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霍林郭勒市第一中学2025-2026学年度高三年级一月份第一次考试
数学试卷
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1.已知数列，则该数列的第36项为（ ）
A． B．36 C． D．6
2.定义集合，设集合，，则中元素的个数为（ ）
A． B． C． D．
3.若圆锥底面半径为1，高为，则圆锥侧面展开扇形圆心角的弧度数是（ ）
A． B． C．2 D．3
4.已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，，则⊥ D．若，，⊥，则
5.已知复数在复平面内对应的点在函数图象上，则的最小值是（ ）
A． B．9 C．2 D．4
6.“”是“”的（ 　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7.已知定义域为的函数满足，则（ ）
A．102 B．101 C．100 D．99
8.已知函数在上单调递减，且为的一条对称轴，是的一个对称中心，当时，的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．0
多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
10．已知G为△ABC的重心，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
11.将数列中的所有项排成如下数阵：
从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列；第1列数，，，…成等差数列．若，，则（ ）
A． B． C．位于第45行第88列 D．2024在数阵中出现两次
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若为等差数列的前项和，，，则与的等比中项为 .
13．若函数在处有极小值，则实数a的值为 .
14．已知正方体的棱长为2，球为其棱切球，过球心作平面与底面平行，若为球面与平面的交线上一点，为底面外接圆的一条直径，则的最大值为 ．
四、解答题解答题：共计5个题，15题13分，16、17题分别15分，18、19题分别17分，共计77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点O是与的交点，设，，．

(1)用向量，，表示向量，并求AO的长；
(2)求异面直线AO与BC所成的角的余弦值．
16.已知数列的前项和.
(1)求的通项公式；
(2)若首项为3的数列满足，求数列的前项和.
17.已知，函数（为常数）.
(1)求的最小正周期及单调递减区间；
(2)若，且在△ABC中，内角的对边分别为，求△ABC的面积.
18．已知函数有两个零点
(1)求a的取值范围；
(2)记，为的两个零点，证明：
19.类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线，，构成的三面角，，，，二面角的大小为，则．
（1）当、时，证明以上三面角余弦定理；
（2）如图2，平行六面体中，平面平面，，，
①求的余弦值；
②在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，
参考答案
1--8:CBACAABB 9.AC 10.BD 11.ACD
12.13-1 .14.
15.【答案】(1)，(2)．
【详解】（1）由题意可知：点O是的中点，则，
所以，，
故，所以.
（2），，，，，
又因为，所以，
又易知，所以，所以异面直线AO与BC所成的角的余弦值为．
16.【答案】(1)(2)
【详解】（1）由题意可得，当时，；
当时，，
因为满足上式，所以的通项公式为；
（2）因为，且，
所以当时，，
当时，也符合上式，所以，
所以，
所以
.
17.【答案】(1)，(2)
【详解】（1）由题意得
，所以的最小正周期，
令，得，
所以的单调递减区间为.
（2）由，得，故.
由，得，即，
因为，所以，所以，所以，
又，即，所以，所以.
18.【答案】(1)(2)证明见解析
【详解】（1）由已知，，，
设，，单调递减，
当时，，单调递增，
由于，故时，，单调递减，
时，，单调递增，，
当时，，
取，则，存在，使，
，存在，使，符合题意；
当时，有且只有1个零点，不符合题意；
当时，，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，，单调递减，不会有两个零点；
当时，当时，，单调递增，
，单调递减，，
当时，存在，，
当时，，单调递增，，
当时，，单调递减，
且由对数函数与幂函数增长速度可知，当趋于时，趋于，
则存在，，
当时，，单调递增，，
当时，，单调递减，不会有2个零点；
当时，，，
存在，，
当时，，，
当时，，单调递减，，
单调递减，在上不会有2个零点；
综上，.
（2）由（1）得，，设，
则，
则，又所以，故，
由于，且在上单调递增，则，即；
19.
【详解】（1）证明：如图，过射线上一点作交于点，
作交于点，连接，
则是二面角的平面角．
在中和中分别用余弦定理，得
，，
两式相减得，
∴，
两边同除以，得．
（2）①由平面平面，知，∴由（1）得，
∵，，∴．
②在直线上存在点，使平面．连结，延长至，使，连结，
在棱柱中，，，∴，∴四边形为平行四边形，
∴．
在四边形中，，
∴四边形为平行四边形，∴，∴，
又平面，平面，∴平面．
∴当点在的延长线上，且使时，平面．

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