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人教版八（下）数学第二十章 勾股定理 单元测试提升卷
题号 一 二 三 总分
评分
阅卷人 一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
得分
1．（2024八下·中山开学考）在中，斜边，则的值为（　　）
A． B． C． D．无法计算
2．（2023八下·高碑店期中）在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的格点应是（　　）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
3．（2024八下·大石桥期中）如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·衢州期末） 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有户高多余广六尺八寸（一尺等于十寸），两隅相去适一丈（一丈等于十尺）.问户高、广各几何？” 意为“现有一扇门，高比宽多了六尺八寸，门的对角线长刚好为一丈.求门的高和宽各为多少？”如图，设户广为x尺，可列出方程（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025八下·龙岗期末） 某平板电脑支架如图所示，，为了使用的舒适性，可调整的大小. 若，则AD的长度为（　　）
A．12 B．18 C． D．15
6．（2023八下·丰南期中）如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A表示的数是-2，，若以点A为圆心，的长为半径画弧，与数轴交于点E（点E位于点A右侧)，则点E表示的数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八下·龙马潭期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（　　）．
A． B． C． D．
8．（2024八下·凉州期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，则为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．14
9．（2025八下·椒江期中）如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（　　）
A．20米 B．25米 C．30米 D．15米
10．（2024八下·香河期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称之为“商高定理”．下列四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）
A． B．
C． D．
阅卷人 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
得分
11．（2024八下·哈尔滨期中）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是　 　．
12．（2025八下·平舆期末）如图，每个小正方形的边长为1，，，是小正方形的顶点，则的度数为　 　．
13．（2025八下·来宾期中）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为22，小正方形的面积为2，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为　 　．
14．（2024八下·中江月考）如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块，已知米，米，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是　 　米
15．（2023八下·南宁月考）如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点的运动时间为．过点作于点．在点P的运动过程中，当t为　 　时，能使？
阅卷人 三、解答题：本大题共8小题，共75分。
得分
16．如图，C 为线段 BD 上一动点，分别过点 B，D 作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC，已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.
（1）用含x 的代数式表示AC+CE 的长.
（2）请问：点C 满足什么条件时，AC+CE 的值最小
（3）根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式 的最小值.
17．（2025八下·成都期末）我们知道，四边形内角和为360°，若某个四边形有一组对角互补，则另一组对角也必然互补，因此，我们把有一组对角满足互补关系的四边形称为“双补四边形”，例如：在四边形PQRS中，若∠P+∠R=180°（或∠Q+∠S=180°），则称四边形PQRS为“双补四边形”.
（1）已知四边形EFGH是“双补四边形”.
①若∠E：∠F：∠G=7：4：2，则∠H=　 　；
②如图1，若∠F=90°，FG=8，GH=，EH=，则EF=　 　；
（2）如图2，在四边形EFGH中，FH平分∠EFG，EH=GH.求证：四边形EFGH是“双补四边形”；
（3）如图3，四边形EFGH是“双补四边形”，EF=FG，点M，N分别在边EH，GH上，且满足EM+GN=MN．试探究∠MFN和∠H之间满足的数量关系，并证明你的结论.
18．（2025八下·白云期末）实验探究：
实验情景示意图
实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮A，一端固定在滑块B上，另一端固定在物体C上；（、B、C可以视作三个点） ②滑块B可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体C的高度．
初始状态 图1物体C静止在轨道上，其到滑轮A的垂直距离为，且．
实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略．
任务 （1）求绳子的总长度；
（2）图2若物体C升高，求滑块B向左滑动的距离．
19．（2024八下·信宜月考）综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师让同学们以“三角形平移与旋转”为主题开展数学活动，和是两个等边三角形纸片，其中，，．
【解决问题】
（1）勤奋小组将和按图1所示的方式摆放（点A，C，B在同一条直线上），连接AE，BD，请直接写出AE、BD之间的数量关系．
（2）如图2，创新小组在勤奋小组的基础上继续探究，将绕着点C逆时针方向旋转，当点E恰好落在CD边上时，求的面积．
（3）【拓展延伸】
如图3，缜密小组在创新小组的基础上，提出一个问题：“将沿CD方向平移acm得到．连接AB'，B'C，当恰好是以AB'为斜边的直角三角形时，请你求出a的值及AB'长度．
20．（2025八下·成都期中）如图，在四边形中，，相交于点为边上一点，且．
（1）求证：；
（2）求的度数（用含的代数式表示）；
（3）若，，求的长．
21．（2025八下·青秀开学考）在数学学习中，观察实验猜想证明是研究几何图形性质的一般思路．某班同学运用这个思路对三角形三边平方的关系展开了研究：
【观察】在直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方（设直角边长分别为，斜边为，那么．对于一般的三角形，三边长分别为，且，其边长的平方是否也存在某种关系．
【实验操作】小组成员通过测量不同类型三角形（锐角三角形，钝角三角形）三边的长度，计算它们的平方并进行比较，猜想三边平方之间的关系：
当是锐角三角形时，三边之间的关系是：；
当是钝角三角形时，三边之间的关系是： ① ．
【证明思路】为了将锐角三角形与我们熟悉的直角三角形联系起来，过点作，垂足为．这样就把锐角分成了两个直角三角形和，从而可以运用勾股定理进行边的关系推导．
以下是小组成员的证明过程：
如图①，过点作，垂足为．设． 在中，， 在中， ② ， ② ． 化简得，． ． ． ．
（1）其中，①是_______；②是_______．
【知识迁移】（2）如图②，当是钝角三角形时，请证明与之间的关系．
22．（2024八下·龙泉驿期末）轴对称变换是现实世界运动变化的三种常见形式之一，在数学活动课上，同学们研究利用轴对称变化探究图形中线段的数量关系．
【初步感知】
（1）如图1，四边形中，，平分，求证：．
①如图2，小明同学想到了翻折，给出如下解题思路：在上截取，连接；
②如图3，小丽同学想到了翻折，给出了如下解题思路：延长线段到点，使，连接；
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程；
【深入探究】
（2）如图4，中，，平面内有点（点和点在的同侧），连接，，，．求证：；
【拓展延伸】
（3）如图5，在（2）的条件下，若平分，，请求出线段的长度．
23．（2025八下·武侯月考）如图，在，，，是上一动点，以为底，在的右侧作等腰直角，的延长线交于点．
（1）如图1；当时，
①求证：；
②若，求线段的长；
（2）如图2，若，，求线段的长；
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵在中，斜边为，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理可得：，由等式的性质并结合所求代数式，在等式两边同时加BC2可得=2BC2，再将BC=2代入计算即可求解.
2．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：如图，连接，
根据网格及勾股定理得出，
在与中
∴，
∴，
即平分
∴到两边距离相等的格点应是点，
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理与网格特点得出，从而利用“SSS”判断出△AMO≌△BMO，由全等三角形的对应角相等得∠AOM=∠BOM，即OM平分∠AOB，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得结论.
3．【答案】B
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
∴地毯的长度至少是．
故选：B．
【分析】
先利用勾股定理求出楼梯的水平宽度，然后根据当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，最后将水平宽度与楼梯的垂直高度相加，得到地毯的最小长度。
4．【答案】B
【知识点】勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，广：x尺，高：(x+6.8)，对角线：10尺
由勾股定理得.
故答案为：B .
【分析】由题意可知户广、高和对角线的长度，根据勾股定理可列方程.
5．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：过点E作EH⊥AD于点H
∵
∴∠A=∠ADE，AD=2AH
∵∠AED=120°
∴
∵∠AHE=90°
∴
∴
∴AD=2AH=18
故答案为： B
【分析】过点E作EH⊥AD于点H，根据等腰三角形性质可得∠A=∠ADE，AD=2AH，，再根据含30°角的直角三角形可得，再根据勾股定理可得AH，即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】实数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
AB=
=
在Rt△ABD中，
AD=
=
由题意得：AE=AD=
则OE=OA-EA
=2-
∵点E在原点的左边，
∴点E表示的数为-（2-）
即：-2+
故选：B
【分析】根据勾股定理求出AB，AD的长，然后根据同圆的半径相等，得到AE=AB，最后根据OE=OA-EA可得。
7．【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解：根据题意可知，是直角三角形，
在中，，，
∴，，
在中，，，则，
∴，
∴小巷的宽为，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理可得AB，BD，再根据边之间的关系即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可知：，，，．
如图，连接，
在直角和中，，
即，
，，
．
故选：B．
【分析】本题主要考查的是勾股定理及其应用，连接，在直角和中，利用勾股定理，得到，求得，结合，，即可求解.
9．【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；求算术平方根
【解析】【解答】解：如图，根据题意可得，底面周长约为米，柱身高约米，
米，（米），
（米），
故雕刻在石柱上的巨龙至少为（米），
故选：A．
【分析】如图是圆柱体的侧面展开图，根据题意可知AB=6，AE=8，根据勾股定理可得出BE=10，进一步即可得出答案为20米。
10．【答案】C
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：A、梯形的面积为：，
也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，
∴，
∴，故A选项能证明勾股定理；
B、大正方形的面积为：，
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，
∴，故B选项能证明勾股定理；
C、大正方形的面积为：；
也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：，
∴，
∴C选项不能证明勾股定理；
D、大正方形的面积为：；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，
∴，
∴，故D选项能证明勾股定理；
故选：C．
【分析】利用整体和局部两种方法表示面积，然后整理再逐项判断解答即可．
11．【答案】76
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：依题意，BC=5，CD=12，
，
这个风车的外围周长是，
故答案为：76．
【分析】利用勾股定理求出BD长，进一步求得四个外围和即可．
12．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：设小正方形边长为1，连接，由勾股定理可得：
，，，
∴且，
∴是等腰直角三角形，．
故答案为：.
【分析】设小正方形边长为1，连接，根据勾股定理的逆定理得到且，进而求出∠ABC即可．
13．【答案】42
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：如图，直角三角形的两直角边为，斜边为，
∵图1中大正方形的面积是22，
，
∵小正方形的面积是2，
，
，
∴图2中最大的正方形的面积，
故答案为：42．
【分析】设直角三角形的两直角边为，斜边为，根据图1，结合已知条件得到，，进而求出的值，再进一步求解即可．
14．【答案】
【知识点】几何体的展开图；勾股定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】由题意可知，将木块展开，
相当于是AB+2个正方形的宽，
∴长为5+2×1=7米；宽为6米.
于是最短路径为：米.
故答案为.
【分析】，将木块展开，根据两点之间，线段最短，可得出 从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程 是线段AC的长，根据勾股定理即可得出AC=，即可得出答案。
15．【答案】5或11
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；角平分线的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：①点在线段上时，过点作于，如图2所示：
则，
，
平分，
，
又，
∴，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
②点在线段的延长线上时，过点作于，如图3所示：
同①得：，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
综上所述，在点的运动过程中，当的值为5或11时，能使．
故答案为：5或11．
【分析】
由于角平分线上的点到角两边距离相等，则有DP平分，因为点P在射线BC上运动，则应分两种情况，即点P在点C左侧或在点C右侧时，再分别证明，则有PE＝PC，此时可用含t的代数式表示出PE，再利用勾股定理求出AE，则AP可得，再在直角三角形APC中应用勾股定理求出PC，则BP分别等于BC－PC或BC+PC，则t的值可求．
16．【答案】（1）解：
（2）解：当A，C，E三点共线时，AC+CE 的值最小.
（3）解：如图，作 BD=12，过点 B 作AB⊥BD，过点 D 作 DE⊥BD，且使AB=2，DE=3，连接AE 交BD 于点C.
设BC=x，则CD=12-x，AE 的长即为 的最小值.过点 A 作AF∥BD 交ED 的延长线于点 F，则.DF=AB=2， ，即原式的最小值为13.
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理
【解析】【分析】（1）设CD=x，则BC=8-x，然后根据勾股定理分别求得AC，CE，即可得出 AC+CE 的长；
（2）根据两点之间线段最短，可得出当A，C，E三点共线时，AC+CE 的值最小；(3)原式 而 的几何意义是以a，b为直角边的直角三角形斜边长.
17．【答案】（1）100°；6
（2）解：如图所示，过点H分别作HA⊥EF，HB⊥FG，
∵FH平分∠EFG，
∴HA＝HB，
∵EH=GH，
∴Rt△HAE≌Rt△HBG(HL)，
∴∠E=∠HGB，
∵∠HGB+∠FGH=180°，
∴∠E+∠FGH=180°，
∴四边形EFGH是“双补四边形”
（3）解：，
延长HE至点D，使，连接FD，
∵四边形EFGH是“双补四边形”，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理
【解析】【解答】解：(1)①∵四边形EFGH是“双补四边形”，
∴∠E+∠G=180°或∠F+∠H=180°
∵∠E：∠F：∠G=7：4：2，
∴设∠E=7x，∠F=4，∠G=2x，
∵∠E+∠G=7x+2x=9x，且∠E+∠G=180°，则9x=180°，解得x=20°，
∴∠F=4x=80°，
又∵∠F+∠H=180°，
∴∠H=180°-∠F=180°-80°=100°
②∵四边形EFGH是“双补四边形”，且∠F=90°，
∴∠H=90°。
在Rt△EFG中，根据勾股定理EG2=EF2+FG2，
在Rt△EHG中，EG2=EH2+GH2
∴EF2+FG2=EH2+GH2
∵FG=8，，，
∴
即EF2+64=7+93，
∴EF=6，
故答案为：100°；6.
【分析】(1)①根据“双补四边形”的定义以及四边形内角和为360°，通过设未知数来求解角度；
②利用“双补四边形”中∠F=90°得出∠H=90°，再根据勾股定理建立方程求解EF的长度；
(2)过点H分别作HA⊥EF，HB⊥FG，根据角平分线的性质可得HA=HB，利用HL证明Rt△HAE≌Rt△HBG，进而即可得出结论；
(3)延长HE至点D，使，连接FD，根据四边形EFGH是“双补四边形”，进而去证明，，进而即可得出结论.
18．【答案】解：（1）物体C到定滑轮A垂直距离为，且，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
，，
绳子长度（）．
答：绳子总长度为18分米．
（2）如图2，由题意可知，，
若物体C升高，则此时（），
在中，由勾股定理得，（），
（）．
答：滑块B向左滑动的距离为．
【知识点】勾股定理；求算术平方根；勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【分析】（1）设，则，在中，利用求解，最后算出绳子长度即可；
（2）由题意可知，（），在中，由勾股定理得，，最后算得长度即可．
19．【答案】（1）解：
（2）解：如图2中，过点B作交AC的延长线于H．
，
，
，
，
在中，，
．
（3）解：如图3中，
由题意，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）∵△ACD与△BCE都是等边三角形，
∴AC=DC，CE=CB，∠ACD=∠ECB，
∴∠ACD+∠DCE=∠ECB+∠DCE，即∠ACE=∠DCB，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD；
【分析】（1）由等边三角形性质得AC=DC，CE=CB，∠ACD=∠ECB，由等式性质得∠ACE=∠DCB，从而由SAS判断出△ACE≌△DCB，根据全等三角形的对应边相等可得AE=BD；
（2）过点B作BH⊥AC交AC的延长线于H，由等边三角形性质及平角定义可得∠BCH=60°，由三角形内角和定理推出∠CBH=30°，根据含30°角直角三角形的性质推出CH=BC=1cm，在△CBH中，用勾股定理算出BH的长，进而根据三角形面积计算公式可算出△ABC的面积；
（3）由题意易得∠E'CB'=30°，∠E'B'C=90°，∠C'B'C=30°，由等角对等边得CC'=B'C'=2cm，从而得出a的值；在Rt△CB'E'中，用勾股定理算出CB'的长，最后在Rt△ACB'中，再利用勾股定理可算出AB'的长.
20．【答案】（1）证明：，
垂直平分线段，
，
又，
；
（2）解：垂直平分线段，∴，
又，
∴，
，
，
，
∵，
∴，
，，
∴，
∵，
，
，
；
（3）解：如图，连接、过点作于点，
垂直平分线段，
，
又，
∴，
∴，
∴
设，则，
，
∴，
又，
，
，
，
又，
∵，
，
，
在和中，由勾股定理得，
，
，
∵，
，
解得：，（舍去），
，
，
又，
在中，．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）先得到垂直平分线段，即可得到，根据等量代换得到结论即可；
（2）先根据SSS得到，即可得到，然后求出∠BAD的值，再根据三角形的内角和和等边对等角求出∠ABE的度数，根据角的和差解答即可；
（3）连接、过点作于点，即可得到，然后根据等角对等边得到，再在和中根据勾股定理求出AE长，即可得到AD长，再在中中根据勾股定理解答即可．
（1）证明：，
垂直平分线段，
，
又，
；
（2）解：垂直平分线段，
∴，
又，
∴，
，
，
，
∵，
∴，
，，
∴，
∵，
，
，
；
（3）解：如图，连接、过点作于点，
垂直平分线段，
，
又，
∴，
∴，
∴
设，则，
，
∴，
又，
，
，
，
又，
∵，
，
，
在和中，由勾股定理得，
，
，
∵，
，
解得：，（舍去），
，
，
又，
在中，．
21．【答案】解：（1）①是；②是；
（2）如图，过点作，交延长线于点．
设，则，
∵在中，，
在中，，
∴，
化简得：，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：（1）∵当是直角三角形时，三边之间的关系是：，
当是锐角三角形时，三边之间的关系是：，
则猜想当是钝角三角形时，三边之间的关系是：．
如图①，过点作，垂足为．设．
在中，，
在中，，．
化简得，．
．
∴．
．
所以①是；②是；
故答案为：；；
【分析】（1）过点作，垂足为．设，则BD=a-x，在中，利用勾股定理表示出AD2，在中，利用勾股定理表示出AD2，根据用两个不同的式子表示同一个量，则这两个式子相等得，进而由即可得结论；
（2）过点作，交延长线于点．设，则，利用勾股定理表示出AD2，在中，利用勾股定理表示出AD2，根据用两个不同的式子表示同一个量，则这两个式子相等得，然后根据即可得结论．
22．【答案】（1）证明：小丽方法：
如图，延长线段到点，使，连接，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
小明方法：
如图，在上截取，连接，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：如图，作交的延长线于点，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：线段的长度是，
理由：延长交于，过作于．
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，，，
在中，，，
∴，
根据（2）中的结论可得：
．
∴线段的长度是．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】（1）小丽方法：延长线段到点，使，连接，由题意，用边角边可证，由全等三角形的对应角相等可得，然后根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和可求解；
小明方法：在上截取，连接，由题意，用边角边可证，由全等三角形的对应边（角）相等可得，，然后根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和可求解；
（2）作交的延长线于点，由题意，用角角边可证，由全等三角形的对应边相等可得，然后根据等腰直角三角形的性质即可求解；
（3）延长交于，过作于．由题意，用角边角可证，由全等三角形的对应边相等可得，再结合（2）中的结论即可求解．
23．【答案】（1）①证明：，
，
，
，
，
，
．
②解：∵，，，
∴，
∵以为底，在的右侧作等腰直角，
∴，
∵
∴
∴
∴
∴，
又∵
∴
∴.

（2）解：如图，过点作，且，连接，
∵，，
∴，
在中
∴，
∴，
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
在中，
∴
∴
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）①根据等腰三角形的性质求出，再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
②根据全等三角形的性质求出，再求出，最后计算求解即可；
（2）利用SAS证明，再根据全等三角形的性质求出DF=FG，最后利用勾股定理计算求解即可.
（1）①证明：，
，
，
，
，
，
．
②解：∵，，，
∴，
∵以为底，在的右侧作等腰直角，
∴，
∵
∴
∴
∴
∴，
又∵
∴
∴
（2）解：如图，过点作，且，连接，
∵，，
∴，
在中
∴，
∴，
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
在中，
∴
∴
∴
1 / 1人教版八（下）数学第二十章 勾股定理 单元测试提升卷
题号 一 二 三 总分
评分
阅卷人 一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
得分
1．（2024八下·中山开学考）在中，斜边，则的值为（　　）
A． B． C． D．无法计算
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵在中，斜边为，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理可得：，由等式的性质并结合所求代数式，在等式两边同时加BC2可得=2BC2，再将BC=2代入计算即可求解.
2．（2023八下·高碑店期中）在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的格点应是（　　）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：如图，连接，
根据网格及勾股定理得出，
在与中
∴，
∴，
即平分
∴到两边距离相等的格点应是点，
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理与网格特点得出，从而利用“SSS”判断出△AMO≌△BMO，由全等三角形的对应角相等得∠AOM=∠BOM，即OM平分∠AOB，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得结论.
3．（2024八下·大石桥期中）如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
∴地毯的长度至少是．
故选：B．
【分析】
先利用勾股定理求出楼梯的水平宽度，然后根据当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，最后将水平宽度与楼梯的垂直高度相加，得到地毯的最小长度。
4．（2025八下·衢州期末） 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有户高多余广六尺八寸（一尺等于十寸），两隅相去适一丈（一丈等于十尺）.问户高、广各几何？” 意为“现有一扇门，高比宽多了六尺八寸，门的对角线长刚好为一丈.求门的高和宽各为多少？”如图，设户广为x尺，可列出方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，广：x尺，高：(x+6.8)，对角线：10尺
由勾股定理得.
故答案为：B .
【分析】由题意可知户广、高和对角线的长度，根据勾股定理可列方程.
5．（2025八下·龙岗期末） 某平板电脑支架如图所示，，为了使用的舒适性，可调整的大小. 若，则AD的长度为（　　）
A．12 B．18 C． D．15
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：过点E作EH⊥AD于点H
∵
∴∠A=∠ADE，AD=2AH
∵∠AED=120°
∴
∵∠AHE=90°
∴
∴
∴AD=2AH=18
故答案为： B
【分析】过点E作EH⊥AD于点H，根据等腰三角形性质可得∠A=∠ADE，AD=2AH，，再根据含30°角的直角三角形可得，再根据勾股定理可得AH，即可求出答案.
6．（2023八下·丰南期中）如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A表示的数是-2，，若以点A为圆心，的长为半径画弧，与数轴交于点E（点E位于点A右侧)，则点E表示的数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
AB=
=
在Rt△ABD中，
AD=
=
由题意得：AE=AD=
则OE=OA-EA
=2-
∵点E在原点的左边，
∴点E表示的数为-（2-）
即：-2+
故选：B
【分析】根据勾股定理求出AB，AD的长，然后根据同圆的半径相等，得到AE=AB，最后根据OE=OA-EA可得。
7．（2024八下·龙马潭期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解：根据题意可知，是直角三角形，
在中，，，
∴，，
在中，，，则，
∴，
∴小巷的宽为，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理可得AB，BD，再根据边之间的关系即可求出答案.
8．（2024八下·凉州期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，则为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可知：，，，．
如图，连接，
在直角和中，，
即，
，，
．
故选：B．
【分析】本题主要考查的是勾股定理及其应用，连接，在直角和中，利用勾股定理，得到，求得，结合，，即可求解.
9．（2025八下·椒江期中）如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（　　）
A．20米 B．25米 C．30米 D．15米
【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；求算术平方根
【解析】【解答】解：如图，根据题意可得，底面周长约为米，柱身高约米，
米，（米），
（米），
故雕刻在石柱上的巨龙至少为（米），
故选：A．
【分析】如图是圆柱体的侧面展开图，根据题意可知AB=6，AE=8，根据勾股定理可得出BE=10，进一步即可得出答案为20米。
10．（2024八下·香河期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称之为“商高定理”．下列四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：A、梯形的面积为：，
也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，
∴，
∴，故A选项能证明勾股定理；
B、大正方形的面积为：，
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，
∴，故B选项能证明勾股定理；
C、大正方形的面积为：；
也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：，
∴，
∴C选项不能证明勾股定理；
D、大正方形的面积为：；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，
∴，
∴，故D选项能证明勾股定理；
故选：C．
【分析】利用整体和局部两种方法表示面积，然后整理再逐项判断解答即可．
阅卷人 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
得分
11．（2024八下·哈尔滨期中）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是　 　．
【答案】76
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：依题意，BC=5，CD=12，
，
这个风车的外围周长是，
故答案为：76．
【分析】利用勾股定理求出BD长，进一步求得四个外围和即可．
12．（2025八下·平舆期末）如图，每个小正方形的边长为1，，，是小正方形的顶点，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：设小正方形边长为1，连接，由勾股定理可得：
，，，
∴且，
∴是等腰直角三角形，．
故答案为：.
【分析】设小正方形边长为1，连接，根据勾股定理的逆定理得到且，进而求出∠ABC即可．
13．（2025八下·来宾期中）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为22，小正方形的面积为2，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为　 　．
【答案】42
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：如图，直角三角形的两直角边为，斜边为，
∵图1中大正方形的面积是22，
，
∵小正方形的面积是2，
，
，
∴图2中最大的正方形的面积，
故答案为：42．
【分析】设直角三角形的两直角边为，斜边为，根据图1，结合已知条件得到，，进而求出的值，再进一步求解即可．
14．（2024八下·中江月考）如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块，已知米，米，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是　 　米
【答案】
【知识点】几何体的展开图；勾股定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】由题意可知，将木块展开，
相当于是AB+2个正方形的宽，
∴长为5+2×1=7米；宽为6米.
于是最短路径为：米.
故答案为.
【分析】，将木块展开，根据两点之间，线段最短，可得出 从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程 是线段AC的长，根据勾股定理即可得出AC=，即可得出答案。
15．（2023八下·南宁月考）如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点的运动时间为．过点作于点．在点P的运动过程中，当t为　 　时，能使？
【答案】5或11
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；角平分线的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：①点在线段上时，过点作于，如图2所示：
则，
，
平分，
，
又，
∴，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
②点在线段的延长线上时，过点作于，如图3所示：
同①得：，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
综上所述，在点的运动过程中，当的值为5或11时，能使．
故答案为：5或11．
【分析】
由于角平分线上的点到角两边距离相等，则有DP平分，因为点P在射线BC上运动，则应分两种情况，即点P在点C左侧或在点C右侧时，再分别证明，则有PE＝PC，此时可用含t的代数式表示出PE，再利用勾股定理求出AE，则AP可得，再在直角三角形APC中应用勾股定理求出PC，则BP分别等于BC－PC或BC+PC，则t的值可求．
阅卷人 三、解答题：本大题共8小题，共75分。
得分
16．如图，C 为线段 BD 上一动点，分别过点 B，D 作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC，已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.
（1）用含x 的代数式表示AC+CE 的长.
（2）请问：点C 满足什么条件时，AC+CE 的值最小
（3）根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式 的最小值.
【答案】（1）解：
（2）解：当A，C，E三点共线时，AC+CE 的值最小.
（3）解：如图，作 BD=12，过点 B 作AB⊥BD，过点 D 作 DE⊥BD，且使AB=2，DE=3，连接AE 交BD 于点C.
设BC=x，则CD=12-x，AE 的长即为 的最小值.过点 A 作AF∥BD 交ED 的延长线于点 F，则.DF=AB=2， ，即原式的最小值为13.
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理
【解析】【分析】（1）设CD=x，则BC=8-x，然后根据勾股定理分别求得AC，CE，即可得出 AC+CE 的长；
（2）根据两点之间线段最短，可得出当A，C，E三点共线时，AC+CE 的值最小；(3)原式 而 的几何意义是以a，b为直角边的直角三角形斜边长.
17．（2025八下·成都期末）我们知道，四边形内角和为360°，若某个四边形有一组对角互补，则另一组对角也必然互补，因此，我们把有一组对角满足互补关系的四边形称为“双补四边形”，例如：在四边形PQRS中，若∠P+∠R=180°（或∠Q+∠S=180°），则称四边形PQRS为“双补四边形”.
（1）已知四边形EFGH是“双补四边形”.
①若∠E：∠F：∠G=7：4：2，则∠H=　 　；
②如图1，若∠F=90°，FG=8，GH=，EH=，则EF=　 　；
（2）如图2，在四边形EFGH中，FH平分∠EFG，EH=GH.求证：四边形EFGH是“双补四边形”；
（3）如图3，四边形EFGH是“双补四边形”，EF=FG，点M，N分别在边EH，GH上，且满足EM+GN=MN．试探究∠MFN和∠H之间满足的数量关系，并证明你的结论.
【答案】（1）100°；6
（2）解：如图所示，过点H分别作HA⊥EF，HB⊥FG，
∵FH平分∠EFG，
∴HA＝HB，
∵EH=GH，
∴Rt△HAE≌Rt△HBG(HL)，
∴∠E=∠HGB，
∵∠HGB+∠FGH=180°，
∴∠E+∠FGH=180°，
∴四边形EFGH是“双补四边形”
（3）解：，
延长HE至点D，使，连接FD，
∵四边形EFGH是“双补四边形”，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理
【解析】【解答】解：(1)①∵四边形EFGH是“双补四边形”，
∴∠E+∠G=180°或∠F+∠H=180°
∵∠E：∠F：∠G=7：4：2，
∴设∠E=7x，∠F=4，∠G=2x，
∵∠E+∠G=7x+2x=9x，且∠E+∠G=180°，则9x=180°，解得x=20°，
∴∠F=4x=80°，
又∵∠F+∠H=180°，
∴∠H=180°-∠F=180°-80°=100°
②∵四边形EFGH是“双补四边形”，且∠F=90°，
∴∠H=90°。
在Rt△EFG中，根据勾股定理EG2=EF2+FG2，
在Rt△EHG中，EG2=EH2+GH2
∴EF2+FG2=EH2+GH2
∵FG=8，，，
∴
即EF2+64=7+93，
∴EF=6，
故答案为：100°；6.
【分析】(1)①根据“双补四边形”的定义以及四边形内角和为360°，通过设未知数来求解角度；
②利用“双补四边形”中∠F=90°得出∠H=90°，再根据勾股定理建立方程求解EF的长度；
(2)过点H分别作HA⊥EF，HB⊥FG，根据角平分线的性质可得HA=HB，利用HL证明Rt△HAE≌Rt△HBG，进而即可得出结论；
(3)延长HE至点D，使，连接FD，根据四边形EFGH是“双补四边形”，进而去证明，，进而即可得出结论.
18．（2025八下·白云期末）实验探究：
实验情景示意图
实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮A，一端固定在滑块B上，另一端固定在物体C上；（、B、C可以视作三个点） ②滑块B可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体C的高度．
初始状态 图1物体C静止在轨道上，其到滑轮A的垂直距离为，且．
实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略．
任务 （1）求绳子的总长度；
（2）图2若物体C升高，求滑块B向左滑动的距离．
【答案】解：（1）物体C到定滑轮A垂直距离为，且，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
，，
绳子长度（）．
答：绳子总长度为18分米．
（2）如图2，由题意可知，，
若物体C升高，则此时（），
在中，由勾股定理得，（），
（）．
答：滑块B向左滑动的距离为．
【知识点】勾股定理；求算术平方根；勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【分析】（1）设，则，在中，利用求解，最后算出绳子长度即可；
（2）由题意可知，（），在中，由勾股定理得，，最后算得长度即可．
19．（2024八下·信宜月考）综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师让同学们以“三角形平移与旋转”为主题开展数学活动，和是两个等边三角形纸片，其中，，．
【解决问题】
（1）勤奋小组将和按图1所示的方式摆放（点A，C，B在同一条直线上），连接AE，BD，请直接写出AE、BD之间的数量关系．
（2）如图2，创新小组在勤奋小组的基础上继续探究，将绕着点C逆时针方向旋转，当点E恰好落在CD边上时，求的面积．
（3）【拓展延伸】
如图3，缜密小组在创新小组的基础上，提出一个问题：“将沿CD方向平移acm得到．连接AB'，B'C，当恰好是以AB'为斜边的直角三角形时，请你求出a的值及AB'长度．
【答案】（1）解：
（2）解：如图2中，过点B作交AC的延长线于H．
，
，
，
，
在中，，
．
（3）解：如图3中，
由题意，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）∵△ACD与△BCE都是等边三角形，
∴AC=DC，CE=CB，∠ACD=∠ECB，
∴∠ACD+∠DCE=∠ECB+∠DCE，即∠ACE=∠DCB，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD；
【分析】（1）由等边三角形性质得AC=DC，CE=CB，∠ACD=∠ECB，由等式性质得∠ACE=∠DCB，从而由SAS判断出△ACE≌△DCB，根据全等三角形的对应边相等可得AE=BD；
（2）过点B作BH⊥AC交AC的延长线于H，由等边三角形性质及平角定义可得∠BCH=60°，由三角形内角和定理推出∠CBH=30°，根据含30°角直角三角形的性质推出CH=BC=1cm，在△CBH中，用勾股定理算出BH的长，进而根据三角形面积计算公式可算出△ABC的面积；
（3）由题意易得∠E'CB'=30°，∠E'B'C=90°，∠C'B'C=30°，由等角对等边得CC'=B'C'=2cm，从而得出a的值；在Rt△CB'E'中，用勾股定理算出CB'的长，最后在Rt△ACB'中，再利用勾股定理可算出AB'的长.
20．（2025八下·成都期中）如图，在四边形中，，相交于点为边上一点，且．
（1）求证：；
（2）求的度数（用含的代数式表示）；
（3）若，，求的长．
【答案】（1）证明：，
垂直平分线段，
，
又，
；
（2）解：垂直平分线段，∴，
又，
∴，
，
，
，
∵，
∴，
，，
∴，
∵，
，
，
；
（3）解：如图，连接、过点作于点，
垂直平分线段，
，
又，
∴，
∴，
∴
设，则，
，
∴，
又，
，
，
，
又，
∵，
，
，
在和中，由勾股定理得，
，
，
∵，
，
解得：，（舍去），
，
，
又，
在中，．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）先得到垂直平分线段，即可得到，根据等量代换得到结论即可；
（2）先根据SSS得到，即可得到，然后求出∠BAD的值，再根据三角形的内角和和等边对等角求出∠ABE的度数，根据角的和差解答即可；
（3）连接、过点作于点，即可得到，然后根据等角对等边得到，再在和中根据勾股定理求出AE长，即可得到AD长，再在中中根据勾股定理解答即可．
（1）证明：，
垂直平分线段，
，
又，
；
（2）解：垂直平分线段，
∴，
又，
∴，
，
，
，
∵，
∴，
，，
∴，
∵，
，
，
；
（3）解：如图，连接、过点作于点，
垂直平分线段，
，
又，
∴，
∴，
∴
设，则，
，
∴，
又，
，
，
，
又，
∵，
，
，
在和中，由勾股定理得，
，
，
∵，
，
解得：，（舍去），
，
，
又，
在中，．
21．（2025八下·青秀开学考）在数学学习中，观察实验猜想证明是研究几何图形性质的一般思路．某班同学运用这个思路对三角形三边平方的关系展开了研究：
【观察】在直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方（设直角边长分别为，斜边为，那么．对于一般的三角形，三边长分别为，且，其边长的平方是否也存在某种关系．
【实验操作】小组成员通过测量不同类型三角形（锐角三角形，钝角三角形）三边的长度，计算它们的平方并进行比较，猜想三边平方之间的关系：
当是锐角三角形时，三边之间的关系是：；
当是钝角三角形时，三边之间的关系是： ① ．
【证明思路】为了将锐角三角形与我们熟悉的直角三角形联系起来，过点作，垂足为．这样就把锐角分成了两个直角三角形和，从而可以运用勾股定理进行边的关系推导．
以下是小组成员的证明过程：
如图①，过点作，垂足为．设． 在中，， 在中， ② ， ② ． 化简得，． ． ． ．
（1）其中，①是_______；②是_______．
【知识迁移】（2）如图②，当是钝角三角形时，请证明与之间的关系．
【答案】解：（1）①是；②是；
（2）如图，过点作，交延长线于点．
设，则，
∵在中，，
在中，，
∴，
化简得：，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：（1）∵当是直角三角形时，三边之间的关系是：，
当是锐角三角形时，三边之间的关系是：，
则猜想当是钝角三角形时，三边之间的关系是：．
如图①，过点作，垂足为．设．
在中，，
在中，，．
化简得，．
．
∴．
．
所以①是；②是；
故答案为：；；
【分析】（1）过点作，垂足为．设，则BD=a-x，在中，利用勾股定理表示出AD2，在中，利用勾股定理表示出AD2，根据用两个不同的式子表示同一个量，则这两个式子相等得，进而由即可得结论；
（2）过点作，交延长线于点．设，则，利用勾股定理表示出AD2，在中，利用勾股定理表示出AD2，根据用两个不同的式子表示同一个量，则这两个式子相等得，然后根据即可得结论．
22．（2024八下·龙泉驿期末）轴对称变换是现实世界运动变化的三种常见形式之一，在数学活动课上，同学们研究利用轴对称变化探究图形中线段的数量关系．
【初步感知】
（1）如图1，四边形中，，平分，求证：．
①如图2，小明同学想到了翻折，给出如下解题思路：在上截取，连接；
②如图3，小丽同学想到了翻折，给出了如下解题思路：延长线段到点，使，连接；
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程；
【深入探究】
（2）如图4，中，，平面内有点（点和点在的同侧），连接，，，．求证：；
【拓展延伸】
（3）如图5，在（2）的条件下，若平分，，请求出线段的长度．
【答案】（1）证明：小丽方法：
如图，延长线段到点，使，连接，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
小明方法：
如图，在上截取，连接，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：如图，作交的延长线于点，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：线段的长度是，
理由：延长交于，过作于．
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，，，
在中，，，
∴，
根据（2）中的结论可得：
．
∴线段的长度是．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】（1）小丽方法：延长线段到点，使，连接，由题意，用边角边可证，由全等三角形的对应角相等可得，然后根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和可求解；
小明方法：在上截取，连接，由题意，用边角边可证，由全等三角形的对应边（角）相等可得，，然后根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和可求解；
（2）作交的延长线于点，由题意，用角角边可证，由全等三角形的对应边相等可得，然后根据等腰直角三角形的性质即可求解；
（3）延长交于，过作于．由题意，用角边角可证，由全等三角形的对应边相等可得，再结合（2）中的结论即可求解．
23．（2025八下·武侯月考）如图，在，，，是上一动点，以为底，在的右侧作等腰直角，的延长线交于点．
（1）如图1；当时，
①求证：；
②若，求线段的长；
（2）如图2，若，，求线段的长；
【答案】（1）①证明：，
，
，
，
，
，
．
②解：∵，，，
∴，
∵以为底，在的右侧作等腰直角，
∴，
∵
∴
∴
∴
∴，
又∵
∴
∴.

（2）解：如图，过点作，且，连接，
∵，，
∴，
在中
∴，
∴，
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
在中，
∴
∴
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）①根据等腰三角形的性质求出，再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
②根据全等三角形的性质求出，再求出，最后计算求解即可；
（2）利用SAS证明，再根据全等三角形的性质求出DF=FG，最后利用勾股定理计算求解即可.
（1）①证明：，
，
，
，
，
，
．
②解：∵，，，
∴，
∵以为底，在的右侧作等腰直角，
∴，
∵
∴
∴
∴
∴，
又∵
∴
∴
（2）解：如图，过点作，且，连接，
∵，，
∴，
在中
∴，
∴，
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
在中，
∴
∴
∴
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