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【满分冲刺】线段中的动态模型 尖子生培优卷
【知识储备】
1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。
2、线段的动态模型解题步骤：
1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段；
3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。
模型1.动态线段中的和差倍分模型（求值模型）
例1（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）【问题背景】如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，其中一点到达点A处即两动点均停止运动．
【问题探究】（1）点C，D的速度分别是，。①若，当动点C，D运动了2s时，求的长度；②若经过t秒，点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，求t的值；
【问题解决】（2）动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长度．
【答案】（1）①；②；（2）
【详解】（1）①
C，D运动了 ；
②根据题意得，
点C为的中点，点D为的中点；
（2）设运动时间为，则
．
例2（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点P是定长线段上一点，从点从点B同时出发分别以每秒厘米的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），并满足下列条件：
①关于m、n的单项式与的和仍为单项式；②在运动过程中，总有．
(1)直接写出：_______，_______；(2)求出的值，并说明理由：(3)在运动过程中，分别是的中点，运动t秒时，恰好满足，求此时的值．
【答案】(1)1，2(2)3(3)
【详解】（1）解：∵关于、的单项式与的和仍为单项式，
∴单项式与是同类项，∴，故答案为：1，2；
（2）设运动了t秒，则设，则，
故答案为：3；
（3）设，由（2）知，，
①当点在线段上时，，解得：，
②当点在线段的延长线上时，，解得：，(不合题意，舍去)，
综上所述，．
例3（24-25七年级上·陕西商洛·期末）如图，点在线段上，，，动点从点出友，沿线段以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，动点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒．
(1)当点与点相遇时，求的值．(2)当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值．
(3)当时，求的值．
【答案】(1)(2)当或时，点与点之间的距离为个单位长度(3)
【详解】（1）解：∵点在线段上，，，
∴，依题意，，
当点与点相遇时，解得：；
（2）解：相遇前点与点之间的距离为个单位长度时，，解得：，
相遇前点与点之间的距离为个单位长度时，则，解得：，
综上所述，当或时，点与点之间的距离为个单位长度；
（3）∵，当在线段上时，，此时，
∵，∴，解得：（舍去）
当在线段上时，，此时，
∵，∴，解得：，∴
模型2.动态线段中的 定值模型
例1（24-25七年级上·成都·单元测试）如图，P是线段AB上任意一点，，点C，D分别从点P，B同时向点A运动，且点C的运动速度为，点D的运动速度为，运动的时间为t．
(1)若．①运动后，求的长；②当点D在线段上运动时，试说明；
(2)如果时，，试探索的长度．
【答案】(1)①；②见解析(2)或
【详解】（1）①由题意可知，．
因为，所以，所以．
②因为，所以，所以，
所以，所以．
（2）当时，．
①当点在点的右边时，如图，
因为，所以，所以，所以；
②当点在点的左边时，如图，
则有，所以．
综上所述，的长度为或．
例2（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，点A，B，C，D是同一直线上从左到右依次排列的四点，，，且a，b满足：，．
(1) ， ；(2)线段以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动．①求运动多少秒时，线段重合的长度为2；②当点B和C重合时，线段立即以原来2.5倍的速度向右运动，线段的运动状态不变，若线段向右运动过程中，式子的值为定值n，请求m和n的值．
【答案】(1)6；3(2)①秒或秒；②
【详解】（1）解：∵，且，，
∴，，∴；故答案为6，3；
（2）解：①设运动时间为t秒，
当时，∵点经过的路程为，点经过的路程为t，，
∴，解得；
当时，∵，∴，解得；
故运动秒或秒时，线段重合的长度为2；
②设相遇后运动时间为x秒，∵运动路程为，运动路程为，则，
∴，，
∴，
∵的值为定值n，∴，∴，∴．故．
例3（2024七年级上·重庆·专题练习）如图①，已知线段，，线段在射线上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且
(1)若，求的长．(2)当在线段的延长线上时，如图②所示，若点分别是线段的中点，求的长．(3)当运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由．
【答案】(1)或(2)(3)是，见解析
【详解】（1）解：∵，，，
，解得：，，
若，则有以下两种情况，①当点C在点B的左侧时，如图1①所示：
，，；
②当点C在点B的右侧时，如图1②所示：
，；
综上所述：线段的长为或．
（2）解：设，如图2所示：
，∵点分别是线段的中点，
， ，∴，
∴；
（3）解：为定值，理由如下：设，
∵点D与点B重合，点C在点D的左侧，∴点C在线段上，
又∵点P在线段的延长线上，如图3所示：
∴，∴，
∴．∴为定值．
模型3.动态线段中的存在性模型（探究型）
例1（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线上有A、B两点，，上有两个动点P、Q．点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动．设运动时间为（秒）．
(1)请用含t的代数式表示线段的长．(2)当点B是线段的中点时，求t的值．
(3)运动过程中，点P和点Q能否重合？若能重合，几秒后重合？
(4)运动过程中，线段与线段的长度能否相等？若能相等请求出t值，若不能请说明理由．
【答案】(1)当时，；当时，(2)(3)能重合，(4)
【详解】（1）解：根据题意，点P的速度为每秒个单位长度，点P运动到点B需要用时间为，当时，秒过后，点P运动的路程为，
∵，∴，∴；
当时，秒过后，点P运动的路程为，
∵，，∴即．
（2）解：根据题意，点P每秒个单位长度，点P运动到点B需要用时间为，
当时，秒过后，点P运动的路程为，
∵，∴，∴；
∵点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动．
∴秒过后，点Q运动的路程为，
∵点B是线段的中点．∴，∴，解得，
即点P、Q出发秒钟后，点B是线段的中点．
（3）解：假设点P、Q出发t秒钟后，点P和点Q重合，则，
∴．解得：；故点P、Q出发秒钟后，点P和点Q重合．
（4）解：当点P在点Q左侧时，线段与线段的长度不可能相等．
当点P在点Q右侧时，设点P、Q出发t秒钟后，线段与线段的长度相等，根据题意，得，解得：．当时，线段与线段的长度相等．
例2（24-25七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为，点B表示的数为6．若动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒．
(1)当时，点M表示的数是____________，点N表示的数是____________；(2)当时，求t的值；
(3)若点C为的中点，点D为的中点，当点M、N在线段上运动，且点M在点N的左侧时，试猜想与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)，4(2)t的值为3或5(3)，理由见详解
【详解】（1）解：当时，点M表示的数是，点N表示的数是．
故答案为：，4；
（2）解：由题意得，点M表示的数为，点N表示的数为，
当点M在点N左侧时，，解得；
当点M在点N右侧时，，解得．所以当时，求t的值为3或5；
（3）解：．证明：如图，当点M在点N的左侧时，，，
所以，所以，
因为点C为的中点，点D为的中点，所以，，
所以，所以，
所以，所以．
例3（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．

(1)当点在线段上且时，求和的长．
(2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒．①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由．
②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)，(2)①或；②
【详解】（1）解：∵是线段的中点，．∴，
∵是线段的中点，∴，∴，
∵点在线段上且，∴；

（2）解：①存在，
当P、Q相遇时，∵，∴，
∵，∴，解得；
当P、Q相遇后，∵，∴，解得；故或；

②，理由：∵分别是线段和的中点，，
∴，
∵，∴，
∵，∴，∴．

模型4.动态线段中的分类讨论模型
例1（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，P是线段上任一点，两点分别从同时向A点运动，且C点的运动速度为点的运动速度为，运动的时间为．
(1)若，①运动后，求的长．②当D在线段运动上时，探究与的数量关系．
， ，， ，
，与的数量关系为 ．
(2)如果时，，直接写出的值．
【答案】(1)①；②4，，(2)9或11
【详解】（1）①由题意可知：，，
∵，，∴，∴；
②∵，， ∴，，∴，
∴，∴；
（2）当时，，，
当点D在C的右边时，如图所示：
由于，∴，∴，，
当点D在C的左边时，如图所示：
∴，∴，综上所述，或11．
例2（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，线段，点A在点B的左边．
(1)点C在直线上，，则 ．(2)点D在线段上，．动点P从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线向右运动，点Q为的中点，设运动时间为t秒，①当t为何值时，？②动点R从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线向左运动，若P、R两点同时出发，相遇后分别保持原来运动方向不变，速度都增加2个单位长度每秒．在整个运动过程中，当时， ．
【答案】(1)10或30 (2)①t为1或5；②2或4
【详解】（1）解：点C在线段上，∵，，∴；
点C在线段的延长线上，∵，，
∴∴．综上分析可知：或30．
（2）解：①点Q在点D的左侧，依题意有，解得；
点Q在点D的右侧，依题意有，解得．
综上分析可知：当t为1或5时，；
②根据题意可知：∵点D在线段上，，∴，点P，R相遇时， ，解得，
点P，R相遇前，即当时，，，，
点P，R相遇后，即当时，，，
，
综上可得；
当时，，；
点P到达点B时，，解得，
当点P到达点B前，即当时，，
当点P到达点B后，即当时，，
综上可得；
点P，R相遇前，即当时，，，
点P，R相遇后，即当时，，，
综上可得；
当时，分三种情况：
当点P，R相遇前，即当时，依题意有，解得；
当点P，R相遇后，且点P到达点B前，即当时，
依题意有，解得（舍去）；
当点P，R相遇后，且点P到达点B后，即当时，
依题意有，解得．
综上分析可知：或4．故答案为：2或4．
例3（24-25七年级上·重庆·专题练习）如图，线段，C为的中点，点P从点A出发，以的速度沿线段向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿线段向左运动，到点A停止．若两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点P的运动时间为x（x＞0）s．(1) ．(2)是否存在某一时刻，使得这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)存在，当或时，三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点
【详解】（1）线段，C为的中点，
．
（2）存在．依题意得：，
由（1）可知：，
分三种情况讨论如下：
①当点C为的中点时：则，如图1所示：
，，
，解得：（不合题意，舍去）；
②当点P为的中点时，则，如图1所示：
，，
，，解得：；
③当Q为的中点时，则，如图2所示：
，，，解得：．
综上所述：当或时，三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点．
模型5.动态线段中的新定义模型
例1（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作，
【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ．
【深入研究】当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时．
问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由；
【拓展提升】问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点．
【答案】（1）3（2）①②（3）当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点
【详解】解：（1），根据题意得，，∴表示的数是；
（2）①点C在线段上时，如图所示，
∵线段，的中点分别为点M，N，∴，
又，∴；
②点C在线段的延长线上时，当时，，
如图所示，此时，点是线段的中点，即点与点重合，
∵点为线段的中点，∴，∴；
（3）点运动到终点所需时间为秒，点运动到终点所需时间是秒，设运动时间为秒，讨论如下：①如图所示，当时，根据题意得，，解得；
②如图所示，当时，根据题意得，解得；
③如图所示，当时，根据题意得，解得（舍去）；
④如图所示，当点到达点折返回来后，时，根据题意得，解得；
综上，当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点．
例2（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【新知理解】如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”．
（1）线段的中点______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）；
（2）若，点是线段的巧点，则最长为______；
【解决问题】（3）如图②，已知，动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，为、的巧点？说明理由．
【答案】（1）是；（2）；（3）当为或或时，为、的巧点
【详解】（1）解：∵点在线段上，点为线段的中点，
∴，∴点是线段的的“巧点”，故答案为：是．
（2）解：点在线段上，点为线段的巧点，∴则最长时，满足，
即，∴，故答案为：．
（3）解：秒后，，，，
∵为、的巧点∴或，或，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
∴当为或或时，为、的巧点．
例3（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）直线l上有三个点A、B，C，，，点M从点A已发，沿直线l以每秒的速度向点C运动，到达点C后立即原速返回到点A；点N从点B出发，沿直线l以每秒的速度向点C运动，到达点C后停止，若运动过程中某一时刻满足（且为正整数），则称此时是点M、N的一次“n时刻”．点M，N同时出发，直到点M返回点A运动结束，设运动时间为ts．(1)当时，点M，N到达“______分时刻；(2)当t为何值时，点M，N到达”3分时刻”？
(3)当______时，点 M、N到达“8分时刻”？(4)进一步探究发现点M、N到达“n分时刻”的次数随着n的变化而变化，请直接写出对于n的每一个值点M、N到达“n分时刻”的次数．
【答案】(1)2(2)或(3)或或或(4)见解析
【详解】（1）解：当时，，，如图：
，
，∴．点M，N到达“2分时刻”．故答案为：2；
（2）解∶当时，；
当时，；
当时，；
当M、N两点重合时，或，解得或，
点M，N到达“3分时刻”，．
①当 时，，∴，解得 ；
②当时，，∴，
解得 ，不合题意，舍去；
③当 时，，∴，
解得 ，不合题意，舍去；
④当时，，∴，解得 ；
⑤当时，，∴，解得 （舍去）；
综上所述，当t为或时，点M、N达到“3分时刻”；
（3）解∶ 当时，；
当时，；
当时， ；
若时，则，
当M、N两点重合时， 或，解得或，
①当 时，，∴，解得 ；
②当时，，∴，解得 ；
③当 时，，∴，解得 ；
④当时，，∴，解得 ；
⑤当时，，∴，解得 （舍去）；
综上所述，当t为或或或时，点M、N达到“8分时刻”；故答案为：或或或；
（4）解∶ 同（3）的方法可知，当时，有2个对应的t；
当时，有3个对应的t；
当时，有4个对应的t．中小学教育资源及组卷应用平台
【满分冲刺】线段中的动态模型 尖子生培优卷
【知识储备】
1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。
2、线段的动态模型解题步骤：
1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段；
3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。
模型1.动态线段中的和差倍分模型（求值模型）
例1（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）【问题背景】如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，其中一点到达点A处即两动点均停止运动．
【问题探究】（1）点C，D的速度分别是，。①若，当动点C，D运动了2s时，求的长度；②若经过t秒，点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，求t的值；
【问题解决】（2）动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长度．
例2（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点P是定长线段上一点，从点从点B同时出发分别以每秒厘米的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），并满足下列条件：
①关于m、n的单项式与的和仍为单项式；②在运动过程中，总有．
(1)直接写出：_______，_______；(2)求出的值，并说明理由：(3)在运动过程中，分别是的中点，运动t秒时，恰好满足，求此时的值．
例3（24-25七年级上·陕西商洛·期末）如图，点在线段上，，，动点从点出友，沿线段以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，动点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒．
(1)当点与点相遇时，求的值．(2)当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值．
(3)当时，求的值．
模型2.动态线段中的 定值模型
例1（24-25七年级上·成都·单元测试）如图，P是线段AB上任意一点，，点C，D分别从点P，B同时向点A运动，且点C的运动速度为，点D的运动速度为，运动的时间为t．
(1)若．①运动后，求的长；②当点D在线段上运动时，试说明；
(2)如果时，，试探索的长度．
例2（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，点A，B，C，D是同一直线上从左到右依次排列的四点，，，且a，b满足：，．
(1) ， ；(2)线段以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动．①求运动多少秒时，线段重合的长度为2；②当点B和C重合时，线段立即以原来2.5倍的速度向右运动，线段的运动状态不变，若线段向右运动过程中，式子的值为定值n，请求m和n的值．
例3（2024七年级上·重庆·专题练习）如图①，已知线段，，线段在射线上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且
(1)若，求的长．(2)当在线段的延长线上时，如图②所示，若点分别是线段的中点，求的长．(3)当运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由．
模型3.动态线段中的存在性模型（探究型）
例1（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线上有A、B两点，，上有两个动点P、Q．点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动．设运动时间为（秒）．
(1)请用含t的代数式表示线段的长．(2)当点B是线段的中点时，求t的值．
(3)运动过程中，点P和点Q能否重合？若能重合，几秒后重合？
(4)运动过程中，线段与线段的长度能否相等？若能相等请求出t值，若不能请说明理由．
例2（24-25七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为，点B表示的数为6．若动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒．
(1)当时，点M表示的数是____________，点N表示的数是____________；(2)当时，求t的值；
(3)若点C为的中点，点D为的中点，当点M、N在线段上运动，且点M在点N的左侧时，试猜想与之间的数量关系，并说明理由．
例3（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．

(1)当点在线段上且时，求和的长．
(2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒．①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由．
②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由．
模型4.动态线段中的分类讨论模型
例1（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，P是线段上任一点，两点分别从同时向A点运动，且C点的运动速度为点的运动速度为，运动的时间为．
(1)若，①运动后，求的长．②当D在线段运动上时，探究与的数量关系．
， ，， ，
，与的数量关系为 ．
(2)如果时，，直接写出的值．
例2（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，线段，点A在点B的左边．
(1)点C在直线上，，则 ．(2)点D在线段上，．动点P从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线向右运动，点Q为的中点，设运动时间为t秒，①当t为何值时，？②动点R从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线向左运动，若P、R两点同时出发，相遇后分别保持原来运动方向不变，速度都增加2个单位长度每秒．在整个运动过程中，当时， ．
例3（24-25七年级上·重庆·专题练习）如图，线段，C为的中点，点P从点A出发，以的速度沿线段向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿线段向左运动，到点A停止．若两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点P的运动时间为x（x＞0）s．(1) ．(2)是否存在某一时刻，使得这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．
模型5.动态线段中的新定义模型
例1（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作，
【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ．
【深入研究】当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时．
问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由；
【拓展提升】问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点．
例2（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【新知理解】如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”．
（1）线段的中点______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）；
（2）若，点是线段的巧点，则最长为______；
【解决问题】（3）如图②，已知，动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，为、的巧点？说明理由．
例3（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）直线l上有三个点A、B，C，，，点M从点A已发，沿直线l以每秒的速度向点C运动，到达点C后立即原速返回到点A；点N从点B出发，沿直线l以每秒的速度向点C运动，到达点C后停止，若运动过程中某一时刻满足（且为正整数），则称此时是点M、N的一次“n时刻”．点M，N同时出发，直到点M返回点A运动结束，设运动时间为ts．(1)当时，点M，N到达“______分时刻；(2)当t为何值时，点M，N到达”3分时刻”？
(3)当______时，点 M、N到达“8分时刻”？(4)进一步探究发现点M、N到达“n分时刻”的次数随着n的变化而变化，请直接写出对于n的每一个值点M、N到达“n分时刻”的次数．

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