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孝感高中2023级高三年级
数学试题答案
本卷满分150分 考试时间：120分钟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足，则z的虚部是( )
A. B. 1 C. D. i
2.记为等差数列的前n项和.若，，则( )
A. B. C. D.
3.已知，且，则的最小值为
A. 2 B. C. 4 D. 5
4.已知函数的定义域为R，，R，，且，则
A. B.
C. D.
5.已知函数的图象关于直线对称，且在上有最大值没有最小值，则的值为( )
A. B. C. D.
6.将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为( )
A. 72 B. 84 C. 96 D. 108
7.在中，点P满足，过点P的直线与AB、AC所在的直线分别交于点M、N，若，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线E：的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线E的两条渐近线分别交于M、N，若，且，则双曲线E的离心率为( )
A. B. 4 C. D. 6
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的前n项和为，则下列结论正确的是
A. 若，则是等差数列
B. 若，则是等比数列
C. 若是等差数列，则
D. 若是等比数列，且为常数，则
10.在中，，，，下列说法中正确的有
A. 若点O为的重心，则
B. 若点O为的外心，则
C. 若点O为的垂心，则
D. 若点O为的内心，且，则
11.已知，圆，点P为圆M上一动点，以PF为直径的圆N交y轴于A，B两点，设，，，则( )
A. 当点N在y轴上时， B. 的取值范围是
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 .
13.已知函数和的定义域均为若是奇函数，是偶函数，且，则 .
14.在正三棱锥中，，点M是线段BC上的点，且设点P是棱AC上的动点，直线PM与平面BCD所成角为，则的最大值为_______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分已知等比数列的前n项和为，，
求数列的通项公式；
当N时，，求数列的通项公式．
16.本小题15分在中，内角的对边分别是，，
求角B；
若，求边AC上的角平分线BD长；
若为锐角三角形，求边AC上的中线BE的取值范围．
17.本小题15分已知椭圆，分别是左、右焦点，P是椭圆C上一点，的最大值为3，当P为椭圆上顶点时，为等边三角形．
求椭圆C的标准方程；
设分别是椭圆C的左、右顶点，若直线l与C交于点，且，直线l过定点．
18.本小题17分如图，正四棱锥中，Q是棱PC的中点，H是底面ABCD的中心．过AQ作平面与棱分别交于不同的点可以是端点
求证：三线交于一点；
若
求直线AQ与平面PAB所成角的正弦值；
求多面体AEQFP的体积的取值范围．
19.本小题17分已知函数，其中
若，求曲线在点处的切线方程;
证明：在区间上存在唯一的极值点与唯一的零点
在的条件下，证明：孝感高中2023级高三年级
数学试题答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足，则z的虚部是( )
A. B. 1 C. D. i
【答案】A
2.记为等差数列的前n项和.若，，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
3.已知，且，则的最小值为
A. 2 B. C. 4 D. 5
【答案】D
【解析】解：当且仅当，即，时取等号，的最小值为
4.已知函数的定义域为R，，R，，且，则
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解：假设，则的定义域为R，
且，R，，，故函数满足题意.
对于A，，故A错误；
对于B， ，故B错误；
对于C，因为函数是减函数，则 ，故C正确；
对于D，，故，故D错误.
5.已知函数的图象关于直线对称，且在上有最大值没有最小值，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：，
的图象关于直线对称，，，解得，，
，，
又在上有最大值没有最小值，，解得，
又，，时，
6.将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为( )
A. 72 B. 84 C. 96 D. 108
【答案】B
【解析】解：分两种情况：
第一种，先选择3个不同的球，放入其中一个盒子，再将剩下的1个球放入另外一个盒子，不同的方法有种；
第二种，先把4个不同的小球平均分成两组有种，再选择一组中的2个不同的球，放入其中一个盒子，再将剩下一组的2个球放入另外一个盒子，不同的方法有种，
一共有种.
7.在中，点P满足，过点P的直线与AB、AC所在的直线分别交于点M、N，若，，则的最小值为
A. B. C. D.
【答案】B
解：，即，，
，，，，
，、P、N三点共线，则
，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，
8.已知双曲线E：的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线E的两条渐近线分别交于M、N，若，且，则双曲线E的离心率为( )
A. B. 4 C. D. 6
【答案】B
【解答】如图，作MP，于P，Q
由于ON，OM均为渐近线，从而，即，
又为直角三角形，且O为直角边的中点，从而，故，，又，，所以，，从而，
又由得到，从而，解得，即离心率
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的前n项和为，则下列结论正确的是
A. 若，则是等差数列
B. 若，则是等比数列
C. 若是等差数列，则
D. 若是等比数列，且为常数，则
【答案】CD
对于D，因为是等比数列，且，所以公比为2，，
显然有，故D正确.
10.在中，，，，下列说法中正确的有
A. 若点O为的重心，则
B. 若点O为的外心，则
C. 若点O为的垂心，则
D. 若点O为的内心，且，则
【答案】ACD
【解析】解：A选项，如图1，设BC中点为D，则，由于点O为的重心，则，
所以，A选项正确；
B选项，如图2，设AB中点为E，由于点O为的外心，则OE垂直AB，，B选项错误；
C选项，如图3，作，垂足为F，则O在CF上，
在中由余弦定理可得，在直角中，，
所以，C选项正确；
D选项，如图4，设的内切圆半径为r，由可得，
则，，
由，且A为三角形内角，可得，，
则，
延长AO交BC于点G，
则即，
则，则，
由于B、C、G三点共线，则，，D选项正确.
故选：
11.已知，圆，点P为圆M上一动点，以PF为直径的圆N交y轴于A，B两点，设，，，则( )
A. 当点N在y轴上时， B. 的取值范围是
C. D.
【答案】ACD
【解答】解：当N在y轴上时，，则，，则，故A正确;
设，则，代入得，
可得N在以坐标原点O为圆心、为半径的圆上运动，
又圆N交y轴于A，B，故，故B错误;
以PF为直径的圆N的方程可写为，
令，可得，即，
则，分别为方程的两根，由韦达定理得，故C正确;
要证，即证，
，
，所以，即，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 .
【答案】
13.已知函数和的定义域均为若是奇函数，是偶函数，且，则 .
【答案】2
【解析】解：因为是奇函数，所以，
因为，所以令，可得，所以，
因为，所以令，可得，
因为是偶函数，所以 ，所以，所以，
因为是奇函数，所以，所以时，，
所以
14.在正三棱锥中，，点M是线段BC上的点，且设点P是棱AC上的动点，直线PM与平面BCD所成角为，则的最大值为_______.
【答案】
解：由题意，作出图象如下所示：
取E为BD中点，连接CE，AE，
则，，
又，平面AEC，平面AEC，则平面AEC，
又平面BCD，可得平面平面BCD，
设O为等边三角形BCD的中心，于是平面BCD，且O为EC上，
在平面AEC内，作交EC于点Q，则平面BCD，于是，
因为，，所以，，
设，因为，于是根据余弦定理，得，
得，
因为O为等边三角形BCD的中心，所以，
，则 ，即得，
于是在中，，即，
于是，
因为点P是棱 AC上的动点，点A在底面射影为O，P在底面射影为Q，
所以，所以，
要求最大值，可知，于是可令此时有，
令，，
当且仅当即时，，则
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分已知等比数列的前n项和为，，
求数列的通项公式；
当N时，，求数列的通项公式．
【答案】解：设数列的公比为
，得，所以
有，得，
则数列的通项公式为
由，时，得
所以时，
有，得时，
又，故

16.本小题15分在中，内角的对边分别是，，
求角B；
若，求边AC上的角平分线BD长；
若为锐角三角形，求边AC上的中线BE的取值范围．
【答案】解：在中，由正弦定理及，
得，
即，而，，解得，又，所以；
由及，由余弦定理得，
又，解得，
由 ，得，即，
则，所以；
因为E是AC的中点，所以，
则，
由正弦定理得，，
即，
为锐角三角形，，所以，所以，
所以所以所以
所以即边AC上的中线BE的取值范围为

17.本小题15分已知椭圆，分别是左、右焦点，P是椭圆C上一点，的最大值为3，当P为椭圆上顶点时，为等边三角形．
求椭圆C的标准方程；
设分别是椭圆C的左、右顶点，若直线l与C交于点，且，证明：直线l过定点．
解：根据题意作图如下：由题意得，所以，
因为，所以椭圆C的标准方程为
(2)证明：法一：由可知，
设直线AN的斜率为k，则直线BM的斜率为3k，设，
则直线AN的方程为，直线BM的方程为，
联立，化简得，
因为，所以，即，
联立，化简得，
因为，所以，即，
则，
所以直线MN的方程为，整理得，
所以直线l过定点，即右焦点
法二：设，又由知，所以，
则有，
又，则，代入上式可得，
又因为，所以，
设直线MN的方程为，联立，得，
所以，且，
所以，
由，化简得且，
即，解得或舍，所以直线l过定点，即右焦点.
18.本小题17分如图，正四棱锥中，Q是棱PC的中点，H是底面ABCD的中心．过AQ作平面与棱分别交于不同的点可以是端点
求证：三线交于一点；
若
求直线AQ与平面PAB所成角的正弦值；
求多面体AEQFP的体积的取值范围．
【答案】解：证明：根据题意，A，Q为定点，E，F为动点．
如图，连接
在平面AEQF中，不妨设EF交AQ于点G，
因为平面PBD，所以平面PBD，
因为平面PAC，所以平面PAC，
因为平面平面，所以点G也在PH上，
即三线交于一点．
因为，所以，
由已知四边形ABCD为正方形，易得，
以H为坐标原点，分别以所在的直线为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，
所以，
设平面PAB的法向量为，则，即，
取，得，即平面PAB的一个法向量为，
所以，
所以直线AQ与平面PAB所成角的正弦值为
方法一：由知三线交于点G，显然G是和的重心，
同时，
因此，只需要求的面积的取值范围，
如图，中，，
由重心的性质知①，
又三点共线，所以，
且，所以②，
对比①②两式，可得，因为，所以，
因为，
所以，
又，令，则，
故，
因此，
所以，即多面体AEQFP的体积的取值范围为
方法二：由知三线交于点G，显然G是的重心，
，
又，
所以，
只需要求距离和的取值范围，
根据已知条件，线段EF绕点G旋转，如图，
设，又，
则，
所以，
因为，即，
所以，
由题意，则所以
故令，则，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
故，此时；
，此时，
所以如图，在中，当EF位于平行于BD位置时，距离和最小，最小距离为；
当EF位于位置时，距离和最大，此时为PB的中点，最大距离和为，
所以，即多面体AEQFP的体积的取值范围为
19.本小题17分已知函数，其中
若，求曲线在点处的切线方程;
证明：在区间上存在唯一的极值点与唯一的零点
在的条件下，证明：
【答案】解：若，则，，所以，
又，所以所求的切线方程为
当时，，，又，所以
当时，令，则，
易知在上单调递增，且，，
所以存在，使得
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增.
所以，
又，所以存在，使得
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以在上存在唯一极小值点所以，又因为，
所以存在，使得，所以在上存在唯一零点，得证.
由，得，
由，得，所以，
因为，所以待证不等式等价于
结合的分析，因为，，
所以，即，同理可得
由于在区间上单调递减，要证，只需证
又因为在上单调递增，所以只需证
借助，可得
令，则恒成立，
所以在上单调递增，所以，即成立，故原不等式成立.

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