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2026人教版高中物理必修第二册
第七章　万有引力与宇宙航行
本章复习提升
易错点1　混淆“r”的含义
1.宇宙中,两颗靠得比较近的恒星,在彼此的万有引力作用下,绕两者连线上的某点做匀速圆周运动,称为双星系统。已知双星的质量分别为m1、m2,中心相距L,求它们运转的角速度ω。
某同学的解答如下:设两星体的运动轨道半径分别为r1、r2,则得G=m1r1ω2①,G=m2r2ω2②,r1+r2=L③,联立①②③式解得ω=。
(1)该同学的解答是正确的还是错误的 请你作出判断,并对你的判断作出解释。
(2)对题中给出的求解问题,写出你自己的解答过程和结果。
易错点2　混淆万有引力与重力
2.(2024湖南益阳月考)假设宇宙中某一行星自转较快,且可近似看作质量分布均匀的球体,半径为R。航天员在该行星上用弹簧测力计称量一个小物体的重力,第一次在极点处,弹簧测力计读数为F1=F0;第二次在赤道处,弹簧测力计读数为F2=。假设第三次在赤道平面内深度为的隧道底部,示数为F3;第四次在距行星表面高度为R处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中,示数为F4。已知均匀球壳对壳内物体的引力为零,则以下判断正确的是 (　　)
A.F3=,F4=　　　　　　　　B.F3=,F4=0
C.F3=,F4=0　　　　　　　　D.F3=4F0,F4=
易错点3　混淆绕地球运动的卫星与随地球自转的物体的受力
3.(多选题)(2025湖南名校联合体期中)如图所示,已知地球半径为R,赤道上的物体随地球自转的线速度为v1,向心加速度为a1,地球自转周期为T1;近地卫星的轨道半径近似为R,线速度为v2,加速度为a2,运动周期为T2;地球同步卫星的轨道半径为r,线速度为v3,加速度为a3,运动周期为T3。下列选项正确的是 (　　)
A.=1　 B.=　 C.=1　 D.=
易错点4　混淆稳定运行和变轨运动
4.(2025安徽合肥百花中学期末)2025年3月10日1时17分,在西昌卫星发射中心使用长征三号乙运载火箭成功将通信技术试验卫星十五号发射升空,卫星顺利进入预定轨道,在卫星发射过程中,先将卫星发射至近地圆轨道1,变轨使其沿椭圆轨道2运行,最后变轨将卫星送入预定圆轨道3,轨道1、2相切于P点,轨道2、3相切于Q点。已知地球赤道上的重力加速度为g,物体在赤道表面上随地球自转的向心加速度大小为a,卫星在三条轨道上运行时的周期分别为T1、T2、T3,则以下说法正确的是　 (　　)
A.卫星经过轨道2上的Q点时线速度最小
B.T1>T2>T3
C.卫星在轨道1的线速度小于在轨道3的线速度
D.卫星在轨道1上经过P点时的加速度大于它在轨道2上经过P点时的加速度
思想方法练
一、填补法
方法概述
填补法就是将研究物体“空缺”的部分补回,使之成为完整的物体,再利用所学知识进行求解的方法。
1.(2025浙江台州六校联盟期中)有一质量为m、半径为R、质量分布均匀的球体,在距离球心O为2R的地方有一质量为m'的质点。现从球心与质点的连线上挖去两个半径均为R的小球体(两球表面相切),如图所示,已知引力常量为G,则剩余部分对质点的万有引力大小为 (　　)
A.　　　　　　　　B.
C.　　　　　　　　D.
二、环绕法
方法概述
环绕法是通过观测环绕中心天体做圆周运动的天体的轨道半径和周期(或线速度、角速度),计算中心天体质量或密度的方法。
2.(2025河南部分学校模拟)2025年4月3日,我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭,成功将天平三号A星02星发射升空,卫星顺利进入预定轨道,发射任务获得圆满成功。已知天平三号A星02星绕地球做匀速圆周运动的周期为T,向心加速度大小为a0,将地球看成均匀的球体且半径为R,引力常量为G,则地球的平均密度为 (　　)
A.　　　　　　　　B.
C.　　　　　　　　D.
三、数理结合法
方法概述
数理结合法指运用数学知识(函数图像、函数表达式),对所研究的物理问题进行定量分析的方法。
3.(2025江苏南通模拟)两颗相距较远的行星A、B的半径分别为RA、RB,且RB=2RA,距行星中心r处的卫星围绕行星做匀速圆周运动的线速度的二次方v2随r变化的关系如图所示。行星可看作质量分布均匀的球体,忽略行星的自转和其他星球的影响。
(1)求行星A、B的密度之比ρA∶ρB;
(2)假设有相同的人形机器人在行星A、B表面的水平地面上从肩位水平射出相同的铅球,在初速度相同的情况下,求铅球射程的比值xA∶xB。
答案与分层梯度式解析
易混易错练
1.答案　见解析
解析　(1)该同学的解答是错误的。解释如下:计算天体做匀速圆周运动的向心力时,万有引力提供向心力,万有引力表达式中的r和向心力表达式中的r始终是同一个量导致错误。
(2)对于双星系统,两星体间的万有引力提供它们做圆周运动所需的向心力,有
G=m1r1ω2
G=m2r2ω2
r1+r2=L
联立解得ω=
错解分析　解答本题易混淆万有引力表达式和向心力表达式中两个r的真实含义。实际上,万有引力表达式F=G中的r表示两个物体质心之间的距离,向心力表达式F=m=mω2r中的r表示物体做匀速圆周运动的轨道半径,可见这两个公式中的r的含义是不同的。
2.B　设该行星的质量为M,则质量为m的物体在极点处受到的万有引力为F1==F0。由于在赤道处,弹簧测力计的读数为F2=,则Fn2=F1-F2=F0=mω2R。行星内部半径为的球体的质量为M'=·M=M,物体在赤道平面内深度为的隧道底部受到的万有引力F'3==F1=F0,物体需要的向心力Fn3=mω2·=mω2R=F0,所以在赤道平面内深度为的隧道底部,弹簧测力计的示数为F3=F'3-Fn3=F0-F0=F0。第四次在距行星表面高度为R处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中时,物体受到的万有引力全部用来提供向心力,所以弹簧测力计的示数为0。综上可知B正确。
错解分析　本题出错的原因是不清楚随行星自转的物体所受万有引力与重力的关系。极点处,物体在行星的自转轴上,此处重力等于万有引力,弹簧测力计的读数为F1=F0=F万;赤道处,万有引力与重力的关系式为G+F向=F万,弹簧测力计的读数等于物体在行星表面所受的重力大小,本题中在赤道处万有引力的一半用来提供向心力。同理,可求解在赤道平面内深度为的隧道底部弹簧测力计的示数F3。
3.BC　卫星绕地球做匀速圆周运动,由万有引力提供向心力,可得=m=ma,可得v=,a=,则有==,=,B正确,D错误。地球赤道上的物体与同步卫星的角速度和周期相等,C正确;根据v=ωr,可得=,则=,A错误。
错解分析　本题出错的原因是没有具体分析赤道上物体的受力情况,而盲目地认为和地球卫星受力情况相同,只受万有引力。卫星在“天上”,万有引力全部用来提供向心力;赤道上的物体在“地上”,万有引力的一个分力(或者说是万有引力与地面支持力的合力)提供向心力。
4.A　卫星在圆轨道上稳定运行时,万有引力提供向心力,则有=,解得v=,卫星在轨道1运行时的半径小于在轨道3时的半径,所以卫星在轨道1的线速度大于在轨道3的线速度(点拨:高轨低速大周期),C错误。卫星在轨道1上经过P点时加速才能进入轨道2,在轨道2上经过Q点时加速才能进入轨道3(点拨:离心加速,近心减速),在轨道2上从P到Q,速率减小,结合以上分析知卫星在轨道1上的速率大于在轨道3上的速率,则v2P>v1P>v3Q>v2Q,A正确。因1、2、3轨道半径(半长轴)逐渐增大,根据开普勒第三定律可得,周期关系为T1错解分析　卫星绕天体稳定运行时,由万有引力提供向心力,有=m,解得v=,可知轨道半径r越大,卫星的速度越小;但是,卫星的变轨是不稳定运行阶段,万有引力与所需向心力不相等,不能用公式v=分析速度变化和轨道变化的关系。要使卫星做离心运动,即轨道半径r变大,就必须使卫星速度v突然变大;要使卫星做近心运动,即轨道半径r变小,就必须使卫星的速度v突然变小。
思想方法练
1.D　设挖去的一个小球体的质量为m1,球体的密度为ρ,有m=ρ·πR3,m1=ρ·π,可得m1=。挖去小球体前,完整球体对质点的万有引力大小为F1=G=,挖去的左边小球体对质点的万有引力大小为F2==,挖去的右边小球体对质点的万有引力大小为F3==,则剩余部分对质点的万有引力大小为F=F1-F2-F3=,选D。
方法点津　先把挖去的部分“补”上,得到半径为R的完整球体,根据万有引力公式,分别计算补回的两个半径为的球体和半径为R的完整球体对球外质点的万有引力,再利用力的合成与分解规律即可求得结果。
2.D　设天平三号A星02星做匀速圆周运动的轨道半径为r,万有引力提供卫星做圆周运动的向心力,有=mr=ma0,解得M=,地球的体积为V=πR3,故地球的平均密度为ρ==,D正确。
方法点津　解答此类问题要先求出中心天体的质量M,然后将中心天体视作标准球体,求出球体的体积V=πR3,最后根据密度公式ρ=求中心天体的密度。
3.答案　(1)4∶1　(2)1∶
解析　(1)设质量为m的卫星绕行星做圆周运动,有G=m
整理得v2=GM·
由RB=2RA,结合图像得两行星的质量关系MB=2MA
密度ρ===
则ρA∶ρB=4∶1
(2)在每个行星表面mg=G
两行星表面的重力加速度之比gA∶gB=2∶1
铅球做平抛运动,竖直方向有h=gt2
水平方向有x=v0t
则xA∶xB=1∶
方法点津　根据图像和物理过程,写出v2与r的函数关系式,得出图线纵坐标相同时天体的质量关系,再推导出行星的密度及铅球的射程。
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