资源简介

第2讲　复　数
基础回归
经典回眸
1．(2025·新高考Ⅰ卷)(1＋5i)i的虚部为(　 　)
A．－1 B．0
C．1 D．6
2．(2024·新高考Ⅱ卷)若z=－1－i，则|z|=(　 　)
A．0 B．1
C． D．2
3．(2024·新高考Ⅰ卷)若=1＋i，则z=(　 　)
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
4．设复数z满足|z－3－4i|=1，则|z|的最大值是(　 　)
A．5 B．6
C．7 D．8
5．(多选)已知复数z1，z2，下列结论正确的有(　 　)
A．≤＋
B．若z1－z2＞0，则＞
C．若=，则z1·z2=0
D．若z1=1＋i，z2=1－i，则为纯虚数
6．(人A必二P81习题T7)已知－3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋q=0的一个根，则实数p=　 　，q=　 　．
要点梳理
1．复数的有关概念
(1) 复数的概念
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a与b分别叫做它的　 　与　 　．若　 　，则a＋bi为实数；若　 　，则a＋bi为虚数；若　 　，则a＋bi为纯虚数．
(2) 共轭复数
a＋bi与c＋di共轭 a=c且b=－d(a，b，c，d∈R)．
(3) 复数的模
向量=(a，b)的模叫做复数z=a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|=|a＋bi|
=　 　 (a，b∈R)．
2．复数的几何意义
(1) 复数z=a＋bi一一对应复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2) 复数z=a＋bi一一对应平面向量(a，b∈R)．
(3) 复数z对应的点在复平面上形成的轨迹：
①a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
②|z－(a＋bi)|=r(r＞0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．
3．复数的运算
设z1=a＋bi，z2=c＋di(a，b，c，d∈R)，则：
(1) 加法：z1＋z2=(a＋bi)＋(c＋di)=　 　．
(2) 减法：z1－z2=(a＋bi)－(c＋di)=　 　．
(3) 乘法：z1z2=(a＋bi)(c＋di)=　 　．
(4) 除法：===＋i(c＋di≠0)．
举题固法
复数的概念
例 1　(1) (2025·南京期初)(多选)已知复数z，下列命题正确的是(　 　)
A．若z＋1∈R，则z∈R B．若z＋i∈R，则z的虚部为－1
C．若|z|=1，则z=±1 D．若z2∈R，则z∈R
(2) (2025·杭州期末)已知i为虚数单位，为z的共轭复数，若z=，则=(　 　)
A．－i B．i
C．＋i D．－i
解决复数概念问题的两个注意事项
变式 1　(1) (2022·全国乙卷)设(1＋2i)a＋b=2i，其中a，b为实数，则(　 　)
A．a=1，b=－1 B．a=1，b=1
C．a=－1，b=1 D．a=－1，b=－1
(2) (2025·广州一模)若复数z满足1＋iz=i，则z的虚部为(　 　)
A．－1 B．1
C．－i D．i
复数的运算
例 2　(1) (2023·新高考Ⅰ卷)若z=，则z－=(　 　 )
A．－i B．i
C．0 D．1
(2) (2025·深圳二模)已知复数z1，z2均不为0，则下列等式不恒成立的是(　 　)
A．=－ B．|z1－z2|=|－|
C．z1·=·z2 D．|z1·|=|·z2|
复数代数形式运算的策略
变式 2　(1) (2022·全国甲卷)若z=－1＋i，则=(　 　)
A．－1＋i B．－1－i
C．－＋i D．－－i
(2) (2025·湛江一模)(多选)若复数z1，z2满足z1＋z2=4，z1·z2=8，则(　 　)
A．|z1|·|z2|=8 B．|z1－z2|=4
C．|z1|＋|z2|=4 D．=1
复数的几何意义
例 3　(1) (2023·新高考Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于(　 　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2) (多选)已知复数z1=－2＋i在复平面内对应的点为A，复数z2满足|z2－1＋i|=2，z2在复平面内对应的点为B(x，y)，则下列结论正确的是(　 　)
A．复数z1的虚部为i B．(x－1)2＋(y＋1)2=4
C．|z1－z2|的最大值为＋2 D．|z1＋z2|的最小值为－2
复数z、复平面内的点Z及向量相互联系，即z=a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) ．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
变式 3　(2025·广州二模)已知复数z满足|z－2i|=1，则|z|的最小值为(　 　)
A．0 B．1
C．2 D．3
配套热练
1．(2023·全国甲卷)设a∈R，(a＋i)(1－ai)=2，则a=(　 　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
2．(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1－z)=1，则z＋=(　 　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
3．(2025·新高考Ⅱ卷)已知z=1＋i，则=(　 　)
A．－i B．i
C．－1 D．1
4．(2025·北京卷)已知复数z满足i·z＋2=2i，则|z|=(　 　)
A． B．2
C．4 D．8
5．(2025·汕头三模)已知z＋2i=，则z=(　 　)
A．－2i B．－i
C．i D．2i
6．(2025·肇庆三模)复数在复平面内对应的点在(　 　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
7．(2025·深圳一模)已知z=，则|z|=(　 　)
A．1 B．
C．2 D．4
8．已知复数z=，则=(　 　)
A．2 B．
C．1 D．0
9．在复数范围内，下列命题为真命题的是(　 　)
A．若z≠0，则z－是纯虚数
B．若z2=－|z|2，则z是纯虚数
C．若＋=0，则z1=0且z2=0
D．若z1，z2为虚数，则z1＋z2∈R
10．(2025·苏州期初)(多选)在复数范围内关于x的实系数一元二次方程x2＋px＋2=0的两根为x1，x2，其中x1=1＋i，则(　 　)
A．p=2 B．x2=1－i
C．x1·=－2i D．=i
11．(2025·南通一调)(多选)已知z1，z2是复数，则下列说法正确的是(　 　)
A．若z2为实数，则z是实数 B．若z2为虚数，则z是虚数
C．若z2=，则z1z2是实数 D．若＋=0，则z1z2=0
12．(2025·武汉4月调研)(多选)若复数z=，则(　 　)
A．=4－i
B．||=
C．z在复平面内对应的点位于第四象限
D．若复数ω满足|ω|=1，则|ω－z|的最大值为＋1
13．(2025·石家庄一模)(多选)已知i为虚数单位，下列选项正确的是(　 　)
A．若m，n∈R，则m＋ni=2＋i的充要条件是m=2，n=1
B．若复数z1，z2，z3满足z1z2=z2z3，则z1=z3
C．i＋i2＋i3＋…＋i2 025=i
D．若复数z满足|z|=1，则|z－3＋4i|的最大值为6
14．已知复数z1=m2－(m2－5m＋6)i，z2=10－(m2－3m)i，若z1＜为z的共轭复数)，则实数m的取值范围为　 　．
15．(2025·上海卷)已知复数z满足z2=()2，|z|≤1，则|z－2－3i|的最小值是　 　．
16．(2020·全国卷)设复数z1，z2满足|z1|=|z2|=2，z1＋z2=＋i，则|z1－z2|=　 　．(共51张PPT)
专题一
复习性价比最高的几个问题
第2讲　复数
基础回归
【解析】
C
C
【解析】
C
4．设复数z满足|z－3－4i|=1，则|z|的最大值是 (　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
【解析】
B
【解析】
【答案】AD
6．(人A必二P81习题T7)已知－3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋q=0的一个根，则实数p=______，q=______．
【解析】
12
26
实部
虚部
b=0
b≠0
a=0且b≠0
(a＋c)＋(b＋d)i
(a－c)＋(b－d)i
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
举题固法
复数的概念
目标
1
【解析】
1
(1) (2025·南京期初)(多选)已知复数z，下列命题正确的是 (　　)
A．若z＋1∈R，则z∈R B．若z＋i∈R，则z的虚部为－1
C．若|z|=1，则z=±1 D．若z2∈R，则z∈R
AB
【解析】
A
解决复数概念问题的两个注意事项
【解析】
变式1　
(1) (2022·全国乙卷)设(1＋2i)a＋b=2i，其中a，b为实数，则 (　　)
A．a=1，b=－1 B．a=1，b=1
C．a=－1，b=1 D．a=－1，b=－1
A
因为a，b∈R，(a＋b)＋2ai=2i，所以a＋b=0，2a=2，解得a=1，b=－1.
(2) (2025·广州一模)若复数z满足1＋iz=i，则z的虚部为 (　　)
A．－1 B．1
C．－i D．i
【解析】
B
复数的运算
目标
2
【解析】
2
A
【解析】
【答案】C
复数代数形式运算的策略
【解析】
变式2　
C
【解析】
ABD
复数的几何意义
目标
3
【解析】
3
(1) (2023·新高考Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于 (　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
A
因为(1＋3i)(3－i)=3＋8i－3i2=6＋8i，所以复数(1＋3i)(3－i)对应的点为(6，8)，位于第一象限．
【解析】
【答案】BC
【解析】
变式3　
(2025·广州二模)已知复数z满足|z－2i|=1，则|z|的最小值为 (　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
B
设z=x＋yi(x，y∈R)，因为|z－2i|=1，所以|x＋(y－2)i|=1，所以x2＋(y－2)2= 1，它表示圆心为(0，2)，半径为1的圆，则|z|的最小值为圆x2＋(y－2)2=1上的点与原点的最小距离，即|z|min=2－1=1.
热练
1．(2023·全国甲卷)设a∈R，(a＋i)(1－ai)=2，则a= (　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
【解析】
C
【解析】
D
【解析】
A
【解析】
B
【解析】
B
【解析】
D

【解析】
A
【解析】
B
【解析】
【答案】D
【解析】
【答案】BD
【解析】
【答案】BC
【解析】
【答案】BCD
13．(2025·石家庄一模)(多选)已知i为虚数单位，下列选项正确的是 (　　)
A．若m，n∈R，则m＋ni=2＋i的充要条件是m=2，n=1
B．若复数z1，z2，z3满足z1z2=z2z3，则z1=z3
C．i＋i2＋i3＋…＋i2 025=i
D．若复数z满足|z|=1，则|z－3＋4i|的最大值为6
【解析】
【答案】ACD
【解析】
{3}
【解析】
【解析】第2讲　复　数
基础回归
经典回眸
1．(2025·新高考Ⅰ卷)(1＋5i)i的虚部为(　C　)
A．－1 B．0
C．1 D．6
2．(2024·新高考Ⅱ卷)若z=－1－i，则|z|=(　C　)
A．0 B．1
C． D．2
【解析】 |z|==．
3．(2024·新高考Ⅰ卷)若=1＋i，则z=(　C　)
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
【解析】 因为==1＋=1＋i，所以z=1＋=1－i．
4．设复数z满足|z－3－4i|=1，则|z|的最大值是(　B　)
A．5 B．6
C．7 D．8
【解析】 设z=x＋yi(x，y∈R)，则|x＋yi－3－4i|=1，所以(x－3)2＋(y－4)2=1，所以复数z对应的点的轨迹是以C(3，4)为圆心，半径r=1的圆，如图，所以|z|的最大值是|OC|＋r=＋1=5＋1=6.
5．(多选)已知复数z1，z2，下列结论正确的有(　AD　)
A．≤＋
B．若z1－z2＞0，则＞
C．若=，则z1·z2=0
D．若z1=1＋i，z2=1－i，则为纯虚数
【解析】 对于A，设z1，z2对应的向量分别为，，则由向量三角不等式得≤＋，所以≤＋恒成立，故A正确；对于B，取z1=－1＋i，z2=－2＋i，z1－z2=1＞0，但=，=，|z1|＜|z2|，故B错误；对于C，当z1=1＋i，z2=1－i时，=2=，而z1·z2=2，故C错误；对于D，====i，故D正确．
6．(人A必二P81习题T7)已知－3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋q=0的一个根，则实数p=　12　，q=　26　．
【解析】 2(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q=0，即(10－3p＋q)＋(2p－24)i=0，所以解得
要点梳理
1．复数的有关概念
(1) 复数的概念
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a与b分别叫做它的　实部　与　虚部　．若　b=0　，则a＋bi为实数；若　b≠0　，则a＋bi为虚数；若　a=0且b≠0　，则a＋bi为纯虚数．
(2) 共轭复数
a＋bi与c＋di共轭 a=c且b=－d(a，b，c，d∈R)．
(3) 复数的模
向量=(a，b)的模叫做复数z=a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|=|a＋bi|=　　(a，b∈R)．
2．复数的几何意义
(1) 复数z=a＋bi一一对应复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2) 复数z=a＋bi一一对应平面向量(a，b∈R)．
(3) 复数z对应的点在复平面上形成的轨迹：
①a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
②|z－(a＋bi)|=r(r＞0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．
3．复数的运算
设z1=a＋bi，z2=c＋di(a，b，c，d∈R)，则：
(1) 加法：z1＋z2=(a＋bi)＋(c＋di)=　(a＋c)＋(b＋d)i　．
(2) 减法：z1－z2=(a＋bi)－(c＋di)=　(a－c)＋(b－d)i　．
(3) 乘法：z1z2=(a＋bi)(c＋di)=　(ac－bd)＋(ad＋bc)i　．
(4) 除法：===＋i(c＋di≠0)．
举题固法
复数的概念
例 1　(1) (2025·南京期初)(多选)已知复数z，下列命题正确的是(　AB　)
A．若z＋1∈R，则z∈R B．若z＋i∈R，则z的虚部为－1
C．若|z|=1，则z=±1 D．若z2∈R，则z∈R
【解析】 对于A，B，D，设z=a＋bi(a，b∈R)，若z＋1=(a＋1)＋bi∈R，则b=0，此时z=a∈R，故A正确；若z＋i=a＋(b＋1)i∈R，则b=－1，此时z=a－i，虚部为－1，故B正确；若z2=a2－b2＋2abi∈R，则ab=0，当a=0，b≠0时，z R，故D错误；当z=＋i时，满足|z|=1，但z≠±1，故C错误．
(2) (2025·杭州期末)已知i为虚数单位，为z的共轭复数，若z=，则=(　A　)
A．－i B．i
C．＋i D．－i
【解析】 z====i，故=－i．
解决复数概念问题的两个注意事项
变式 1　(1) (2022·全国乙卷)设(1＋2i)a＋b=2i，其中a，b为实数，则(　A　)
A．a=1，b=－1 B．a=1，b=1
C．a=－1，b=1 D．a=－1，b=－1
【解析】 因为a，b∈R，(a＋b)＋2ai=2i，所以a＋b=0，2a=2，解得a=1，b=－1.
(2) (2025·广州一模)若复数z满足1＋iz=i，则z的虚部为(　B　)
A．－1 B．1
C．－i D．i
【解析】 z===1＋i，所以z的虚部为1.
复数的运算
例 2　(1) (2023·新高考Ⅰ卷)若z=，则z－=(　A　)
A．－i B．i
C．0 D．1
【解析】 因为z====－i，所以=i，即z－=－i．
(2) (2025·深圳二模)已知复数z1，z2均不为0，则下列等式不恒成立的是(　C　)
A．=－ B．|z1－z2|=|－|
C．z1·=·z2 D．|z1·|=|·z2|
【解析】 设z1=a＋bi，z2=c＋di(a，b，c，d∈R)．对于A，==(a－c)－(b－d)i，－=a－bi－(c－di)=(a－c)－(b－d)i，=－，故A正确；对于B，|z1－z2|=|(a－c)＋(b－d)i|=，|－|=|(a－c)＋(d－b)i|=，|z1－z2|=|－|，故B正确；对于C，z1·=(a＋bi)·(c－di)=(ac＋bd)＋(bc－ad)i，·z2=(a－bi)·(c＋di)=(ac＋bd)＋(ad－bc)i，故C错误；对于D，|z1·|=，|·z2|=，|z1·|=|·z2|，故D正确．
复数代数形式运算的策略
变式 2　(1) (2022·全国甲卷)若z=－1＋i，则=(　C　)
A．－1＋i B．－1－i
C．－＋i D．－－i
【解析】 由题知=－1－i，z=(－1＋i)·(－1－i)=1＋3=4，则==－＋i．
(2) (2025·湛江一模)(多选)若复数z1，z2满足z1＋z2=4，z1·z2=8，则(　ABD　)
A．|z1|·|z2|=8 B．|z1－z2|=4
C．|z1|＋|z2|=4 D．=1
【解析】 依题意得，复数z1，z2是方程x2－4x＋8=0的两个根，解得x===2±2i．不妨设z1=2＋2i，z2=2－2i，所以|z1|·|z2|=×=8，故A正确；|z1－z2|=|4i|=4，故B正确；|z1|＋|z2|=2＋2=4，故C错误；====|i|=1，故D正确．
复数的几何意义
例 3　(1) (2023·新高考Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于(　A　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】 因为(1＋3i)(3－i)=3＋8i－3i2=6＋8i，所以复数(1＋3i)(3－i)对应的点为(6，8)，位于第一象限．
(2) (多选)已知复数z1=－2＋i在复平面内对应的点为A，复数z2满足|z2－1＋i|=2，z2在复平面内对应的点为B(x，y)，则下列结论正确的是(　BC　)
A．复数z1的虚部为i B．(x－1)2＋(y＋1)2=4
C．|z1－z2|的最大值为＋2 D．|z1＋z2|的最小值为－2
【解析】 由z1=－2＋i知，z1的虚部为1，故A错误；因为|z2－1＋i|=2，z2在复平面内对应的点为B(x，y)，则|(x－1)＋(y＋1)i|=2，所以(x－1)2＋(y＋1)2=4，故B正确；由题意知，点B在以(1，－1)为圆心，2为半径的圆上，又A(－2，1)，根据复数的几何意义知|AB|=|z1－z2|，所以|z1－z2|max=＋2=＋2，故C正确；|z1＋z2|=|(－2＋x)＋(1＋y)i|=表示点B与定点(2，－1)的距离，易知点(2，－1)在圆内，所以|z1＋z2|min=2－=1，故D错误．
复数z、复平面内的点Z及向量相互联系，即z=a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) ．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
变式 3　(2025·广州二模)已知复数z满足|z－2i|=1，则|z|的最小值为(　B　)
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 设z=x＋yi(x，y∈R)，因为|z－2i|=1，所以|x＋(y－2)i|=1，所以x2＋(y－2)2=1，它表示圆心为(0，2)，半径为1的圆，则|z|的最小值为圆x2＋(y－2)2=1上的点与原点的最小距离，即|z|min=2－1=1.
配套热练
1．(2023·全国甲卷)设a∈R，(a＋i)(1－ai)=2，则a=(　C　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
【解析】 因为(a＋i)(1－ai)=a－a2i＋i＋a=2a＋(1－a2)i=2，所以解得a=1.
2．(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1－z)=1，则z＋=(　D　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
【解析】 由题设有1－z===－i，则z=1＋i，故z＋=(1＋i)＋(1－i)=2.
3．(2025·新高考Ⅱ卷)已知z=1＋i，则=(　A　)
A．－i B．i
C．－1 D．1
【解析】 因为z=1＋i，所以===－i．
4．(2025·北京卷)已知复数z满足i·z＋2=2i，则|z|=(　B　)
A． B．2
C．4 D．8
【解析】 由题设可得z==2＋2i，所以|z|==2．
5．(2025·汕头三模)已知z＋2i=，则z=(　B　)
A．－2i B．－i
C．i D．2i
【解析】 z=－2i=－2i=i－2i=－i．
6．(2025·肇庆三模)复数在复平面内对应的点在(　D　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】 因为==－i，所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限．
7．(2025·深圳一模)已知z=，则|z|=(　A　)
A．1 B．
C．2 D．4
【解析】 依题意，z===i，所以|z|=1.
8．已知复数z=，则=(　B　)
A．2 B．
C．1 D．0
【解析】 因为z===－i，所以|z2 025－z2 026|=|1－i|==．
9．在复数范围内，下列命题为真命题的是(　D　)
A．若z≠0，则z－是纯虚数
B．若z2=－|z|2，则z是纯虚数
C．若＋=0，则z1=0且z2=0
D．若z1，z2为虚数，则z1＋z2∈R
【解析】 对于A，取z=1，则=1，所以z－=0，此时，z－不是纯虚数，故A错误；对于B，取z=0，则z2=－|z|2成立，但z不是纯虚数，故B错误；对于C，取z1=i，z2=1，则＋=0，但z1≠0且z2≠0，故C错误；对于D，若z1，z2为虚数，设z1=a＋bi，z2=c＋di(a，b，c，d∈R)，则=a－bi，=c－di，所以z1＋z2=(a＋bi)(c－di)＋(a－bi)(c＋di)=(ac＋bd)＋(bc－ad)i＋(ac＋bd)＋(ad－bc)i=2(ac＋bd)∈R，故D正确．
10．(2025·苏州期初)(多选)在复数范围内关于x的实系数一元二次方程x2＋px＋2=0的两根为x1，x2，其中x1=1＋i，则(　BD　)
A．p=2 B．x2=1－i
C．x1·=－2i D．=i
【解析】 因为实系数一元二次方程x2＋px＋2=0的两根为x1，x2，所以x1x2=2，由x1=1＋i可得x2===1－i，故B正确；又x1＋x2=1＋i＋1－i=2=－p，所以p=－2，故A错误；因为=1＋i，所以x1·=(1＋i)2=2i，故C错误；====i，故D正确．
11．(2025·南通一调)(多选)已知z1，z2是复数，则下列说法正确的是(　BC　)
A．若z2为实数，则z是实数 B．若z2为虚数，则z是虚数
C．若z2=，则z1z2是实数 D．若＋=0，则z1z2=0
【解析】 对于A，取z=i，则z2=－1为实数，而z为虚数，故A错误．对于B，设z=a＋bi，则z2=a2－b2＋2abi，若z2为虚数，则a≠0且b≠0，所以z为虚数，故B正确．对于C，设z1=a＋bi，则z2=a－bi，此时z1z2=a2＋b2为实数，故C正确．对于D，方法一：令z1=1，z2=i，则＋=0，而z1z2=i≠0，故D错误．方法二：若＋=0，设z1=a＋bi，则z2=b－ai或－b＋ai，此时z1z2=2ab＋(b2－a2)i或－2ab＋(a2－b2)i，不一定为0，故D错误．
12．(2025·武汉4月调研)(多选)若复数z=，则(　BCD　)
A．=4－i
B．||=
C．z在复平面内对应的点位于第四象限
D．若复数ω满足|ω|=1，则|ω－z|的最大值为＋1
【解析】 z===4－i，则=4＋i，故A错误；||==，故B正确；z在复平面内对应的点Z(4，－1)位于第四象限，故C正确；因为复数ω满足|ω|=1，设ω在单位圆上，则|ω－z|表示单位圆上的点和点Z之间的距离，其最大值为Z到原点的距离加半径，为＋1，故D正确．
13．(2025·石家庄一模)(多选)已知i为虚数单位，下列选项正确的是(　ACD　)
A．若m，n∈R，则m＋ni=2＋i的充要条件是m=2，n=1
B．若复数z1，z2，z3满足z1z2=z2z3，则z1=z3
C．i＋i2＋i3＋…＋i2 025=i
D．若复数z满足|z|=1，则|z－3＋4i|的最大值为6
【解析】 对于A，因为m，n∈R，则m＋ni=2＋i等价于m－2＋(n－1)i=0，等价于即m=2，n=1，故A正确；对于B，由z1z2=z2z3可得z2(z1－z3)=0，当z2=0时，等式成立，但z1与z3不一定相等，故B错误；对于C，当n∈N*时，i4n＋12=i，i4n＋22=－1，i4n＋32=－i，i4n2=1，则i4n＋12＋i4n＋22＋i4n＋32＋i4n2=i－1－i＋1=0，于是i＋i2＋i3＋…＋i2 0252=(i＋i2＋i3＋i4)×506＋i=i，故C正确；对于D，|z|=1可理解为复平面内以原点为圆心的单位圆，而|z－3＋4i|可看成点(3，－4)到该圆上点的距离，易得|z－3＋4i|的最大值为＋1=6，故D正确．
14．已知复数z1=m2－(m2－5m＋6)i，z2=10－(m2－3m)i，若z1＜为z的共轭复数)，则实数m的取值范围为　{3}　．
【解析】 因为z2=10－(m2－3m)i，所以=10＋(m2－3m)i．因为z1＜，所以z1，都是实数，且z1＜，所以解得m=3，即实数m的取值范围为{3}．
15．(2025·上海卷)已知复数z满足z2=()2，|z|≤1，则|z－2－3i|的最小值是　2　．
【解析】 设z=x＋yi(x，y∈R)，则=x－yi．由题意可知z2=x2＋2xyi－y2=()2=x2－2xyi－y2，则xy=0，又|z|=≤1，由复数的几何意义知z在复平面内对应的点Z(x，y)在单位圆内部(含边界)的坐标轴上运动，如图所示，即线段AB，CD上运动．设E(2，3)，则|z－2－3i|=|ZE|，由图象可知|BE|=＞|CE|=2，所以|ZE|min=2．
16．(2020·全国卷)设复数z1，z2满足|z1|=|z2|=2，z1＋z2=＋i，则|z1－z2|=　2　．
【解析】 方法一：设z1=a＋bi(a，b∈R)，z2=c＋di(c，d∈R)，则z1＋z2=a＋c＋(b＋d)i=＋i，所以又|z1|=|z2|=2，则a2＋b2=4，c2＋d2=4，所以(a＋c)2＋(b＋d)2=a2＋c2＋b2＋d2＋2(ac＋bd)=4，所以ac＋bd=－2，所以|z1－z2|=|(a－c)＋(b－d)i|====2．
方法二：如图，设复数z1，z2所对应的向量分别为，，则=＋，由题知||=|＋|==2=||=||，所以平行四边形OZ1PZ2为菱形，且△OPZ1，△OPZ2都是正三角形，所以∠Z1OZ2=120°，|Z1Z2|2=|OZ1|2＋|OZ2|2－2|OZ1||OZ2|·cos 120°=22＋22－2×2×2×=12，所以|z1－z2|=|Z1Z2|=2．

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