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2026人教版高中物理必修第二册
第八章　机械能守恒定律
4　机械能守恒定律
基础过关练
题组一　机械能守恒的判断
1.(2025福建福州期中)关于下列四幅图中的情境(均不计空气阻力),说法正确的是 (　　)
　　　
A.甲图中,火箭点火升空的过程中,火箭的机械能守恒
B.乙图中,在匀速转动的摩天轮中的游客机械能守恒
C.丙图中,被运动员掷出的铅球在飞行过程中,铅球的机械能守恒
D.丁图中,运动员撑杆向上的过程中,运动员的机械能一直守恒
2.(2025河北全真演练)质量相同的六个小球固定在正六边形轻质框架的六个顶点上,小球绕正六边形的中心O点在竖直面内匀速转动,角速度为ω,不计摩擦和空气阻力,下列说法正确的是 (　　)
A.每个小球机械能守恒
B.每个小球速度不变
C.每个小球的机械能为系统机械能的六分之一
D.六个小球与框架构成的系统机械能守恒
题组二　机械能守恒定律的应用
3.(2024贵州贵阳月考)如图所示,AOB为水上游乐场的滑道简化模型,它位于竖直平面内,由两个半径都为R的光滑圆弧滑道组成,它们的圆心O1、O2与两圆弧的连接点O在同一竖直线上,O2B与水池的水面齐平。一小孩(可视为质点)可由滑道AC上的任意点从静止开始下滑,O1C与竖直方向的夹角α=60°,则该小孩的落水点与O2的距离可能为 (　　)
A.0　　　　B.R　　　　C.R　　　　D.3R
4.(教材习题改编)如图所示,某人沿与水平方向成30°角斜向上、大小为v0=10 m/s的初速度抛出质量m=0.5 kg的小球,小球抛出时距离水平地面的高度h=10 m,以地面为零势能面,不计空气阻力,重力加速度g=10 m/s2,则下列说法中正确的是 (　　)
A.小球在空中运动的时间为 s
B.小球落地时的机械能为75 J
C.抛出过程中人对小球做功为50 J
D.小球从抛出到落地动能增加75 J
5.(2025湖南湘潭一中月考)有一条均匀金属链条,一半长度在光滑的足够高斜面上,斜面顶端是一个很小的圆弧,斜面倾角为30°,另一半长度竖直下垂,由静止释放后链条滑动,已知重力加速度g=10 m/s2,链条刚好全部滑出斜面时的速度大小为 m/s,则金属链条的长度为 (　　)
A.0.6 m　　　　B.1 m　　　　C.2 m　　　　D.2.6 m
6.(2025江苏连云港高级中学月考)如图所示,质量为m和3m的小球A和B,系在长为L的光滑细线两端,桌面水平光滑,高h(hA.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
7.(2025河北定州中学期末)如图所示,竖直固定放置一个半径为r的光滑圆环,两个可以沿圆环自由滑动且可视为质点的小球A、B套在圆环上,两小球之间用一个长度为r的轻杆相连,初始时,小球B在圆环最低点。已知小球A的质量为2m,小球B的质量为m,重力加速度为g,忽略空气阻力。关于轻杆处于水平位置时两小球速度大小vA、vB与小球A滑到圆环最低点时两小球速度大小v'A、v'B的大小关系,下列选项正确的是 (　　)
A.vA=v'A,vB=v'B　　　　　　　　B.vA>v'A,vB>v'B
C.vAv'A,vB8.(2025安徽合肥一六八中学等校月考)如图所示,竖直平面内的一半径R=0.50 m的光滑圆弧槽BCD,B点与圆心O等高,一水平面与圆弧槽相接于D点,质量m=0.10 kg的小球(可视为质点)从B点的正上方H=0.95 m高处的A点自由下落,由B点进入圆弧轨道,从D点飞出后落在水平面的Q点,D、Q间的距离x=2.4 m,球从D点飞出后的运动过程中相对水平面上升的最大高度h=0.80 m,取g=10 m/s2,不计空气阻力,求:
(1)小球经过C点时轨道对它的支持力大小N;
(2)小球经过最高点P的速度大小vP;
(3)D点与圆心O的高度差hOD。
9.(2025湖南师范大学附属中学期中)质量不计的直角形支架两端分别连接质量为2m的小球A和质量为3m的小球B,支架的两直角边长度分别为2L和L,支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动,如图所示。开始时OA边处于水平位置,取此时OA所在水平面为零势能面,现将小球A由静止释放,重力加速度为g,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,求:
(1)小球A到达最低点时的速度大小vA;
(2)小球A到达最低点的过程中,支架对小球A所做的功WA;
(3)当OA直角边与水平方向的夹角θ为多大时,小球A的速度达到最大,并求这个最大速度。
能力提升练
题组一　单体机械能守恒问题
1.(2025黑龙江大庆期中)如图甲所示,质量为m的小球与轻绳一端相连,绕另一端点O在竖直平面内做圆周运动,圆周运动半径为R,重力加速度为g,忽略一切阻力的影响。现测得绳子对小球的拉力FT随时间变化的图线如图乙所示,则 (　　)
　
A.小球做匀速圆周运动
B.t1时刻小球在与O点等高的位置
C.t2时刻小球的速度大小为
D.t4时刻小球的速度恰好为零
2.(创新题新考法)(2025辽宁大连二十四中等校一模)图(a)是淄博市科技馆的一件名为“最速降线”的展品,在高度差一定的不同光滑轨道中,小球滚下用时最短的轨道叫作最速降线轨道。取其中的“最速降线”轨道Ⅰ和直线轨道Ⅱ进行研究,如图(b)所示,两轨道的起点M高度相同,终点N高度也相同,轨道Ⅰ的末端与水平面相切于N点。若将两个相同的小球a和b分别放在Ⅰ、Ⅱ两轨道的起点M,同时由静止释放,发现在Ⅰ轨道上的小球a先到达终点。下列描述两球速率v与时间t、速率平方v2与下滑高度h的关系图像中,可能正确的是 (　　)
　
　　　　　　　　
　　　　　　　　
3.(2025安徽阜阳期末)某极限滑板赛道如图所示,不计一切摩擦和空气阻力,可看作质点的滑板运动员从距地面高为2R的A位置沿曲面由静止下滑,经B点进入半径为R的圆轨道,此后滑板运动员能上升的最大高度为 (　　)
A.2R　　　　B.R　　　　C.R　　　　D.R
4.(2025湖南师范大学附属中学期中)如图,一光滑大圆环固定在竖直平面内,质量为m的小环套在大圆环上,小环从静止开始由大圆环顶端经Q点自由下滑至其底部,Q为竖直线与大圆环的切点。则小环下滑过程中对大圆环的作用力大小 (　　)
A.在Q点最大
B.在Q点最小
C.先减小后增大
D.先增大后减小
题组二　多体机械能守恒问题
5.(2025辽宁大连八中期中)有一竖直放置的“T”形架,表面光滑,滑块A、B分别套在水平杆与竖直杆上,A、B用一根不可伸长的轻细绳相连,A、B质量相等,且可看作质点,如图所示,开始时细绳水平伸直,A、B静止。由静止释放B后,已知当细绳与竖直方向的夹角为60°时,滑块B沿着竖直杆下滑的速度大小为v,重力加速度大小为g,则连接A、B的绳长为 (　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
6.(2025河南信阳高级中学模拟)如图所示,轻质动滑轮下方悬挂重物A,轻质定滑轮下方悬挂重物B,悬挂滑轮的轻质细线竖直。开始时,重物A、B处于静止状态,释放后A、B开始运动,已知A、B的质量均为m,假设摩擦阻力和空气阻力均忽略不计,重力加速度为g,当A的位移大小为h时 (　　)
A.B的位移大小为2h,方向向上
B.A、B速度大小始终相等
C.A的速度大小为2
D.B的机械能减少mgh
7.(多选题)(2025山东济南期末)如图甲所示,轻质弹簧的一端固定在倾角为θ的固定光滑斜面底端,另一端自然伸长。可视为质点的物块从斜面上离弹簧最上端一定距离处由静止释放,在下滑过程中,物块的动能Ek与位移x的关系如图乙所示,0～x1之间的图线为直线,x1～x3之间的图线为曲线,其中x2对应图线最高点,Ek0为已知量。已知弹簧的弹性势能Ep=kx2(k为弹簧的劲度系数,x为弹簧的形变量),重力加速度为g,在物块下滑过程中,弹簧始终在弹性限度内,下列说法正确的是 (　　)
　
A.物块的机械能守恒
B.弹簧的劲度系数为
C.物块加速度的最大值为g sin θ
D.物块动能的最大值为Ek0
8.(多选题)(2025安徽皖南八校二模)如图,两根轻杆与质量为M的球甲通过轻质铰链连接,轻杆长度都为L,C、D为两个完全相同的物块,质量都为m。开始时,两轻杆处在竖直方向,C、D恰好与杆接触,C、D都静止在水平地面上。某时刻受扰动,两杆推动C、D物块分别向左、右运动,当左、右杆间的夹角θ为60°时,杆与物块仍未分离。甲、C、D在同一竖直平面内运动,忽略一切摩擦,重力加速度为g。在甲球从静止开始运动到落地的过程中,下列说法正确的是 (　　)
A.当θ为60°时,vC=v甲
B.当θ为60°时,v甲=
C.当θ为45°时,a甲>g
D.左杆底端与物块C一定会在甲落地前分离
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.C　甲图中,火箭点火升空的过程中,火箭的动能和重力势能均增加,火箭的机械能增加,A错误;乙图中,在匀速转动的摩天轮中的游客,其动能不变,重力势能发生变化,所以游客的机械能不守恒,B错误;丙图中,被运动员掷出的铅球在飞行过程中,由于不计空气阻力,只有重力对铅球做功,铅球的机械能守恒,C正确;丁图中,运动员撑杆向上的过程中,由于杆的弹力对运动员做功,运动员的机械能不守恒,D错误。
2.D　每个小球在竖直面内做匀速圆周运动,每个小球的动能不变,重力势能变化,机械能不守恒,选项A错误;每个小球的速度方向改变,速度变化,选项B错误;每个小球的重力势能、机械能时刻在变化,选项C错误;不计摩擦和空气阻力,六个小球与框架构成的系统,重力势能不变,动能不变,机械能守恒,选项D正确。
3.C　若小孩从A点下滑到O点,由机械能守恒可得mgR=mv2,解得v=,小孩从O点平抛飞出,由平抛运动知识可得x=vt,R=gt2,解得x=2R。若小孩从C点下滑到O点,由机械能守恒可得mgR(1-cos α)=mv2,解得v=,小孩从O点平抛飞出,由平抛运动知识可得x=vt,R=gt2,解得x=R,所以该小孩的落水点与O2的距离范围是R～2R,C正确。
4.B　斜抛运动在竖直方向的分运动为匀变速运动,取竖直向下为正方向,则有h=-v0 sin 30°·t+gt2,解得t=2 s,A错误;小球在空中运动的过程机械能守恒,落地时的机械能等于抛出瞬间的机械能,E=mgh+m=75 J,B正确;人对小球做的功等于小球的初动能,W=m=25 J,C错误;根据动能定理,重力对小球做的功等于小球动能的增加量,ΔEk=mgh=50 J,D错误。
5.C　设链条的质量为2m,长度为L,以开始时链条的最高点所在平面为零势能面,链条的机械能为E=Ep+Ek=-×2mg× sin 30°-×2mg×+0=-mgL(1+sin 30°),链条全部滑出斜面后,动能为Ek'=×2mv2,重力势能为Ep'=-2mg·,由机械能守恒可得E=Ek'+Ep',即-mgL(1+sin 30°)=mv2-mgL,解得L=2 m,C正确。
方法技巧
“链条”类问题分析技巧
　　链条类物体机械能守恒问题的解题关键是分析重心位置,进而确定物体重力势能的变化。解题时要注意两个问题:一是参考平面的选取,二是链条的每一段重心的位置变化和重力势能变化。
6.A　根据题意可知,在B球从桌边滑下到落到沙地前,A、B组成的系统机械能守恒(点拨:单个小球机械能不守恒,细线拉力对小球做功),则mBgh=mAv2+mBv2,即3mgh=mv2+×3mv2,解得v=,B球落地后,A球在水平桌面上做匀速直线运动,即A球离开桌边的速度为B球落地时A球的速度,A正确。
7.A　杆的两端连着两个小球,小球沿杆方向的速度大小相等,当杆处于水平位置时vA cos 60°=vB cos 60°(点拨:属于关联速度模型),解得此时vA=vB,当小球A滑到圆环最低点时,两小球沿杆方向的速度大小仍然相等,则v'A=v'B,对于两个小球和杆所组成的系统而言,在运动过程中,系统机械能守恒,设圆环最低点为零势能点,则有2mg·+mg·+×2m+m=0+mg·+mv'+×2mv',联立解得vA=v'A=vB=v'B,A正确。
8.答案　(1)6.8 N　(2)3.0 m/s　(3)0.30 m
解析　(1)设小球经过C点时速度为v1,由机械能守恒有mg(H+R)=m
由牛顿第二定律有N-mg=m
代入数据解得N=6.8 N
(2)小球从P到Q做平抛运动,有h=gt2,=vPt
代入数据解得vP=3.0 m/s
(3)以水平面DQ为零势能面,由机械能守恒定律有m+mgh=mg(H+hOD)
代入数据解得hOD=0.30 m
方法技巧
利用机械能守恒解题的一般思路
9.答案　(1)2　(2)-　(3)53°　4
解析　(1)A、B和支架组成的系统机械能守恒,有
-3mgL=-2mg×2L+·2m+·3m
由于A、B角速度相等,=(点拨:属于同轴转动模型)
联立解得vA=2
(2)以球A为研究对象,根据动能定理有
2mg·2L+WA=·2m-0
解得WA=-
(3)当OA直角边与水平方向的夹角为θ时,根据机械能守恒有-3mgL=-3mgL cos θ-2mg×2L sin θ+·2m+·3m
又=
联立整理得vA==
因此,当θ=53°时,小球A的速度达到最大,且最大值为vAm=4
能力提升练
1.B　小球在竖直平面内做圆周运动,速度大小在变化,故A错误;t2时刻小球到达最低点,由重力与绳子拉力的合力提供向心力,则有6mg-mg=m,解得v2=,小球从与O点等高位置到最低点,根据机械能守恒定律有mgR=m-m,小球在与O点等高位置的向心力由绳子拉力提供,FT=m=3mg,由图可知对应时间为t1、t3,故B正确,C错误;t4时刻小球到达最高点,由图可知绳的拉力为0,由重力提供向心力,则有mg=m,得v4=,故D错误。
2.A　根据机械能守恒可得mgH=mv2,可得小球a和b到达轨道底端的速度大小均为v=,小球b沿直线轨道Ⅱ做匀加速直线运动,其v-t图像为一条倾斜直线,小球a沿“最速降线”轨道Ⅰ运动过程中,切向加速度逐渐减小(点拨:重力沿切线方向的分量越来越小),则其v-t图像的切线斜率逐渐减小,且小球a所用时间小于小球b所用时间,选项A正确,B错误;根据机械能守恒可得mgh=mv2,可得小球a和b下滑过程速率平方v2与下滑高度h的关系为v2=2gh,可知小球a和b的v2-h图像均为一条过原点的倾斜直线,选项C、D错误。
3.B　
模型建构
假设运动员在圆轨道上最高能上升到P点,O、P连线与竖直方向夹角为θ,受力分析如图所示。
假设运动员恰好能上升到圆轨道的最高点,则mg=m,解得v=,由能量守恒得,运动员一定不能到达圆轨道的最高点,则假设运动员在圆轨道上最高能上升到P点,对运动员在P点进行受力分析,只受重力(点拨:分离条件是运动员与轨道无弹力作用,即只受重力),则运动员做圆周运动的向心力由重力的分力提供,有mg cos θ=m,从A→P的过程,由动能定理有mg(2R-R-R cos θ)=mv2-0,联立解得cos θ=,v=,sin θ=,运动员离开轨道后做斜抛运动,速度的竖直分量为v sin θ,斜抛运动上升的高度为h1=,则上升的最大高度hm=R+R cos θ+h1=R,B正确。
4.C　如图甲所示,设大圆环半径为R,小环在大圆环上某处(P点)与大圆环的作用力恰好为零(点拨:此时重力沿指向圆心方向的分力提供向心力),小环从大圆环顶端到P点过程,根据机械能守恒定律有mgR(1-cos θ)=mv2,在P点,根据牛顿第二定律有mg cos θ=m,联立解得 cos θ=,从大圆环顶端到P点过程,小环速度较小,小环重力沿指向大圆环圆心方向的分力大于小环所需的向心力,所以大圆环对小环的弹力背离圆心,不断减小。如图乙所示,从P点到最低点过程,小环速度变大,小环重力的径向分力和大圆环对小环的弹力的合力提供向心力,所以大圆环对小环的弹力逐渐变大。综上,根据牛顿第三定律可知,小环下滑过程中对大圆环的作用力大小先减小后增大,C正确。
　　
一题多解　设大圆环半径为R,小环在大圆环上某处时,该处与圆心的连线与竖直向上的夹角为θ(0≤θ≤π),根据机械能守恒定律有mgR(1-cos θ)=mv2,在该处根据牛顿第二定律有F+mg cos θ=m,联立可得F=2mg-3mg cos θ,则大圆环对小环作用力的大小=,根据数学知识可知在cos θ=时最小,结合牛顿第三定律可知小环下滑过程中对大圆环的作用力大小先减小后增大,C正确。
5.D　如图所示,将A、B的速度分解到沿绳的方向和垂直绳的方向,两滑块沿绳方向的速度大小相等,则有vB cos 60°=vA cos 30°(点拨:属于关联速度模型),vB=v,解得vA=v,B减小的重力势能全部转化为A和B的动能,A、B组成的系统机械能守恒,有mgh=m+m,解得h=,绳长L==,D正确。
方法技巧
分析多物体组成的系统机械能守恒问题的注意点
　　(1)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(2)当研究对象为两个物体时:若两个物体的势能都在减小(或增加),或动能都在增加(或减小),可优先考虑应用表达式ΔEk=-ΔEp来求解;若A物体的机械能增加(或减小),B物体的机械能减小(或增加),可优先考虑应用表达式ΔEA=-ΔEB来求解。
6.D　设细线的拉力大小为T,由题图可知,A受到两细线的拉力,大小为2T,方向向上,B受到细线的拉力大小为T,方向向上,A、B所受重力大小相等,A、B释放后,A向上运动,B向下运动,当A上升的高度为h时,连接动滑轮两侧的细线上升高度均为h,而细线固定端不移动,所以细线自由端下降的高度为2h,B下降的高度为2h,B的位移大小为2h(破题关键),方向向下,A错误;由于B下降的位移是A上升位移的两倍,它们的运动时间相等,由x=at2可知,B的加速度大小是A加速度的两倍,由速度公式v=at可知,同一时刻B的速度是A的两倍,B错误;设当A的位移大小为h时,速度大小为v,则B的速度大小为2v,B下降的高度为2h,以A、B两个物体组成的系统为研究对象,由机械能守恒定律得mg·2h-mgh=mv2+m(2v)2,解得v=,C错误;当A的位移大小为h时,B减少的机械能ΔE=mg·2h-m(2v)2=mgh,D正确。
7.BD　
题图解读
物块在压缩弹簧的过程中,弹簧弹力对物块做功,故物块的机械能不守恒,选项A错误;物块动能最大时,所受合力为零,则有mg sin θ=k(x2-x1),又mg sin θ=,联立解得弹簧的劲度系数为k=,B正确;物块所受合力最大时,加速度最大,由题图乙知,物块的位移为x3时加速度最大,由牛顿第二定律得k(x3-x1)-mg sin θ=ma,解得a=g sin θ,选项C错误;在x1～x2的过程中,对物块与弹簧组成的系统,根据机械能守恒定律得,物块的最大动能为Ekm=mg(x2-x1) sin θ-k(x2-x1)2+Ek0=Ek0,D正确。
8.ABD　
模型建构
设左杆的下端点为A,由对称性易知,左、右杆与竖直方向夹角均为,甲沿左杆方向的速度大小等于A沿杆方向的速度大小,即有v甲 cos =vA sin ,可得vA=v甲,又vA=vC,则vC=v甲,A正确;从开始到θ=60°过程,对整个系统,由机械能守恒定律得MgL(1-cos 30°)=M+2×m,解得v甲=,B正确;A与C分离前,C物块一直向左加速,A对C有向左的弹力,对端点A分析,易知左杆对A的力沿左杆斜向下,故左杆对球甲的力沿左杆斜向上,由对称性知,两杆对球甲的合力竖直向上,结合牛顿第二定律可知a甲始终小于g,C错误;开始时端点A的速度为0,当球甲落地瞬间,端点A的速度也为0,可知端点A的速度先变大后变小,端点A的速度最大时,C的速度也最大,C的加速度为零,与端点A之间的弹力为零,之后A减速,C匀速,A与C分离,D正确。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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