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余江区第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题
一、单选题
1．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．“”是“函数的定义域为R”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知实数，，，且恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，，那么的大小为（ ）
A． B．
C． D．
6．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知是定义域为的偶函数，且对任意不相等的，，都有，记，则不等式的解集为（ ）
A．（-2，3） B．
C． D．
二、多选题
9．下列命题中是真命题的是（　　）
A．命题“”的否定是“”
B．函数在上单调递增
C．函数图象过定点
D．函数与不是同一个函数
10．已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的为（ ）
A．为增函数
B．为偶函数
C．若，则
D．若，则
11．已知正数、、满足，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．已知函数，则 ．
13．函数在区间上单调递增， 则实数a的取值范围为
14．若函数在区间上的最小值为常数，则其最大值为 ．
四、解答题
15．计算：
(1)；
(2)．
16．已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围．
17．已知函数，且，
(1)求解析式；
(2)求不等式的解集．
18．已知函数为奇函数．
(1)求a的值；
(2)证明：函数是在上的增函数；
(3)对于任意的，不等式恒成立，求常数的取值范围．
19．已知函数（其中a，b均为常数，且）的图象经过点与点．
(1)求a，b的值；
(2)求不等式的解集；
(3)设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围．
参考答案
1．D
【详解】对A：函数定义域为，不是偶函数，故不符合题意；
对B：函数的图象不关于轴对称，所以不是偶函数，故不符合题意；
对C：函数的对称轴为，所以不是偶函数，故不符合题意；
对D：，所以为偶函数；当时，，在上单调递增，符合题意.
故选：D
2．D
【详解】的解为或或，则集合，
，
.
故选：D.
3．B
【详解】由的定义域为，得.
当时，40恒成立；
当时，由，解得.
所以当函数的定义域为时，的取值范围为，
所以“”是“函数的定义域为”的充分不必要条件.
故选：B
4．B
【详解】，
当且仅当，即时，取等号，
所以，
故选：B
5．D
【详解】因为函数在上单调递减，所以，故；
因为函数在上单调递增，所以，故；
因为函数在上单调递减，所以，故；
综上，.
故选：D.
6．A
【详解】对于B选项：，定义域为：，
因为，不满足图像，B错误；
对于C选项：，定义域为：，
因为，不满足图像，C错误；
对于D选项：，定义域为：，
因为，不满足图像，D错误；
故选：A.
7．B
【详解】当时，，显然为增函数，
当时，，此时为开口向下的二次函数，所以对称轴，
即即可，
当时，，
故的取值范围是，
故选：B.
8．B
【详解】因为，所以.
由，得对任意不相等的，恒成立，
所以在上单调递增.
因为为偶函数，易知为偶函数，所以在上单调递减，
所以不等式等价于，即.
当，即时，，解得或，所以；
当，即时，，解得，所以.
综上所述，所求不等式的解集为.
故选：B.
9．BC
【详解】对于A，命题“”的否定是“”，故A是假命题；
对于B，和在上单调递增，则在上单调递增，故B是真命题；
对于C，当，得，则函数的图象过定点，故C是真命题；
对于D，函数与是定义域和对应法则相同，为同一函数，故D是假命题.
故选：BC.
10．ACD
【详解】设幂函数，由于图象经过点，
所以，即，
所以，
故在定义域上单调递增，A正确；
为非奇非偶函数，B不符合题意；
当，解得，故C正确；
当时，
，
故，即成立，D正确．
故选：ACD
11．ABD
【详解】令，可得，，，
，故A正确；
，故B正确；
，，所以，得，
又，所以，得，所以，，故C不正确；
，故D正确；
故选：ABD
12．
【详解】，
所以．
故答案为：
13．
【详解】设函数，由有意义，可得且，则函数为减函数，
故要使在区间上单调递增，需使，且函数在上恒为正数，
，解得.
故实数a的取值范围为.
故答案为：.
14．
【详解】因为，
令，
则，因为，
所以函数为奇函数．因为奇函数的图象关于原点对称，
所以在上的最大值和最小值之和为0，
即，则，
因，故．
故答案为：．
15．(1)
(2)3
【详解】（1）原式
.
（2）
．
16．(1)；
(2).
【详解】（1），，，，
；
（2），，
当时，，解得，
当时，，
所以，则，
综合以上两种情况，可得实数的取值范围为.
17．(1)；
(2)答案见解析.
【详解】（1）由，则，
令，则，即，得，经检验符合题意，
；
（2）原不等式可化为，即，
若，即，则原不等式无解，
若，即，则原不等式解为，
若，即，则原不等式解为，
综上，
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
18．(1)；
(2)证明见详解；
(3).
【详解】（1）函数的定义域为，由是奇函数，得，解得，
函数，，是奇函数，
所以.
（2）由（1）知，
设，且，，
当时，，则，即，
所以函数是在上的增函数．
（3）不等式，
依题意，任意，不等式恒成立，
由（2）知函数在上单调递增，则不等式对恒成立，
令，而均为增函数，则是增函数，
由，得，且，
因此不等式在上恒成立，
设，由函数开口向上，得，
则，解得，
所以的取值范围是.
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意知，，即，解得：
所以，
（2）由（1）知，，
所以，即，
所以，令，
则，
解得；解得，
所以，的解集为，即，解得，
所以不等式的解集为
（3）由得函数，
当时，，
故，
当时，
因为对任意，存在，使得成立，
所以是的子集，
所以，即，
所以实数的取值范围为

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