资源简介

第4讲　平面向量
基础回归
经典回眸
1．(人A必二P61T13(1))已知a，b是不共线的向量，且=a＋5b，=－2a＋8b，=3(a－b)，则(　 　)
A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
2．(人A必二P61T13(4))若e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a=2e1＋e2与b=－3e1＋2e2的夹角为(　 　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
3．(人A必二P61T13(6))若平面向量a，b，c两两的夹角相等，且|a|=1，|b|=1，|c|=3，则|a＋b＋c|=(　 　)
A．2 B．5
C．2或5 D．或
4．(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，且BD=2DA．记=m，=n，则=(　 　)
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
5．(2025·新高考Ⅱ卷)已知平面向量a=(x，1)，b=(x－1，2x)，若a⊥(a－b)，则|a|=　 　．
6．已知非零向量a，b的夹角为锐角，a=(－1，4)，b=(m，2)，则实数m的取值范围为　 　．
要点梳理
1．两个向量平行的充要条件：设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，b≠0，则a∥b 　 ．
2．两个非零向量垂直的充要条件：设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a⊥b 　 ．
3．两个向量的数量积：设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=　 =　 (其中θ为向量a，b的夹角)．
4．投影向量：向量a在向量b上的投影向量为|a|ecos θ=　 　=　 　(θ为a与b的夹角，e为与b方向一致的单位向量)．
举题固法
平面向量的线性运算
例 1　(1) (2020·新高考Ⅰ卷)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，设=a，=b，则=(　 　)
A．(a＋b) B．(a－b)
C．(b－a) D．a＋b
(2) (2018·全国卷)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=(　 　)
A．－ B．－
C．＋ D．＋
解决与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形或者平行四边形，利用向量运算的三角形法则或平行四边形法则，应用其几何意义进行加法或减法运算，然后通过建立方程(组)即可求得相关参数的值．
变式 1　(2025·广州一模)在平行四边形ABCD中，E是BC边上的点，=4，F是线段DE的中点，若=λ＋，则μ=(　 　)
A． B．1
C． D．
模与夹角的运算
例 2　(1) (2024·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足=1，=2，且(b－2a)⊥b，则=(　 　)
A． B．
C． D．1
(2) (2025·龙岩3月质检)已知向量a=(1，3)，b=(－2，4)，且a在b上的投影向量为μb，则a－μb与b的夹角为(　 　)
A． B．
C． D．
设非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，θ=〈a，b〉．
向量表示 坐标表示
模长公式 |a|= |a|=
夹角公式 cos θ= cos θ=
变式 2　(2025·武汉4月调研)若向量a，b满足|a|=1，|b|=2，且(a－b)⊥a，则向量a和向量b的夹角为(　 　)
A． B．
C． D．
几何图形中的数量积运算
例 3　(1) (投影法)(2020·新高考Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是(　 　)
A．(－2，6) B．(－6，2)
C．(－2，4) D．(－4，6)
(2) (基底法)(2025·杭州期末)在平面四边形ABCD中，若AB⊥BC，AD⊥DC，且AB=1，AD=3，则=(　 　)
A．－8 B．8
C．10 D．3
(3) (坐标法)(2022·北京卷)在△ABC中，AC=3，BC=4，C=90°，P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1，则的取值范围是(　 　)
A．[－5，3] B．[－3，5]
C．[－6，4] D．[－4，6]
(4) (极化恒等式)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．
①若AD=6，BC=4，则=　 　；
②若=4，=－1，则=　 ．
极化恒等式：已知向量a，b，则有(a＋b)2=a2＋b2＋2a·b，(a－b)2=a2＋b2－2a·b，将两式相减可得a·b=[(a＋b)2－(a－b)2]．
变式 3　(2025·南京二模)在四边形ABCD中，AB∥DC，A=90°，AB=AD=2CD=2，E是线段AD的中点，F是线段BE上的动点，则的最小值为(　 　)
A．－ B．－
C．－ D．－
配套热练
1．(2024·全国甲卷)已知向量a=(x＋1，x)，b=(x，2)，则(　 　)
A．“x=－3”是“a⊥b”的必要条件
B．“x=－3”是“a∥b”的必要条件
C．“x=0”是“a⊥b”的充分条件
D．“x=－1＋”是“a∥b”的充分条件
2．(2023·全国乙卷)若正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则=(　 　)
A． B．3
C．2 D．5
3．(2025·深圳一模)已知向量a=(－1，1)，b=(1，3)，若a⊥(a＋λb)，则λ=(　 　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
4．(2025·肇庆三模)已知平面向量a与b均为单位向量，|a＋b|=，则a与a－2b的夹角为(　 　)
A． B．
C． D．
5．(2025·苏锡常镇一模)已知平面向量a，b是两个单位向量，a在b上的投影向量为b，则a·(a＋b)=(　 　)
A．1 B．
C． D．
6．(2025·南京、盐城一模)已知a，b，c均为单位向量，若a=b＋c，则b与c的夹角为(　 　)
A． B．
C． D．
7．(2025·福州一模)如图，梯形ABCD的腰CD的中点为E，且BC=3AD，记=m，=n，则=(　 　)
A．－m＋2n B．m＋2n
C．－2m＋n D．－m＋n
8．已知菱形ABCD的边长为1，∠DAB=60°，E是BC的中点，AE与BD相交于点F，则=(　 　)
A． B．
C．1 D．
9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=4，A=，且BE为边AC上的高，AD为边BC上的中线，则=(　 　)
A．2 B．－2
C．6 D．－6
10．(多选)已知向量a，b不共线，向量a＋b平分a与b的夹角，则下列结论一定正确的是(　 　)
A．a·b=0
B．(a＋b)⊥(a－b)
C．向量a，b在a＋b上的投影向量相等
D．=
11．(多选)如图，点A，B在圆C上，则下列所给条件可以求出数量积的是(　 　)
A．||=2，||=2，∠CAB=30°
B．||=2，∠CAB=30°
C．||=2
D．||=2
12．(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足=，=，则=　 　．
13．已知正方形ABCD的边长为2，点P满足=＋)，则||=　 ；=　 　．
14．如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则的取值范围为　 　．
15．在△ABC中，已知AB=4，点O是△ABC的外心，则=　 　．(共45张PPT)
专题一
复习性价比最高的几个问题
第4讲　平面向量
基础回归
A
C
C
【解析】
B
5．(2025·新高考Ⅱ卷)已知平面向量a=(x，1)，b=(x－1，2x)，若a⊥(a－b)，则|a|= ______．
【解析】
6．已知非零向量a，b的夹角为锐角，a=(－1，4)，b=(m，2)，则实数m的取值范围
为_________________________．
【解析】
1．两个向量平行的充要条件：设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，b≠0，则a∥b ________ _________．
2．两个非零向量垂直的充要条件：设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a⊥b _________ ________．
3．两个向量的数量积：设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=______________=______ ________(其中θ为向量a，b的夹角)．
4．投影向量：向量a在向量b上的投影向量为|a|ecos θ=___________=_________(θ为a与b的夹角，e为与b方向一致的单位向量)．
x1y2－
x2y1=0
x1x2＋
y1y2=0
x1x2＋y1y2
|a||b|·
cos θ
举题固法
平面向量的线性运算
目标
1
【解析】
1
A
【解析】
A
解决与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形或者平行四边形，利用向量运算的三角形法则或平行四边形法则，应用其几何意义进行加法或减法运算，然后通过建立方程(组)即可求得相关参数的值．
【解析】
变式1　
C
模与夹角的运算
目标
2
【解析】
B
2
【解析】
C
设非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，θ=〈a，b〉．
向量表示 坐标表示
模长公式
夹角公式
【解析】
C
变式2　
几何图形中的数量积运算
目标
3
【解析】
A
3
【解析】
B
【解析】
【答案】D
【解析】
【解析】
变式3　
【答案】C
热练
【解析】
C
【解析】
【答案】B
3．(2025·深圳一模)已知向量a=(－1，1)，b=(1，3)，若a⊥(a＋λb)，则λ=(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
【解析】
由于a＋λb=(－1＋λ，1＋3λ)，则a·(a＋λb)=1－λ＋1＋3λ=0，则λ=－1.
B
【解析】
A
【解析】
B
【解析】
C
【解析】
A
【解析】
B
【解析】
D
【解析】
【答案】BC
【解析】
【答案】ABD
【解析】
【解析】
【解析】
[0，16]
【解析】
8第4讲　平面向量
基础回归
经典回眸
1．(人A必二P61T13(1))已知a，b是不共线的向量，且=a＋5b，=－2a＋8b，=3(a－b)，则(　A　)
A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
2．(人A必二P61T13(4))若e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a=2e1＋e2与b=－3e1＋2e2的夹角为(　C　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
3．(人A必二P61T13(6))若平面向量a，b，c两两的夹角相等，且|a|=1，|b|=1，|c|=3，则|a＋b＋c|=(　C　)
A．2 B．5
C．2或5 D．或
4．(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，且BD=2DA．记=m，=n，则=(　B　)
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
【解析】 因为点D在边AB上，BD=2DA，所以=2，即－=2(－)，所以=3－2=3n－2m=－2m＋3n．
5．(2025·新高考Ⅱ卷)已知平面向量a=(x，1)，b=(x－1，2x)，若a⊥(a－b)，则|a|=　　．
【解析】 a－b=(1，1－2x)，因为a⊥(a－b)，所以a·(a－b)=x＋1－2x=0，解得x=1，则a=(1，1)，|a|=．
6．已知非零向量a，b的夹角为锐角，a=(－1，4)，b=(m，2)，则实数m的取值范围为　　．
【解析】 因为a，b两向量的夹角为锐角，所以a·b＞0且a，b的夹角不为0.由a·b=－m＋8＞0得m＜8；当4m=－2，即m=－时，a，b的夹角为0，所以实数m的取值范围为．
要点梳理
1．两个向量平行的充要条件：设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，b≠0，则a∥b 　x1y2－x2y1=0　．
2．两个非零向量垂直的充要条件：设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a⊥b 　x1x2＋y1y2=0　．
3．两个向量的数量积：设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=　x1x2＋y1y2　=　|a||b|cos θ　(其中θ为向量a，b的夹角)．
4．投影向量：向量a在向量b上的投影向量为|a|ecos θ=　|a|cos θ　=　　(θ为a与b的夹角，e为与b方向一致的单位向量)．
举题固法
平面向量的线性运算
例 1　(1) (2020·新高考Ⅰ卷)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，设=a，=b，则=(　A　)
A．(a＋b) B．(a－b)
C．(b－a) D．a＋b
【解析】 如图，连接AC，则EF为△ABC的中位线，所以==(a＋b)．
(2) (2018·全国卷)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=(　A　)
A．－ B．－
C．＋ D．＋
【解析】 如图，=＋=＋=＋＋)=＋＋=＋，所以=－．
解决与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形或者平行四边形，利用向量运算的三角形法则或平行四边形法则，应用其几何意义进行加法或减法运算，然后通过建立方程(组)即可求得相关参数的值．
变式 1　(2025·广州一模)在平行四边形ABCD中，E是BC边上的点，=4，F是线段DE的中点，若=λ＋，则μ=(　C　)
A． B．1
C． D．
【解析】 如图，因为F是线段DE的中点，所以=＋)，又=＋=＋=＋，所以=＋)=＋，所以μ=．
模与夹角的运算
例 2　(1) (2024·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足=1，=2，且(b－2a)⊥b，则=(　B　)
A． B．
C． D．1
【解析】 因为(b－2a)⊥b，所以(b－2a)·b=0，即b2=2a·b．又因为|a|=1，=2，所以1＋4a·b＋4b2=1＋6b2=4，从而|b|=．
(2) (2025·龙岩3月质检)已知向量a=(1，3)，b=(－2，4)，且a在b上的投影向量为μb，则a－μb与b的夹角为(　C　)
A． B．
C． D．
【解析】 由题得a·b=1×(－2)＋3×4=－2＋12=10，|b|==2，那么μ===，所以a－μb=(1，3)－(－1，2)=(2，1)，从而(a－μb)·b=2×(－2)＋1×4=0，所以a－μb与b的夹角为．
设非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，θ=〈a，b〉．
向量表示 坐标表示
模长公式 |a|= |a|=
夹角公式 cos θ= cos θ=
变式 2　(2025·武汉4月调研)若向量a，b满足|a|=1，|b|=2，且(a－b)⊥a，则向量a和向量b的夹角为(　C　)
A． B．
C． D．
【解析】 因为(a－b)·a=0，即a2－a·b=0，所以a2=a·b=|a||b|cos〈a，b〉=|a|2.又|a|=1，|b|=2，所以cos〈a，b〉=．又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉=．
几何图形中的数量积运算
例 3　(1) (投影法)(2020·新高考Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是(　A　)
A．(－2，6) B．(－6，2)
C．(－2，4) D．(－4，6)
【解析】 如图，根据正六边形的特征，的模为2，可得在上的投影数量的取值范围是(－||，||)，即为(－1，3)．结合向量数量积的定义，可知等于的模与在上的投影数量的乘积，即∈(－||·||，||||)，所以的取值范围是(－2，6)．
(2) (基底法)(2025·杭州期末)在平面四边形ABCD中，若AB⊥BC，AD⊥DC，且AB=1，AD=3，则=(　B　)
A．－8 B．8
C．10 D．3
【解析】 =0，=0，则=(＋)·(－)=2－－=9－(＋)·=9－(＋)·=9－2=8.
(3) (坐标法)(2022·北京卷)在△ABC中，AC=3，BC=4，C=90°，P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1，则的取值范围是(　D　)
A．[－5，3] B．[－3，5]
C．[－6，4] D．[－4，6]
【解析】 如图，建立平面直角坐标系，则C(0，0)，A(3，0)，B(0，4)．因为PC=1，所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上运动，设P(cos θ，sin θ)，θ∈[0，2π)，所以=(3－cos θ，－sin θ)，=(－cos θ，4－sin θ)，从而=(3－cos θ)×(－cos θ)＋(－sin θ)×(4－sin θ)=cos2θ－3cos θ－4sin θ＋sin2θ=1－3cos θ－4sin θ=1－5sin(θ＋φ)，其中sin φ=，cos φ=．因为－1≤sin(θ＋φ)≤1，所以－4≤1－5sin(θ＋φ)≤6，即∈[－4，6]．
(4) (极化恒等式)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．
①若AD=6，BC=4，则=　32　；
②若=4，=－1，则=　　．
【解析】 ①由极化恒等式得=(＋)·(＋)=(－)·(＋)=2－2=2－2=36－4=32.
②设AD=3m，BC=2n(m＞0，n＞0)．因为=4，由(1)知2－2=4，即9m2－n2=4.由=－1，可得2－2=－1，即m2－n2=－1，解得m2=，n2=，所以=2－2=4m2－n2=－=．
极化恒等式：已知向量a，b，则有(a＋b)2=a2＋b2＋2a·b，(a－b)2=a2＋b2－2a·b，将两式相减可得a·b=[(a＋b)2－(a－b)2]．
变式 3　(2025·南京二模)在四边形ABCD中，AB∥DC，A=90°，AB=AD=2CD=2，E是线段AD的中点，F是线段BE上的动点，则的最小值为(　C　)
A．－ B．－
C．－ D．－
【解析】 方法一：由平面几何知识知，BC=．取BC中点M，则BM=，由极化恒等式，有=2－2=2－．当MF⊥BE时，MF取最小值，此时MF====，所以()min=－=－．
方法二：以A为坐标原点，AB，AD为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系．因为AB=AD=2CD=2，E是线段AD中点，所以A(0，0)，B(2，0)，C(1，2)，D(0，2)，E(0，1)，而F是线段BE上的动点，从而可设=λ＋(1－λ)=(2λ，0)＋(0，1－λ)=(2λ，1－λ)，λ∈[0，1]，所以点F的坐标是(2λ，1－λ)．所以=(2－2λ，－1＋λ)，=(1－2λ，1＋λ)，=(2－2λ)(1－2λ)＋(－1＋λ)(1＋λ)=4λ2－6λ＋2＋λ2－1=5λ2－6λ＋1=52－，λ∈[0，1]，所以当λ=时，取得最小值－．
配套热练
1．(2024·全国甲卷)已知向量a=(x＋1，x)，b=(x，2)，则(　C　)
A．“x=－3”是“a⊥b”的必要条件
B．“x=－3”是“a∥b”的必要条件
C．“x=0”是“a⊥b”的充分条件
D．“x=－1＋”是“a∥b”的充分条件
【解析】 若a⊥b，则a·b=0，所以x(x＋1)＋2x=0，解得x=0或－3，故A错误，C正确．当a∥b时，2(x＋1)=x2，解得x=1±，故B错误，D错误．
2．(2023·全国乙卷)若正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则=(　B　)
A． B．3
C．2 D．5
【解析】 方法一：以{，}为基底向量，可知||=||=2，=0，则=＋=＋，=＋=－＋，所以==－2＋2=－1＋4=3.
方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则E(1，0)，C(2，2)，D(0，2)，可得=(1，2)，=(－1，2)，所以=－1＋4=3.
3．(2025·深圳一模)已知向量a=(－1，1)，b=(1，3)，若a⊥(a＋λb)，则λ=(　B　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
【解析】 由于a＋λb=(－1＋λ，1＋3λ)，则a·(a＋λb)=1－λ＋1＋3λ=0，则λ=－1.
4．(2025·肇庆三模)已知平面向量a与b均为单位向量，|a＋b|=，则a与a－2b的夹角为(　A　)
A． B．
C． D．
【解析】 由已知|a＋b|=，可得(a＋b)2=|a＋b|2=3，即a2＋b2＋2a·b=3.又a与b均为单位向量，所以a·b=，所以a·(a－2b)=a2－2a·b=1－1=0，所以a⊥(a－2b)，故a与a－2b的夹角为．
5．(2025·苏锡常镇一模)已知平面向量a，b是两个单位向量，a在b上的投影向量为b，则a·(a＋b)=(　B　)
A．1 B．
C． D．
【解析】 由题意，a在b上的投影向量为b=b，则=．因为a，b是单位向量，即|a|=|b|=1，所以a·b=，|a|2=1，则a·(a＋b)=|a|2＋a·b=1＋=．
6．(2025·南京、盐城一模)已知a，b，c均为单位向量，若a=b＋c，则b与c的夹角为(　C　)
A． B．
C． D．
【解析】 由a=b＋c，两边平方可得a2=(b＋c)2，则a2=b2＋2b·c＋c2.因为a，b，c均为单位向量，所以|a|=|b|=|c|=1.代入上式可得1=1＋2b·c＋1，则b·c=－．设b与c的夹角为θ，0≤θ≤π，则cos θ==－，所以θ=，即b与c的夹角为．
7．(2025·福州一模)如图，梯形ABCD的腰CD的中点为E，且BC=3AD，记=m，=n，则=(　A　)
A．－m＋2n B．m＋2n
C．－2m＋n D．－m＋n
【解析】 因为BC=3AD，又＋＋＋=0，所以=－－－=－m－3n＋n=－m－2n，又E为腰CD的中点，所以=＋=＋=3n－m－n=－m＋2n．
8．已知菱形ABCD的边长为1，∠DAB=60°，E是BC的中点，AE与BD相交于点F，则=(　B　)
A． B．
C．1 D．
【解析】 因为AD∥BE，则∠DAF=∠BEF，∠ADF=∠EBF，所以△FEB∽△FAD，所以==2，所以===＋，故==2＋=×12＋×1×1×=．
9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=4，A=，且BE为边AC上的高，AD为边BC上的中线，则=(　D　)
A．2 B．－2
C．6 D．－6
【解析】 因为AD为边BC上的中线，所以=＋)．又BE为边AC上的高，所以=0.在Rt△ABE中，||=||cos∠BAE=4×cos=2，所以=＋)·=＋==·(－)=－2=||||cos－||2=×4×2×－×16=－6.
10．(多选)已知向量a，b不共线，向量a＋b平分a与b的夹角，则下列结论一定正确的是(　BC　)
A．a·b=0
B．(a＋b)⊥(a－b)
C．向量a，b在a＋b上的投影向量相等
D．=
【解析】如图，作向量=a，=b，在□OACB中，=a＋b，=a－b．由向量a＋b平分a与b的夹角，得□OACB是菱形，即|a|=|b|．对于A，a与b不一定垂直，故A错误；对于B，(a＋b)·(a－b)=a2－b2=0，即(a＋b)⊥(a－b)，故B正确；对于C，a在a＋b上的投影向量为(a＋b)=(a＋b)，b在a＋b上的投影向量为(a＋b)=(a＋b)=(a＋b)，故C正确；对于D，因为AB与OC不一定相等，所以|a＋b|与|a－b|不一定相等，故D错误．
11．(多选)如图，点A，B在圆C上，则下列所给条件可以求出数量积的是(　ABD　)
A．||=2，||=2，∠CAB=30°
B．||=2，∠CAB=30°
C．||=2
D．||=2
【解析】 对于A，由向量数量积的定义知=||·||cos〈，〉=2×2×cos 30°=6，故A正确；对于B，如图，过点C作CD⊥AB于点D，因为||=2，∠CAB=30°，则||=2||=2×2×cos 30°=2，由A项分析易得=6，故B正确；对于C，因为=||||cos〈，〉，仅知道||=2，不能求出，故C错误；对于D，如图，因为=＋，而=0，且||=||，故=(＋)·==||2=6，故D正确．
12．(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足=，=，则=　　．
【解析】 方法一：因为|a＋b|=|2a－b|，即(a＋b)2=(2a－b)2，则a2＋2a·b＋b2=4a2－4a·b＋b2，整理得a2－2a·b=0.又因为|a－b|=，即(a－b)2=3，所以a2－2a·b＋b2=b2=3，所以|b|=．
方法二：设c=a－b，则=，a＋b=c＋2b，2a－b=2c＋b，由题意可得(c＋2b)2=(2c＋b)2，即c2＋4c·b＋4b2=4c2＋4c·b＋b2，整理得c2=b2，即|b|=|c|=．
13．已知正方形ABCD的边长为2，点P满足=＋)，则||=　　；=　－1　．
【解析】 以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，=＋)=[(2，0)＋(2，2)]=(2，1)，则P(2，1)，所以=(－2，1)，=(0，－1)，因此||==，=0×(－2)＋(－1)×1=－1.
14．如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则的取值范围为　[0，16]　．
【解析】 如图，取CD的中点E，连接PE，所以PE的取值范围是，即[2，2]．又由=(＋)·(＋)=2－=PE2－4，所以∈[0，16]．
15．在△ABC中，已知AB=4，点O是△ABC的外心，则=　8　．
【解析】 如图，过点O作OD⊥AB于D，可知AD=AB=2，则=(＋)·=＋=2×4＋0=8.

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