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第1讲　集合与常用逻辑用语
基础回归
经典回眸
1．(2025·新高考Ⅰ卷)设全集U={x|x是小于9的正整数}，集合A={1，3，5}，则 UA中元素个数为(　C　)
A．0 B．3
C．5 D．8
【解析】 因为U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，3，5}，所以 UA={2，4，6，7，8}， UA中的元素个数为5.
2．(2024·新高考Ⅰ卷)已知集合A={x|－5＜x3＜5}，B={－3，－1，0，2，3}，则A∩B=(　A　)
A．{－1，0} B．{2，3}
C．{－3，－1，0} D．{－1，0，2}
【解析】 注意到－2＜－＜－1，1＜＜2，所以A∩B={－1，0}．
3．(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p： x∈R，|x＋1|＞1；命题q： x＞0，x3=x，则(　B　)
A．p和q都是真命题 B． p和q都是真命题
C．p和 q都是真命题 D． p和 q都是真命题
【解析】 对于p，取x=－1，则有|x＋1|=0＜1，故p是假命题， p是真命题；对于q，取x=1，则有x3=x=1，故q是真命题， q是假命题．综上， p和q都是真命题．
4．(2020·新高考Ⅰ卷)已知a∈R，若集合M={1，a}，N={－1，0，1}，则“a=0”是“M N”的(　A　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．命题“ x∈(1，2)，log2x－a＜0”为真命题的一个充分不必要条件是(　B　)
A．a≥0 B．a≥2
C．a≥1 D．a≤4
【解析】 若命题是真命题，则a＞log2x在(1，2)上恒成立．当x∈(1，2)时，0＜log2x＜1，则a≥1.结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是a≥2.
6．已知集合A=，B={a，a2}，若A∪B=A，则a=　2　．
【解析】 由A∪B=A，得B A．当a=1时，a=a2，不满足元素的互异性，舍去；当a=2时，B={2，4}，满足B A，符合题意；当a=4时，B={4，16}，不满足B A，舍去．综上，a=2.
要点梳理
1．集合
(1) 常见数集的记法：
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N＋或N* Z Q R
(2) 集合的有关性质：
①集合的传递性：A B，B C A C．
②集合的子集个数：若集合A中有n个元素，则A的子集有　2n　个，真子集有
　2n－1　个，非空真子集有　2n－2　个．
③等价关系：A B A∩B=A A∪B=B UA UB(U为全集)．
2．充分条件与必要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即p：A={x|p(x)}，q：B={x|q(x)}，则
(1) 由“若p q且qp，则A B”，知p是q的　充分不必要　条件；
(2) 由“若pq且q p，则B A”，知p是q的　必要不充分　条件；
(3) 由“若p q，则A=B”，知p是q的　充要　条件；
(4) 由“若pq且qp”，知p是q的　既不充分又不必要　条件．
3．全称量词命题与存在量词命题
(1) “ x∈M，p(x)”的否定是“ x∈M， p(x)”；
(2) “ x∈M，p(x)”的否定是“ x∈M， p(x)”；
(3) 命题的否定与原命题真假性相反．
举题固法
集合的运算
例 1　(1) (2025·广州二模)设集合A={0，1，2，3}，B={x|2x＜7}，则A∩B中元素个数为(　B　)
A．4 B．3
C．2 D．1
【解析】 由2x＜7，可得x＜log27＜log28=3，所以A∩B={0，1，2}．故A∩B中元素个数为3.
(2025·苏北七市二调)设集合U=R，M={x|x＞1}，N={x|－1＜x＜2}，则{x|x≤－1}=
(　B　)
A． U(M∩N) B． U(M∪N)
C．M∪( UN) D．N∪( UM)
【解析】 依题意，M∩N={x|1＜x＜2}，M∪N={x|x＞－1}，所以 U(M∩N)={x|x≤1或x≥2}，A错误； U(M∪N)={x|x≤－1}，B正确； UN={x|x≤－1或x≥2}，M∪( UN)={x|x≤－1或x＞1}，C错误； UM={x|x≤1}，N∪( UM)={x|x＜2}，D错误．
解决集合运算问题的三个技巧
看元素构成 集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键
对集合化简 有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决
数形结合 离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；连续型数集的运算，常借助数轴求解
变式 1　(1) (2024·全国甲卷)已知集合A=，B=，则
A(A∩B)=(　D　)
A． B．
C． D．
【解析】 B={x|∈A}={1，4，9，16，25，81}，所以A∩B={1，4，9}， A(A∩B)={2，3，5}．
(2) 若集合A={x|2x＞8，x∈N*}，B={x|x2－7x－8＜0}，则A∩B的真子集的个数为(　B　)
A．14 B．15
C．16 D．31
【解析】 由2x＞8，得x＞3，则A={x|x＞3，x∈N*}；由x2－7x－8＜0，得－1＜x＜8，则B={x|－1＜x＜8}，所以A∩B={4，5，6，7}，故A∩B的真子集个数为24－1=15.
(3) (2025·广州一模)已知集合A={x|0≤x≤a}，B={x|x2－2x≤0}，若B A，则实数a的取值范围是(　D　)
A．(0，2) B．(0，2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
【解析】 B={x|x2－2x≤0}={x|0≤x≤2}，因为B A，所以a≥2，所以实数a的取值范围是[2，＋∞)．
充分、必要条件
例 2　(1) (2025·苏锡常镇一模)“＞＞0”是“2a＞2b”的(　D　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【解析】 由＞＞0可得0＜a＜b．由2a＞2b可得a＞b．所以由＞＞0推不出2a＞2b，即充分性不成立；由2a＞2b也推不出＞＞0，即必要性不成立．所以“＞＞0”是“2a＞2b”的既不充分又不必要条件．
(2) 使得不等式x2－ax＋1＞0对 x∈R恒成立的一个充分不必要条件是(　A　)
A．0＜a＜2 B．0＜a≤2
C．a＜2 D．a＞－2
【解析】 由不等式x2－ax＋1＞0对 x∈R恒成立，得Δ＜0，即(－a)2－4＜0，解得
－2＜a＜2.从选项可知0＜a＜2是－2＜a＜2的充分不必要条件．
(3) 设p：log2(x－1)＜m；q：＞1.若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是(　A　)
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1]
【解析】 因为p：log2(x－1)＜m，所以0＜x－1＜2m，即1＜x＜2m＋1.因为q：＞1，所以0＜x＜2.若p是q的充分不必要条件，则2m＋1≤2，解得m≤0.
1．充分、必要条件的两种常用判断方法
2．由充分、必要条件求参数范围的策略
巧用转化求参数 把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解，注意条件的等价变形
端点值慎取舍 在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍
变式 2　(1) (2025·南昌一模)设p：0＜a＜1；q：关于x的方程sin x＋cos x=a有实数解，则p是q的(　A　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【解析】 对于q，因为sin x＋cos x=2sin∈[－2，2]，所以－2≤a≤2.又p：0＜a＜1，所以由p可以推出q，由q不可以推出p，所以p是q的充分不必要条件．
(2) (2025·秦皇岛一模)已知λ＞0，集合A={x|x2－5x－6＜0}，B={x|(x－λ)(x－2λ)＜0}，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则λ的取值范围为(　B　)
A．(0，3) B．(0，3]
C．(0，2) D．(0，2]
【解析】 A={x|x2－5x－6＜0}={x|－1＜x＜6}，B={x|(x－λ)(x－2λ)＜0}={x|λ＜x＜2λ}．因为x∈A是x∈B的必要不充分条件，所以B是A的真子集，可得且等号不同时成立，结合λ＞0，解得0＜λ≤3，所以λ的取值范围为(0，3]．
全称量词与存在量词
例 3　(1) (2025·唐山一模)已知命题p： x∈R，x2＞0；命题q： x＞0，ln x＜0，则(　B　)
A．p和q都是真命题 B．p是假命题，q是真命题
C．p是真命题，q是假命题 D．p和q都是假命题
【解析】 当x=0时，x2=0，故命题p是假命题．当x=时，ln=－1＜0，故命题q是真命题．
(2) (2025·上饶二模)命题“ x≥2，x2≥4”的否定为(　D　)
A． x≤2，x2≥4 B． x0＜2，＜4
C． x≥2，x2＜4 D． x0≥2，＜4
【解析】 因为“ x≥2，x2≥4”是全称量词命题，所以其否定为存在量词命题，即
x0≥2，＜4.
(3) 若命题“ x∈R，x2＋2ax＋2－a=0”是假命题，则实数a的取值范围是　(－2，1)　．
【解析】 命题“ x∈R，x2＋2ax＋2－a≠0”是真命题，则有Δ=4a2－4(2－a)＜0，即a2＋a－2＜0，解得－2＜a＜1.
由命题真假求参数范围的本质是恒成立问题或有解问题，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即p与 p的关系，转化成 p的真假求参数的范围．
变式 3　(1) (2025·许昌二模)已知命题p： x∈R，＜1；命题q： x＞0，x3＜x2，则(　A　)
A．p和q都是真命题 B． p和q都是真命题
C．p和 q都是真命题 D． p和 q都是真命题
【解析】 当x≤0时，≤0＜1，当x＞0时，=＜1，所以命题p是真命题．当x=时，x3=＜x2=，所以命题q是真命题．
(2) 若命题“ x∈[1，4]，x2－4x－m≠0”是假命题，则实数m的取值范围是(　D　)
A．[－4，－3]　 B．(－∞，－4)
C．[－4，＋∞)　 D．[－4，0]
【解析】 若“ x∈[1，4]，x2－4x－m≠0”是假命题，则“ x∈[1，4]，x2－4x－m=0”是真命题，即m=x2－4x，x∈[1，4]．设y=x2－4x=(x－2)2－4，因为y=x2－4x在[1，2)上单调递减，在(2，4]上单调递增，所以当x=2时，ymin=－4；当x=4时，ymax=0，故当1≤x≤4时，－4≤y≤0，则－4≤m≤0.
配套热练
1．(2025·漳州二模)命题“ x＞0，x＋1≤ex”的否定是(　D　)
A． x≤0，x＋1≤ex B． x≤0，x＋1＞ex
C． x＞0，x＋1≤ex D． x＞0，x＋1＞ex
2．(2025·深圳一模)若集合M={x|＜2}，N={－2，－1，0，1，2}，则M∩N=(　C　)
A．{0，1} B．{1，2}
C．{0，1，2} D．{－1，0，1，2}
【解析】 因为＜2，所以0≤x＜4，所以M={x|0≤x＜4}，又N={－2，－1，0，1，2}，所以M∩N={0，1，2}．
3．(2025·汕尾、肇庆二模)已知集合A=，B={x∈Z||x－1|≤1}，则A∩B=(　D　)
A．{－2，－1，0，1} B．{－1，0，1}
C．{0，1} D．{0，1，2}
【解析】 A={x∈Z|－2＜x≤2}={－1，0，1，2}，B={x∈Z|0≤x≤2}={0，1，2}，则
A∩B={0，1，2}．
4．(2025·南京、盐城一模)设集合A={x|x2－4≤0}，B={x|x＋a≤0}．若A B，则实数a的取值范围是(　D　)
A．(－∞，2) B．(－∞，2]
C．(－∞，－2) D．(－∞，－2]
【解析】 由x2－4≤0可得A=[－2，2]，由x＋a≤0可得B=(－∞，－a]，又A B，所以2≤－a，即a≤－2.
(2025·东莞、揭阳、韶关期末)已知集合A={－1，0，2，3，4}，B={x|2x＜9}，则
A(A∩B)=(　B　)
A．{－1} B．{4}
C．{－1，0，2，3} D．{0，2，3，4}
【解析】 因为B={x|2x＜9}={x|x＜log29}，且3=log28＜log29＜log216=4，A={－1，0，2，3，4}，所以A∩B={－1，0，2，3}，因此 A(A∩B)={4}．
6．(2023·天津卷)已知a，b∈R，则“a2=b2”是“a2＋b2=2ab”的(　B　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
7．(2021·全国乙卷)已知集合S={s|s=2n＋1，n∈Z}，T={t|t=4n＋1，n∈Z}，则S∩T=(　C　)
A． B．S
C．T D．Z
【解析】 任取t∈T，则t=4n＋1=2·(2n)＋1，其中n∈Z，所以t∈S，故T S，因此，
S∩T=T．
8．(2025·开封二模)设a，b∈R，则a＜b的一个充分不必要条件是(　D　)
A．＞ B．a2＋b2＞2ab
C．eb－a＞1 D．ln(b－a)＞0
【解析】 对于A，当a=1，b=－1时，满足＞，但是不符合a＜b，故＞不是a＜b的充分条件，故A错误；对于B，a2＋b2＞2ab，即(a－b)2＞0，即a≠b，所以a2＋b2＞2ab是a＜b的必要不充分条件，故B错误；对于C，eb－a＞1=e0，即b＞a，故eb－a＞1是a＜b的充要条件，故C错误；对于D，ln(b－a)＞0，即b－a＞1，b＞a＋1，故ln(b－a)＞0是a＜b的一个充分不必要条件，故D正确．
9．(2025·长沙期末)已知命题p： x∈R，a=e|x|为假命题，则实数a的取值范围为(　D　)
A．(1，＋∞) B．(－∞，0]
C．(0，1) D．(－∞，1)
【解析】 由题意知 p： x∈R，a≠e|x|是真命题．令f(x)=e|x|=则f(x)≥f(0)=1，作出函数f(x)=e|x|的图象如图所示，若a≠e|x|，则直线y=a与函数f(x)=e|x|的图象没有公共点，数形结合可知a＜1，所以实数a的取值范围为(－∞，1)．
10．若“1＋≤0”是“(x－a)2＜4”的一个充分不必要条件，则实数a的取值范围为(　D　)
A．(－∞，4] B．[1，4]
C．(1，4) D．(1，4]
【解析】 由1＋≤0，得2＜x≤3.由(x－a)2＜4，得a－2＜x＜a＋2.由“1＋≤0”是“(x－a)2＜4”的一个充分不必要条件，则解得1＜a≤4.
11．(多选)已知f(x)=x2＋x＋m，下列结论正确的是(　BCD　)
A．命题“ x＞0，f(x)＞0”的否定是“ x≤0，使得f(x)≤0成立”
B．若命题“ x∈R，f(x)＞0恒成立”为真命题，则m＞
C．“m＜0”是“方程f(x)=0有实数解”的充分不必要条件
D．若命题“ x∈(－1，1)，f(x)＞0”为真命题，则m＞－2
【解析】 对于A，命题“ x＞0，f(x)＞0”的否定是“ x＞0，使得f(x)≤0成立”，故A错误；对于B，若命题“ x∈R，f(x)＞0恒成立”为真命题，注意到f(x)=x2＋x＋m的图象开口向上，则Δ=1－4m＜0，解得m＞，故B正确；对于C，若m＜0，则Δ=1－4m＞1＞0，可知方程f(x)=0有实数解，即充分性成立；取m=0，方程f(x)=x2＋x=0有实数解－1，0，不满足m＜0，即必要性不成立，所以“m＜0”是“方程f(x)=0有实数解”的充分不必要条件，故C正确；对于D，若命题“ x∈(－1，1)，f(x)＞0”为真命题，则当x∈(－1，1)时，f(x)max=f(1)=1＋1＋m＞0，解得m＞－2，故D正确．
12．(2025·萍乡二模)(多选)已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A U，B U，且满足A∩B={3，5}，( UA)∩( UB)={2，4}，则下列说法正确的为(　BCD　)
A．4∈A B．6∈A∪B
C．集合A可能是{1，3，5，6} D．( UA)∪( UB)={1，2，4，6}
【解析】 因为( UA)∩( UB)={2，4}，所以A∪B={1，3，5，6}．对于A，因为A∪B={1，3，5，6}，且4 A∪B，所以4 A，故A错误；对于B，因为A∪B={1，3，5，6}，所以6∈A∪B，故B正确；对于C，由A∩B={3，5}，若A={1，3，5，6}，当B={3，5}时，则( UA)∩( UB)={2，4}，满足条件，故C正确；对于D，因为( UA)∩( UB)={2，4}，A∩B={3，5}，所以( UA)∪( UB)= U(A∩B)={1，2，4，6}，故D正确．
(多选)某校田径运动会上，共有12名同学参加100米、400米、1 500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1 500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1 500米”都参加的有3人，“400米和
1 500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是(　ABD　)
A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人
C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1 500米比赛的有1人
【解析】 根据题意，设A={x|x是参加100米的同学}，B={x|x是参加400米的同学}，C={x|x是参加1 500米的同学}，则card(A)=8，card(B)=7，card(C)=5，且card(A∩B)=4，card(A∩C)=3，card(B∩C)=3，则card(A∩B∩C)=12－[(8＋7＋5)－(4＋3＋3)]=2，所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人，只参加400米比赛的有2人，只参加1 500米比赛的有1人．
14．已知集合A=，B={x|log2x≥a}，若B RA，则实数a的取值范围是　[1，＋∞)　．
【解析】 由≤0，得－2≤x＜2，所以A={x|－2≤x＜2}，则 RA={x|x＜－2或x≥2}．由log2x≥a，得x≥2a，又B RA，所以2a≥2，解得a≥1.
15．若集合A={x|2a－1＜x＜2a＋1}，B={x|x＜－3或x＞1}，且A是B的充分不必要条件，则实数a的取值范围为　(－∞，－2]∪[1，＋∞)　．
【解析】 因为A是B的充分不必要条件，所以A B．又A={x|2a－1＜x＜2a＋1}，B={x|x＜－3或x＞1}，因此2a＋1≤－3或2a－1≥1，解得a≤－2或a≥1，所以实数a的取值范围是(－∞，－2]∪[1，＋∞)．
16．“ x∈R，(a2－4)x2＋(a＋2)x＋1≥0”为真命题，请写出一个满足条件的实数a的值：　5　．
【解析】 若a2－4=0，则a=±2.当a=2时，不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x＋1≥0可化为4x＋1≥0，解得x≥－，此时不等式的解集为，不合题意；当a=－2时，不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x＋1≥0可化为1≥0，此时不等式的解集为R，符合题意．若a2－4≠0，由不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x＋1≥0的解集为R，可得即解得a≥或a＜－2.综上可知，实数a的取值范围是，所以一个满足条件的实数a的值可以为5.(共51张PPT)
专题一
复习性价比最高的几个问题
第1讲　集合与常用逻辑用语
基础回归
1．(2025·新高考Ⅰ卷)设全集U={x|x是小于9的正整数}，集合A={1，3，5}，则 UA中元素个数为 (　　)
A．0 B．3
C．5 D．8
【解析】
C
因为U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，3，5}，所以 UA={2，4，6，7，8}， UA中的元素个数为5.
2．(2024·新高考Ⅰ卷)已知集合A={x|－5＜x3＜5}，B={－3，－1，0，2，3}，则
A ∩B= (　　)
A．{－1，0} B．{2，3}
C．{－3，－1，0} D．{－1，0，2}
【解析】
A
3．(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p： x∈R，|x＋1|＞1；命题q： x＞0，x3=x，则
(　　)　
A．p和q都是真命题 B． p和q都是真命题　
C．p和 q都是真命题 D． p和 q都是真命题　
【解析】
B
对于p，取x=－1，则有|x＋1|=0＜1，故p是假命题， p是真命题；
对于q，取x=1，则有x3=x=1，故q是真命题， q是假命题．
综上， p和q都是真命题．
4．(2020·新高考Ⅰ卷)已知a∈R，若集合M={1，a}，N={－1，0，1}，则“a=0”是“M N”的 (　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
A
5．命题“ x∈(1，2)，log2x－a＜0”为真命题的一个充分不必要条件是 (　　)
A．a≥0 B．a≥2
C．a≥1 D．a≤4
【解析】
B
若命题是真命题，则a＞log2x在(1，2)上恒成立．当x∈(1，2)时，0＜log2x＜1，则a≥1.结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是a≥2.
【解析】
2
由A∪B=A，得B A．
当a=1时，a=a2，不满足元素的互异性，舍去；
当a=2时，B={2，4}，满足B A，符合题意；
当a=4时，B={4，16}，不满足B A，舍去．
综上，a=2.
1．集合
(1) 常见数集的记法：
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N＋或N* Z Q R
(2) 集合的有关性质：
①集合的传递性：A B，B C A C．
②集合的子集个数：若集合A中有n个元素，则A的子集有_____个，真子集有______个，非空真子集有_______个．
③等价关系：A B A∩B=A A∪B=B UA UB(U为全集)．
2n
2n－1
2n－2
2．充分条件与必要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即p：A={x|p(x)}，q：B={x|q(x)}，则
(1) 由“若p q且q　p，则A B”，知p是q的______________条件；
(2) 由“若p　q且q p，则B A”，知p是q的______________条件；
(3) 由“若p q，则A=B”，知p是q的________条件；
(4) 由“若p　q且q　p”，知p是q的____________________条件．
充分不必要
必要不充分
充要
既不充分又不必要
3． 全称量词命题与存在量词命题
(1) “ x∈M，p(x)”的否定是“ x∈M， p(x)”；
(2) “ x∈M，p(x)”的否定是“ x∈M， p(x)”；
(3) 命题的否定与原命题真假性相反．
举题固法
集合的运算
目标
1
【解析】
1
(1) (2025·广州二模)设集合A={0，1，2，3}，B={x|2x＜7}，则A∩B中元素个数为 (　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
B
由2x＜7，可得x＜log27＜log28=3，所以A∩B={0，1，2}．故A∩B中元素个数为3.
(2) (2025·苏北七市二调)设集合U=R，M={x|x＞1}，N={x|－1＜x＜2}，则{x|x≤－1}= (　　)
A． U(M∩N) B． U(M∪N)
C．M∪( UN) D．N∪( UM)
【解析】
B
依题意，M∩N={x|1＜x＜2}，M∪N={x|x＞－1}，所以 U(M∩N)={x|x≤1或x≥2}，A错误；
U(M∪N)={x|x≤－1}，B正确；
UN={x|x≤－1或x≥2}，M∪( UN)={x|x≤－1或x＞1}，C错误；
UM={x|x≤1}，N∪( UM)={x|x＜2}，D错误．
解决集合运算问题的三个技巧
看元素构成 集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键
对集合化简 有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决
数形结合 离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；连续型数集的运算，常借助数轴求解
【解析】
变式1　
D
【解析】
(2) 若集合A={x|2x＞8，x∈N*}，B={x|x2－7x－8＜0}，则A∩B的真子集的个数为
(　　)
A．14 B．15
C．16 D．31
B
由2x＞8，得x＞3，则A={x|x＞3，x∈N*}；
由x2－7x－8＜0，得－1＜x＜8，则B={x|－1＜x＜8}，
所以A∩B={4，5，6，7}，故A∩B的真子集个数为24－1=15.
【解析】
(3) (2025·广州一模)已知集合A={x|0≤x≤a}，B={x|x2－2x≤0}，若B A，则实数a的取值范围是 (　　)
A．(0，2) B．(0，2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
D
B={x|x2－2x≤0}={x|0≤x≤2}，因为B A，所以a≥2，所以实数a的取值范围是[2，＋∞)．
充分、必要条件
目标
2
【解析】
2
D
(2) 使得不等式x2－ax＋1＞0对 x∈R恒成立的一个充分不必要条件是 (　　)
A．0＜a＜2 B．0＜a≤2
C．a＜2 D．a＞－2
【解析】
A
由不等式x2－ax＋1＞0对 x∈R恒成立，得Δ＜0，即(－a)2－4＜0，解得－2＜a＜2.从选项可知0＜a＜2是－2＜a＜2的充分不必要条件．
【解析】
A
1．充分、必要条件的两种常用判断方法
2．由充分、必要条件求参数范围的策略
巧用转化求参数 把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解，注意条件的等价变形
端点值慎取舍 在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍
【解析】
变式2　
A
(2) (2025·秦皇岛一模)已知λ＞0，集合A={x|x2－5x－6＜0}，B={x|(x－λ)(x－2λ)＜0}，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则λ的取值范围为 (　　)
A．(0，3) B．(0，3]
C．(0，2) D．(0，2]
【解析】
B
全称量词与存在量词
目标
3
【解析】
3
(1) (2025·唐山一模)已知命题p： x∈R，x2＞0；命题q： x＞0，ln x＜0，则 (　　)
A．p和q都是真命题 B．p是假命题，q是真命题
C．p是真命题，q是假命题 D．p和q都是假命题
B
【解析】
D
(3) 若命题“ x∈R，x2＋2ax＋2－a=0”是假命题，则实数a的取值范围是________.
【解析】
(－2，1)
命题“ x∈R，x2＋2ax＋2－a≠0”是真命题，则有Δ=4a2－4(2－a)＜0，即a2＋a－2＜0，解得－2＜a＜1.
由命题真假求参数范围的本质是恒成立问题或有解问题，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即p与 p的关系，转化成 p的真假求参数的范围．
【解析】
变式3　
A
(2) 若命题“ x∈[1，4]，x2－4x－m≠0”是假命题，则实数m的取值范围是(　　)
A．[－4，－3]　 B．(－∞，－4)
C．[－4，＋∞)　 D．[－4，0]
【解析】
D
若“ x∈[1，4]，x2－4x－m≠0”是假命题，则“ x∈[1，4]，x2－4x－m= 0”是真命题，即m=x2－4x，x∈[1，4]．
设y=x2－4x=(x－2)2－4，因为y=x2－4x在[1，2)上单调递减，在(2，4]上单调递增，所以当x=2时，ymin=－4；当x=4时，ymax=0，故当1≤x≤4时，－4≤y≤0，则－4≤m≤ 0.
热练
1．(2025·漳州二模)命题“ x＞0，x＋1≤ex”的否定是 (　　)
A． x≤0，x＋1≤ex
B． x≤0，x＋1＞ex
C． x＞0，x＋1≤ex
D． x＞0，x＋1＞ex
D
【解析】
C
【解析】
D
A={x∈Z|－2＜x≤2}={－1，0，1，2}，B={x∈Z|0≤x≤2}={0，1，2}，则A∩B={0，1，2}．
4．(2025·南京、盐城一模)设集合A={x|x2－4≤0}，B={x|x＋a≤0}．若A B，则实数a的取值范围是 (　　)
A．(－∞，2) B．(－∞，2]
C．(－∞，－2) D．(－∞，－2]
【解析】
D
由x2－4≤0可得A=[－2，2]，由x＋a≤0可得B=(－∞，－a]，又A B，所以2≤－a，即a≤－2.
5．(2025·东莞、揭阳、韶关期末)已知集合A={－1，0，2，3，4}，B={x|2x＜9}，则 A(A∩B)= (　　)
A．{－1} B．{4}
C．{－1，0，2，3} D．{0，2，3，4}
【解析】
B
因为B={x|2x＜9}={x|x＜log29}，且3=log28＜log29＜log216=4，A={－1，0，2，3，4}，所以A∩B={－1，0，2，3}，因此 A(A∩B)={4}．
6．(2023·天津卷)已知a，b∈R，则“a2=b2”是“a2＋b2=2ab”的 (　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
B
7．(2021·全国乙卷)已知集合S={s|s=2n＋1，n∈Z}，T={t|t=4n＋1，n∈Z}，则S∩T = (　　)
A． B．S
C．T D．Z
【解析】
C
任取t∈T，则t=4n＋1=2·(2n)＋1，其中n∈Z，所以t∈S，故T S，因此，S∩ T=T．
【解析】
D
9．(2025·长沙期末)已知命题p： x∈R，a=e|x|为假命题，则实数a的取值范围为 (　　)
A．(1，＋∞) B．(－∞，0]
C．(0，1) D．(－∞，1)
【解析】
D
【解析】
D
【解析】
【答案】BCD
12．(2025·萍乡二模)(多选)已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A U，B U，且满足A∩B={3，5}，( UA)∩( UB)={2，4}，则下列说法正确的为 (　　)
A．4∈A
B．6∈A∪B
C．集合A可能是{1，3，5，6}
D．( UA)∪( UB)={1，2，4，6}
【解析】
【答案】BCD
因为( UA)∩( UB)={2，4}，所以A∪B={1，3，5，6}．
对于A，因为A∪B={1，3，5，6}，且4 A∪B，所以4 A，故A错误；
对于B，因为A∪B={1，3，5，6}，所以6∈A∪B，故B正确；
对于C，由A∩B={3，5}，若A={1，3，5，6}，当B={3，5}时，则( UA)∩( UB)={2，4}，满足条件，故C正确；
对于D，因为( UA)∩( UB)={2，4}，A∩B={3，5}，所以( UA)∪( UB)= U(A∩B)={1，2，4，6}，故D正确．
13．(多选)某校田径运动会上，共有12名同学参加100米、400米、1 500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1 500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1 500米”都参加的有3人，“400米和1 500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是 (　　)
A．三项比赛都参加的有2人
B．只参加100米比赛的有3人
C．只参加400米比赛的有3人
D．只参加1 500米比赛的有1人
【解析】
【答案】ABD
根据题意，设A={x|x是参加100米的同学}，B={x|x是参加400米的同学}，C={x|x是参加1 500米的同学}，
则card(A)=8，card(B)=7，card(C)=5，且card(A∩B)=4，card(A∩C)=3，card(B∩C)=3，则card(A∩B∩C)=12－[(8＋7＋5)－(4＋3＋3)]=2，
所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人，只参加400米比赛的有2人，只参加1 500米比赛的有1人．
【解析】
[1，＋∞)
15．若集合A={x|2a－1＜x＜2a＋1}，B={x|x＜－3或x＞1}，且A是B的充分不必要条件，则实数a的取值范围为____________________________．
【解析】
(－∞，－2]∪[1，＋∞)
因为A是B的充分不必要条件，所以A B．
又A={x|2a－1＜x＜2a＋1}，B={x|x＜－3或x＞1}，因此2a＋1≤－3或2a－1≥1，解得a≤－2或a≥1，所以实数a的取值范围是(－∞，－2]∪[1，＋∞)．
16．“ x∈R，(a2－4)x2＋(a＋2)x＋1≥0”为真命题，请写出一个满足条件的实数a的值：________________.
【解析】第1讲　集合与常用逻辑用语
基础回归
经典回眸
1．(2025·新高考Ⅰ卷)设全集U={x|x是小于9的正整数}，集合A={1，3，5}，则 UA中元素个数为(　 　)
A．0 B．3
C．5 D．8
2．(2024·新高考Ⅰ卷)已知集合A={x|－5＜x3＜5}，B={－3，－1，0，2，3}，则A∩B=(　 　)
A．{－1，0} B．{2，3}
C．{－3，－1，0} D．{－1，0，2}
3．(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p： x∈R，|x＋1|＞1；命题q： x＞0，x3=x，则(　 　)
A．p和q都是真命题 B． p和q都是真命题
C．p和 q都是真命题 D． p和 q都是真命题
4．(2020·新高考Ⅰ卷)已知a∈R，若集合M={1，a}，N={－1，0，1}，则“a=0”是“M N”的(　 　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．命题“ x∈(1，2)，log2x－a＜0”为真命题的一个充分不必要条件是(　 　)
A．a≥0 B．a≥2
C．a≥1 D．a≤4
6．已知集合A=，B={a，a2}，若A∪B=A，则a=　 　．
要点梳理
1．集合
(1) 常见数集的记法：
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N＋或N* Z Q R
(2) 集合的有关性质：
①集合的传递性：A B，B C A C．
②集合的子集个数：若集合A中有n个元素，则A的子集有　 　个，真子集有
　 　个，非空真子集有　 　个．
③等价关系：A B A∩B=A A∪B=B UA UB(U为全集)．
2．充分条件与必要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即p：A={x|p(x)}，q：B={x|q(x)}，则
(1) 由“若p q且qp，则A B”，知p是q的　 　条件；
(2) 由“若pq且q p，则B A”，知p是q的　 　条件；
(3) 由“若p q，则A=B”，知p是q的　 　条件；
(4) 由“若pq且qp”，知p是q的　 　条件．
3．全称量词命题与存在量词命题
(1) “ x∈M，p(x)”的否定是“ x∈M， p(x)”；
(2) “ x∈M，p(x)”的否定是“ x∈M， p(x)”；
(3) 命题的否定与原命题真假性相反．
举题固法
集合的运算
例 1　(1) (2025·广州二模)设集合A={0，1，2，3}，B={x|2x＜7}，则A∩B中元素个数为(　 　)
A．4 B．3
C．2 D．1
(2025·苏北七市二调)设集合U=R，M={x|x＞1}，N={x|－1＜x＜2}，则{x|x≤－1}=
(　 　)
A． U(M∩N) B． U(M∪N)
C．M∪( UN) D．N∪( UM)
解决集合运算问题的三个技巧
看元素构成 集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键
对集合化简 有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决
数形结合 离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；连续型数集的运算，常借助数轴求解
变式 1　(1) (2024·全国甲卷)已知集合A=，B=，则
A(A∩B)=(　 　)
A． B．
C． D．
(2) 若集合A={x|2x＞8，x∈N*}，B={x|x2－7x－8＜0}，则A∩B的真子集的个数为(　 　)
A．14 B．15
C．16 D．31
(3) (2025·广州一模)已知集合A={x|0≤x≤a}，B={x|x2－2x≤0}，若B A，则实数a的取值范围是(　 　)
A．(0，2) B．(0，2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
充分、必要条件
例 2　(1) (2025·苏锡常镇一模)“＞＞0”是“2a＞2b”的(　 　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
(2) 使得不等式x2－ax＋1＞0对 x∈R恒成立的一个充分不必要条件是(　 　)
A．0＜a＜2 B．0＜a≤2
C．a＜2 D．a＞－2
(3) 设p：log2(x－1)＜m；q：＞1.若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是(　 　)
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1]
1．充分、必要条件的两种常用判断方法
2．由充分、必要条件求参数范围的策略
巧用转化求参数 把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解，注意条件的等价变形
端点值慎取舍 在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍
变式 2　(1) (2025·南昌一模)设p：0＜a＜1；q：关于x的方程sin x＋cos x=a有实数解，则p是q的(　 　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
(2) (2025·秦皇岛一模)已知λ＞0，集合A={x|x2－5x－6＜0}，B={x|(x－λ)(x－2λ)＜0}，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则λ的取值范围为(　 　)
A．(0，3) B．(0，3]
C．(0，2) D．(0，2]
全称量词与存在量词
例 3　(1) (2025·唐山一模)已知命题p： x∈R，x2＞0；命题q： x＞0，ln x＜0，则(　 　)
A．p和q都是真命题 B．p是假命题，q是真命题
C．p是真命题，q是假命题 D．p和q都是假命题
(2) (2025·上饶二模)命题“ x≥2，x2≥4”的否定为(　 　)
A． x≤2，x2≥4 B． x0＜2，＜4
C． x≥2，x2＜4 D． x0≥2，＜4
(3) 若命题“ x∈R，x2＋2ax＋2－a=0”是假命题，则实数a的取值范围是　 　．
由命题真假求参数范围的本质是恒成立问题或有解问题，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即p与 p的关系，转化成 p的真假求参数的范围．
变式 3　(1) (2025·许昌二模)已知命题p： x∈R，＜1；命题q： x＞0，x3＜x2，则(　 　)
A．p和q都是真命题 B． p和q都是真命题
C．p和 q都是真命题 D． p和 q都是真命题
(2) 若命题“ x∈[1，4]，x2－4x－m≠0”是假命题，则实数m的取值范围是(　 　)
A．[－4，－3]　 B．(－∞，－4)
C．[－4，＋∞)　 D．[－4，0]
配套热练
1．(2025·漳州二模)命题“ x＞0，x＋1≤ex”的否定是(　 　)
A． x≤0，x＋1≤ex B． x≤0，x＋1＞ex
C． x＞0，x＋1≤ex D． x＞0，x＋1＞ex
2．(2025·深圳一模)若集合M={x|＜2}，N={－2，－1，0，1，2}，则M∩N=(　 　)
A．{0，1} B．{1，2}
C．{0，1，2} D．{－1，0，1，2}
3．(2025·汕尾、肇庆二模)已知集合A=，B={x∈Z||x－1|≤1}，则A∩B=(　 　)
A．{－2，－1，0，1} B．{－1，0，1}
C．{0，1} D．{0，1，2}
4．(2025·南京、盐城一模)设集合A={x|x2－4≤0}，B={x|x＋a≤0}．若A B，则实数a的取值范围是(　 　)
A．(－∞，2) B．(－∞，2]
C．(－∞，－2) D．(－∞，－2]
(2025·东莞、揭阳、韶关期末)已知集合A={－1，0，2，3，4}，B={x|2x＜9}，则
A(A∩B)=(　 　)
A．{－1} B．{4}
C．{－1，0，2，3} D．{0，2，3，4}
6．(2023·天津卷)已知a，b∈R，则“a2=b2”是“a2＋b2=2ab”的(　 　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
7．(2021·全国乙卷)已知集合S={s|s=2n＋1，n∈Z}，T={t|t=4n＋1，n∈Z}，则S∩T=(　 　)
A． B．S
C．T D．Z
8．(2025·开封二模)设a，b∈R，则a＜b的一个充分不必要条件是(　 　)
A．＞ B．a2＋b2＞2ab
C．eb－a＞1 D．ln(b－a)＞0
9．(2025·长沙期末)已知命题p： x∈R，a=e|x|为假命题，则实数a的取值范围为(　 　)
A．(1，＋∞) B．(－∞，0]
C．(0，1) D．(－∞，1)
10．若“1＋≤0”是“(x－a)2＜4”的一个充分不必要条件，则实数a的取值范围为(　 　)
A．(－∞，4] B．[1，4]
C．(1，4) D．(1，4]
11．(多选)已知f(x)=x2＋x＋m，下列结论正确的是(　 　)
A．命题“ x＞0，f(x)＞0”的否定是“ x≤0，使得f(x)≤0成立”
B．若命题“ x∈R，f(x)＞0恒成立”为真命题，则m＞
C．“m＜0”是“方程f(x)=0有实数解”的充分不必要条件
D．若命题“ x∈(－1，1)，f(x)＞0”为真命题，则m＞－2
12．(2025·萍乡二模)(多选)已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A U，B U，且满足A∩B={3，5}，( UA)∩( UB)={2，4}，则下列说法正确的为(　 　)
A．4∈A B．6∈A∪B
集合A可能是{1，3，5，6} D．( UA)∪( UB)={1，2，4，6}
(多选)某校田径运动会上，共有12名同学参加100米、400米、1 500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1 500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1 500米”都参加的有3人，“400米和
1 500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是(　 　)
A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人
C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1 500米比赛的有1人
14．已知集合A=，B={x|log2x≥a}，若B RA，则实数a的取值范围是　 　．
15．若集合A={x|2a－1＜x＜2a＋1}，B={x|x＜－3或x＞1}，且A是B的充分不必要条件，则实数a的取值范围为　 　．
16．“ x∈R，(a2－4)x2＋(a＋2)x＋1≥0”为真命题，请写出一个满足条件的实数a的值：　 　．

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