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第3讲　不等式
基础回归
经典回眸
1．(2025·新高考Ⅱ卷)不等式≥2的解集是(　C　)
A．{x|－2≤x≤1} B．{x|x≤－2}
C．{x|－2≤x＜1} D．{x|x＞1}
【解析】 ≥2，即≤0，即解得－2≤x＜1，故解集为{x|－2≤x＜1}．
2．(2025·北京卷)已知a＞0，b＞0，则(　C　)
A．a2＋b2＞2ab B．＋≥
C．a＋b＞ D．＋≤
【解析】 对于A，当a=b时，a2＋b2=2ab，故A错误；对于B，D，取a=，b=，此时＋=2＋4=6＜=8=，＋=2＋4=6＞=4=，故B，D错误；对于C，由基本不等式可得a＋b≥2＞，故C正确．
3．(人A必一P43习题T8)下列命题为真命题的是(　B　)
A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2 B．若a＞b＞0，则a2＞b2
C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则＜
【解析】 对于A，若c=0，则ac2=bc2，故A错误；对于B，若a＞b＞0，则a2－b2=(a＋b)(a－b)＞0，所以a2＞b2，故B正确；对于C，若a＜b＜0，则a2－ab=a(a－b)＞0，所以a2＞ab，故C错误；对于D，若a＜b＜0，则－=＞0，所以＞，故D错误．
4．(人A必一P48练习T2)用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m．当这个矩形菜园平行于墙的一边的长为　15 m　时，菜园的面积最大，最大面积是　 m2　．
【解析】 设矩形菜园平行于墙的一边的长为x m，与之相邻的边的长为y m，菜园的面积为S m2，则x＋2y=30，S=xy．由基本不等式得S=x·2y≤×2=×=，当且仅当x=2y，即x=15，y=时，菜园的面积最大，最大面积是 m2.
5．当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则实数m的取值范围是(　A　)
A．(－∞，－5]　 B．(－∞，－4)
C．(－∞，5) D．[5，＋∞)
【解析】 问题转化为m＜－x－在(1，2)上恒成立，令f(x)=－x－，x∈(1，2)，则m＜f(x)min．当1＜x＜2时，f′(x)=－1＋＞0，则f(x)单调递增，所以f(x)＞－5，从而m≤－5.
6．(多选)若对于任意实数x，不等式(a－1)x2－2(a－1)x－4＜0恒成立，则实数a的值可能是(　ABD　)
A．－2 B．0
C．－4 D．1
【解析】 当a=1时，不等式化为－4＜0，满足题意；当a≠1时，则有a－1＜0，且Δ=4(a－1)2＋16(a－1)=4(a－1)(a＋3)＜0，解得－3＜a＜1.综上，实数a的取值范围是(－3，1]．
要点梳理
1．不等式的一些常用性质
(1) a＞b＞0 ＜；
(2) a＞b＞0，0＜c＜d ＞；
(3) 0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0 ＜＜．
2．几个重要不等式
(1) a2＋b2≥　2ab　(a，b∈R)；
(2) ＋≥　2　(a，b同号)；
(3) ab≤2≤(a，b∈R)；
(4) 若a＞0，b＞0，则a＋b≥2；
若a＜0，b＜0，则a＋b≤－2．
3．三个二次的关系
Δ=b2－4ac Δ＞0 Δ=0 Δ＜0
y=ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
ax2＋bx＋c=0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根 x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根 x1=x2=－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＜x1或x＞x2} R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
举题固法
不等式的性质
例 1　(1) (2025·徐州2月调研)(多选)下列结论中正确的有(　ACD　)
A．若a＞b＞0，则a3＋b3＞a2b＋ab2
B．若a，b，m为正实数，a＜b，则＜
C．若＞，则a＞b
D．当x＞0时，x＋的最小值为2
【解析】 对于A，因为a，b为正实数，a＞b，所以a3＋b3－(a2b＋ab2)=a2(a－b)－b2(a－b)=(a－b)2(a＋b)＞0，所以a3＋b3＞a2b＋ab2，故A正确；对于B，因为a，b，m为正实数，a＜b，所以－=＞0，则＞，故B错误；对于C，因为c2＞0，所以若＞，则a＞b，故C正确；对于D，当x＞0时，x＋≥2=2，当且仅当x=时取等号，故D正确．
(2) 已知2＜a＜3，－2＜b＜－1，则2a－b的取值范围是(　D　)
A． B．(2，5)
C． D．(5，8)
【解析】 由题意可知4＜2a＜6，1＜－b＜2，所以5＜2a－b＜8.
1．判断不等式是否成立的两种方法
(1) 性质法；
(2) 特殊值法：适用于排除错误答案，取值应满足题设条件且便于计算．
2．用不等式性质求代数式取值范围的两个注意点
(1) 注意题设和结论中代数式的关系，设计求解步骤；
(2) 正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘(同正)不可除．
变式 1　(1) 已知a，b∈R，下列说法正确的是(　D　)
A．若ab=1，则a＋b≥2 B．若＜，则a＞b
C．若a＞b，则ln(a－b)＞0 D．若a＞b＞0，则a＋＞b＋
【解析】 当a=－1，b=－1时，ab=1，但a＋b=－2，故A错误；当a＜0，b＞0时，＜，但a＜b，故B错误；当a=2，b=1时，a＞b，但ln(a－b)=0，故C错误；若a＞b＞0，则＞＞0，所以a＋＞b＋，故D正确．
(2) 已知－1≤x＋y≤1，1≤x－y≤3，则3x－2y的取值范围是(　A　)
A．[2，8] B．[3，8]
C．[2，7] D．[5，10]
【解析】 设3x－2y=m(x＋y)＋n(x－y)=(m＋n)x＋(m－n)y，则解得即3x－2y=(x＋y)＋(x－y)．因为－1≤x＋y≤1，1≤x－y≤3，所以2≤3x－2y=(x＋y)＋(x－y)≤8.
利用基本不等式求最值
例 2　(2025·上饶二模)(多选)若正实数a，b满足a＋b=1，则(　ABC　)
A．＋的最大值是 B．＋的最小值是9
C．(1＋a)(1＋b)的最大值是 D．a2＋2b2的最小值是
【解析】 对于A，＋=≤=，当且仅当a=b=时取等号，A正确；对于B，＋=(a＋b)=5＋＋≥5＋2=9，当且仅当b=2a=时取等号，B正确；对于C，(1＋a)(1＋b)≤2=，当且仅当a=b=时取等号，C正确；对于D，由a=1－b，0＜b＜1，可得a2＋2b2=(1－b)2＋2b2=3b2－2b＋1=32＋≥，当且仅当b=时取等号，D错误．
利用基本不等式求最值的条件
变式 2　(2025·石家庄一模)已知x∈(0，4)，则f(x)=＋的最小值为(　D　)
A． B．
C． D．
【解析】 由x∈(0，4)，得4－x∈(0，4)，则f(x)=＋=(x＋4－x)=≥=，当且仅当=，即x=时等号成立．
含参二次不等式的解法
例 3　解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．
【解答】 原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0，即(ax－2)(x＋1)≥0.①当a=0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.②当a＞0时，原不等式化为(x＋1)≥0，解得x≥或x≤－1.③当a＜0时，原不等式化为(x＋1)≤0.当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤；当=－1，即a=－2时，解得x=－1；当＜－1，即－2＜a＜0时，解得≤x≤－1.综上所述，当a=0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；当a＞0时，不等式的解集为；当－2＜a＜0时，不等式的解集为；当a=－2时，不等式的解集为{－1}；当a＜－2时，不等式的解集为．
解含参一元二次不等式的方法
(1) 对二次项系数按大于0、小于0、等于0进行分类讨论；
(2) 当二次项系数不等于0时，对判别式按大于0、小于0、等于0进行分类讨论；
(3) 当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定解集．
变式 3　解关于x的不等式x2－(a2＋a)x＋a3＞0(a∈R)．
【解答】 原不等式化为(x－a)(x－a2)＞0.①当a2－a＞0，即a＞1或a＜0时，解得x＞a2或x＜a；②当a2－a＜0，即0＜a＜1时，解得x＜a2或x＞a；③当a2－a=0，即a=0或a=1时，解得x≠a．综上，当a＞1或a＜0时，不等式的解集为{x|x＞a2或x＜a}；当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}；当a=0或a=1时，不等式的解集为{x|x≠a}．
二次不等式恒成立问题
例 4　(1) 已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围是　[0，1]　．
【解析】 当k=0时，不等式kx2－6kx＋k＋8≥0可化为8≥0，符合题意；当k≠0时，要满足关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意的x∈R恒成立，则有解得0＜k≤1.综上，实数k的取值范围是[0，1]．
(2) 若对 x∈[1，3]，mx2－mx＋m－6＜0(m≠0)恒成立，则实数m的取值范围是　(－∞，0)∪　．
【解析】 因为x2－x＋1=2＋＞0，m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜．因为函数y==在[1，3]上的最小值为，所以只需m＜即可．因为m≠0，所以m的取值范围是(－∞，0)∪．
(3) 已知不等式x2＋px＞4x＋p－4.
①若不等式在2≤x≤4时有解，则实数p的取值范围为　　；
②若不等式在0≤p≤6时恒成立，则实数x的取值范围为　(－∞，－1－)∪(－1＋，2)∪(2，＋∞)　．
【解析】 ①不等式x2＋px＞4x＋p－4可化为x2＋(p－4)x＋4－p＞0，设f(x)=x2＋(p－4)x＋4－p，当不等式在2≤x≤4时有解，即存在x∈[2，4]，使得f(x)＞0，所以f(2)＞0或f(4)＞0，即4＋2(p－4)＋4－p＞0或16＋4(p－4)＋4－p＞0，解得p＞－，所以实数p的取值范围是．
②不等式x2＋px＞4x＋p－4化为p(x－1)＋(x2－4x＋4)＞0，设g(p)=p(x－1)＋(x2－4x＋4)，因为不等式在0≤p≤6时恒成立，则有所以解得x＜－1－或－1＋＜x＜2或x＞2.故实数x的取值范围是(－∞，－1－)∪(－1＋，2)∪(2，＋∞)．
1．不等式在R上恒成立：
不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立 或
不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立 或
2．不等式在给定区间上恒成立的处理方法：
(1) 若f(x)＞0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)＞0的解集的子集；
(2) 求出函数f(x)的值域，则f(x)≥a恒成立 f(x)min≥a；f(x)≤a恒成立 f(x)max≤a．
变式 4　已知函数f(x)=x2－4x－4.若f(x)＜1在区间(m－1，－2m)上恒成立，则实数m的取值范围是　　．
【解析】 由f(x)=x2－4x－4且f(x)＜1，即x2－4x－4＜1，解得－1＜x＜5，即x∈(－1，5)．因为f(x)＜1在区间(m－1，－2m)上恒成立，所以(m－1，－2m) (－1，5)，所以解得0≤m＜，即实数m的取值范围是．
配套热练
1．(2019·全国卷)若a＞b，则(　C　)
A．ln(a－b)＞0 B．3a＜3b
C．a3－b3＞0 D．|a|＞|b|
2．若实数a，b满足0＜a＜b，且a＋b=1，则下列四个数中最大的是(　B　)
A． B．a2＋b2
C．2ab D．a
【解析】 由题知0＜a＜b，且a＋b=1，所以0＜a＜，＜b＜1，故排除D．因为a2＋b2＞=，故排除A．因为a2＋b2＞2ab，故排除C．
3．下列命题为真命题的是(　D　)
A．若a＞b，则ac＞bc B．若a＜b，则a2＜b2
C．若ac2≥bc2，则a≥b D．若a＋2b=2，则2a＋4b≥4
【解析】 对于A，由a＞b，c=0可得ac=bc，故A错误；对于B，若a＜0，b＞0，|a|＞|b|，则a＜b，但a2＞b2，故B错误；对于C，当c=0时，ac2≥bc2，但a，b为任意值，故C错误；对于D，因为2a＋4b=2a＋22b≥2=2=4，当且仅当a=2b=1时等号成立，即2a＋4b≥4，故D正确．
4．已知关于t的实系数二次不等式t2＋(b－1)t＋a＜0的解集为(－2，－1)，若ax－by=1(x，y∈R)，则2x－y的最小值为(　C　)
A． B．
C．2 D．2
【解析】 －2，－1是一元二次方程t2＋(b－1)t＋a=0的根，所以解得所以2x－4y=1，所以2x=4y＋1，则2x－y==2y＋≥2=2，当且仅当y=0，x=1时取等号，所以2x－y的最小值为2.
5．已知a＞0，b＞0，a＋2b=4，则＋的最小值为(　D　)
A．2 B．4
C． D．
【解析】 因为a＞0，b＞0，a＋2b=4，所以(a＋1)＋2b=5，即[(a＋1)＋2b]=1，所以＋=[(a＋1)＋2b]·=≥=，当且仅当=，即a=，b=时取等号，所以＋的最小值为．
6．(2025·茂名一模)(多选)下列命题正确的是(　BCD　)
A．若a＞b，则a2＞b2
B．若a＜b＜0，则b2＜ab＜a2
C．若a＞b＞0，＞，则m＜0
D．若2＜a＋b＜3，－1＜a－b＜2，则3＜3a＋b＜8
【解析】 对于A，取a=1，b=－2，满足a＞b，但是a2＜b2，故A错误；对于B，因为a＜b＜0，不等式两边同时乘以负数a，则a2＞ab，不等式两边同时乘以负数b，则ab＞b2，所以b2＜ab＜a2，故B正确；对于C，因为a＞b＞0，－===，又因为＞，所以＞0，而a＞b＞0，即＜0，故＜0，所以m＜0，故C正确；对于D，设3a＋b=x(a＋b)＋y(a－b)，即3a＋b=(x＋y)a＋(x－y)b，则解得x=2，y=1，所以3a＋b=2(a＋b)＋(a－b)，又2＜a＋b＜3，－1＜a－b＜2，所以3＜2(a＋b)＋(a－b)＜8，所以3＜3a＋b＜8，故D正确．
7．(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列说法正确的是(　ABD　)
A．a＞0
B．不等式bx＋c＞0的解集是{x|x＜－6}
C．a＋b＋c＞0
D．不等式cx2－bx＋a＜0的解集为
【解析】 对于A，因为关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，所以a＞0，故A正确．对于B，C，由题可知－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c=0的两根，由根与系数的关系得则b=－a，c=－6a，不等式bx＋c＞0，即－ax－6a＞0，解得x＜－6，a＋b＋c=－6a＜0，故B正确，C错误．对于D，不等式cx2－bx＋a＜0，即－6ax2＋ax＋a＜0，即6x2－x－1＞0，解得x＜－或x＞，故D正确．
8．(2025·泰州一调)(多选)已知正数x，y满足＋=1，则下列选项中正确的是(　ABD　)
A．xy≤3 B．≥
C．(x＋4)y的最大值为12 D．8x＋16y的最小值为128
【解析】 1=＋≥2 xy≤3，当且仅当=，即x=2，y=时取等号，故A正确；表示直线＋－1=0上的点与原点的距离，则距离的最小值d==，故B正确；由＋=1，得x=4－y，则(x＋4)y=y=－y2＋8y=－(y－3)2＋12，因为0＜y＜3，所以(x＋4)y＜12，故C错误；8x＋16y≥2=2=2=128，当且仅当即时等号成立，故D正确．
9．已知－x2＋4x＋a≥0在x∈上恒成立，则实数a的取值范围是　[0，＋∞)　．
【解析】 设f(x)=－x2＋4x＋a，其图象是开口向下的抛物线，根据题意得解得a≥0.
10．(2025·上海卷)设a＞0，b＞0，a＋=1，则b＋的最小值为　4　．
【解析】 易知b＋==ab＋＋2≥2＋2=4，当且仅当ab=1，即a=，b=2时取得最小值．
11．(人A必一P58T9)如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4 200元/m2；在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪，造价为210元/m2；再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为80元/m2.设总造价为S(单位：元)，AD长为x(单位：m).当x=　　时，S最小，最小值为 118 000 .
【解析】 设AM=y，则4xy＋x2=200，所以y=，由y＞0，得0＜x＜10，从而S=4 200x2＋210×(200－x2)＋80×2×2=4 200x2＋42 000－210x2＋=4 000x2＋＋38 000≥2＋38 000=80 000＋ 38 000=118 000，当且仅当4 000x2=，即x=时取“=”．所以当x=时，S最小且Smin=118 000.
12．(1) 解关于x的不等式：x2－(a＋1)x＋a≥0；
【解答】 因为x2－(a＋1)x＋a≥0，即(x－a)·(x－1)≥0，当a＞1时，解得x≥a或x≤1，所以不等式的解集为(－∞，1]∪[a，＋∞)；当a=1时，(x－1)2≥0，所以不等式的解集为R；当a＜1时，解得x≥1或x≤a，所以不等式的解集为(－∞，a]∪[1，＋∞)．综上，当a＞1时，不等式的解集为(－∞，1]∪[a，＋∞)；当a=1时，不等式的解集为R；当a＜1时，不等式的解集为(－∞，a]∪[1，＋∞)．
(2) 已知关于x的不等式x2－ax＋3≥0在x∈上有解，求实数a的取值范围．
【解答】 因为关于x的不等式x2－ax＋3≥0在x∈[1，2]上有解，所以a≤=x＋在x∈[1，2]上有解，所以a≤max，x∈[1，2]．又y=x＋在[1，]上单调递减，在[，2]上单调递增，且当x=1时，y=4，当x=2时，y=，所以当x∈[1，2]时，x＋≤4，则a≤4.故实数a的取值范围是(－∞，4]．
13．设函数f(x)=ax2＋(1－a)x＋a－2.
(1) 若关于x的不等式f(x)≥－2有实数解，求实数a的取值范围；
【解答】 f(x)≥－2有实数解，即不等式ax2＋(1－a)x＋a≥0有实数解．当a=0时，x≥0有实数解，符合题意．当a＞0时，取x=0，则ax2＋(1－a)x＋a=a＞0成立，即ax2＋(1－a)x＋a≥0有实数解，故a＞0恒成立．当a＜0时，二次函数y=ax2＋(1－a)x＋a的图象开口向下，要使y≥0有解，则Δ=(1－a)2－4a2≥0，解得－1≤a≤，从而得－1≤a＜0.综上，实数a的取值范围是[－1，＋∞)．
(2) 若不等式f(x)≥－2对于任意a∈[－1，1]恒成立，求实数x的取值范围；
【解答】 不等式f(x)≥－2对于任意a∈[－1，1]恒成立，即 a∈[－1，1]，(x2－x＋1)a＋x≥0，显然x2－x＋1＞0，则函数g(a)=(x2－x＋1)a＋x在a∈[－1，1]上单调递增，从而得g(－1)≥0，即－x2＋2x－1≥0，解得x=1，所以实数x的取值范围是{1}．
(3) 解关于x的不等式：f(x)＜a－1(a∈R)．
【解答】 不等式f(x)＜a－1 ax2＋(1－a)x－1＜0.当a=0时，可得x＜1.当a＞0时，不等式可化为(x－1)＜0，而－＜0，解得－＜x＜1.当a＜0时，不等式可化为·(x－1)＞0，当－=1，即a=－1时，可得x∈R且x≠1；当－＜1，即a＜－1时，解得x＜－或x＞1；当－＞1，即－1＜a＜0时，解得x＜1或x＞－．综上所述，当a＞0时，原不等式的解集为；当a=0时，原不等式的解集为(－∞，1)；当－1≤a＜0时，原不等式的解集为(－∞，1)∪；当a＜－1时，原不等式的解集为∪(1，＋∞)．(共55张PPT)
专题一
复习性价比最高的几个问题
第3讲　不等式
基础回归
【解析】
C
【解析】
C
【解析】
B
4．(人A必一P48练习T2)用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m．当这个矩形菜园平行于墙的一边的长为________时，菜园的面积最大，最
大面积是_________．
【解析】
15 m
5．当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－5]　 B．(－∞，－4)
C．(－∞，5) D．[5，＋∞)
【解析】
A
6．(多选)若对于任意实数x，不等式(a－1)x2－2(a－1)x－4＜0恒成立，则实数a的值可能是 (　　　)
A．－2 B．0
C．－4 D．1
【解析】
ABD
当a=1时，不等式化为－4＜0，满足题意；
当a≠1时，则有a－1＜0，且Δ=4(a－1)2＋16(a－1)=4(a－1)(a＋3)＜0，解得－3＜a＜1.
综上，实数a的取值范围是(－3，1]．
2ab
2
3．三个二次的关系
Δ=b2－4ac Δ＞0 Δ=0 Δ＜0
y=ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象
ax2＋bx＋c=0
(a＞0)的根 有两个不相等的实数根
x1，x2(x1＜x2) 没有实数根
Δ=b2－4ac Δ＞0 Δ=0 Δ＜0
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＜x1或x＞x2} R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
举题固法
不等式的性质
目标
1
1
【解析】
【答案】ACD
【解析】
D
由题意可知4＜2a＜6，1＜－b＜2，所以5＜2a－b＜8.
1．判断不等式是否成立的两种方法
(1) 性质法；
(2) 特殊值法：适用于排除错误答案，取值应满足题设条件且便于计算．
2．用不等式性质求代数式取值范围的两个注意点
(1) 注意题设和结论中代数式的关系，设计求解步骤；
(2) 正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘(同正)不可除．
【解析】
变式1　
D
(2) 已知－1≤x＋y≤1，1≤x－y≤3，则3x－2y的取值范围是 (　　)
A．[2，8] B．[3，8]
C．[2，7] D．[5，10]
【解析】
A
利用基本不等式求最值
目标
2
2
【解析】
【答案】ABC
利用基本不等式求最值的条件
【解析】
变式2　
D
含参二次不等式的解法
目标
3
【解答】
3
解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．
解含参一元二次不等式的方法
(1) 对二次项系数按大于0、小于0、等于0进行分类讨论；
(2) 当二次项系数不等于0时，对判别式按大于0、小于0、等于0进行分类讨论；
(3) 当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定解集．
【解答】
变式3　
解关于x的不等式x2－(a2＋a)x＋a3＞0(a∈R)．
原不等式化为(x－a)(x－a2)＞0.
①当a2－a＞0，即a＞1或a＜0时，解得x＞a2或x＜a；
②当a2－a＜0，即0＜a＜1时，解得x＜a2或x＞a；
③当a2－a=0，即a=0或a=1时，解得x≠a．
综上，当a＞1或a＜0时，不等式的解集为{x|x＞a2或x＜a}；当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}；当a=0或a=1时，不等式的解集为{x|x≠a}．
二次不等式恒成立问题
目标
4
【解析】
4
(1) 已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围是____________．
[0，1]
(2) 若对 x∈[1，3]，mx2－mx＋m－6＜0(m≠0)恒成立，则实数m的取值范围是
___________________．
【解析】
(3) 已知不等式x2＋px＞4x＋p－4.
①若不等式在2≤x≤4时有解，则实数p的取值范围为________；
②若不等式在0≤p≤6时恒成立，则实数x的取值范围为______________________．
【解析】
【解析】
变式4　
已知函数f(x)=x2－4x－4.若f(x)＜1在区间(m－1，－2m)上恒成立，则实数m
的取值范围是__________．
热练
1．(2019·全国卷)若a＞b，则 (　　)
A．ln(a－b)＞0
B．3a＜3b
C．a3－b3＞0
D．|a|＞|b|
C
【解析】
B
3．下列命题为真命题的是 (　　)
A．若a＞b，则ac＞bc B．若a＜b，则a2＜b2
C．若ac2≥bc2，则a≥b D．若a＋2b=2，则2a＋4b≥4
【解析】
D
【解析】
C
【解析】
D
【解析】
【答案】BCD
【解析】
【答案】ABD
【解析】
【答案】ABD

【解析】
[0，＋∞)
【解析】
4
11．(人A必一P58T9)如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4 200元/m2；在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪，造价为210元/m2；再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为80元/m2.设总造价为S(单位：元)，AD长为x(单位：m).当x=______时，S最小，最小值为___________.
【解析】
12．(1) 解关于x的不等式：x2－(a＋1)x＋a≥0；
【解答】
因为x2－(a＋1)x＋a≥0，即(x－a)·(x－1)≥0，
当a＞1时，解得x≥a或x≤1，所以不等式的解集为(－∞，1]∪[a，＋∞)；
当a=1时，(x－1)2≥0，所以不等式的解集为R；
当a＜1时，解得x≥1或x≤a，所以不等式的解集为(－∞，a]∪[1，＋∞)．
综上，当a＞1时，不等式的解集为(－∞，1]∪[a，＋∞)；当a=1时，不等式的解集为R；当a＜1时，不等式的解集为(－∞，a]∪[1，＋∞)．
【解答】
13．设函数f(x)=ax2＋(1－a)x＋a－2.
(1) 若关于x的不等式f(x)≥－2有实数解，求实数a的取值范围；
【解答】
13．设函数f(x)=ax2＋(1－a)x＋a－2.
(2) 若不等式f(x)≥－2对于任意a∈[－1，1]恒成立，求实数x的取值范围；
【解答】
不等式f(x)≥－2对于任意a∈[－1，1]恒成立，
即 a∈[－1，1]，(x2－x＋1)a＋x≥0，
显然x2－x＋1＞0，则函数g(a)=(x2－x＋1)a＋x在a∈[－1，1]上单调递增，
从而得g(－1)≥0，即－x2＋2x－1≥0，解得x=1，所以实数x的取值范围是{1}．
13．设函数f(x)=ax2＋(1－a)x＋a－2.
(3) 解关于x的不等式：f(x)＜a－1(a∈R)．
【解答】第3讲　不等式
基础回归
经典回眸
1．(2025·新高考Ⅱ卷)不等式≥2的解集是(　 　)
A．{x|－2≤x≤1} B．{x|x≤－2}
C．{x|－2≤x＜1} D．{x|x＞1}
2．(2025·北京卷)已知a＞0，b＞0，则(　 　)
A．a2＋b2＞2ab B．＋≥
C．a＋b＞ D．＋≤
3．(人A必一P43习题T8)下列命题为真命题的是(　 　)
A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2 B．若a＞b＞0，则a2＞b2
C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则＜
4．(人A必一P48练习T2)用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m．当这个矩形菜园平行于墙的一边的长为　 　时，菜园的面积最大，最大面积是　 　．
5．当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则实数m的取值范围是(　 　)
A．(－∞，－5]　 B．(－∞，－4)
C．(－∞，5) D．[5，＋∞)
6．(多选)若对于任意实数x，不等式(a－1)x2－2(a－1)x－4＜0恒成立，则实数a的值可能是(　 　)
A．－2 B．0
C．－4 D．1
要点梳理
1．不等式的一些常用性质
(1) a＞b＞0 ＜；
(2) a＞b＞0，0＜c＜d ＞；
(3) 0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0 ＜＜．
2．几个重要不等式
(1) a2＋b2≥　 (a，b∈R)；
(2) ＋≥　 　(a，b同号)；
(3) ab≤2≤(a，b∈R)；
(4) 若a＞0，b＞0，则a＋b≥2；
若a＜0，b＜0，则a＋b≤－2．
3．三个二次的关系
Δ=b2－4ac Δ＞0 Δ=0 Δ＜0
y=ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
ax2＋bx＋c=0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根 x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根 x1=x2=－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＜x1或x＞x2} R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
举题固法
不等式的性质
例 1　(1) (2025·徐州2月调研)(多选)下列结论中正确的有(　 　)
A．若a＞b＞0，则a3＋b3＞a2b＋ab2
B．若a，b，m为正实数，a＜b，则＜
C．若＞，则a＞b
D．当x＞0时，x＋的最小值为2
(2) 已知2＜a＜3，－2＜b＜－1，则2a－b的取值范围是(　 　)
A． B．(2，5)
C． D．(5，8)
1．判断不等式是否成立的两种方法
(1) 性质法；
(2) 特殊值法：适用于排除错误答案，取值应满足题设条件且便于计算．
2．用不等式性质求代数式取值范围的两个注意点
(1) 注意题设和结论中代数式的关系，设计求解步骤；
(2) 正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘(同正)不可除．
变式 1　(1) 已知a，b∈R，下列说法正确的是(　 　)
A．若ab=1，则a＋b≥2 B．若＜，则a＞b
C．若a＞b，则ln(a－b)＞0 D．若a＞b＞0，则a＋＞b＋
(2) 已知－1≤x＋y≤1，1≤x－y≤3，则3x－2y的取值范围是(　 　)
A．[2，8] B．[3，8]
C．[2，7] D．[5，10]
利用基本不等式求最值
例 2　(2025·上饶二模)(多选)若正实数a，b满足a＋b=1，则(　 　)
A．＋的最大值是 B．＋的最小值是9
C．(1＋a)(1＋b)的最大值是 D．a2＋2b2的最小值是
利用基本不等式求最值的条件
变式 2　(2025·石家庄一模)已知x∈(0，4)，则f(x)=＋的最小值为(　 　)
A． B．
C． D．
含参二次不等式的解法
例 3　解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．
解含参一元二次不等式的方法
(1) 对二次项系数按大于0、小于0、等于0进行分类讨论；
(2) 当二次项系数不等于0时，对判别式按大于0、小于0、等于0进行分类讨论；
(3) 当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定解集．
变式 3　解关于x的不等式x2－(a2＋a)x＋a3＞0(a∈R)．
二次不等式恒成立问题
例 4　(1) 已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围是　 　．
(2) 若对 x∈[1，3]，mx2－mx＋m－6＜0(m≠0)恒成立，则实数m的取值范围是　 　．
(3) 已知不等式x2＋px＞4x＋p－4.
①若不等式在2≤x≤4时有解，则实数p的取值范围为　 ；
②若不等式在0≤p≤6时恒成立，则实数x的取值范围为　 　．
1．不等式在R上恒成立：
不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立 或
不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立 或
2．不等式在给定区间上恒成立的处理方法：
(1) 若f(x)＞0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)＞0的解集的子集；
(2) 求出函数f(x)的值域，则f(x)≥a恒成立 f(x)min≥a；f(x)≤a恒成立 f(x)max≤a．
变式 4　已知函数f(x)=x2－4x－4.若f(x)＜1在区间(m－1，－2m)上恒成立，则实数m的取值范围是　 ．
配套热练
1．(2019·全国卷)若a＞b，则(　 　)
A．ln(a－b)＞0 B．3a＜3b
C．a3－b3＞0 D．|a|＞|b|
2．若实数a，b满足0＜a＜b，且a＋b=1，则下列四个数中最大的是(　 　)
A． B．a2＋b2
C．2ab D．a
3．下列命题为真命题的是(　 　)
A．若a＞b，则ac＞bc B．若a＜b，则a2＜b2
C．若ac2≥bc2，则a≥b D．若a＋2b=2，则2a＋4b≥4
4．已知关于t的实系数二次不等式t2＋(b－1)t＋a＜0的解集为(－2，－1)，若ax－by=1(x，y∈R)，则2x－y的最小值为(　 　)
A． B．
C．2 D．2
5．已知a＞0，b＞0，a＋2b=4，则＋的最小值为(　 　)
A．2 B．4
C． D．
6．(2025·茂名一模)(多选)下列命题正确的是(　 　)
A．若a＞b，则a2＞b2
B．若a＜b＜0，则b2＜ab＜a2
C．若a＞b＞0，＞，则m＜0
D．若2＜a＋b＜3，－1＜a－b＜2，则3＜3a＋b＜8
7．(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列说法正确的是(　 　)
A．a＞0
B．不等式bx＋c＞0的解集是{x|x＜－6}
C．a＋b＋c＞0
D．不等式cx2－bx＋a＜0的解集为
8．(2025·泰州一调)(多选)已知正数x，y满足＋=1，则下列选项中正确的是(　 　)
A．xy≤3 B．≥
C．(x＋4)y的最大值为12 D．8x＋16y的最小值为128
9．已知－x2＋4x＋a≥0在x∈上恒成立，则实数a的取值范围是　 　．
10．(2025·上海卷)设a＞0，b＞0，a＋=1，则b＋的最小值为　 　．
11．(人A必一P58T9)如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4 200元/m2；在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪，造价为210元/m2；再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为80元/m2.设总造价为S(单位：元)，AD长为x(单位：m).当x=　 时，S最小，最小值为 .
12．(1) 解关于x的不等式：x2－(a＋1)x＋a≥0；
(2) 已知关于x的不等式x2－ax＋3≥0在x∈上有解，求实数a的取值范围．
13．设函数f(x)=ax2＋(1－a)x＋a－2.
(1) 若关于x的不等式f(x)≥－2有实数解，求实数a的取值范围；
(2) 若不等式f(x)≥－2对于任意a∈[－1，1]恒成立，求实数x的取值范围；
(3) 解关于x的不等式：f(x)＜a－1(a∈R)．

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