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第5讲　二项式定理
基础回归
经典回眸
1．(人A 选必三P34习题T1(1))在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是(　D　)
A．74 B．121
C．－74 D．－121
【解析】 在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8中，含x3的项为(＋＋＋)(－x)3，所以含x3的项的系数是－(＋＋＋)=－(10＋20＋35＋56)=－121.
2．(2022·北京卷)若(2x－1)4=a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4=(　B　)
A．40 B．41
C．－40 D．－41
【解析】 令x=1，得a4＋a3＋a2＋a1＋a0=1；令x=－1，得a4－a3＋a2－a1＋a0=(－3)4=81，从而a4＋a2＋a0==41.
3．若二项式的展开式中所有项的系数和为243，则展开式中含项的二项式系数为(　C　)
A．－10 B．－5
C．5 D．10
【解析】 由展开式所有项的系数和为243，可令x=1，得3n=243，解得n=5，所以展开式的通项为Tr＋1=(4)5－r·r=(－1)r45－r．令=，得r=1，所以含项的二项式系数为=5.
4．(人A 选必三P34习题T2)在(x＋y)(x－y)5的展开式中，x3y3的系数是　0　．
【解析】 (x＋y)(x－y)5＝x(x－y)5＋y(x－y)5，x(x－y)5的展开式通项为Ar＋1＝·x5-r·
(－y)r＝·(－1)rx6-r·yr，y(x－y)5的展开式通项为Bk＋1＝·x5-k·(－y)k＝·(－1)k·x5-k·yk+1，令6－r＝5－k＝3，得r＝3，k＝2，因此，x3y3的系数为＝0.
5．(人A 选必三P38T5(5))(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为　30　．
【解析】 因为(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，所以其展开式的通项为Tr＋1＝(x2＋x)5-r·yr，0≤r≤5，r∈N.令r＝2，得(x2＋x)3的通项为(x2)3-m·xm＝x6-m，0≤m≤3，m∈N.再令6－m＝5，得m＝1，所以(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为＝10×3＝30，即(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为30.
6．(2024·全国甲卷)在10的展开式中，各项系数的最大值是　5　．
【解析】 展开式的通项为Tr＋1=10－rxr，0≤r≤10且r∈N．设展开式中第r＋1项系数最大，则即解得≤r≤．又r∈N，所以r=8.故展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为2=5.
要点梳理
1．(1) 二项式定理：(a＋b)n=an＋an－1b＋…＋an－rbr＋…＋bn(n∈N*)；
(2) 二项展开式的通项为Tr＋1=an－rbr，它表示第r＋1项．
2．二项式系数的性质
(1) =1，=1，=(0≤m≤n)．
(2) 各二项式系数和：＋＋＋…＋=　2n　；＋＋＋…=＋＋＋…=　2n－1　．
举题固法
展开式中的特定项
例 1　(1) (2024·北京卷)在(x－)4的展开式中，x3的系数为(　A　)
A．6 B．－6
C．12 D．－12
【解析】 (x－)4展开式的通项为Tr＋1=x4－r·(－)r=(－1)r (r=0，1，2，3，4)．令4－=3，解得r=2，故x3的系数为(－1)2=6.
(2) (2020·全国Ⅰ卷)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　C　)
A．5 B．10
C．15 D．20
【解析】(x＋y)5展开式的通项为Tr＋1=x5－ryr(r∈N且r≤5)，所以的各项与(x＋y)5展开式的通项的乘积可表示为xTr＋1=xx5－ryr=x6－ryr和Tr＋1=x5－ryr=x4－ryr＋2．
在xTr＋1=x6－ryr中，令r=3，可得xT4=x3y3，该项中x3y3的系数为10；在Tr＋1=x4－ryr＋2中，令r=1，可得T2=x3y3，该项中x3y3的系数为5.所以x3y3的系数为10＋5=15.
1．求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可．
2．对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解．
3．对于三项式问题一般先变形，化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解．
变式 1　(1) (2025·深圳一模)6的展开式中常数项是　240　(用数字作答)．
【解析】 6的展开式的通项为Tk＋1=(2x)6－kk=26－kx6－3k，令6－3k=0得k=2，故常数项为T3=24=240.
(2) (2025·广州二模)(1－2x)4的展开式中x2的系数为(　D　)
A．24 B．－24
C．－36 D．－40
【解析】 因为(1－2x)4展开式的通项为Tk＋1=·(－2x)k=(－2)kxk，所以x2的系数为(－2)1＋(－2)3=－40.
(3) (x＋y－1)5的展开式中xy2的系数为(　D　)
A．－20 B．20
C．－30 D．30
【解析】 因为(x－1＋y)5展开式的通项为Tr＋1=(x－1)5－ryr，令r=2，得(x－1)3的通项为x3－k(－1)k，再令3－k=1，得k=2，所以(x＋y－1)5的展开式中，xy2的系数为(－1)2=30.
系数最值问题
例 2　在(3x－2y)20的展开式中，求：
(1) 二项式系数最大的项；
【解答】 由题意得二项式系数最大的项为第11项，即T11=(3x)10(－2y)10=·310·
210x10y10=610·x10y10．
(2) 系数绝对值最大的项；
【解答】 原题等价于求(3x＋2y)20展开式中系数最大的项，记(3x＋2y)20展开式中的系数为f(k)=320－k·2k，k=0，1，2，…，20，令＞1，即＞1，解得k＜．因为k∈N，所以k=0，1，2，…，7时，f(k＋1)＞f(k)，同理k=8，9，…，20时，f(k＋1)＜f(k)．所以f(0)＜f(1)＜…＜f(8)＞f(9)＞…＞f(20)，故f(8)最大，即系数绝对值最大的项为T9=312·28·x12y8．
(3) 系数最大的项．
【解答】 记(3x－2y)20展开式中的系数为g(k)=320－k·(－2)k，k=0，1，…，20，显然k为奇数时，g(k)＜0；k为偶数时，g(k)=f(k)＞0.由(2)知g(0)＜g(2)＜g(4)＜…＜g(8)＞g(10)＞g(12)＞…＞g(20)，故g(8)最大，即系数最大的项为T9=312·28·x12y8．
1．二项式系数最大项的确定方法
(1) 若n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；
(2) 若n是奇数，则中间两项的二项式系数相等且最大．
2．求(a＋bx)n展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，并设第r＋1项系数(Ar)最大，则应有从而解出r．
变式 2　已知(1＋3x)n的展开式中前三项的二项式系数的和为79，则展开式中系数最大的项为第　10　项．
【解析】 ＋＋=1＋n＋=79，整理得n2＋n－156=0，解得n=12(负值舍去)，所以(1＋3x)12的展开式的通项为Tk＋1=·(3x)k=·3kxk(k=0，1，2，…，12)，记各项系数为f(k)=·3k(k=0，1，2，…，12)，由==＞1得k＜8.75，故当k=0，1，2，…，8时，f(k＋1)＞f(k)；k=9，10，11，12时，f(k＋1)＜f(k)，即f(0)＜f(1)＜…＜f(9)＞f(10)＞f(11)＞f(12)，故f(9)最大，即第10项的系数最大．
展开式系数和
例 3　(2025·上饶二模)(多选)若(x＋2)(x－1)8=a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋a3(x＋1)3＋…＋a9(x＋1)9，则下列结论正确的是(　BD　)
A．a1＋a2＋a3＋…＋a9=2
B．a7=96
C．a0＋2a1＋22a2＋23a3＋…＋29a9=4
D．a1＋2a2＋3a3＋…＋9a9=－15
【解析】 对于A，令x=－1，得a0=28=256；令x=0，得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a9=2，因此a1＋a2＋a3＋…＋a9=2－a0=－254，A错误．对于B，(x＋2)(x－1)8=[(x＋1)＋1]·[(x＋1)－2]8，因此a7=(－2)2＋×(－2)=112－16=96，B正确．对于C，令x＋1=2，即x=1，得a0＋2a1＋22a2＋23a3＋…＋29a9=0，C错误．对于D，原等式两边求导得(x－1)8＋8(x＋2)(x－1)7=a1＋2a2(x＋1)＋3a3(x＋1)2＋…＋9a9(x＋1)8，令x=0，得a1＋2a2＋3a3＋…＋9a9=(－1)8＋8×2×(－1)7=－15，D正确．
一般地，对于多项式(a＋bx)n=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)=(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)]．
变式 3　(1) 若(2－x)6=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a6|=　729　．
【解析】 因为(2－x)6的展开式的通项为Tr＋1=26－r(－x)r，所以含x的奇数次项的系数为负数，含x的偶数次项的系数为正数．在(2－x)6=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6中，令x=－1，得a0－a1＋a2－…＋a6=36=729，从而|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a6|=a0－a1＋a2－…＋a6=729.
(2) (多选)若(3x－2)2 026=a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2 026x2 026(x∈R)，则(　BD　)
A．a0=－22 026
B．a0＋a2＋a4＋…＋a2 026=
C．a1＋a3＋a5＋…＋a2 025=
D．＋＋＋…＋=1－22 026
【解析】 对于A，当x=0时，a0=(－2)2 026=22 026，故A错误；对于B，C，当x=1时，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 026=12 026=1，当x=－1时，a0－a1＋a2－a3＋…－a2 025＋a2 026=52 026，所以a0＋a2＋a4＋…＋a2 026=，a1＋a3＋a5＋…＋a2 025=，故B正确，C错误；对于D，当x=时，2 026=a0＋＋＋…＋，所以＋＋＋…＋=(－1)2 026－a0=1－22 026，故D正确．
配套热练
1．(2018·全国卷)5的展开式中x4的系数为(　C　)
A．10 B．20
C．40 D．80
【解析】 由题可得Tr＋1=·(x2)5－r·r=·2r·x10－3r，令10－3r=4，得r=2，所以x4的系数为·22=40.
2．(2019·全国卷)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为(　A　)
A．12 B．16
C．20 D．24
【解析】 由题意得x3的系数为＋2=4＋8=12.
3．(2025·厦门四模)若(1＋2x)n的展开式中二项式系数的和为32，则x3的系数为(　C　)
A．10 B．40
C．80 D．120
【解析】 依题意，2n=32，解得n=5，则二项式(1＋2x)5展开式的通项为Tr＋1=(2x)r=
2rxr，令r=3，得x3的系数为23=80.
4．在(3x＋y－1)8的展开式中，x2y的系数是(　D　)
A．168 B．－168
C．1 512 D．－1 512
【解析】 原问题可以理解为8个(3x＋y－1)相乘，要想得到x2y，需要8个因式中有2个取x项，1个取y项，还剩5个取常数项，由题意知x2y的系数为×32×××(－1)5=－1 512.
5．(2025·保定二模)若(x－1)n(n∈N*)的展开式各项系数的绝对值之和为512，则(x＋1)8(x－1)n的展开式中x11的系数为(　A　)
A．－56 B．56
C．－70 D．70
【解析】 (x－1)n的展开式各项系数的绝对值之和等于(x＋1)n的展开式各项系数之和，则(1＋1)n=512，得n=9，则(x＋1)8(x－1)n=(x2－1)8·(x－1)．因为(x2－1)8的展开式中没有x11的项，所以(x＋1)8(x－1)n的展开式中x11的系数为(x2－1)8的展开式中x10的系数，即(－1)3=－56.
6．(2025·镇江期初)若(3＋x)5=a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋a3(1＋x)3＋a4(1＋x)4＋a5(1＋x)5，x∈R，则a1－a2＋a3－a4＋a5=(　B　)
A．－31 B．31
C．－32 D．32
【解析】 令x=－1，得(3－1)5=a0，即a0=32，令x=－2，得(3－2)5=1=a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，即1=32－a1＋a2－a3＋a4－a5，所以a1－a2＋a3－a4＋a5=31.
7．(2025·汕头一模)在(x－2 021)(x＋2 022)(x－2 023)(x＋2 024)(x－2 025)的展开式中，含x4项的系数是(　B　)
A．－2 025 B．－2 023
C．－2 021 D．2 025
【解析】 根据多项式的乘法，5个因式中，4个取一次项x，1个取常数项，相乘可得x4项．常数项共5种取法，合并同类项得x4项的系数为－2 021＋2 022－2 023＋2 024－2 025=－2 023.
8．(2025·枣庄3月模拟)已知(3x＋1)2 025=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025x2 025，则a1＋2a2＋…＋2 025a2 025被4除的余数为(　D　)
A．3 B．2
C．1 D．0
【解析】 令x=0，可得a0=12 025=1，令x=，可得52 025=a0＋a1＋2a2＋…＋2 025·
a2 025，所以a1＋2a2＋…＋2 025a2 025=52 025－1.因为52 025=(4＋1)2 025=·42 025·10＋·42 024·11＋…＋·41·12 024＋·40·12 025=·42 025＋·42 024＋…＋·41＋1，所以52 025被4除的余数为1，故52 025－1被4除的余数为0.
9．已知(2x－3)9=a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8＋a9(x－1)9，则a0＋2a1＋3a2＋…＋9a8＋10a9=(　D　)
A．9 B．10
C．18 D．19
【解析】 由(2x－3)9=a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8＋a9(x－1)9，得(x－1)(2x－3)9=a0(x－1)＋a1(x－1)2＋a2(x－1)3＋…＋a8(x－1)9＋a9(x－1)10，分别对两边进行求导得(2x－3)9＋18(x－1)(2x－3)8=a0＋2a1(x－1)＋3a2(x－1)2＋…＋9a8(x－1)8＋10a9(x－1)9.令x=2，得(2×2－3)9＋18×(2－1)×(2×2－3)8=a0＋2a1＋3a2＋…＋9a8＋10a9，得a0＋2a1＋3a2＋…＋9a8＋10a9=19.
10．(2025·马鞍山二模)(多选)已知二项式n的展开式中各项系数之和为，则(　BC　)
A．展开式中共有6项
B．展开式中二项式系数的和为64
C．展开式中常数项为
D．展开式中系数最大的项是第2项
【解析】 由题可得展开式通项为Tr＋1=n－r·(－1)rx－r=n－r(－1)r．对于A，令x=1，得n=，解得n=6，则展开式共有7项，故A错误；对于B，二项式系数和为=(1＋1)6=64，故B正确；对于C，令=0，得r=2，则常数项为T3=6－22
(－1)2=，故C正确；对于D，各项系数依次为6－00·(－1)0=，6－11(－1)1=－，
6－22(－1)2=，6－33(－1)3=－，6－44(－1)4=，6－55·(－1)5=－3，
6－66(－1)6=1，则系数最大项为第5项，故D错误．
11．(2025·苏锡常镇二模)(多选)(1－2x)5的展开式中，则(　ABC　)
A．x的系数为－10
B．第3项与第4项的二项式系数相等
C．所有项的二项式系数和为32
D．所有项的系数和为32
【解析】 (1－2x)5展开式的通项Tr＋1=(－2x)r=(－2)rxr，当r=1时，(－2)1=－10，A正确；第3项的二项式系数为=10，第4项的二项式系数为=10，两者相等，B正确；所有项的二项式系数和为25=32，C正确；令x=1，(1－2)5=－1，即所有项的系数和为－1，D错误．
12．(2025·福州一模)(多选)已知(1－2x)9=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则(　AD　)
A．a0=1
B．a1=18
C．a1＋a2＋…＋a9=－1
D．a1＋a3＋a5＋a7＋a9=－
【解析】 对于A，令x=0，得(1－2×0)9=a0=1，A正确；对于B，(1－2x)9的展开式中一次项为·18(－2x)1=－18x，则a1=－18，B错误；对于C，令x=1，得(1－2)9=a0＋a1＋a2＋…＋a9=－1①，又a0=1，则a1＋a2＋…＋a9=－1－a0=－2，C错误；对于D，令x=－1，得(1＋2)9=a0－a1＋a2－a3＋…－a9=39②，①－②得2(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)=－(1＋39)，则a1＋a3＋a5＋a7＋a9=－，D正确．
13．(2025·赣州一模)(多选)已知(2x＋1)(x－2)n=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7(a7≠0)，则(　ACD　)
A．n=6
B．a5=－108
C．a0＋a1＋a2＋…＋a7=3
D．a0＋a2＋a4＋a6=－363
【解析】 由(2x＋1)(x－2)n=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，所以(x－2)n的展开式中最高次项为6次项，即n=6，故A正确；(x－2)6的展开式中，x4的系数为(－2)2=60，x5的系数为
(－2)1=－12，则a5=2×60＋1×(－12)=108，故B错误；令x=1，得(2＋1)×(1－2)6=a0＋a1＋a2＋…＋a7=3，故C正确；令x=－1，得(－2＋1)×(－1－2)6=a0－a1＋a2－…＋a6－a7=－729，所以a0＋a2＋a4＋a6==－363，故D正确．
14．若n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则n的展开式中系数最大的项的系数为　1 792　．
【解析】 由=有n=8，所以8的展开式的通项为8－r(－2x)r，当展开式的项的系数最大时，r为偶数，比较得当r=6时，展开式中项的系数最大，该项系数为1 792.
15．(2025·苏州期末)已知x8=a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8，则a2的值为　28　．
【解析】 由x8=a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8，则[1＋(x－1)]8=a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8，上式二项展开式的通项为Tr＋1=(x－1)r．令r=2，可得a2==28.
16．(2025·北京卷)已知(1－2x)4=a0－2a1x＋4a2x2－8a3x3＋16a4x4，则a0=　1　；a1＋a2＋a3＋a4=　15　．
【解析】 令x=0，则a0=1.又(1－2x)4=a0－2a1x＋4a2x2－8a3x3＋16a4x4，故(1－2x)4=a0＋a1(－2x)＋a2(－2x)2＋a3(－2x)3＋a4(－2x)4，令t=－2x，则(1＋t)4=a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4，令t=1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4=24，故a1＋a2＋a3＋a4=15.第5讲　二项式定理
基础回归
经典回眸
1．(人A 选必三P34习题T1(1))在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是(　 　)
A．74 B．121
C．－74 D．－121
2．(2022·北京卷)若(2x－1)4=a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4=(　 　)
A．40 B．41
C．－40 D．－41
3．若二项式的展开式中所有项的系数和为243，则展开式中含项的二项式系数为(　 　)
A．－10 B．－5
C．5 D．10
4．(人A 选必三P34习题T2)在(x＋y)(x－y)5的展开式中，x3y3的系数是　 　．
5．(人A 选必三P38T5(5))(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为　 　．
6．(2024·全国甲卷)在10的展开式中，各项系数的最大值是　 　．
要点梳理
1．(1) 二项式定理：(a＋b)n=an＋an－1b＋…＋an－rbr＋…＋bn(n∈N*)；
(2) 二项展开式的通项为Tr＋1=an－rbr，它表示第r＋1项．
2．二项式系数的性质
(1) =1，=1，=(0≤m≤n)．
(2) 各二项式系数和：＋＋＋…＋=　 　；＋＋＋…=＋＋＋…=　 　．
举题固法
展开式中的特定项
例 1　(1) (2024·北京卷)在(x－)4的展开式中，x3的系数为(　 　)
A．6 B．－6
C．12 D．－12
(2) (2020·全国Ⅰ卷)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　 　)
A．5 B．10
C．15 D．20
1．求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可．
2．对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解．
3．对于三项式问题一般先变形，化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解．
变式 1　(1) (2025·深圳一模)6的展开式中常数项是　 　(用数字作答)．
(2) (2025·广州二模)(1－2x)4的展开式中x2的系数为(　 　)
A．24 B．－24
C．－36 D．－40
(3) (x＋y－1)5的展开式中xy2的系数为(　 　)
A．－20 B．20
C．－30 D．30
系数最值问题
例 2　在(3x－2y)20的展开式中，求：
(1) 二项式系数最大的项；
(2) 系数绝对值最大的项；
(3) 系数最大的项．
1．二项式系数最大项的确定方法
(1) 若n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；
(2) 若n是奇数，则中间两项的二项式系数相等且最大．
2．求(a＋bx)n展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，并设第r＋1项系数(Ar)最大，则应有从而解出r．
变式 2　已知(1＋3x)n的展开式中前三项的二项式系数的和为79，则展开式中系数最大的项为第　 　项．
展开式系数和
例 3　(2025·上饶二模)(多选)若(x＋2)(x－1)8=a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋a3(x＋1)3＋…＋a9(x＋1)9，则下列结论正确的是(　 　)
A．a1＋a2＋a3＋…＋a9=2
B．a7=96
C．a0＋2a1＋22a2＋23a3＋…＋29a9=4
D．a1＋2a2＋3a3＋…＋9a9=－15
一般地，对于多项式(a＋bx)n=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)=(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)]．
变式 3　(1) 若(2－x)6=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a6|=　 　．
(2) (多选)若(3x－2)2 026=a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2 026x2 026(x∈R)，则(　 　)
A．a0=－22 026
B．a0＋a2＋a4＋…＋a2 026=
C．a1＋a3＋a5＋…＋a2 025=
D．＋＋＋…＋=1－22 026
配套热练
1．(2018·全国卷)5的展开式中x4的系数为(　 　)
A．10 B．20
C．40 D．80
2．(2019·全国卷)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为(　 　)
A．12 B．16
C．20 D．24
3．(2025·厦门四模)若(1＋2x)n的展开式中二项式系数的和为32，则x3的系数为(　 　)
A．10 B．40
C．80 D．120
4．在(3x＋y－1)8的展开式中，x2y的系数是(　 　)
A．168 B．－168
C．1 512 D．－1 512
5．(2025·保定二模)若(x－1)n(n∈N*)的展开式各项系数的绝对值之和为512，则(x＋1)8(x－1)n的展开式中x11的系数为(　 　)
A．－56 B．56
C．－70 D．70
6．(2025·镇江期初)若(3＋x)5=a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋a3(1＋x)3＋a4(1＋x)4＋a5(1＋x)5，x∈R，则a1－a2＋a3－a4＋a5=(　 　)
A．－31 B．31
C．－32 D．32
7．(2025·汕头一模)在(x－2 021)(x＋2 022)(x－2 023)(x＋2 024)(x－2 025)的展开式中，含x4项的系数是(　 　)
A．－2 025 B．－2 023
C．－2 021 D．2 025
8．(2025·枣庄3月模拟)已知(3x＋1)2 025=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025x2 025，则a1＋2a2＋…＋2 025a2 025被4除的余数为(　 　)
A．3 B．2
C．1 D．0
9．已知(2x－3)9=a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8＋a9(x－1)9，则a0＋2a1＋3a2＋…＋9a8＋10a9=(　 　)
A．9 B．10
C．18 D．19
10．(2025·马鞍山二模)(多选)已知二项式n的展开式中各项系数之和为，则(　 　)
A．展开式中共有6项
B．展开式中二项式系数的和为64
C．展开式中常数项为
D．展开式中系数最大的项是第2项
11．(2025·苏锡常镇二模)(多选)(1－2x)5的展开式中，则(　 　)
A．x的系数为－10
B．第3项与第4项的二项式系数相等
C．所有项的二项式系数和为32
D．所有项的系数和为32
12．(2025·福州一模)(多选)已知(1－2x)9=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则(　 　)
A．a0=1
B．a1=18
C．a1＋a2＋…＋a9=－1
D．a1＋a3＋a5＋a7＋a9=－
13．(2025·赣州一模)(多选)已知(2x＋1)(x－2)n=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7(a7≠0)，则(　 　)
A．n=6
B．a5=－108
C．a0＋a1＋a2＋…＋a7=3
D．a0＋a2＋a4＋a6=－363
14．若n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则n的展开式中系数最大的项的系数为　 　．
15．(2025·苏州期末)已知x8=a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8，则a2的值为　 　．
16．(2025·北京卷)已知(1－2x)4=a0－2a1x＋4a2x2－8a3x3＋16a4x4，则a0=　 　；a1＋a2＋a3＋a4=　 　．(共46张PPT)
专题一
复习性价比最高的几个问题
第5讲　二项式定理
基础回归
1．(人A 选必三P34习题T1(1))在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是 (　　)
A．74 B．121
C．－74 D．－121
【解析】
D
2．(2022·北京卷)若(2x－1)4=a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4= (　　)
A．40 B．41
C．－40 D．－41
【解析】
B
【解析】
C
4．(人A 选必三P34习题T2)在(x＋y)(x－y)5的展开式中，x3y3的系数是_____．
【解析】
0
5．(人A 选必三P38T5(5))(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为______．
【解析】
30
【解析】
5
2n
2n－1
举题固法
展开式中的特定项
目标
1
【解析】
1
A
【解析】
C
1．求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可．
2．对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解．
3．对于三项式问题一般先变形，化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解．
【解析】
变式1　
240
【解析】
D
(3) (x＋y－1)5的展开式中xy2的系数为 (　　)
A．－20 B．20
C．－30 D．30
【解析】
D
系数最值问题
目标
2
【解答】
在(3x－2y)20的展开式中，求：
(1) 二项式系数最大的项；
2
【解答】
在(3x－2y)20的展开式中，求：
(2) 系数绝对值最大的项；
2
【解答】
在(3x－2y)20的展开式中，求：
(3) 系数最大的项．
2
【解析】
已知(1＋3x)n的展开式中前三项的二项式系数的和为79，则展开式中系数最大的项为第______项．
变式2　
10
展开式系数和
目标
3
(2025·上饶二模)(多选)若(x＋2)(x－1)8=a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋a3(x＋1)3＋
…＋a9(x＋1)9，则下列结论正确的是 (　　)
A．a1＋a2＋a3＋…＋a9=2
B．a7=96
C．a0＋2a1＋22a2＋23a3＋…＋29a9=4
D．a1＋2a2＋3a3＋…＋9a9=－15
3
【解析】
【答案】BD
【解析】
(1) 若(2－x)6=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a6|= _______．
729
变式3　
【解析】
【答案】BD
热练
【解析】
C
2．(2019·全国卷)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为 (　　)
A．12 B．16
C．20 D．24
【解析】
A
3．(2025·厦门四模)若(1＋2x)n的展开式中二项式系数的和为32，则x3的系数为 (　　)
A．10 B．40
C．80 D．120
【解析】
C
4．在(3x＋y－1)8的展开式中，x2y的系数是 (　　)
A．168 B．－168
C．1 512 D．－1 512
【解析】
D
5．(2025·保定二模)若(x－1)n(n∈N*)的展开式各项系数的绝对值之和为512，则(x＋1)8(x－1)n的展开式中x11的系数为 (　　)
A．－56 B．56
C．－70 D．70
【解析】
A
6．(2025·镇江期初)若(3＋x)5=a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋a3(1＋x)3＋a4(1＋x)4＋a5(1＋x)5，x∈R，则a1－a2＋a3－a4＋a5= (　　)
A．－31 B．31
C．－32 D．32
【解析】
令x=－1，得(3－1)5=a0，即a0=32，令x=－2，得(3－2)5=1=a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，即1=32－a1＋a2－a3＋a4－a5，所以a1－a2＋a3－a4＋a5=31.
B
7．(2025·汕头一模)在(x－2 021)(x＋2 022)(x－2 023)(x＋2 024)(x－2 025)的展开式中，含x4项的系数是 (　　)
A．－2 025 B．－2 023
C．－2 021 D．2 025
【解析】
根据多项式的乘法，5个因式中，4个取一次项x，1个取常数项，相乘可得x4项．常数项共5种取法，合并同类项得x4项的系数为－2 021＋2 022－2 023＋2 024－2 025=－2 023.
B
【解析】

D
9．已知(2x－3)9=a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8＋a9(x－1)9，则a0＋2a1＋3a2＋…＋9a8＋10a9= (　　)
A．9　　　　　　　　B．10　　　　　　　　C．18　　　　　　　　D．19
【解析】
由(2x－3)9=a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8＋a9(x－1)9，得(x－1)(2x－3)9=a0(x－1)＋a1(x－1)2＋a2(x－1)3＋…＋a8(x－1)9＋a9(x－1)10，
分别对两边进行求导得(2x－3)9＋18(x－1)(2x－3)8=a0＋2a1(x－1)＋3a2(x－1)2＋…＋9a8(x－1)8＋10a9(x－1)9.
令x=2，得(2×2－3)9＋18×(2－1)×(2×2－3)8=a0＋2a1＋3a2＋…＋9a8＋10a9，得a0＋2a1＋3a2＋…＋9a8＋10a9=19.
D
【解析】
【答案】BC
11．(2025·苏锡常镇二模)(多选)(1－2x)5的展开式中，则 (　　　)
A．x的系数为－10 B．第3项与第4项的二项式系数相等
C．所有项的二项式系数和为32 D．所有项的系数和为32
【解析】
ABC
【解析】
AD
13．(2025·赣州一模)(多选)已知(2x＋1)(x－2)n=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7(a7≠0)，则
(　　)
A．n=6
B．a5=－108
C．a0＋a1＋a2＋…＋a7=3
D．a0＋a2＋a4＋a6=－363
【解析】
【答案】ACD
【解析】
1 792
15．(2025·苏州期末)已知x8=a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8，则a2的值为______．
【解析】
28
16．(2025·北京卷)已知(1－2x)4=a0－2a1x＋4a2x2－8a3x3＋16a4x4，则a0=_____；
a1＋a2＋a3＋a4=______．
【解析】
令x=0，则a0=1.
又(1－2x)4=a0－2a1x＋4a2x2－8a3x3＋16a4x4，故(1－2x)4=a0＋a1(－2x)＋a2(－2x)2＋a3(－2x)3＋a4(－2x)4，
令t=－2x，则(1＋t)4=a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4，令t=1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4=24，故a1＋a2＋a3＋a4=15.
1
15

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