资源简介

长汀一中·厦门英才学校联考2025-2026学年第一学期12月月考
高三数学试卷
（考试时间：120分钟 总分：150分）
注意事项：
1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2. 请将答案正确填写在答题卡上，写在本试卷上无效
3. 考试结束后，只需上交答题卡.
第Ⅰ卷
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. “”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2. 若，，且，恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．
A．0个 B．1个 C．2个 D．4个
4. 连续函数是定义在上的偶函数，当时，.若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5. 已知函数，则（ ）
A．0 B．12 C．24 D．-24
6. 若，则（ ）
A． B． C． D．
7. 设数列的前项和为，若，则（ ）
A．65 B．127 C．129 D．255
8. 已知函数， ，若对任意的，总存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9. 已知复数z满足，则下列说法中正确的是（ ）
A．复数z的模为 B．复数z在复平面内所对应的点在第四象限
C．复数z的共轭复数为 D．
10. 在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线折成四面体，使得，E,F,O分别为棱的中点，则（ ）
A．平面平面 B．直线与所成角的余弦值为
C．四面体的体积为 D．四面体外接球的表面积为8π
11．在平面四边形中，点D为动点，的面积是面积的2倍，又数列满足，当时，恒有，设的前项和为，则（ ）
A．为等比数列 B．为递减数列
C．为等差数列 D．
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡相应横线上.
12．在平行四边形ABCD中，，点E是AB的中点，点F满足，且，则_________．
13．已知，则_________．
14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数，称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数. 设，则函数的所有零点之和为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知，其中向量,
（1）求的最小正周期和最小值；
（2）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、，若，，求△ABC面积的取值范围．
16.（15分）如图，四边形ABCD为平行四边形，点E在AB上，AE＝2EB＝2，且DE⊥AB，沿DE将折起，使点A到达点F的位置，且．
(1)求证：平面BFC⊥平面BCDE；
(2)若直线DF与平面BCDE所成的角的正弦值为，求平面DEF与平面DFC的夹角的余弦值．
17．（15分）已知为数列的前n项和，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求证数列的前n项和.
18.（17分）已知函数．
(1)证明：函数的图象关于对称；
(2)解不等式；
(3)关于的方程在上有解，求实数的取值范围．
19.（17分）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，函数在区间内有唯一的极值点.
（i）求实数的取值范围；
（ii）求证：在区间内有唯一的零点，且.长汀一中·厦门英才学校联考2025～2026学年第一学期 12月月考
高三数学参考答案及评分标准
一.选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B A B D D C B A AD ACD BD
二.填空题：12. 9 13. 14.
提示：
8．【详解】依题意，当时，是减函数，，，
当时，是增函数，，，于是得的值域是，
“对任意的，总存在实数，使得成立”等价于“函数的值域是函数在区间上值域的子集”，
①当时，，此时在区间上值域为，有，则，
②当时，图象对称轴，在时，当时，，即的值域为，
显然不可能包含于，无解，
③当时，函数在单调递增，在上的值域为，则，
于是得，解得，即，
综上，实数的取值范围是.
故选：A
10．ACD
【详解】对于A，由题意，得，
又,平面，从而平面，
又平面，故平面平面，故A正确．
对于B，取的中点，连接，所以,
则就是直线与所成的角（或其补角），
因为边长为的菱形中,而,
易得，
因为平面，所以,
所以，所以，
所以，故B错误．
对于C，在中，，
可得的面积为，因为平面 ，
所以四面体 ,故C正确．
对于D，设和的中心分别为点，
分别过点，作平面和平面的垂线交于点，
则点即为四面体外接球的球心，
四点共圆，且，
利用正弦定理可得，因此，
所以四面体外接球的半径，
所以四面体外接球的表面积为，故D正确．
11．BD
【详解】如图，连交于，
则，即，
所以，所以，所以，
设，因为当时，恒有，
所以，
，所以当时，恒有，
所以，即，又，所以，
所以，所以，
因为不是常数，所以不为等比数列，故A不正确；
因为，即，所以为递减数列，故B正确；
因为不是常数，所以不为等差数列，故C不正确；
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，故D正确.
故选：BD
13．【详解】因为，所以
，
故答案为：
14.【详解】，令，可得，
则函数的零点，即为函数与函数的图象交点的横坐标，
作出函数与函数的图象如下图所示：
由图象可知，两函数除以交点之外，其余的交点关于点对称，
所以，函数的所有零点之和为.
故答案为：.
三、解答题
15．解：（1）
则的最小正周期，最小值为.………………5分
（2），则，
又 ，则，故，解得
∵，由正弦定理可得，
∴，，又△ABC为锐角三角形，
∴，又，得，
∴
，
∵，∴，∴，
∴，即△ABC面积的取值范围是．………………13分
16. 解：（1）∵AE＝EF＝2，EB＝1，，
∴，
∴，∴BF⊥BE，
又∵DE⊥AB，∴DE⊥EF，DE⊥EB．又，
∴DE⊥平面BEF，
∵平面BEF，∴BF⊥DE，
∵EB，平面BCDE，，
∴BF⊥平面BCDE，又平面BFC，
∴平面BFC⊥平面BCDE；………………7分
（2）由（1）知BF⊥平面BCDE，∴∠FDB为直线DF与平面BCDE所成的角，
设AD＝a，则，
∴，∴，解得，∴DE ＝1，
以E为坐标原点，，的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（-2，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），C（3，1，0），，
∴，，
设为平面DFC的一个法向量，则，
即，令，则z＝1，∴，
同理得平面DEF的一个法向量，
∴，
∴平面DEF与平面DFC的夹角的余弦值为．………………15分
17. 解： （1）∵，∴时，，
相减得，即，∴
∴，即，
又，∴，
∵，∴也满足上式，∴ 为所求；………………6分
（2）由（1）得，
∴，
∴.………………15分
18. 解：（1）证明：∵
∴函数的图象关于对称.………………4分
（2）任取，不妨设，则，
，∴在上单调递减.
由函数的图象关于对称可得：，
故，
∴不等式可化为，
由在上单调递减可得：，解得，
∴不等式的解集为.………………………………10分
（3）设，∵，且在上单调递减，∴．
则方程在有解，即在有解．
设，∵，
∴函数在单调递减，又，，故的值域为，
∴实数的取值范围为．………………17分
19. 解：（1）当时，，
，即切点为，
故曲线在点处的切线方程为.………………4分
（2）（i）函数，
①当时，当时，，
则在区间上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去；
②当时，设，
则在区间上恒成立，
在区间上单调递增，即在区间上单调递增，
又在区间上有唯一零点，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
函数在区间内有唯一极值点，符合题意，
综上，的取值范围是.………………10分
（ii）由（i）知，当时，，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
时，，则，
又在区间上有唯一零点，
即在区间上有唯一零点.
，
由①知，则
，
设，则，
，
在区间上单调递增，又，
又.
.
由前面讨论知在区间上单调递增，
.………………17分

展开更多......

收起↑