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湖南省湘西州吉首市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2025九上·吉首期末）博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值．下列博物馆标志中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：根据中心对称图的定义，可知ABC不符合题意，D符合题意
故答案为：D．
【分析】根据中心对称图形的定义：一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此逐项进行判断即可.
2．（2025九上·吉首期末）下列事件是必然事件的是（　　）
A．任意一个三角形，它的内角和等于
B．掷一枚硬币，正面朝上
C．明天早上会下雨
D．一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等
【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、任意一个三角形，它的内角和等于，是必然事件，符合题意；
B、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意；
C、明天早上会下雨，是随机事件，不符合题意；
D、一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等，是不可能事件，不符合题意；
故选：A．
【分析】本题考查必然事件的定义，必然事件是一定会发生的事件，结合数学定理（三角形内角和）、生活常识判断，逐一分析选项即可.
3．（2025九上·吉首期末）如图，等腰中，，将绕点逆时针旋转得到，当点的对应点落在上时，连接，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：，，
，
由旋转得，，，
，
，
故答案为：B．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可以得到，根据旋转可得，∠DCE=30°，再根据等腰三角形和三角形内角和定理得到∠CEB的度数，最后根据解题即可．
4．（2025九上·吉首期末）关于的一元二次方程的两个根是，，则的值为（　　）
A．8 B． C． D．2
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据一元二次方程根与系数关系定理，得，
则．
故选：A．
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数关系（韦达定理），先确定方程系数，再套用韦达定理公式，代入代数式求值即可.
5．（2025九上·吉首期末）如图，AB为⊙O的直径，∠BED＝20°，则∠ACD的度数为（　　）
A．80° B．75° C．70° D．65°
【答案】C
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角得，根据圆周角定理得，即可求出的度数.
6．（2025九上·吉首期末）将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度所得新抛物线顶点坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，
∴平移后新的抛物线解析式为：，
∴新抛物线的顶点坐标为，
故答案为：C．
【分析】根据二次函数平移变换的规律：自变量左加右减，常数项上加下减得到平移后新的抛物线解析式，然后求得其顶点坐标.
7．（2025九上·吉首期末）二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：二次函数的图象开口向上，且与轴交于负半轴，
，，
二次函数的对称轴为，
，
一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，
∴ABC不符合题意，D符合题意，
故答案为：D．
【分析】先根据二次函数的开口方向，与轴的交点，对称轴的位置得到，，，然后根据一次函数以及反比例函数的图象与性质进行求解即可.
8．（2025九上·吉首期末）如图是一张长8cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，那么x满足的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意，得，
故答案为：B．
【分析】根据剪去的正方形边长得到长方体纸盒的底面的长以及宽，再根据已知的底面积，即可列出符合题意的方程．
9．（2025九上·吉首期末）在数学跨学科主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆半径是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵扇形的半径为，圆心角为，
∴扇形的弧长为，
设底面圆半径为，
∴，
解得：，
故答案为：C．
【分析】先利用弧长公式得到扇形的弧长，然后根据扇形的弧长等于圆锥的底圆周长进行求解即可．
10．（2025九上·吉首期末）对于二次函数，规定函数是它的相关函数.已知点，的坐标分别为，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则的取值范围为（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：如图1，线段NM与二次函数的相关函数的图象恰有1个公共点，
∴当x=2时y=-4+8+n=1，解得n=-3，
如图2，线段NM与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点，
∵二次函数与y轴的交点纵坐标为1，
∴-n=1，解得n=-1，
∴当-3＜n≤-1时， 段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点；
如图3，线段NM与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点，
∵二次函数的图象经过（0，1），
∴n=1，
如图4，线段NM与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点，
∵二次函数的图象经过M，
∴+2-n=1，解得n=，
∴当1＜n≤时， 段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，
综上可得： 的取值范围为-3＜n≤-1或1＜n≤.
【分析】先确定二次函数的相关函数与MN恰有1个交点、2个交点、3个交点时的n值，然后结合二次哈数图象即可确定n的范围.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
11．（2025九上·吉首期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则　 　．
【答案】1
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点关于原点对称的点为，
∴，
则．
故答案为：1．
【分析】根据关于原点对称的两个点的横、纵坐标互为相反数求出a，b的值，然后再代入计算即可．
12．（2025九上·吉首期末）如果关于的一元二次方程的一个根是，那么　 　．
【答案】2024
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程的一个根是，
，
∴，
，
故答案为：2024．
【分析】将一元二次方程的根代入方程得到的值，然后代入所求算式进行计算求解即可.
13．（2025九上·吉首期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，那么k的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得：，
∵该方程为一元二次方程，
∴，
故答案为：且．
【分析】根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程二次项系数不为0即可求解.
14．（2025九上·吉首期末）若点和点都在反比例函数的图象上，则　 　．（用“”“”或“”填空）
【答案】＞
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵y=，
∴反比例函数的图象位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小.
∵-2<-1，
∴y1>y2.
故答案为：>.
【分析】由反比例函数的性质可得：其图象位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，据此进行比较.
15．（2025九上·吉首期末）如图所示，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是，其中水面宽度，则水的最大深度是　 　．
【答案】8
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：连结，过点O作半径于点C，
，
，
，
，
，
．
故答案为：8．
【分析】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理．连结，过点O作半径于点C，由垂径定理得弦的一半，，再用勾股定理求圆心到弦的距离，进而得到水的深度．
16．（2025九上·吉首期末）把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则平移后的抛物线解析式为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，
∴新的抛物线解析式为：，
故答案为：．
【分析】直接根据二次函数平移变换规律：上加下减常数项，左加右减自变量，即可得到答案.
17．（2025九上·吉首期末）代数式中字母与其对应的代数式的值，部分列表如下：
… 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …
… 0 0 4 10 18 28 40 54 70 88 108 …
从表中得出方程的一个根是　 　；则该方程的另一个根是　 　．
【答案】；
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据表格，得：当时，，
∴方程的一个根是，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，，
∴该方程的另一个根是，
故答案为：，.
【分析】先根据表格数据得到方程的一个根，然后利用“因式分解法”解一元二次方程得到另一个根.
18．（2025九上·吉首期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，1为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接．则线段的最大值是　 　．
【答案】3
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵抛物线与轴交于，两点，
∴令，得，
解得：或，
，
，
，
，
∴，
∵是的中点，是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴当取得最大值时，取得最大值，
∴当，，三点共线，且点在之间时，取得最大值，
∵圆的半径为1，
∴，
∴，
故答案为：3．
【分析】连接，先求出，两点的坐标，结合点坐标得到的值，利用勾股定理得到的值，然后推出是的中位线，得到，从而得到当取得最大值时，取得最大值，进而得到当，，三点共线，且点在之间时，取得最大值，即可求解．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分）
19．（2025九上·吉首期末）阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题．
解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ，⑤
（1）上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号），错误的原因是________；
（2）请你写出正确的解答过程．
【答案】（1）③；只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加
（2）解：，移项得，，
两边同除以2得，，
配方得，，
即，，
∴或，
∴，
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）上述解题过程有误，错在步骤③，错误的原因是只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加．
故答案为：③，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加；
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程.
（1）配方时需保证方程两边同时变形，左边加“一次项系数一半的平方”，右边也要加相同数值；
（2）利用移项、化二次项系数为1，两边同时配方，开平方求解的步骤计算即可．
（1）解：上述解题过程有误，错在步骤③，错误的原因是只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加．
故答案为：③，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加；
（2）解：，
移项得，，
两边同除以2得，，
配方得，，
即，，
∴或，
∴，．
20．（2025九上·吉首期末）小陆同学和小港同学是某校的初三学生，这个学期开学校开设了一门新的课程叫化学，化学是一门探究物质奥秘的学科．小陆和小港同学对化学课充满了兴趣．一次实验课上，小陆和小港所在的小组为了探究物理变化和化学变化的区别，制作了，，，四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀．
A．铁钉生锈 B．滴水成冰 C．矿石粉碎 D．牛奶变质
（1）小陆同学从四张卡片中随机抽取一张，抽中卡片的概率是_____；
（2）小港同学从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小港抽取两张卡片内容均为化学变化的概率．
【答案】（1）
（2）解：四张卡片内容中是化学变化的有：A，D，画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小港抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有：，，共2种，
∴小港抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽中C卡片的结果有1种，
∴抽中C卡片的概率是．
故答案为：；
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，
（1）用“符合条件的结果数÷总结果数”求单张概率；
（2）画树状图列出所有抽取两张的结果，再找符合“化学变化”的结果数计算概率.
（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽中C卡片的结果有1种，
∴抽中C卡片的概率是．
故答案为：；
（2）解：四张卡片内容中是化学变化的有：A，D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小港抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有：，，共2种，
∴小港抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为．
21．（2025九上·吉首期末）如图，在平面直用坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，与轴相交干点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）连接、，求的面积；
（3）根据图象直接写出一次函数值小于反比例函数值的的取值范围．
【答案】（1）解：直线与反比例函数的图象交于，
，，
，，
一次函数解析式为，反比例函数的解析式为
（2）解：令，得，
，
，将代入，得，
，
如图，连接、，
则
（3）或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：（3），
根据函数图象可得，一次函数值小于反比例函数值的的取值范围为或．
【分析】
本题考查了一次函数与反比例函数综合（解析式、面积以及函数值比较）.
（1）代入交点坐标求函数解析式；
（2）利用割补法，结合直线与x轴交点求三角形面积．
（3）根据交点的横坐标，结合图像找一次函数图象在反比例函数下方的x范围．
（1）解：直线与反比例函数的图象交于，
，，
，，
一次函数解析式为，反比例函数的解析式为；
（2）解：令，得，
，
，将代入，得，
，
如图，连接、，
则.
（3）解：，
根据函数图象可得，一次函数值小于反比例函数值的的取值范围为或．
22．（2025九上·吉首期末）如图，正方形中，，分别是边，上的点，将绕点逆时针旋转交的延长线于点．
（1）用三角板和直尺、铅笔依题意补全图形并标上相应的字母；
（2）若正方形的边长为12，，且，求的长．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
由旋转性质得：，
∴，
∴三点在同一条直线上，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
由旋转性质得：，
则，
∴，
在Rt中，，
∴，
∴，
∴，
即的长为。
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，绕着D点旋转90度即可画图。
（2）因为四边形ABCD是正方形，易得，，然后再根据旋转的性质可得，，，进而可得三点共线，然后再利用SAS，易证；设，从而可得，，然后在Rt中，根据勾股勾股定理：，代入数据即可求解。
（1）解：如图所示：
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
由旋转性质得：，
∴，
∴三点在同一条直线上，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
由旋转性质得：，
则，
∴，
在Rt中，，
∴，
∴，
∴，
即的长为．
23．（2025九上·吉首期末）根据以下素材，探索完成任务．
素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个．
素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个．
问题解决
任务1 求该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率；
任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？
【答案】解：任务一：设车间4月份到6月份生产数量的平均增长率x，由题意得，
解得或（舍去）．
答：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率；
任务二：设该零件的实际售价m元，
由题意得，
整理得，
解得或．
∵要尽可能让车企得到实惠，
∴．
答：该零件的实际售价应定为50元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设平均增长率为x，利用“ 零件4月份生产100个，6月份生产144个 ”列一元二次方程解题即可；
（2）设该零件的实际售价m元，根据总利润=单利润×销售量，列关于m的一元二次方程解答即可．
24．（2025九上·吉首期末）如图，在Rt中，为中点，连接为的中点，以点为圆心，长为半径作，交于点，过点作于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵，为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，过点作于点，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∵阴影部分的面积等于，
∴阴影部分的面积为：．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；切线的判定；扇形面积的计算；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）连接，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，根据等腰三角形“等边对等角”性质得到，，进行等量代换，由平行线的判定得到，然后根据平行线的性质即可得到，最后根据切线的判定得证结论；
（2）过点作于点，求出，根据含30°的直角三角形的性质得到，利用勾股定理求出，然后证明是等边三角形，得到，根据，求出，由（1）得可得，根据含30°的直角三角形的性质得到，利用勾股定理求出，可得，接下来求出，根据阴影部分的面积等于，利用三角形以及扇形面积公式进行求解即可.
（1）证明：连接，
∵在中，，为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是半径，
∴是的切线．
（2）解：过点作于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∵阴影部分的面积等于，
∴阴影部分的面积为：．
25．（2025九上·吉首期末）阅读材料，解答问题．
例：用图象法解一元二次不等式：
解：设，则y是x的二次函数．
，
∴抛物线开口向上．
又∵当时，，解得．
∴由此得抛物线的大致图象如图所示．
观察函数图象可知：当或时，．
的解集是：或．
（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：的解集是 ；
（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：．
【答案】（1）
（2）解：设，则是的二次函数，
，
∴抛物线开口向上，
又∵当时，，解得，
∴由此得抛物线的大致图象如图所示：
∴观察函数图象可知：当或时，，
的解集是：或．
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；作图-二次函数图象
【解析】【解答】解：（1）观察函数图象可知：当时，，
∴一元二次不等式的解集是：，
故答案为：.
【分析】（1）观察函数图象，得出时对应的的取值范围即可；
（2）根据材料例题的解法，画出的函数图象，然后观察函数图象，得出时对应的的取值范围即可.
26．（2025九上·吉首期末）如图1，抛物线经过，两点，交轴于点．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，直线是抛物线的对称轴．点在函数图象上，其横坐标大于4，连接、，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为．若以的切线长为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求长的取值范围．
【答案】（1）（1）解：抛物线经过，两点，
，解得：，
二次函数解析式是
（2）解：抛物线的对称轴上存在点，使的周长最小，理由如下：
二次函数解析式是，
当时，，
，
抛物线的对称轴为直线，点、关于对称轴对称，
点为与对称轴的交点时，的值最小．
设直线的解析式为，
把，代入，得：
，解得：．
直线的解析式为．
抛物线的对称轴为直线．
当时，．
在抛物线的对称轴上存在点，使的周长最小
（3）解：拋物线过，，
拋物线的对称轴为，
设，
，
，
如图：连接，则，
，
切线为边长的正方形的面积为，
过点作轴，垂足为，
则：，
，
，
，
假设过点，则有以下两种情况：
①如图：当点在点的上方，即，
，
解得：或，
，
；
②如图2：当点在点的下方，即，
，
解得：，
，
；
综上，或．
当不经过点时，或或
【知识点】切线的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，圆的切线的性质，勾股定理等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键．（1）代入点坐标求抛物线解析式；
（2）先求出点坐标，利用抛物线的对称性，将周长最小转化为“两点之间线段最短”即点为与对称轴的交点时，的值最小．求出直线的解析式，即可得到点的坐标；
（3）设，则，连接，则，由切线性质结合勾股定理得到为边长的正方形的面积为，过点作轴，垂足为，计算出的面积，与正方形面积建立等式并化简求出，假设过点，则有以下两种情况：①当点在（3，2）的上方时；②当点在（3，2）的下方时，分别求出的值，又因为不经过（3，2），由此可得PM的取值范围.
（1）解：抛物线经过，两点，
，解得：，
二次函数解析式是；
（2）解：抛物线的对称轴上存在点，使的周长最小，理由如下：
二次函数解析式是，
当时，，
，
抛物线的对称轴为直线，点、关于对称轴对称，
点为与对称轴的交点时，的值最小．
设直线的解析式为，
把，代入，得：
，解得：．
直线的解析式为．
抛物线的对称轴为直线．
当时，．
在抛物线的对称轴上存在点，使的周长最小；
（3）解：拋物线过，，
拋物线的对称轴为，
设，
，
，
如图：连接，则，
，
切线为边长的正方形的面积为，
过点作轴，垂足为，
则：，
，
，
，
假设过点，则有以下两种情况：
①如图：当点在点的上方，即，
，
解得：或，
，
；
②如图2：当点在点的下方，即，
，
解得：，
，
；
综上，或．
当不经过点时，或或．
1 / 1湖南省湘西州吉首市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2025九上·吉首期末）博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值．下列博物馆标志中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025九上·吉首期末）下列事件是必然事件的是（　　）
A．任意一个三角形，它的内角和等于
B．掷一枚硬币，正面朝上
C．明天早上会下雨
D．一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等
3．（2025九上·吉首期末）如图，等腰中，，将绕点逆时针旋转得到，当点的对应点落在上时，连接，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九上·吉首期末）关于的一元二次方程的两个根是，，则的值为（　　）
A．8 B． C． D．2
5．（2025九上·吉首期末）如图，AB为⊙O的直径，∠BED＝20°，则∠ACD的度数为（　　）
A．80° B．75° C．70° D．65°
6．（2025九上·吉首期末）将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度所得新抛物线顶点坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九上·吉首期末）二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025九上·吉首期末）如图是一张长8cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，那么x满足的方程是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025九上·吉首期末）在数学跨学科主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆半径是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025九上·吉首期末）对于二次函数，规定函数是它的相关函数.已知点，的坐标分别为，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则的取值范围为（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
11．（2025九上·吉首期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则　 　．
12．（2025九上·吉首期末）如果关于的一元二次方程的一个根是，那么　 　．
13．（2025九上·吉首期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，那么k的取值范围是　 　．
14．（2025九上·吉首期末）若点和点都在反比例函数的图象上，则　 　．（用“”“”或“”填空）
15．（2025九上·吉首期末）如图所示，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是，其中水面宽度，则水的最大深度是　 　．
16．（2025九上·吉首期末）把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则平移后的抛物线解析式为　 　．
17．（2025九上·吉首期末）代数式中字母与其对应的代数式的值，部分列表如下：
… 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …
… 0 0 4 10 18 28 40 54 70 88 108 …
从表中得出方程的一个根是　 　；则该方程的另一个根是　 　．
18．（2025九上·吉首期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，1为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接．则线段的最大值是　 　．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分）
19．（2025九上·吉首期末）阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题．
解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ，⑤
（1）上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号），错误的原因是________；
（2）请你写出正确的解答过程．
20．（2025九上·吉首期末）小陆同学和小港同学是某校的初三学生，这个学期开学校开设了一门新的课程叫化学，化学是一门探究物质奥秘的学科．小陆和小港同学对化学课充满了兴趣．一次实验课上，小陆和小港所在的小组为了探究物理变化和化学变化的区别，制作了，，，四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀．
A．铁钉生锈 B．滴水成冰 C．矿石粉碎 D．牛奶变质
（1）小陆同学从四张卡片中随机抽取一张，抽中卡片的概率是_____；
（2）小港同学从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小港抽取两张卡片内容均为化学变化的概率．
21．（2025九上·吉首期末）如图，在平面直用坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，与轴相交干点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）连接、，求的面积；
（3）根据图象直接写出一次函数值小于反比例函数值的的取值范围．
22．（2025九上·吉首期末）如图，正方形中，，分别是边，上的点，将绕点逆时针旋转交的延长线于点．
（1）用三角板和直尺、铅笔依题意补全图形并标上相应的字母；
（2）若正方形的边长为12，，且，求的长．
23．（2025九上·吉首期末）根据以下素材，探索完成任务．
素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个．
素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个．
问题解决
任务1 求该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率；
任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？
24．（2025九上·吉首期末）如图，在Rt中，为中点，连接为的中点，以点为圆心，长为半径作，交于点，过点作于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
25．（2025九上·吉首期末）阅读材料，解答问题．
例：用图象法解一元二次不等式：
解：设，则y是x的二次函数．
，
∴抛物线开口向上．
又∵当时，，解得．
∴由此得抛物线的大致图象如图所示．
观察函数图象可知：当或时，．
的解集是：或．
（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：的解集是 ；
（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：．
26．（2025九上·吉首期末）如图1，抛物线经过，两点，交轴于点．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，直线是抛物线的对称轴．点在函数图象上，其横坐标大于4，连接、，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为．若以的切线长为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求长的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：根据中心对称图的定义，可知ABC不符合题意，D符合题意
故答案为：D．
【分析】根据中心对称图形的定义：一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此逐项进行判断即可.
2．【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、任意一个三角形，它的内角和等于，是必然事件，符合题意；
B、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意；
C、明天早上会下雨，是随机事件，不符合题意；
D、一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等，是不可能事件，不符合题意；
故选：A．
【分析】本题考查必然事件的定义，必然事件是一定会发生的事件，结合数学定理（三角形内角和）、生活常识判断，逐一分析选项即可.
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：，，
，
由旋转得，，，
，
，
故答案为：B．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可以得到，根据旋转可得，∠DCE=30°，再根据等腰三角形和三角形内角和定理得到∠CEB的度数，最后根据解题即可．
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据一元二次方程根与系数关系定理，得，
则．
故选：A．
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数关系（韦达定理），先确定方程系数，再套用韦达定理公式，代入代数式求值即可.
5．【答案】C
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角得，根据圆周角定理得，即可求出的度数.
6．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，
∴平移后新的抛物线解析式为：，
∴新抛物线的顶点坐标为，
故答案为：C．
【分析】根据二次函数平移变换的规律：自变量左加右减，常数项上加下减得到平移后新的抛物线解析式，然后求得其顶点坐标.
7．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：二次函数的图象开口向上，且与轴交于负半轴，
，，
二次函数的对称轴为，
，
一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，
∴ABC不符合题意，D符合题意，
故答案为：D．
【分析】先根据二次函数的开口方向，与轴的交点，对称轴的位置得到，，，然后根据一次函数以及反比例函数的图象与性质进行求解即可.
8．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意，得，
故答案为：B．
【分析】根据剪去的正方形边长得到长方体纸盒的底面的长以及宽，再根据已知的底面积，即可列出符合题意的方程．
9．【答案】C
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵扇形的半径为，圆心角为，
∴扇形的弧长为，
设底面圆半径为，
∴，
解得：，
故答案为：C．
【分析】先利用弧长公式得到扇形的弧长，然后根据扇形的弧长等于圆锥的底圆周长进行求解即可．
10．【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：如图1，线段NM与二次函数的相关函数的图象恰有1个公共点，
∴当x=2时y=-4+8+n=1，解得n=-3，
如图2，线段NM与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点，
∵二次函数与y轴的交点纵坐标为1，
∴-n=1，解得n=-1，
∴当-3＜n≤-1时， 段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点；
如图3，线段NM与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点，
∵二次函数的图象经过（0，1），
∴n=1，
如图4，线段NM与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点，
∵二次函数的图象经过M，
∴+2-n=1，解得n=，
∴当1＜n≤时， 段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，
综上可得： 的取值范围为-3＜n≤-1或1＜n≤.
【分析】先确定二次函数的相关函数与MN恰有1个交点、2个交点、3个交点时的n值，然后结合二次哈数图象即可确定n的范围.
11．【答案】1
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点关于原点对称的点为，
∴，
则．
故答案为：1．
【分析】根据关于原点对称的两个点的横、纵坐标互为相反数求出a，b的值，然后再代入计算即可．
12．【答案】2024
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程的一个根是，
，
∴，
，
故答案为：2024．
【分析】将一元二次方程的根代入方程得到的值，然后代入所求算式进行计算求解即可.
13．【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得：，
∵该方程为一元二次方程，
∴，
故答案为：且．
【分析】根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程二次项系数不为0即可求解.
14．【答案】＞
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵y=，
∴反比例函数的图象位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小.
∵-2<-1，
∴y1>y2.
故答案为：>.
【分析】由反比例函数的性质可得：其图象位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，据此进行比较.
15．【答案】8
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：连结，过点O作半径于点C，
，
，
，
，
，
．
故答案为：8．
【分析】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理．连结，过点O作半径于点C，由垂径定理得弦的一半，，再用勾股定理求圆心到弦的距离，进而得到水的深度．
16．【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，
∴新的抛物线解析式为：，
故答案为：．
【分析】直接根据二次函数平移变换规律：上加下减常数项，左加右减自变量，即可得到答案.
17．【答案】；
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据表格，得：当时，，
∴方程的一个根是，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，，
∴该方程的另一个根是，
故答案为：，.
【分析】先根据表格数据得到方程的一个根，然后利用“因式分解法”解一元二次方程得到另一个根.
18．【答案】3
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵抛物线与轴交于，两点，
∴令，得，
解得：或，
，
，
，
，
∴，
∵是的中点，是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴当取得最大值时，取得最大值，
∴当，，三点共线，且点在之间时，取得最大值，
∵圆的半径为1，
∴，
∴，
故答案为：3．
【分析】连接，先求出，两点的坐标，结合点坐标得到的值，利用勾股定理得到的值，然后推出是的中位线，得到，从而得到当取得最大值时，取得最大值，进而得到当，，三点共线，且点在之间时，取得最大值，即可求解．
19．【答案】（1）③；只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加
（2）解：，移项得，，
两边同除以2得，，
配方得，，
即，，
∴或，
∴，
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）上述解题过程有误，错在步骤③，错误的原因是只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加．
故答案为：③，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加；
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程.
（1）配方时需保证方程两边同时变形，左边加“一次项系数一半的平方”，右边也要加相同数值；
（2）利用移项、化二次项系数为1，两边同时配方，开平方求解的步骤计算即可．
（1）解：上述解题过程有误，错在步骤③，错误的原因是只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加．
故答案为：③，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加；
（2）解：，
移项得，，
两边同除以2得，，
配方得，，
即，，
∴或，
∴，．
20．【答案】（1）
（2）解：四张卡片内容中是化学变化的有：A，D，画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小港抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有：，，共2种，
∴小港抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽中C卡片的结果有1种，
∴抽中C卡片的概率是．
故答案为：；
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，
（1）用“符合条件的结果数÷总结果数”求单张概率；
（2）画树状图列出所有抽取两张的结果，再找符合“化学变化”的结果数计算概率.
（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽中C卡片的结果有1种，
∴抽中C卡片的概率是．
故答案为：；
（2）解：四张卡片内容中是化学变化的有：A，D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小港抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有：，，共2种，
∴小港抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为．
21．【答案】（1）解：直线与反比例函数的图象交于，
，，
，，
一次函数解析式为，反比例函数的解析式为
（2）解：令，得，
，
，将代入，得，
，
如图，连接、，
则
（3）或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：（3），
根据函数图象可得，一次函数值小于反比例函数值的的取值范围为或．
【分析】
本题考查了一次函数与反比例函数综合（解析式、面积以及函数值比较）.
（1）代入交点坐标求函数解析式；
（2）利用割补法，结合直线与x轴交点求三角形面积．
（3）根据交点的横坐标，结合图像找一次函数图象在反比例函数下方的x范围．
（1）解：直线与反比例函数的图象交于，
，，
，，
一次函数解析式为，反比例函数的解析式为；
（2）解：令，得，
，
，将代入，得，
，
如图，连接、，
则.
（3）解：，
根据函数图象可得，一次函数值小于反比例函数值的的取值范围为或．
22．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
由旋转性质得：，
∴，
∴三点在同一条直线上，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
由旋转性质得：，
则，
∴，
在Rt中，，
∴，
∴，
∴，
即的长为。
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，绕着D点旋转90度即可画图。
（2）因为四边形ABCD是正方形，易得，，然后再根据旋转的性质可得，，，进而可得三点共线，然后再利用SAS，易证；设，从而可得，，然后在Rt中，根据勾股勾股定理：，代入数据即可求解。
（1）解：如图所示：
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
由旋转性质得：，
∴，
∴三点在同一条直线上，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
由旋转性质得：，
则，
∴，
在Rt中，，
∴，
∴，
∴，
即的长为．
23．【答案】解：任务一：设车间4月份到6月份生产数量的平均增长率x，由题意得，
解得或（舍去）．
答：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率；
任务二：设该零件的实际售价m元，
由题意得，
整理得，
解得或．
∵要尽可能让车企得到实惠，
∴．
答：该零件的实际售价应定为50元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设平均增长率为x，利用“ 零件4月份生产100个，6月份生产144个 ”列一元二次方程解题即可；
（2）设该零件的实际售价m元，根据总利润=单利润×销售量，列关于m的一元二次方程解答即可．
24．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵，为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，过点作于点，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∵阴影部分的面积等于，
∴阴影部分的面积为：．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；切线的判定；扇形面积的计算；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）连接，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，根据等腰三角形“等边对等角”性质得到，，进行等量代换，由平行线的判定得到，然后根据平行线的性质即可得到，最后根据切线的判定得证结论；
（2）过点作于点，求出，根据含30°的直角三角形的性质得到，利用勾股定理求出，然后证明是等边三角形，得到，根据，求出，由（1）得可得，根据含30°的直角三角形的性质得到，利用勾股定理求出，可得，接下来求出，根据阴影部分的面积等于，利用三角形以及扇形面积公式进行求解即可.
（1）证明：连接，
∵在中，，为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是半径，
∴是的切线．
（2）解：过点作于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∵阴影部分的面积等于，
∴阴影部分的面积为：．
25．【答案】（1）
（2）解：设，则是的二次函数，
，
∴抛物线开口向上，
又∵当时，，解得，
∴由此得抛物线的大致图象如图所示：
∴观察函数图象可知：当或时，，
的解集是：或．
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；作图-二次函数图象
【解析】【解答】解：（1）观察函数图象可知：当时，，
∴一元二次不等式的解集是：，
故答案为：.
【分析】（1）观察函数图象，得出时对应的的取值范围即可；
（2）根据材料例题的解法，画出的函数图象，然后观察函数图象，得出时对应的的取值范围即可.
26．【答案】（1）（1）解：抛物线经过，两点，
，解得：，
二次函数解析式是
（2）解：抛物线的对称轴上存在点，使的周长最小，理由如下：
二次函数解析式是，
当时，，
，
抛物线的对称轴为直线，点、关于对称轴对称，
点为与对称轴的交点时，的值最小．
设直线的解析式为，
把，代入，得：
，解得：．
直线的解析式为．
抛物线的对称轴为直线．
当时，．
在抛物线的对称轴上存在点，使的周长最小
（3）解：拋物线过，，
拋物线的对称轴为，
设，
，
，
如图：连接，则，
，
切线为边长的正方形的面积为，
过点作轴，垂足为，
则：，
，
，
，
假设过点，则有以下两种情况：
①如图：当点在点的上方，即，
，
解得：或，
，
；
②如图2：当点在点的下方，即，
，
解得：，
，
；
综上，或．
当不经过点时，或或
【知识点】切线的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，圆的切线的性质，勾股定理等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键．（1）代入点坐标求抛物线解析式；
（2）先求出点坐标，利用抛物线的对称性，将周长最小转化为“两点之间线段最短”即点为与对称轴的交点时，的值最小．求出直线的解析式，即可得到点的坐标；
（3）设，则，连接，则，由切线性质结合勾股定理得到为边长的正方形的面积为，过点作轴，垂足为，计算出的面积，与正方形面积建立等式并化简求出，假设过点，则有以下两种情况：①当点在（3，2）的上方时；②当点在（3，2）的下方时，分别求出的值，又因为不经过（3，2），由此可得PM的取值范围.
（1）解：抛物线经过，两点，
，解得：，
二次函数解析式是；
（2）解：抛物线的对称轴上存在点，使的周长最小，理由如下：
二次函数解析式是，
当时，，
，
抛物线的对称轴为直线，点、关于对称轴对称，
点为与对称轴的交点时，的值最小．
设直线的解析式为，
把，代入，得：
，解得：．
直线的解析式为．
抛物线的对称轴为直线．
当时，．
在抛物线的对称轴上存在点，使的周长最小；
（3）解：拋物线过，，
拋物线的对称轴为，
设，
，
，
如图：连接，则，
，
切线为边长的正方形的面积为，
过点作轴，垂足为，
则：，
，
，
，
假设过点，则有以下两种情况：
①如图：当点在点的上方，即，
，
解得：或，
，
；
②如图2：当点在点的下方，即，
，
解得：，
，
；
综上，或．
当不经过点时，或或．
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