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2026人教版高中物理必修第二册
专题强化练2　抛体运动中的相遇、临界问题
题组一　平抛运动的相遇问题
1.(2025广东广州三校期中联考)投壶由古代射礼演化而来,是一种非常盛行的投掷游戏。如图所示,某次投壶游戏时,a、b两箭分别从高度为2l、l的位置水平抛出,落地时水平位移分别为l、2l。忽略空气阻力,两箭都可以看作质点,下列说法正确的是 (　　)
A.a、b两箭空中运动的位移相同
B.若改变两箭抛出的先后顺序和时间间隔,两箭可能在空中相遇
C.要想两箭落到同一点,a箭的初速度要变为原来的倍
D.落地时,a箭速度偏角的正切值为b箭速度偏角正切值的
2.(多选题)(2025广东广州综合测试)倾角为30°的足够长的光滑斜面固定在水平地面上,t=0时,小球P由斜面顶端O点静止释放;t=t0时,小球Q从同一位置O点水平抛出;Q第一次落到斜面时刚好击中P。重力加速度为g,不计空气阻力,则 (　　)
A.小球Q在t=2t0时击中P
B.小球Q击中P时,竖直分速度与水平分速度大小之比为∶1
C.小球Q抛出时的速度大小为
D.小球Q击中P时,P与O点的距离为
3.(多选题)(2024湖南长沙联考)如图所示,小球从O点的正上方离地h=40 m高处的P点以v1=10 m/s的速度水平抛出,同时在O点右方地面上S点以速度v2斜向左上方、与地面成θ=45°角抛出一小球,两小球恰在O、S连线靠近O的三等分点M的正上方相遇。重力加速度g取10 m/s2,若不计空气阻力,则两小球抛出后到相遇过程 (　　)
A.两小球相遇时斜抛小球处于下落阶段
B.两小球初速度大小关系为v1∶v2=1∶2
C.O、S的间距为60 m
D.两小球相遇点一定在距离地面30 m高度处
4.(2025河北部分学校临考冲刺)某科研单位进行传感器的通信测试,他们在相距25 m的两栋楼的同一楼层的阳台将两个带传感器的小球同时抛出,初速度方向如图所示,其中A小球的初速度大小v1=10 m/s,B小球的初速度大小v2=5 m/s,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2。下列说法中正确的是　 (　　)
A.小球A相对于小球B做匀变速运动
B.两个小球之间的最小距离为10 m
C.小球抛出1.5 s时,两个小球之间的距离为25 m
D.仅适当调整两个小球初速度的大小(不能为0),两个小球能够在空中相遇
题组二　平抛运动的临界、极值问题
5.(2025四川南充月考)如图所示,窗子上、下边沿间的高度H=1.6 m,墙的厚度d=0.4 m,某人在离墙壁距离L=1.4 m、距窗子上沿h=0.2 m处的P点,将可视为质点的小物件以v的速度水平抛出,小物件直接穿过窗口并落在水平地面上,取重力加速度g=10 m/s2,不计空气阻力,则v的取值范围是 (　　)
A.3 m/s≤v≤7 m/s　　　　　　　　B.2.3 m/s≤v≤3 m/s
C.v≥7 m/s　　　　　　　　D.v≤2.3 m/s
6.(2025江西临川一中月考)如图所示,OQ为一固定挡板,挡板与竖直方向的夹角为θ=37°,在挡板的两侧有等高的M、N两点,M点位于OP上某位置,从M点以不同的速度水平向右抛出可视为质点的小球,小球在挡板上砸到的最远处为图中的A点;挡板另一侧从N点水平向左抛出的小球也落在A点,此时小球的位移最小。已知O、A两点间距离为2 m,重力加速度为g=10 m/s2,不计空气阻力,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。下列说法正确的是 (　　)
A.从M点以不同速度抛出的小球砸到挡板的时间相同
B.从M点以不同速度抛出的小球在挡板上砸的痕迹长度为1 m
C.从M点抛出后落在A点的小球的初速度大小为3 m/s
D.从N点抛出的小球的初速度大小为4 m/s
题组三　斜抛运动的临界、极值问题
7.(2025吉林长春模拟)郑钦文在2024年巴黎奥运会为我国赢得首枚奥运网球单打金牌。比赛中,在网球距地面高度为h时,她以斜向上方的速度v0将网球击出,v0方向与水平方向的夹角为θ。忽略空气阻力,网球从被击出到第一次落地过程中,下列说法正确的是 (　　)
A.网球在空中的运动时间与h有关,与v0无关
B.网球落地前速度的反向延长线过水平位移的中点
C.保持h和v0的大小不变,当θ=45°时,网球水平位移最大
D.保持v0的大小不变,h越小,最大水平位移对应的θ越接近45°
8.(2025江西鹰潭一模)2025年2月10日,鹰潭余江籍运动员杨文龙在哈尔滨亚冬会单板滑雪男子大跳台决赛中勇夺金牌。如图为简化后的跳台滑雪雪道示意图,AO段为助滑道和起跳区(倾角为α),OB段为倾角为β的着陆坡,BD为停止区。运动员从助滑道的起点A由静止开始下滑,到达起跳点O时,借助设备和技巧,以与水平方向成α角(起跳角)的方向起跳,最后落在着陆坡面上的C点。已知运动员在O点以v0的速率起跳,轨迹如图中虚线所示,不计一切阻力,重力加速度为g。求:
(1)运动员在空中运行的最小速度;
(2)运动员离开着陆坡OB的最大距离;
(3)若α=β=30°,运动员所到达的C点与起跳点O的距离。
答案与分层梯度式解析
1.B　a、b两箭在空中运动的位移大小均为l,但方向不同,A错误;若a箭先抛出,b箭后以更大的初速度抛出,两箭有可能在空中相遇,B正确;由平抛运动规律有x=v0t,y=gt2,可得v0=x,故要想两箭落到同一点,a箭的初速度要变为原来的2倍,C错误;由图中数据可知,a箭位移偏角的正切值为b箭位移偏角正切值的4倍,则a箭速度偏角的正切值也应为b箭速度偏角正切值的4倍(点拨:由平抛运动的推论得到),D错误。
2.AC　小球P在斜面上做匀加速直线运动,加速度为aP==g,其在竖直方向的分加速度为aPy=aP sin 30°=g;设小球Q抛出后经过时间tx与P球相碰,则有g=×aPy(tx+t0)2,解得tx=t0,即小球Q在t=2t0时击中P,A正确。小球Q做平抛运动,由平抛运动中位移偏转角与速度偏转角的关系知2 tan 30°=,解得=,B错误。小球Q击中P时,竖直方向的分速度为vy=gt0,结合=,可得平抛初速度为vx=,C正确。由于小球P做匀加速直线运动,则小球Q击中P时,P与O点的距离为s=aP(2t0)2=×g×(2t0)2=g,D错误。
一题多解　小球P沿斜面向下做匀加速直线运动,由牛顿第二定律有mg sin 30°=ma,得a=,当t=2t0时,小球P沿斜面下滑的距离为sP=at2=g,小球P在竖直方向下落的高度hP=sP sin 30°=g;小球Q抛出后经过t0时间竖直方向下落高度为hQ=g,所以在t=2t0时小球Q击中小球P,A正确,D错误;小球Q击中P时,水平位移xQ==g=v0t0,所以v0=,C正确;小球Q击中小球P时,竖直分速度与水平分速度大小之比为==,B错误。
3.BC　由于相遇处在O、S连线靠近O的三等分点M的正上方,则有v2 cos θ·t=2v1t,可得两小球的初速度大小关系为v1∶v2=1∶2,故v2=20 m/s,B正确;从抛出到相遇,两小球竖直方向的位移满足h=gt2+v2 sin θ·t-gt2,解得t=2 s,相遇时斜抛小球竖直方向的分速度大小为vy=v2 sin θ-gt=0,则此时斜抛小球恰好到达最高点,A错误;O、S的间距为x=3v1t=60 m,C正确;两小球相遇时离地高度为H=h-gt2=20 m,D错误。
4.B　小球A做竖直上抛运动、小球B做平抛运动,则小球A在水平方向相对于小球B做匀速直线运动,在竖直方向也相对于小球B做匀速直线运动,故小球A相对于小球B做匀速直线运动,A错误;经过时间t,两小球间的水平距离为dx=L-v2t,竖直距离为dy=v1t,所以两个小球之间的距离d== (m)= (m),根据数学知识可知,当t=1 s时,两个小球之间的距离有最小值,为dmin=10 m,B正确;两小球之间的距离d= (m)=25 m时,解得t=0或t=2 s,C错误;只有小球A相对于小球B的运动沿水平方向时,两个小球才能相碰,所以在两个小球初速度不为0的前提下,通过调整两个小球初速度大小不能使两个小球相碰,D错误。
5.A　小物件做平抛运动,恰好擦着窗子上沿右侧穿过时v最大(破题关键),此时水平方向有L=vmaxt,竖直方向有h=gt2,解得vmax=7 m/s;小物件恰好擦着窗子下沿左侧穿过时速度v最小(破题关键),则水平方向有L+d=vmint',竖直方向有H+h=gt'2,解得vmin=3 m/s。综上可知v的取值范围是3 m/s≤v≤7 m/s,A正确。
6.C　根据平抛运动竖直方向的分运动为自由落体运动,有h=gt2,下落时间为t=,砸到挡板上不同位置时,下落的高度不同,则从M点以不同速度抛出的小球砸到挡板的时间不同,A错误;由题意可知,从M点抛出后落在A点的小球,在A点的速度方向与挡板相切(破题关键),从N点抛出后落在A点的小球位移最小,则NA必定垂直于OA,作出运动示意图如图所示,根据平抛运动的速度反向延长线过水平位移的中点,MO'为△OM'A的中位线,则O'为OA的中点,从M点以不同速度抛出的小球在挡板上砸的痕迹长度应小于O'A==1 m,B错误;对从M点抛出后落在A点的小球,有O'A cos θ=g,2O'A sin θ=vM0t0,解得vM0=3 m/s,C正确;对从N点抛出的小球,有=vN0t0,解得vN0= m/s,D错误。
7.D　斜上抛运动竖直方向的分运动为竖直上抛运动,规定竖直向下为正方向,有h=-v0t sin θ+gt2,可知网球在空中的运动时间与h和v0有关,A错误。由平抛运动推论可知:网球落地前速度的反向延长线过网球平抛阶段的水平位移的中点(易错:不是斜抛运动水平位移的中点),如图甲所示,B错误。依题意,网球做斜上抛运动,将其分解为初速度方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动,如图乙所示,可知x2=(v0t)2-=-t4+(+gh)t2-h2,当t2=-=时,有极值,为xm=,可得tan θ==,可知网球水平位移最大的抛射角与h和v0均有关;当h=0时θ=45°,即h越小,最大水平位移对应的抛射角越接近45°,C错误,D正确。
　　
8.答案　(1)v0 cos α　(2)　(3)
关键点拨
解析　(1)建立水平和竖直坐标轴,不计阻力的情况下,运动员在空中做斜抛运动,水平方向匀速运动,当竖直方向的分速度减到零时速度最小(破题关键),此时有vmin=v0 cos α
(2)沿OB方向和垂直于OB方向建立坐标轴,沿OB方向的初速度vx=v0 cos (α+β),加速度gx=g sin β
垂直于OB方向的初速度vy=v0 sin (α+β),加速度gy=g cos β
当vy减到零时,运动员离着陆坡OB最远,有2gyH=(破题关键)
联立解得H=
(3)当运动员垂直于OB方向的位移为零时落到C点,有H=vyt-gyt2=0
解得t=
所以运动员所到达的C点与起跳点O的距离L=vxt+gxt2=
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