = x3- x2- x+ a= (x- 1)2(x+ 1) + a- 1，
4 28 由此可知，x取足够大的正数时，有 f(x)> 0，结合图象知- 3 < a< 3 . x取足够小的负数时，有 f(x)< 0，
( ) = 2 x- ∴曲线 y= f(x)与 x轴至少有一个交点．变式2 若函数 f x x e a恰有三个零点，则
由 (1)知 f(x)极大值= f - 1 5
实数 a的取值范围是 (　　) 3
= 27 + a，
f(x)极小值= f(1) = a- 1.
∵曲线 y= f(x)与 x轴仅有一个交点，
5
∴ f(x)极大值< 0或 f(x)极小值> 0， g(x)与 g′ (x)随 x在 (-2，+∞)的变化情况如下表：
即 527 + a< 0或 a- 1> 0，∴ a<-
5
27 或 a> 1， x (-2 , 0) 0 (0，+∞)
∴当 a∈ -∞，- 527 ∪ (1，+∞)时，曲线 y= f(x)与 x轴仅有一 g′ (x) + 0 -
个交点． g(x) ↗ 2ln2+ b ↘
( + ) - 2- + = [ 由上表可知，函数在 x= 0处取得极大值，极大值为 2ln2+ b.变式4 若 2ln x 2 x x b 0在区间
结合图象 (图略)可知，要使 g(x) = 0在区间 [-1 , 1]上恰有两个不
-1 , 1]上恰有两个不同的实数根，求实数 b的取值
g(-1)≤0， b≤0，
范围． 同的实数根，只需 g(0)>0， 即 2ln2+b>0， 所以-2ln2< b≤
2 g(1)≤0，
2ln3-2+b≤0，
解：令 g(x) = 2ln(x+ 2) - x2- x+ b，则 g′ (x) = x+2 - 2x- 1= 2- 2ln3.
2x x+ 5 故实数 b的取值范围是 (-2ln2 , 2- 2ln3]．
- 2x+2 (x>-2)．
课后练习
A组
1.函数 f(x) = ln x- x在区间 (0，e)上的极大值为 (　　)
A. - e B. - 1 C. 1- e D. 0
答案　B
解析　函数 f(x)的定义域为 (0，+∞)，f′ (x) = 1x - 1.令 f′ (x) = 0，得 x= 1.
当 x∈ (0 , 1)时，f′ (x)> 0，当 x∈ (1，e)时，f′ (x)< 0，
故 f(x)在 x= 1处取得极大值 f(1) = ln 1- 1= 0- 1=-1.
2.已知 a是函数 f(x) = x3- 12x的极小值点，则 a等于 (　　)
A. - 4 B. - 2 C. 4 D. 2
答案　D
解析　∵ f(x) = x3- 12x，∴ f′ (x) = 3x2- 12，令 f′ (x) = 0，则 x1=-2，x2= 2.
当 x∈ (-∞，-2)，(2，+∞)时，f′ (x)> 0，则 f(x)单调递增；
当 x∈ (-2 , 2)时，f′ (x)< 0，则 f(x)单调递减，
∴ f(x)的极小值点为 a= 2.
3.设函数 f(x) = xex，则 (　　)
A. x= 1为 f(x)的极大值点 B. x= 1为 f(x)的极小值点
C. x=-1为 f(x)的极大值点 D. x=-1为 f(x)的极小值点
答案　D
解析　令 f′ (x) = ex+ x·ex= (1+ x)ex= 0，得 x=-1.当 x<-1时，f′ (x)< 0；当 x>-1时，f′ (x)> 0.
故 x=-1为 f(x)的极小值点．
4.函数 f(x) = x3- 3x2+ 1的极小值点为________．
答案　 2
解析　由 f′ (x) = 3x2- 6x= 0，解得 x= 0或 x= 2.
列表如下：
x (-∞，0) 0 (0 , 2) 2 (2，+∞)
f′ (x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
6
∴当 x= 2时，f(x)取得极小值．
5. (多选)函数 f(x)的定义域为R，它的导函数 y= f ′ (x)的部分图象如图所示，则下面结论正确的是 (　
　)
A. 在 (1 , 2)上函数 f(x)单调递增 B. 在 (3 , 4)上函数 f(x)单调递减
C. 在 (1 , 3)上函数 f(x)有极大值 D. x= 3是函数 f(x)在区间 [1 , 5]上的极小值点
答案　ABC
解析　由题图可知，当 1< x< 2时，f′ (x)> 0，函数 f(x)单调递增；
当 2< x< 4时，f′ (x)< 0，函数 f(x)单调递减；当 4< x< 5时，f′ (x)> 0，函数 f(x)单调递增，
∴ x= 2是函数 f(x)的极大值点，x= 4是函数 f(x)的极小值点，故A，B，C正确，D错误．
6. (多选)已知函数 f(x) = 2x3+ ax2+ 36x- 24在 x= 2处有极值，则该函数的一个单调递增区间是 (　
　)
A. (-∞，2) B. (3，+∞) C. (2，+∞) D. (-∞，3)
答案　AB
解析　 ∵ f ′ (x) = 6x2+ 2ax+ 36，且在 x= 2处有极值，∴ f ′ (2) = 0，即 24+ 4a+ 36= 0，解得 a=
-15，∴ f′ (x) = 6x2- 30x+ 36= 6(x- 2) (x- 3)，由 f′ (x)> 0得 x< 2或 x> 3.
7.已知曲线 f(x) = x3+ ax2+ bx+ 1在点 (1，f(1)) 2处的切线斜率为 3，且 x= 3 是 y= f(x)的极值点，则
a=___________，b=________.
答案　 2　-4
f′(1)=3， 3+2a+b=3， a=2，
解析　 f ′ (x) = 3x2+ 2ax+ b，由题意知 f′ 2 = 即 0， 4 4 解得 3 3 + 3 a+b=0， b=- 经验证知符4.
合题意．
B组
8.若函数 f(x) = x3+ x2- ax- 4在区间 (-1 , 1)上恰有一个极值点，则实数 a的取值范围为______
__．
答案　 [1 , 5)
解析　∵ f ′ (x) = 3x2+ 2x- a，函数 f(x)在区间 (-1 , 1)上恰有一个极值点，即 f ′ (x) = 0在 (-1 , 1)内
恰有一个根．又函数 f′ (x) = 3x2+ 2x- a的对称轴为 x=- 13 .
∴ f′(-1)≤0， 3-2-a≤0，应满足 f′( )> ∴1 0， 3+2- > ∴ 1≤ a< 5.a 0，
9.若函数 f(x) = x3- 3ax+ 1在区间 (0 , 1)内有极小值，则 a的取值范围为________．
答案　 (0 , 1)
解析　 f ′ (x) = 3x2- 3a.当 a≤ 0时，在区间 (0 , 1)上无极值．当 a> 0时，令 f ′ (x) > 0，解得 x> a
或 x<- a .令 f ′ (x)< 0，解得- a< x< a .若 f(x)在 (0 , 1)内有极小值，则 0< a< 1.解得 0< a
< 1.
7
10. (多选)已知函数 f(x) = x3+ ax2+ (a+ 6)x+ 1有极大值和极小值，则实数 a的值可以是 (　　)
A. - 4 B. - 3 C. 6 D. 8
答案　AD
解析　由题意知 f ′ (x) = 3x2+ 2ax+ (a+ 6) = 0有两个不相等的根，所以Δ= 4a2- 12(a+ 6) > 0，解
得 a> 6或 a<-3.
11.设 x= 1与 x= 2是函数 f(x) = aln x+ bx2+ x的两个极值点，则常数 a=________.
答案　- 23
解析　因为 f′ (x) = a
a+2b+1=0，
x + 2bx+ 1，由题意得
2
a + + = 所以 a=-4b 1 0. 3 .2
12. 1已知关于 x的函数 f(x) =- 3 x
3+ bx2+ cx+ bc，如果函数 f(x)在 x= 1 4处取得极值- 3 ，则 b=___
_____，c=________.
答案　-1　 3
f′(1)=-1+2b+c=0，
解析　 f′ (x) =-x2+ + b=1， b=-1，2bx c，由 1 f(1)=- 3 +b+c+ 解得 或bc=- 43 ， c=-1 c=3.
若 b= 1，c=-1，则 f′ (x) =-x2+ 2x- 1=- (x- 1)2≤ 0，此时 f(x)没有极值；
若 b=-1，c= 3，则 f′ (x) =-x2- 2x+ 3=- (x+ 3) (x- 1)，
当-3< x< 1时，f′ (x)> 0，当 x> 1时，f′ (x)< 0，所以当 x= 1时，f(x)有极大值- 43 .
故 b=-1，c= 3即为所求．
13.设函数 f(x) = aln x+ 12x +
3
2 x+ 1，其中 a∈R，曲线 y= f(x)在点 (1，f(1))处的切线垂直于 y轴．
(1)求 a的值；
(2)求函数 f(x)的极值．
解 (1)f′ (x) = a - 1 + 3　 x 2 2 (x> 0)．2x
由题意知，曲线在 x= 1处的切线斜率为 0，即 f′ (1) = 0，从而 a- 1 + 32 2 = 0，解得 a=-1.
(2)由 (1)知 f(x) =-ln x+ 1 32x + 2 x+ 1(x> 0)，
1 1 3 3x2f′ (x) =- - + = -2x-1 = (3x+1)(x-1) .令 f′ (x) = 0，解得 x = 1，x =- 1x 2 2 2 2 1 2 3 (舍去)．2x 2x 2x
当 x∈ (0 , 1)时，f ′ (x) < 0，故 f(x)在 (0 , 1)上单调递减；当 x∈ (1，+∞)时，f ′ (x) > 0，故 f(x)在 (1，
+∞)上单调递增．
故 f(x)在 x= 1处取得极小值，极小值为 f(1) = 3，无极大值．
14.设 a为实数，函数 f(x) = x3- x2- x+ a.
(1)求 f(x)的极值；
(2)当 a在什么范围内取值时，曲线 y= f(x)与 x轴仅有一个交点？
解 (1)f′ (x) = 3x2- 2x- 1.令 f′ (x) = 0，得 x=- 13 或 x= 1.
当 x变化时，f′ (x)，f(x)的变化情况如下表：
x -∞ - 1 - 1 - 1， 3 3 3 ，1 1 (1，+∞)
8
f′ (x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ? ↗
∴ f(x)的极大值是 f - 1 53 = 27 + a，极小值是 f(1) = a- 1.
(2)函数 f(x) = x3- x2- x+ a= (x- 1)2(x+ 1) + a- 1，
由此可知，x取足够大的正数时，有 f(x)> 0，x取足够小的负数时，有 f(x)< 0，
∴曲线 y= f(x)与 x轴至少有一个交点．
由 (1)知 f(x) = f - 1 = 5极大值 3 27 + a，f(x)极小值= f(1) = a- 1.
∵曲线 y= f(x)与 x轴仅有一个交点，
∴ f(x)极大值< 0或 f(x)极小值> 0，即
5
27 + a< 0或 a- 1> 0，∴ a<-
5
27 或 a> 1，
∴当 a∈ -∞，- 527 ∪ (1，+∞)时，曲线 y= f(x)与 x轴仅有一个交点．
x315.设函数 f(x) = 3 - (a+ 1)x
2+ 4ax+ b，其中 a，b∈R.
(1)若函数 f(x)在 x= 3 1处取得极小值 2 ，求 a，b的值；
(2)求函数 f(x)的单调递增区间；
(3)若函数 f(x)在 (-1 , 1)上只有一个极值点，求实数 a的取值范围．
解　 (1)因为 f′ (x) = x2- 2(a+ 1)x+ 4a，所以 f′ (3) = 9- 6(a+ 1) + 4a= 0，得 a= 32 .
由 f(3) = 13 × 27-
5
2 × 9+ 4×
3
2 × 3+ b=
1
2 ，解得 b=-4.
(2)因为 f′ (x) = x2- 2(a+ 1)x+ 4a= (x- 2a) (x- 2)，
令 f′ (x) = 0，得 x= 2a或 x= 2.
当 a> 1时，f(x)的单调递增区间为 (-∞，2)，(2a，+∞)；
当 a= 1时，f(x)的单调递增区间为 (-∞，+∞)；
当 a< 1时，f(x)的单调递增区间为 (-∞，2a)，(2，+∞)．
(3) a<1， a<1，由题意可得 f′(-1)·f′( 即1)<0， -3(-1-2a)·(-1)(1-2a)<0，
a<1，化简得 1 1 (2a+1)( 解得-2a-1)<0， 2 < a< 2 ，
1 1
所以实数 a的取值范围是 - 2 ，2 .
9第 2课时 利用导数求函数的极值极值
壹 利用导数法求极值
1.极小值：函数 y= f(x)在点 x= a的函数值 f(a)比它在点 x= a附近其他点的函数值都小，f ′ (a) =
0；而且在点 x= a附近的左侧 f ′ (x)< 0，右侧 f ′ (x)> 0，则点 a叫做函数 y= f(x)的极小值点，f(a)叫做
函数 y= f(x)的极小值．
先↗后↘极大值点
先↘后↗极小值点
2.极大值：函数 y= f(x)在点 x= b的函数值 f(b)比它在点 x= b附近其他点的函数值都大，f ′ (b) =
0；而且在点 x= b附近的左侧 f ′ (x) > 0，右侧 f ′ (x) < 0，则点 b叫做函数 y= f(x)的极大值点，f(b)叫做
函数 y= f(x)的极大值．
3.从导函数的角度看
y= f '(x) y= f '(x)
+ +
- -
左+右-极小值点 左-右+极大值点
①极值点就是导函数的变号零，点，这是一句需要刻在脑门上的话，经常会用到.
②变号零点：经过这个零点时，函数的值变号，由正转负或由负转正.
③若 x0为 f′ (x)的变号零点，则 x0是 f(x)的极值点，f x0 是 f(x)的极值.
例题分析
例求函数 f(x) = x3- 3x2- 9x+ 5的极值： y
解 f′ (x) = 3x2- 6x- 9，令 f′ (x) = 0，
利用导数求函数极值的步骤如下：
即 3x2- 6x- 9= 0，解得 x1=-1，x2= 3. -1 3 x
f '(x)的图象 1.求函数 f x 的定义域；
当 x变化时，f(x)，f′ (x)的变化情况如下表： 2.求导；

x (-∞，-1) -1 (-1 , 3) 3 (3，+∞) 3.解方程 f x0 = 0，当 f x0 = 0；
f′ (x) + 0 - 0 + 4.列表，分析函数的单调性，求极值：

f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ①如果在 x0附近的左侧 f x < 0，右
侧 f x > 0，那么 f x0 是极小值；
∴当 x=-1时，函数 y= f(x)有极大值，且 f(-1) = 10； ②如果在 x 0附近的左侧 f x > 0，右

当 x= 3时，函数 y= f(x)有极小值，且 f(3) =-22. 侧 f x < 0，那么 f x0 是极大值
变式1 求函数 f(x) = (x2- 1)3+ 1的极值 变式2 求 f(x) = lnxx 的极值，并画出函数的草
图
1
变式3 函数 f(x) = x+ ax2+ blnx的图象在点P
(1 , f(1))处的切线方程为 y= 2x- 2.
(1)求 a , b的值；
(2)求 f(x)的极值.
贰 已知极值求解析式
例题分析
例若函数 f(x) = x3+ ax2+ bx+ a2在 x= 1处取得极值 10，则 a=______，b=_____.
解 f′ (x) = 3x2+ 2ax+ b，
f(1)=10， a2+a+b=9， a=4， a=-3，
x=1处取得极值和 f '(1)=0
依题意得 即f′(1)=0， 解得 或 不是等价关系2a+b=-3， b=-11 b=3. 所以一定要检验求出的答案
但由于当 a=-3，b= 3时，f′ (x) = 3x2- 6x+ 3= 3(x- 1)2≥ 0，
故 f(x)在R上单调递增，不可能在 x= 1处取得极值，所以 a=-3， = 不符合题意，应舍去．b 3
而当 a= 4，b=-11时，经检验知符合题意，
故 a，b的值分别为 4，-11.
变式1 已知函数 f(x) = x3+ 3ax2+ bx+ a2在 x 变式2 若函数 f(x) = ax- ln x x= 2在 处取
=-1处有极值 0，则 a=___，b=____. 2
得极值，则实数 a的值为 .
2
叁 极值点与根的分布
例题分析
例 f(x) = 1 x3- 1已知函数 3 2 (m+ 3)x
2+ (m+ 6)x(x∈R，m为常数)，在区间 (1，+∞)内有两个极
值点，求实数m的取值范围．
解 f′ (x) = x2- (m+ 3)x+m+ 6.
因为函数 f(x)在 (1，+∞)内有两个极值点，
所以 f ′ (x) = x2- (m+ 3)x+m+ 6在 (1，+∞)内与 x轴有两个不同的交点，如图所
示．
Δ=(m+3)
2-4(m+6)>0，

所以 f′(1)=1-(m+3)+m+6>0，解得m> 3.故实数m的取值范围是 (3，+∞)．
m+3 2 >1，
变式1 若函数 f(x) = 1 x33 - x
2+ ax- 1有极值
点，则 a的取值范围为________． 变式2 1已知函数 f(x) = 3 x
3- x2+ ax- 1.
①若函数的极大值点是-1，求 a的值；
②若函数 f(x)有一正一负两个极值点，求 a的
取值范围．
引申探究
若本题中函数的极大值点是-1，求 a的值．
变式3 f(x) = 1+lnx已知函数 x ，若函数在区间
若本题中函数 f(x)有两个极值点，均为正值，
a 1，a+ 2 (其中 a> 0)上存在极值，求实数 a的取求 a的取值范围．
值范围．
3
肆 极值中的含参讨论
例题分析
例已知函数 f(x) = x2- 2x- alnx，g(x) = ax。求函数F(x) = f(x) + g(x)的极值；
2x22 + a-2 x-a 2x+a x-1解 F x = x - 2x- alnx+ ax，F' x = x =

x ，
∵F x 的定义域为 0,+∞ .
① - a2 ≤ 0即 a≥ 0时，F x 在 0,1 上递减，F x 在 1,+∞ 上递增，F x 极小= a- 1，F x 无极
大值.
② 0<- a2 < 1即-2< a< 0时，F x 在 0,-
a
2 和 1,+∞ 上递增，在 -
a
2 ,1 上递减，
2
F x =F - a a a 极大 2 = a- 4 - aln - 2 ，F x 极小=F 1 = a- 1.
③ - a2 = 1即 a=-2时，F x 在 0,+∞ 上递增，F x 没有极值.
④ - a2 > 1即 a<-2时，F x 在 0,1 和 -
a
2 ,+∞ 上递增，F x 在 1,-
a
2 上递减，
2
∴F x 极大= f 1 = a- 1，F x =F - a 极小 2 = a-
a
4 - aln -
a
2 .
2
综上可知：a≥ 0时，F x 极小= a- 1，F x 无极大值；-2< a< 0时，F x 极大=F - a = a- a2 4
- aln - a2 ，F x 极小=F 1 = a- 1；a=-2时，F x 没有极值；a<-2时，F x 极大= f 1 = a- 1，
F x =F - a
2
极小 2 = a-
a
4 - aln -
a
2 .
变式1 已知函数 f(x) = x- alnx(a∈R)．求函 变式3 1 1已知函数 f (x) = x22 -ax lnx - x22
数 f(x)的极值．
+ 32 ax。讨论函数 f(x)的极值点；
变式2 已知函数 f(x) = x+ a + 1，a∈R.求此 变式4 1已知函数 f (x) = lnx+ ax22 - 2x+
3
x 2
函数的极值． (a≥ 0)。讨论函数 f(x)的极值点的个数；
4
伍 利用函数极值解决函数零点 (方程根)问题
例题分析
例 已知函数 f(x) = x3- 6x2+ 9x+ 3，若函数 y= f(x)的图象与 y= 13 f ′ (x) + 5x+m的图象有
三个不同的交点，求实数m的取值范围．
解 由 f(x) = x3- 6x2+ 9x+ 3，可得 f′ (x) = 3x2- 12x+ 9，
1
3 f′ (x) + 5x+m=
1 2
3 (3x - 12x+ 9) + 5x+m= x
2+ x+ 3+m.
则由题意可得 x3- 6x2+ 9x+ 3= x2+ x+ 3+m有三个不相等的实根，即 g(x) = x3- 7x2+ 8x-
m的图象与 x轴有三个不同的交点．
∵ g′ (x) = 3x2- 14x+ 8= (3x- 2) (x- 4)，
∴令 g′ (x) = 0，得 x= 23 或 x= 4.
当 x变化时，g(x)，g′ (x)的变化情况如下表：
x -∞，2 2 23 3 3 ，4 4 (4，+∞)
g′ (x) + 0 - 0 +
g(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
则函数 g(x)的极大值为 g 2 = 683 27 -m，极小值为 g(4) =-16-m.由 g(x)的图象与 x轴有三
g 2 = 68 -m>0，
个不同的交点，得 68 3 27 解得-16∴实数m的取值范围为 -16，6827 .
2 x
变式1 若函数 f(x) = 1 x3- 4x+ 4的图象与直 变式2 若函数 f(x) = x e - a恰有三个零点，则3
实数 a的取值范围是 (　　)
线 y= a恰有三个不同的交点，则实数 a的取值范
围是________． A. 42 ，+∞ B. 0 4，e e2
C. (0 , 4e2) D. (0，+∞)
变式3 设 a为实数，函数 f(x) = x3- x2- x+ a.
(1)求 f(x)的极值；
(2)当 a在什么范围内取值时，曲线 y= f (x)
与 x轴仅有一个交点？
5
变式4 若 2ln(x + 2) - x2- x + b= 0在区间 [
-1 , 1]上恰有两个不同的实数根，求实数 b的取值
范围．
课后练习
A组
1.函数 f(x) = ln x- x在区间 (0，e)上的极大值为 (　　)
A. - e B. - 1 C. 1- e D. 0
2.已知 a是函数 f(x) = x3- 12x的极小值点，则 a等于 (　　)
A. - 4 B. - 2 C. 4 D. 2
3.设函数 f(x) = xex，则 (　　)
A. x= 1为 f(x)的极大值点 B. x= 1为 f(x)的极小值点
C. x=-1为 f(x)的极大值点 D. x=-1为 f(x)的极小值点
4.函数 f(x) = x3- 3x2+ 1的极小值点为________．
5. (多选)函数 f(x)的定义域为R，它的导函数 y= f ′ (x)的部分图象如图所示，则下面结论正确的是 (　
　)
A. 在 (1 , 2)上函数 f(x)单调递增 B. 在 (3 , 4)上函数 f(x)单调递减
C. 在 (1 , 3)上函数 f(x)有极大值 D. x= 3是函数 f(x)在区间 [1 , 5]上的极小值点
6. (多选)已知函数 f(x) = 2x3+ ax2+ 36x- 24在 x= 2处有极值，则该函数的一个单调递增区间是 (　
　)
A. (-∞，2) B. (3，+∞) C. (2，+∞) D. (-∞，3)
7. 2已知曲线 f(x) = x3+ ax2+ bx+ 1在点 (1，f(1))处的切线斜率为 3，且 x= 3 是 y= f(x)的极值点，则
a=___________，b=________.
B组
8.若函数 f(x) = x3+ x2- ax- 4在区间 (-1 , 1)上恰有一个极值点，则实数 a的取值范围为______
__．
9.若函数 f(x) = x3- 3ax+ 1在区间 (0 , 1)内有极小值，则 a的取值范围为________．
6
10. (多选)已知函数 f(x) = x3+ ax2+ (a+ 6)x+ 1有极大值和极小值，则实数 a的值可以是 (　　)
A. - 4 B. - 3 C. 6 D. 8
11.设 x= 1与 x= 2是函数 f(x) = aln x+ bx2+ x的两个极值点，则常数 a=________.
12.已知关于 x的函数 f(x) =- 13 x
3+ bx2+ cx+ bc，如果函数 f(x)在 x= 1 4处取得极值- 3 ，则 b=___
_____，c=________.
13.设函数 f(x) = aln x+ 1 + 32x 2 x+ 1，其中 a∈R，曲线 y= f(x)在点 (1，f(1))处的切线垂直于 y轴．
(1)求 a的值；
(2)求函数 f(x)的极值．
14.设 a为实数，函数 f(x) = x3- x2- x+ a.
(1)求 f(x)的极值；
(2)当 a在什么范围内取值时，曲线 y= f(x)与 x轴仅有一个交点？
3
15. x设函数 f(x) = 3 - (a+ 1)x
2+ 4ax+ b，其中 a，b∈R.
(1)若函数 f(x)在 x= 3 1处取得极小值 2 ，求 a，b的值；
(2)求函数 f(x)的单调递增区间；
(3)若函数 f(x)在 (-1 , 1)上只有一个极值点，求实数 a的取值范围．
7第 3课时 利用导数法求最值
1.在闭区间 [a，b]上连续的函数 f(x)在 [a，b]上必有最大值与最小值．
2.若函数 f(x)在 [a，b]上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在
[a，b]上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
壹 无参数的最值
例题分析
例已知函数 f(x) = x3- 3x- 1 ,当 x∈ [-2 , 1]时，求函数 f(x)的最小值．
解 f(x) = x3- 3x- 1 f (x) = 3x2- 3= 3(x+ 1) (x- 1)，
当 x∈ (-2 ,-1)时，f (x)> 0，函数 f(x)单调递增，
当 x∈ (-1 , ) 求函数 f(x)在 [a，b]上的最大值和最小值的步1 时，f (x)< 0，函数 f(x)单调递减， 骤
所以 f(x)在 -2,1 上的最小值为 f -2 和 f 1 中较小的一 (1)求函数在 (a，b)内的极值；
个， (2)求函数在区间端点处的函数值 f(a)，f(b)；
又 f(-2) = (-2)3- 3× (-2) - 1=-3，f(1) = 13- 3× 1- (3)将函数 f(x)的各极值与 f(a)，f(b)比较，其
中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
1=-3，
故函数 f(x)的最小值为-3.
变式1 函数 f (x) = x3- 3x+ 1在区间 [-3 , 0] 变式4 已知函数 f x = lnx+ x2- kx在点 (1 ,
上的最大值和最小值分别是 (　　) f(1))处的切线方程为 x+ y+m= 0．
A. 1，-1 B. 1，-17 (1)求实数 k和m的值；
C. 3，-17 D. 9，-19 (2)求 f x 在 [1 , e]上的最大值 (其中 e是自
然对数的底数)．
变式2 函数 f(x) = x3- 3x(|x| < 1) ( )
A. 有最值，但无极值
B. 有最值，也有极值
C. 既无最值，也无极值
D. 无最值，但有极值
变式5 已知函数 f x = 2x3- ax2+ 12x+ b在 x
= 2处取得极小值 5．
变式3 函数 y= x- sinx π，x∈ ，π 的最大值 (1)求实数 a，b的值；2
(2)当 x∈ 0,3 时，求函数 f x 的最小值．
是 ( )
A. π- 1 B. π2 - 1
C. π D. π+ 1
1
变式6 已知函数 f x = e2x- 2ex.
(1)求曲线 y= f x 在点 1, f 1 处的切线方程；
(2) 1求函数 f x 在区间 4 ,2 上的最大值和最小值.
贰 求最值中的参数问题
例题分析
例已知函数 f(x) = x3- ax2- a2x.求函数 f(x)在 [0，+∞)上的最小值．
解 f′ (x) = 3x2- 2ax- a2= (3x+ a) (x- a)，令 f′ (x) = 0，得 x1=- a3 ，x2= a.
①当 a> 0时，f(x)在 [0，a)上单调递减，在 [a，+∞)上单调递增．所以 f(x)min= f(a) =-a3.
②当 a= 0时，f′ (x) = 3x2≥ 0，f(x)在 [0，+∞)上单调递增，所以 f(x)min= f(0) = 0.
③当 a< 0时，f(x)在 a 0，- 3 上单调递减，在 -
a ，+∞ 上单调递增．所以 f(x) = f - a 3 min 3 =
5
27 a
3.
综上所述，
当 a> 0时，f(x)的最小值为-a3；当 a= 0时，f(x)的最小值为 0；当 a< 0时，f(x)的最小值为 5 327 a .
延伸探究
当 a> 0时，求函数 f(x) = x3- ax2- a2x在 [-a , 2a]上的最值．
解 f′ (x) = (3x+ a) (x- a) (a> 0)，令 f′ (x) = 0，得 x =- a1 3 < x2= a.
所以 f(x)在 -a，-
a
3 上单调递增，在 -
a
3 ，a 上单调递减，在 [a , 2a]上单调递增．
因为 f(-a) =-a3，f - a3 =
5 3
27 a ，f(a) =-a
3，f(2a) = 2a3.所以 f(x)max= f(2a) = 2a3.
f(x)min= f(-a) = f(a) =-a3.
变式1 1 1已知函数 f(x) = 2 22 x - alnx , a> 0. 变式2 已知 a ∈ R，函数 f (x) = x 3 x-a ，求
(1)讨论 f(x)的单调性； f(x)在区间 [0 , 2]上的最大值．
(2)求 f(x)在区间 [1 , e]上的最小值；
2
例题分析
例已知函数 f(x) = ax3- 6ax2+ b，x∈ [-1 , 2]的最大值为 3，最小值为-29，求 a，b的值．
解由题设知 a≠ 0，否则 f(x) = b为常数函数，与题设矛盾．
求导得 f′ (x) = 3ax2- 12ax= 3ax(x- 4)，令 f′ (x) = 0，得 x1= 0，x2= 4(舍去)．
①当 a> 0，且当 x变化时，f′ (x)，f(x)的变化情况如下表：
x -1 (-1 , 0) 0 (0 , 2) 2
f′ (x) + 0 -
f(x) -7a+ b ↗ b ↘ -16a+ b
由表可知，当 x= 0时，f(x)取得极大值 b，也就是函数在 [-1 , 2]上的最大值，∴ f(0) = b= 3.
又 f(-1) =-7a+ 3，f(2) =-16a+ 3< f(-1)，
∴ f(2) =-16a+ 3=-29，解得 a= 2.
②当 a< 0时，同理可得，当 x= 0时，f(x)取得极小值 b，也就是函数在 [-1 , 2]上的最小值，
∴ f(0) = b=-29.
又 f(-1) =-7a- 29，f(2) =-16a- 29> f(-1)，
∴ f(2) =-16a- 29= 3，解得 a=-2.
综上可得，a= 2，b= 3或 a=-2，b=-29.
变式3 已知函数 h(x) = x3+ 3x2- 9x+ 1在区 变式4 已知函数 f x = ax2- a+2 x + lnx ,
间 [k , 2]上的最大值是 28，求 k的取值范围． 当 a> 0时，若 f x 在区间 1,e 上的最小值为
-2，求 a的取值范围.
叁 最值的应用(参变分离)
参数全分离法
是通过将两个变量构成的不等式 (或方程)变形到不等号 (或等号)两端，使两端变量各自相同，解决
有关不等式恒成立、不等式存在 (有)解和方程有解中参数取值范围的一种方法；两个变量，其中一个范围
已知，另一个范围未知.
3
解决问题的关键：分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题。分离变量后，对于不同问题我们有不
同的理论依据可以遵循。以下结论均为已知 x 的范围，求 a 的范围；
【结论 1】不等式 f(x)≥ g(a) 恒成立, 等价于 [ f(x)]min≥ g(a) (求解 f(x) 的最小值) ; 不等式 f(x)≤ g(a) 恒
成立, 等价于 [ f(x)]max≤ g(a) (求解 f(x) 的最大值).
【结论 2】不等式 f(x)≥ g(a) 存在解, 等价于 [ f(x)]max≥ g(a) (求解 f(x) 的最大值) ; 不等式 f(x)≤ g(a)
存在解, 等价于 [ f(x)]min≤ g(a) (即求解 f(x) 的最小值).
【结论 3】方程 f(x) = g(a) 有解, 等价于 g(a) 的范围 = f(x) 的值域 (求解 f(x) 的值域).
解决问题时需要注意：(1)确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；(2)确定是求最大值、最小值还是值
域。
例题1.函数 f(x) = x2- alnx在 [1 , 2]上为增函数，求 a的取值范围．
例题2.已知函数 f(x) = ax- lnx，若 f(x)> 1在区间 [1 ,+∞)内恒成立，求实数 a的取值范围．
1 x+ 2 (x<0)
例题3.若函数 f(x) = 2
x 恰有三个零点，求 a的取值范围
xlnx-a (x>0)
变式1 已知函数 f (x) = exlnx- aex(a∈ R)，若 变式2 已知函数 f (x) = ex+ ax2- x.当 x≥ 0
f(x)在 (0，+∞)上是单调函数，求实数 a的取值范 时, f(x)≥ 12 x
3+ 1, 求 a 的取值范围.
围．
4
变式3 f(x) = 1+lnx已知函数 x , 如果当 x≥ 1
时, k不等式 f(x) ≥ x+1 恒成立, 求实数 k 的取
值范围。
课后练习
A组
1.求下列函数的最值：
(1)f(x) = 2x3- 12x，x∈ [-2 , 3]； (2)f(x) = 12 x+ sinx，x∈ [0 , 2π]．
2.求下列函数的最值：
(1)f(x) = x-1x ； (2)f(x) = x
2- x- lnx，x∈ [1 , 3]．
e
3.已知函数 f(x) = 2x3- 6x2+ a在 [-2 , 2]上有最小值-37，则 a的值为______，f(x)在 [-2 , 2]上
的最大值为________．
4. (多选)函数 f(x) = x3- 3ax- a在 (0 , 1)内有最小值，则 a的值可以为 ()
A. 0 B. 13 C.
1
2 D. 1
B组
5.已知 a为常数，求函数 f(x) =-x3+ 3ax(0≤ x≤ 1)的最大值．
6.已知函数 f(x) = ex- x+ a，若 f(x)> 0恒成立，则实数 a的取值范围是 ()
A. (-1，+∞) B. (-∞，-1) C. [-1，+∞) D. (-∞，-1]
7.设函数 f(x) = ax3- 3x+ 1(a> 1)，若对于任意的 x∈ [-1 , 1]，都有 f(x) ≥ 0成立，则实数 a的值为_
5
________．
8.已知函数 f(x) = lnx+ ax .
(1)当 a< 0时，求函数 f(x)的单调区间；
(2)若函数 f(x)在 [1，e] 3上的最小值是 2 ，求 a的值．
综上所述，a的值为 e .
6第 3课时 利用导数法求最值
1.在闭区间 [a，b]上连续的函数 f(x)在 [a，b]上必有最大值与最小值．
2.若函数 f(x)在 [a，b]上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在
[a，b]上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
壹 无参数的最值
例题分析
例已知函数 f(x) = x3- 3x- 1 ,当 x∈ [-2 , 1]时，求函数 f(x)的最小值．
解 f(x) = x3- 3x- 1 f (x) = 3x2- 3= 3(x+ 1) (x- 1)，
当 x∈ (-2 ,-1)时，f (x)> 0，函数 f(x)单调递增，
当 x∈ (-1 , 1)时，f (x)< 0，函数 f(x) 求函数 f(x)在 [a，b]上的最大值和最小值的步单调递减， 骤
所以 f(x)在 -2,1 上的最小值为 f -2 和 f 1 中较小的一 (1)求函数在 (a，b)内的极值；
个， (2)求函数在区间端点处的函数值 f(a)，f(b)；
又 f(-2) = (-2)3- 3× (-2) - 1=-3，f(1) = 13- 3× 1- (3)将函数 f(x)的各极值与 f(a)，f(b)比较，其
中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
1=-3，
故函数 f(x)的最小值为-3.
变式1 函数 f (x) = x3- 3x+ 1在区间 [-3 , 0] 答案C
解析 y ′ = 1 - cosx，当 x ∈ π ，π ( ) 2 时，y ′ > 0，则函数在区间上的最大值和最小值分别是 　　
π ，π 2 上单调递增，所以 y的最大值为 ymax= π- sinπ= π.A. 1，-1 B. 1，-17
C. 3，-17 D. 9，-19 变式4 已知函数 f x = lnx+ x2- kx在点 (1 ,
答案　C f(1))处的切线方程为 x+ y+m= 0．
解析　 f ′ (x) = 3x2- 3= 3(x- 1) (x+ 1)， (1)求实数 k和m的值；
令 f ′ (x) = 0，得 x=±1.
又 f(-3) =-27+ 9+ 1=-17，f(0) = 1， (2)求 f x 在 [1 , e]上的最大值 (其中 e是自
f(-1) =-1+ 3+ 1= 3 , 1 [-3 , 0]． 然对数的底数)．
所以函数 f(x)的最大值为 3，最小值为-17. 【答案】(1)k= 4，m= 2 ; (2)e2- 4e+ 1
1
变式2 函数 f(x) = x3- 3x(|x| < 1) ( ) 【解析】(1)因为 f x = lnx+ x2- kx ,所以 f ′ (x) = x + 2x- k，
f 1 =3-k=-1
A. 有最值，但无极值 由题意可得， ，解得: k= 4，m= 2.f 1 =1-k=-m-1
B. 有最值，也有极值 (2)由 (1)可得，f x = lnx+ x2- 4x
2
C. 既无最值，也无极值 所以 f x =
1
x + 2x- 4=
2x -4x+1
x ，且 x∈ [1 , e]，
D. 无最值，但有极值 易得，当 x∈ 2 1,1+ 2 时，f x < 0，函数单调递减，
答案C 当 x∈ 1+ 2 ,e 时，f x > 0，函数单调递增，
解析 f ′ (x) = 3x2- 3= 3(x+ 1) (x- 1)，当 x∈ (-1 , 1)时，f ′ (x)< 2
又 f 1 =-3，f e = e2- 4e+ 1，且 f e - f 1 = e2( ) (- , ) - 4e+ 4= (e0，所以 f x 在 1 1 上单调递减，无最大值和最小值，也无极值．
- 2)2> 0，
2
变式3 函数 y= x- sinx，x∈ π 2 ，π 的最大值
即最大值为：f e = e - 4e+ 1.
是 ( ) 变式5 已知函数 f x = 2x
3- ax2+ 12x+ b在 x
π = 2处取得极小值 5．A. π- 1 B. 2 - 1 (1)求实数 a，b的值；
C. π D. π+ 1 (2)当 x∈ 0,3 时，求函数 f x 的最小值．
1
【答案】(1)a= 9，b= 1 ; (2)1 (1)求曲线 y= f x 在点 1, f 1 处的切线方程；
【解析】(1)f x = 6x2- 2ax+ 12，
(2) 1求函数 f x 在区间 ,2 上的最大值和最小值.
因为 f x 在 x= 2处取极小值 5，所以 f 2 = 24- 4a+ 12= 0，得 4
a= 9， 【答案】(1) 2e2-2e x- y- e2= 0 ; (2)f x min= 0；f x max= e4- 4e.
此时 f x = 6x2- 18x+ 12x= 6 x-1 x-2 【解析】(1)因为 f x = e
2x- 2ex，所以 f x = 2e2x- 2e，则 k=
2 2
所以 f x 在 1,2 上单调递减，在 2,+∞ 上单调递增 f 1 = 2e - 2e，又 f 1 = e - 2e，则切点 1,e
2-2e ，
所以 f x 在 x= 2时取极小值，符合题意 所以曲线 y= f x 在点 1, f 1 处的切线方程为 y- e
2-2e =
所以 a= 9，f x = 2x2- 9x2+ +
2 2
12x b． 2e -2e x-1 ，即 2e -2e x- y- e2= 0.
又 f 2 = 4+ b= 5，所以 b= 1． (2)令 f x > 0，解得 x> 1 ；令 f 2 x < 0，解得 x<
1
2
(2)f x = 2x3- 9x2+ 12x+ 1，所以 f x = 6 x-1 x-2 则 x、f x 、f x 情况如下：
列表如下：
x 1 1 , 1 1 1 ,2 2
x 0 0,1 1 1,2 2 2,3 3 4 4 2 2 2

f x + 0 - 0 + f x - 0 +
1
f e x 1 ↗ 极大值 6 ↘ 极小值 5 ↗ 10 f x e 2 - 2 递减 极小值 0 递增 e
4- 4e
由于 1< 5，故 x∈ 0,3 时，f x min= f 0 = 1． 1
易知 f x
1 e
2 4min= f 2 = 0；又 e - 2 < e - 4e，所以 f x max=
变式6 已知函数 f x = e2x- 2ex. f 2 = e4- 4e.
贰 求最值中的参数问题
例题分析
例已知函数 f(x) = x3- ax2- a2x.求函数 f(x)在 [0，+∞)上的最小值．
解 f′ (x) = 3x2- 2ax- a2= (3x+ a) (x- a)，令 f′ (x) = 0，得 x1=- a3 ，x2= a.
①当 a> 0时，f(x)在 [0，a)上单调递减，在 [a，+∞)上单调递增．所以 f(x) 3min= f(a) =-a .
②当 a= 0时，f′ (x) = 3x2≥ 0，f(x)在 [0，+∞)上单调递增，所以 f(x)min= f(0) = 0.
③当 a< 0时，f(x)在 0，- a 上单调递减，在 a 3 - 3 ，+∞ 上单调递增．所以 f(x)min= f -
a 5 3
3 = 27 a .
综上所述，
当 a> 0时，f(x)的最小值为-a3；当 a= 0时，f(x)的最小值为 0；当 a< 0时，f(x)的最小值为 5 327 a .
延伸探究
当 a> 0时，求函数 f(x) = x3- ax2- a2x在 [-a , 2a]上的最值．
解 f′ (x) = (3x+ a) (x- a) (a> 0)，令 f′ (x) = 0，得 x1=- a3 < x2= a.
所以 f(x)在 -a，- a 3 上单调递增，在 -
a
3 ，a 上单调递减，在 [a , 2a]上单调递增．
因为 f(-a) =-a3，f - a = 5 a33 27 ，f(a) =-a3，f(2a) = 2a3.所以 f(x)max= f(2a) = 2a3.
f(x)min= f(-a) = f(a) =-a3.
( ) = 1 2- , > 递减，在 a ,e 单调递增，所以函数 f(x)的最小值为 f( a ) =变式1 已知函数 f x 2 x alnx a 0. 1
2 a 1-lna ，当 a≥ e
2时， a≥ e，函数在 [1 , e]单调递减，所以函数
(1)讨论 f(x)的单调性； f(x)的最小值为 f(e) = 12 e2- a，
(2)求 f(x)在区间 [1 , e]上的最小值；
综上所述：当 0< a≤ 1时，函数 f(x)的最小值为 f(1) = 12 ，当 1<2
【解析】(1)f (x) = x- a = x -a , x> 0，a> 0，由 f x x (x)> 0得 x a< e2时，函数 f(x)的最小值为 f( a ) = 1 a 1-lna ，当 a≥ e2时，函
> a，由 f (x)< 0得 0< 2x< a，函数在 x∈ 0, a 单调递减，在 x 1 2
∈ a ,+∞ 单调递增； 数 f(x)的最小值为 f(e) = 2 e - a；
(2)由 (1)函数在 x∈ 0, a 单调递减，在 x∈ a ,+∞ 单调递
< ≤ ≤ [ , ] 2
1
增，当 0 a 1时， a 1，函数在 1 e 单调递增，所以函数 f(x)的 变式2 已知 a ∈ R，函数 f (x) = x 3 x-a ，求
最小值为 f(1) = 12 ，当 1< a< e
2时，1< a< e，函数在 1, a 单调 f(x)在区间 [0 , 2]上的最大值．
2
解　 f ′ (x) = x2- 2ax.令 f ′ (x) = 0，解得 x1= 0，x2= 2a.令 g(a) = [2a , 2]上单调递增，
f(x)max， 8 3 -4a，02
3 ，
①当 2a ≤ 0，即 a≤ 0时，f(x)在 [0 , 2]上单调递增，从而 g(a) = 从而 g(a) =
2 0， f(x) 8 3max= f(2) = 3 - 4a. 8 2
②当 2a≥ 2，即 a≥ 1时，f(x)在 [0 , 2] -4a，a≤ ，上单调递减，从而 g(a) = 3 3综上所述，g(a) =
f( 2x)max= f(0) = 0. 0，a> 3 .
③当 0< 2a< 2，即 0< a< 1时，f(x)在 [0 , 2a]上单调递减，在
例题分析
例已知函数 f(x) = ax3- 6ax2+ b，x∈ [-1 , 2]的最大值为 3，最小值为-29，求 a，b的值．
解由题设知 a≠ 0，否则 f(x) = b为常数函数，与题设矛盾．
求导得 f′ (x) = 3ax2- 12ax= 3ax(x- 4)，令 f′ (x) = 0，得 x1= 0，x2= 4(舍去)．
①当 a> 0，且当 x变化时，f′ (x)，f(x)的变化情况如下表：
x -1 (-1 , 0) 0 (0 , 2) 2
f′ (x) + 0 -
f(x) -7a+ b ↗ b ↘ -16a+ b
由表可知，当 x= 0时，f(x)取得极大值 b，也就是函数在 [-1 , 2]上的最大值，∴ f(0) = b= 3.
又 f(-1) =-7a+ 3，f(2) =-16a+ 3< f(-1)，
∴ f(2) =-16a+ 3=-29，解得 a= 2.
②当 a< 0时，同理可得，当 x= 0时，f(x)取得极小值 b，也就是函数在 [-1 , 2]上的最小值，
∴ f(0) = b=-29.
又 f(-1) =-7a- 29，f(2) =-16a- 29> f(-1)，
∴ f(2) =-16a- 29= 3，解得 a=-2.
综上可得，a= 2，b= 3或 a=-2，b=-29.
变式3 已知函数 h(x) = x3+ 3x2- 9x+ 1在区 变式4 已知函数 f x = ax2- a+2 x + lnx ,
间 [k , 2]上的最大值是 28，求 k的取值范围． 当 a> 0时，若 f x 在区间 1,e 上的最小值为
解　∵ h(x) = x3+ 3x2- 9x+ 1，∴ h′ (x) = 3x2+ 6x- 9. -2，求 a的取值范围.
令 h′ (x) = 0，得 x1=-3，x2= 1，
【答案】 1,+∞
当 x变化时，h′ (x)，h(x)的变化情况如下表：
【解析】函数 f x = ax2- a+2 x+ lnx的定义域为 0,+∞ ，
x (-∞，-3) -3 (-3 , 1) 1 (1，+∞) 2 1 2ax - a+2 x+1 2x-1 ax-1 且 f x = 2ax- a+2 + x = x = x ，
h′ (x) + 0 - 0 +
令 f x
1 1
= 0，得 x= 或 x= ，当 0< 1 ≤ 1，即 a≥ 1时，f x
h(x) ↗ 28 ↘ -4 ↗ 2 a a
在 1,e 上单调递增，
∴当 x=-3时，h(x)取极大值 28； ∴ f x 在 1,e 上的最小值是 f 1 =-2，符号题意；当 1< 1 < e
当 x= 1时，h(x)取极小值-4. a
1 1
而 h(2) = 3< h(-3) = 28， 时，f x 在 1,e 上的最小值是 f a < f 1 =-2，不合题意；当 a ≥
∴如果 h(x)在区间 [k , 2]上的最大值为 28，则 k≤-3. e时，f x 在 1,e 上单调递减，
所以 k的取值范围为 (-∞，-3]． ∴ f x 在 1,e 上的最小值是 f e < f 1 =-2，不合题意；故 a的
取值范围为 1,+∞
叁 最值的应用(参变分离)
参数全分离法
是通过将两个变量构成的不等式 (或方程)变形到不等号 (或等号)两端，使两端变量各自相同，解决
有关不等式恒成立、不等式存在 (有)解和方程有解中参数取值范围的一种方法；两个变量，其中一个范围
已知，另一个范围未知.
3
解决问题的关键：分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题。分离变量后，对于不同问题我们有不
同的理论依据可以遵循。以下结论均为已知 x 的范围，求 a 的范围；
【结论 1】不等式 f(x)≥ g(a) 恒成立, 等价于 [ f(x)]min≥ g(a) (求解 f(x) 的最小值) ; 不等式 f(x)≤ g(a) 恒
成立, 等价于 [ f(x)]max≤ g(a) (求解 f(x) 的最大值).
【结论 2】不等式 f(x)≥ g(a) 存在解, 等价于 [ f(x)]max≥ g(a) (求解 f(x) 的最大值) ; 不等式 f(x)≤ g(a)
存在解, 等价于 [ f(x)]min≤ g(a) (即求解 f(x) 的最小值).
【结论 3】方程 f(x) = g(a) 有解, 等价于 g(a) 的范围 = f(x) 的值域 (求解 f(x) 的值域).
解决问题时需要注意：(1)确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；(2)确定是求最大值、最小值还是值
域。
例题1.函数 f(x) = x2- alnx在 [1 , 2]上为增函数，求 a的取值范围．
解函数 f(x) = x2- alnx在 [1 , 2]上为增函数，则 f (x) = 2x- ax ≥ 0在 [1 , 2]上恒成立，(问题转化)
因为 f (x) = 2x- ax ≥ 0 2x≥
a
x a≤ 2x
2，(分离变量，把 x与 a放在式子的两边，一边只含有一
个字母，叫做全分离)
所以 a≤(2x2)min(这里把 a看成不变的量，不变的量小于变化的量，就小于变化量的最小值)
当 x∈ [1 , 2]时，(2x2)min= 2，所以 a≤ 2．
例题2.已知函数 f(x) = ax- lnx，若 f(x)> 1在区间 [1 ,+∞)内恒成立，求实数 a的取值范围．
解因为 f(x) = ax- lnx> 1 ax> 1+ lnx a> 1+lnxx ，(分离变量)则有 a>
1+lnx
x max
设 g(x) = 1+lnxx ，x∈ [1 ,+∞) (由于
1+lnx
x 的最值不能直接看出来，所以要构造函数来求，这种方
法经常考查)
由于 g (x) =- lnx2 ，且 x> 1时，lnx> 0，x
2> 0，所以 x∈ [1 ,+∞)时，g (x)< 0，
x
所以 g(x) = 1+lnxx 在 [1 ,+∞)上单调递减，故 g(x)max= g(1) = 1，故 a> 1．
1 x 2 + 2x (x<0)例题3.若函数 f(x) = 恰有三个零点，求 a的取值范围 xlnx-a (x>0)
x
解 当 x< 0时，f(x) = 12 +
2
x 为减函数，且 f(-1) = 0，所以在 (-∞ , 0)上 f(x)只有一个根，
所以只需有 x> 0时，f(x) = xlnx- a有两个零点即可，
由于 f(x) = xlnx- a= 0 a= xlnx，令 g(x) = xlnx，h(x) = a，
则问题转化为函数 g(x)与 h(x)的图象有两个交点． (h(x)的图像为平行于 x轴的一条直线，由于 a
未定，所以可以上下平移，g(x)为非基本函数，故需要通过导函数来研究)
g (x) = lnx+ 1，令 g (x) = 0，则有 x= 1e ，
所以，当 x∈ 0, 1e 时，g (x)< 0，g(x)单调递减；(三步：自变量范围，导函数正负，原函数单调性)
x∈ 1e ,+∞ 时，g (x)> 0，g(x)单调递增．
由此可知当 x= 1e 时，函数 g(x)取得最小值-
1
e ． (通过导函数画原函数图像的必备结论，单调性、
关键点、走向趋势等)
在同一坐标系中作出函数 g(x)与 h(x)的简图如图所示，(在这里画的只是简图，只具备关键信息，并
不是标准图像，标准图像只能通过画图软件来画)
4
g(x)=xlnx
y
h(x)=a a>0,此时，有1个交点
1
x - e a<- 1e ,此时，没有交点
根据图可得- 1e < a< 0，故选D．
变式1 已知函数 f (x) = exlnx- aex(a∈ R)，若 令 (x) = ex- 12 x2- x- 1(x≥ 0) ,则 (x) = ex- x- 1 , ＂(x)
f(x) x在 (0，+∞)上是单调函数，求实数 a的取值范 = e - 1≥ 0
故 (x) 单调递增, (x)≥ (0) = 0,，故 (x) 单调递增, (x)
围． ≥ (0) = 0,
【解析】f (x) = 1x -a+lnx ex 由 (x)≥ 0 可得: ex- 1 x22 - x- 1≥ 0 恒成立,
(1)若 f(x)为单调递减函数，则 f ′ (x)≤ 0，在 x> 0时恒成立． (问 故当 x∈ (0 , 2) 时, g (x)> 0 , g(x) 单调递增;
题转化 1) 当 x∈ (2 ,+∞) 时, g (x)< 0 , g(x) 单调递减;
即 1x - a+ lnx≤ 0，在 x> 0时恒成立． (问题转化 2)
2
因此, [g(x)]max= g(2) = 7-e4
所以 a≥ 1x + lnx，在 x> 0时恒成立． (分离变量) (注意下面的 综上可得，实数 a 的取值范围是 7-e
2
4 ,+∞
解答格式)
令 g(x) = 1x + lnx(x> 0)，(构造函数求最值) 变式3
1+lnx
已知函数 f(x) = x , 如果当 x≥ 1
则 g′ (x) =- 12 +
1 = x-1x 2 (x> 0)，令 g
(x) = 0，则 x= 1．
x x k
∈ ( , ) 时, 不等式 f(x) ≥ 恒成立, 求实数 k 的取所以由 x 0 1 时，g (x)< 0，g(x) 单调递减，x∈ (1 ,+∞)时，g x+1
(x)> 0，g(x) 单调递增． 值范围。
此时 g(x)的最小值为 g(x) = 1，但 g(x)无最大值 (且无趋近值)．
解析 :∵ x≥ 1,
故 f(x)不可能是单调递减函数． (因为 a≥ 1x + lnx，故要在于右 1+lnx ≥ k ≤ (x+1)(1+lnx)k ,
边的最大值，右边无最大值) x x+1 x
(x+1)(1+lnx)
(2)若 f(x)为单调递增函数，则 f ′ (x)≥ 0，在 x> 0时恒成立，即 即只需要 k≤ x min
1 - a+ lnx≥ 0，在 x> 0时恒成立， ( ) = (x+1)(1+lnx)x 设 g x x
所以 a≤ 1 + lnx，在 x> 0时恒成立，由上述推理可知此时 a≤ 1． [(x+1)(1+lnx)] x ∴ x-(x+1)(1+lnx)g (x) = = x-lnx2 2
故实数 a的取值范围是 (-∞，1]． x x
令 (x) = x- lnx
变式2 已知函数 f (x) = ex+ ax2- x.当 x≥ 0 ∴ (x) = 1- 1x =
x-1
x

时, f(x)≥ 1 x3+ 1, 求 a 的取值范围. ∵ x> 1 ,∴ (x)≥ 0 ,∴ (x) 在 [1 ,+∞) 单调递增,2 ∴ (x)≥ (1) = 1> 0 ,∴ g (x)> 0 ,∴ g(x) 在 [1 ,+∞) 单调递增,
解析:) 由 f(x)≥ 1 x32 + 1 得 e
x+ ax2- x≥ 1 x3+ 1, 其中 x> 0, 当 x≥ 1 时, g(x)min = g(1) = 22
①. 当 x= 0 时, 不等式显然成立, 符合题意; ∴ k≤ 2
1 所以实数 k 的取值范围是 (-∞ , 2].ex- x3-x-1
②. 当 x> 0 时, 分离参数 a 得 a≥- 2
x2
ex- 12 x
3-x-1 (x-2) ex- 1 x2-x-1
记 g(x) =- 2 .g
(x) =- 2
x x3
课后练习
A组
1.求下列函数的最值：
(1)f(x) = 2x3- 12x，x∈ [-2 , 3]； (2)f(x) = 12 x+ sinx，x∈ [0 , 2π]．
解 (1)因为 f(x) = 2x3- 12x，x∈ [-2 , 3]，
所以 f′ (x) = 6x2- 12= 6(x+ 2 ) (x- 2 )，令 f′ (x) = 0，解得 x=- 2或 x= 2 .
当 x变化时，f′ (x)，f(x)的变化情况如表所示．
5
x -2 (-2，- 2 ) - 2 (- 2， 2 ) 2 ( 2，3) 3
f′ (x) + 0 - 0 +
f(x) 8 ↗ 8 2 ↘ -8 2 ↗ 18
因为 f(-2) = 8，f(3) = 18，f( 2 ) =-8 2，f(- 2 ) = 8 2，
所以当 x= 2时，f(x)取得最小值-8 2；当 x= 3时，f(x)取得最大值 18.
(2)f′ (x) = 1 + cosx，令 f′ (x) = 0，又 x∈ [0 , 2π]，解得 x= 2π 或 x= 4π2 3 3 .
当 x变化时，f′ (x)，f(x)的变化情况如表所示．
x 0 0 2π 2π 2π 4π 4π 4π，3 3 3 ，3 3 3 ，2π 2π
f′ (x) + 0 - 0 +
f(x) 0 ↗ π + 3 ↘ 2π - 3 ↗ π3 2 3 2
因为 f(0) = 0，f(2π) = π，f 2π3 =
π + 3 4π 2π 33 2 ，f 3 = 3 - 2 .
所以当 x= 0时，f(x)有最小值 f(0) = 0；当 x= 2π时，f(x)有最大值 f(2π) = π.
2.求下列函数的最值：
(1)f(x) = x-1x ； (2)f(x) = x
2- x- lnx，x∈ [1 , 3]．
e
x x
解 (1)函数 f(x) = x-1 1·e -e (x-1)x 的定义域为R. f′ (x) = =
2-x
2 x ，当 f′ (x) = 0时，x= 2，e (ex) e
当 x变化时，f′ (x)，f(x)的变化情况如表所示.
x (-∞，2) 2 (2，+∞)
f′ (x) + 0 -
( ) ↗ 1f x
e2
↘
∴ f(x)在 (-∞，2)上单调递增，在 (2，+∞)上单调递减，
∴ f(x)无最小值，且当 x= 2时，f(x)max= f(2) = 12 .e
2
( ) ′ ( ) = - - 1 = 2x -x-1 = (2x+1)(x-1)2 f x 2x 1 x x x ，
∵ x∈ [1 , 3]，∴ f′ (x)≥ 0在 [1 , 3]上恒成立．∴ f(x)在 [1 , 3]上单调递增，
∴当 x= 1时，f(x)min= f(1) = 0，当 x= 3时，f(x)max= f(3) = 6- ln3.
3.已知函数 f(x) = 2x3- 6x2+ a在 [-2 , 2]上有最小值-37，则 a的值为______，f(x)在 [-2 , 2]上
的最大值为________．
答案 33
解析 f′ (x) = 6x2- 12x= 6x(x- 2)．由 f′ (x) = 0，得 x= 0或 x= 2.
当 x变化时，f′ (x)，f(x)的变化情况如下表：
x -2 (-2 , 0) 0 (0 , 2) 2
f′ (x) + 0 - 0
f(x) -40+ a ↗ 极大值 a ? ↘ -8+ a
6
所以当 x=-2时，f(x)min=-40+ a=-37，所以 a= 3.
所以当 x= 0时，f(x)取得最大值 3.
4. (多选)函数 f(x) = x3- 3ax- a在 (0 , 1)内有最小值，则 a的值可以为 ()
A. 0 B. 1 C. 13 2 D. 1
答案BC
解析∵ f′ (x) = 3x2- 3a，且 f′ (x) = 0有解，∴ a= x2.又∵ x∈ (0 , 1)，∴ 0< a< 1.
B组
5.已知 a为常数，求函数 f(x) =-x3+ 3ax(0≤ x≤ 1)的最大值．
解 f′ (x) =-3x2+ 3a=-3(x2- a)．
若 a≤ 0，则 f′ (x)≤ 0，函数 f(x)单调递减，所以当 x= 0时，f(x)有最大值 f(0) = 0.
若 a> 0，则令 f′ (x) = 0，解得 x=± a .因为 x∈ [0 , 1]，所以只考虑 x= a的情况．
(1)若 0< a< 1，即 0< a< 1，则当 x= a时，f(x)有最大值 f( a ) = 2a a .(如下表所示)
x 0 (0， a ) a ( a，1) 1
f′ (x) + 0 -
f(x) 0 ↗ 2a a ↘ 3a- 1
(2)若 a≥ 1，即 a≥ 1，则当 0≤ x≤ 1时，f ′ (x)≥ 0，函数 f(x)在 [0 , 1]上单调递增，当 x= 1时，f(x)
有最大值 f(1) = 3a- 1.
综上可知，当 a≤ 0，x= 0时，f(x)有最大值 0，当 0< a< 1，x= a时，f(x)有最大值 2a a，当 a≥
1，x= 1时，f(x)有最大值 3a- 1.
6.已知函数 f(x) = ex- x+ a，若 f(x)> 0恒成立，则实数 a的取值范围是 ()
A. (-1，+∞) B. (-∞，-1) C. [-1，+∞) D. (-∞，-1]
答案A
解析 f′ (x) = ex- 1，令 f′ (x)> 0，解得 x> 0，令 f′ (x)< 0，解得 x< 0，
故 f(x)在 (-∞，0)上单调递减，在 (0，+∞)上单调递增，故 f(x)min= f(0) = 1+ a.
若 f(x)> 0恒成立，则 1+ a> 0，解得 a>-1，故选A.
7.设函数 f(x) = ax3- 3x+ 1(a> 1)，若对于任意的 x∈ [-1 , 1]，都有 f(x) ≥ 0成立，则实数 a的值为_
________．
答案 4
解析由题意得，f′ (x) = 3ax2- 3，当 a> 1时，令 f′ (x) = 3ax2- 3= 0，解得 x=± aa ，±
a
a ∈
[-1 , 1]．
①当-1< x<- aa 时，f′ (x)> 0，f(x)单调递增；
②当- aa < x<
a
a 时，f′ (x)< 0，f(x)单调递减；
③当 aa < x< 1时，f′ (x)> 0，f(x)单调递增．
所以只需 f aa ≥ 0，且 f(-1)≥ 0即可，
由 f a a
3 a
a ≥ 0，得 a· a - 3· a + 1≥ 0，解得 a≥ 4，
7
由 f(-1)≥ 0，可得 a≤ 4，综上可得 a= 4.
8.已知函数 f(x) = lnx+ ax .
(1)当 a< 0时，求函数 f(x)的单调区间；
(2)若函数 f(x)在 [1 3，e]上的最小值是 2 ，求 a的值．
解函数 f(x) = lnx+ ax 的定义域为 (0，+∞)，f′ (x) =
1 - a = x-ax 2 2 ，x x
(1) ∵ a< 0，∴ f′ (x)> 0，故函数在其定义域 (0，+∞)上单调递增．
∴ f(x)的单调递增区间为 (0，+∞)，无单调递减区间．
(2)当 x∈ [1，e]时，分如下情况讨论：
①当 a< 1时，f ′ (x)> 0，函数 f(x)单调递增，其最小值为 f(1) = a< 1，这与函数在 [1，e]上的最小值
是 32 相矛盾；
②当 a= 1时，函数 f(x)在 [1，e]上单调递增，其最小值为 f(1) = 1，同样与最小值是 32 相矛盾；
③当 1< a< e时，函数 f(x)在 [1，a)上有 f ′ (x)< 0，f(x)单调递减，在 (a，e]上有 f ′ (x)> 0，f(x)单
调递增，
∴函数 f(x)的最小值为 f(a) = lna+ 1，由 lna+ 1= 32 ，得 a= e .
④当 a= e时，函数 f(x)在 [1，e]上有 f ′ (x) ≤ 0，f(x)单调递减，其最小值为 f(e) = 2，这与最小值是
3
2 相矛盾；
⑤当 a> e时，显然函数 f(x)在 [1，e]上单调递减，其最小值为 f(e) = 1+ ae > 2，仍与最小值是
3
2 相
矛盾．
综上所述，a的值为 e .
8

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