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河北省正定中学2025-2026学年上学期高二期末数学冲刺卷
（拔高版）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则( )
A. B. C. D.
2.已知是函数的导函数，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知直线的倾斜角为，则直线的斜率( )
A. B. C. D.
4.已知数列满足，则( )
A. B. C. D.
5.已知圆与圆相交所得的公共弦长为，则圆的半径( )
A. B. C. D.
6. 如图，在面积为的直角中作，使得，以此类推，在中，再作，记的面积为，则的前项和为( )
A. B.
C. D.
7.已知，分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，且的内切圆与轴相切，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若对，使得成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的前项和为，前项积为，下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则的最大值为
C. 若，且对任意，恒成立，则
D. 若为正项等比数列，，，则使得的的最大值为
10.九章算术是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”现有一个刍甍如图所示，底面为正方形，底面，四边形，为两个全等的等腰梯形，，是底面的中心，点是上一点，则( )
A. 直线与直线所成角的余弦值为
B. 三棱锥的体积为定值
C. 直线与面所成角的正弦值的取值范围是
D. 点到面的距离为
11.已知过点的动圆与直线相切，是圆心的轨迹上的不同两点，为坐标原点，则( )
A. 圆心的轨迹是抛物线，方程为
B. 若，则的面积为
C. 若过点，则
D. 若，的中点在直线上的投影为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.记等差数列的前项和为，若，，则公差 ．
13.若点，，点是平面上一点，则的最小值为 ．
14.已知函数的图象上存在不同的两点，，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知顶点、、．
求边的垂直平分线的方程；
若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程．
16.本小题分
已知数列的前项和为，且．
求证：是等比数列，并求出的通项公式；
设，求证：．
17.本小题分
在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，设点的轨迹构成曲线．
求曲线的方程及轨迹；
设点是曲线上的任意一点，求的取值范围．
18.本小题分
如图，圆柱的轴截面是边长为的正方形，点是上一点，且，连接，，，，过点作于．
求证：；
连接，在线段上是否存在一点，使得面与面所成角的余弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，说明理由．
19.本小题分
已知函数，为自然对数的底数，其中．
讨论函数的单调性；
若方程在上恰有两个不同的实根，求的取值范围．
答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.解：由于，所以的斜率为，中点的坐标为，则由斜截式可得，直线的方程为；
当横、纵截距均为时，的斜率为，所以的方程为；
当横、纵截距均不为时，设的方程为，因为纵截距是横截距的倍，所以，又因为过点，所以，解得，所以直线的方程为，综上，直线的方程为或
16.证明：数列的前项和为，且．
可得，，，
可得，解得，
整理可得，又
所以是等比数列，首项为，公比为，
所以：，
所以．
证明：，
所以．
即．
17.【答案】设，由得，
整理得，即，
曲线是的轨迹以为圆心，半径为的圆；
由题可设，，，
所以，其中，
所以当时，有最小值，
当时，有最大值，
所以的取值范围为．
18.解：因为母线，所以，因为是直径，所以，因为，所以，所以，又因为，，所以；
假设在线段上存在一点，
由题意以为坐标原点，过作的垂线为轴，，所在直线为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，，，
故平面的一个法向量为，
设，则，
设平面的一个法向量为，
则，令，，，
故平面的一个法向量为，
，，解得，
在线段上存在一点，满足题意，此时．
19.解：函数的定义域为，，
当时，有，所以在上单调递增，
当时，令，则有，讨论，
当，即时，在上恒成立，即，所以在上单调递增，
当，即时，
方程的两个根为，
当时，，在上恒成立，即，所以在上单调递增，
当时，，得，即，所以在上单调递增，在上单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增．
当时，在上单调递增，在上单调递减，其中．
由题知恰有两个不同的实根，
当时，，不符合题意．
当时，令，
在上恰有两个不同的实根等价于的图象与直线的有两个交点．
，
当时，，则单调递减；当时，，则单调递增，
的极小值点为，又当时，恒小于，当时，；；
根据以上信息，画出函数的大致图象如图所示．
由图可知，当，的图象与直线的有两个交点．
所以当时，方程在上恰有两个不同的实根．

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