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1.2 二次根式的乘法和除法 同步讲义
知识点1 二次根式的乘法
1. 二次根式的乘法法则
两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根，即．
例如：．
2. 二次根式的乘法法则的拓展
（1）二次根式的乘法公式可推广到多个二次根式相乘的运算，即．
（2）当二次根式前面有系数时，类比单项式乘法，将根号前的系数相乘，作为积的系数，即．
知识点2 积的算术平方根
1. 积的算术平方根等于积中各个因式算术平方根的积，即．
运用此公式时，被开方数必须能写成乘积的形式．
2. 该法则可以推广到多个非负数的积的算术平方根的运算，即．
3. 应用：化简二次根式，先将被开方数进行因数分解或因式分解，再利用和，将能开得尽方的因数或因式开到根号外．
知识点3 二次根式的除法
1. 二次根式的除法法则
两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根，即．
2. 二次根式的除法公式可以推广到多个二次根式相除的运算，即．
3. 二次根式前面有系数时，可类比单项式与单项式相除的法则，把系数和被开方数分别相除作为积的因式，即．
知识点4 商的算术平方根
商的算术平方根等于商中各个因式算术平方根的商，即．
知识点5 最简二次根式
1. 被开方数不含分母，并且被开方数中不含能开得尽方的因数（或因式），分母中不含根号，这样的二次根式称为最简二次根式．
2. 化为最简二次根式的步骤
（1）把根号下的带分数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数，被开方数是多项式时，先因式分解；
（2）将被开方数中能开尽的因数(或因式）进行开方；
（3）利用，使被开方数中不含分母；
（4）分母有理化，化去分母中的根号；
（5）约分化简，整理成最简二次根式．
【题型1 二次根式乘除成立的条件】
【例1】对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件得出不等式组，再解不等式组即可得出结果．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得，
，
故选：D．
【点睛】二次根式有意义的条件，及解不等式组，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是本题的关键．
【变式1-1】能使等式成立的条件是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】利用二次根式的性质得出，，进而求出即可．
【详解】解： 成立，
，，
解得：．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，正确利用二次根式的性质求出是解题关键．
【变式1-2】等式成立的条件是
【答案】.
【分析】根据二次根式的乘法法则和二次根式有意义的条件得出关于b的不等式组，解不等式组即可得出答案.
【详解】解：根据题意，得：，解得：.
故答案为.
【点睛】本题考查的是二次根式的乘法，熟知二次根式的被开方数非负是解此题的关键.
【变式1-3】小路在学习了后， 认为也成立，因此他认为一个化简过程： 是正确的．
(1)你认为他的化简对吗？ 如果不对，请写出正确的化简过程；
(2)说明成立的条件．
【答案】(1)不对，见解析
(2)且
【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．
（1）根据二次根式的被开方数的非负性可得他的化简不对，利用二次根式的性质化简即可得；
（2）根据二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能等于0即可得．
【详解】（1）解：因为二次根式的被开方数不能小于0，所以他的化简不对．
正确的化简过程如下：
．
（2）解：因为二次根式的被开方数不能小于0、分式的分母不能等于0，
所以成立的条件是且．
【题型2 最简二次根式】
【例2】（24-25八年级下·湖北随州·期中）下列各式①；②；③；④；⑤（a为正整数），其中一定是最简二次根式的有（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键．根据最简二次根式的定义进行判定即可．
【详解】解：，不是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
是最简二次根式；
（a为正整数）是最简二次根式；
故选C．
【变式2-1】（24-25八年级上·山西运城·期末）把化成最简二次根式的结果为 .
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【变式2-2】（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）若最简二次根式与最简二次根式相等，则 ． ．
【答案】 3 5
【分析】本题考查最简二次根式的定义，同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
根据题意可知，同类二次根式的被开方数相同，根指数相同，可得答案．
【详解】解：最简二次根式与最简二次根式相等，
∴，
解得：，．
故答案为：3，5．
【变式2-3】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知是一个正整数，也是正整数，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．10 D．20
【答案】B
【分析】本题考查了最简二次根式，利用二次根式的运算法则化简是解题的关键．由是正整数且，得到是完全平方数，即可求出的最小值．
【详解】解：是正整数，，
是完全平方数，
的最小值为5．
故选：B．
【题型3 根号内、外的因式互移】
【例3】把根号外的因式移到根号内结果为 ．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是根据题意得出．
【变式3-1】若把根号外的因式移到根号内，得（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把4写成的形式，利用二次根式的乘法法则即可得到．
【详解】解：．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法法则，以及二次根式的化简，解题的关键是避免出现符号错误的问题．
【变式3-2】将 中的a移到根号内，结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的性质．先判断出，再根据二次根式的性质即可求解．
【详解】∵，
∴，
∴．
故选：B
【变式3-3】（24-25九年级上·四川眉山·阶段练习）把根号外面的因式移到根号里面化简的结果是 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，根据题意可得，据此利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
【题型4 分母有理化】
【例4】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）对于有理数和，定义了一种新运算：，例如 ，则为 ．
【答案】/
【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据新定义代入计算求值即可．
【详解】解：由题意得：，
故答案为：．
【变式4-1】（24-25八年级上·上海·期中）写出的一个有理化因式 ．
【答案】
【分析】本题主要考查分母有理化的方法，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．根据二次根式的性质，求解即可．
【详解】解：∵，
∴的一个有理化因式为，
故答案为：（答案不唯一）
【变式4-2】（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）已知，则= ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解不等式组，分母有理化．根据题意先列出根式有意义时的x取值范围，继而求得y值，再代入分母有理化即可求出本题答案．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式4-3】（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）对于任意不相等的两个正实数a，b，定义一种运算“※”如下：，例如：．
（1） ；
（2） ．
【答案】
【分析】本题考查定义新运算，二次根式分母有理化，平方差公式等．
（1）根据题意利用题中例子计算即可；
（2）根据题意先将展开计算，再计算，最后分母有理化即可．
【详解】解：（1）由定义新运算知，
故答案为：；
（2）
，
故答案为：．
【题型5 分子有理化】
【例5】【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方．，则．
请利用“平方法”解决下面问题：
（1）比较大小，c______d（填写“>”“<”或“=”）．
（2）猜想之间的大小，并说明理由．
【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如，
比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，．，．
（3）根据材料，请选择合适的方法比较与的大小，写出具体比较过程．
【答案】（1） （2） （3）
【分析】本题考查了平方法、分母有理化、倒数比较实数的大小，解题的关键是求出．
（1）模仿题干中的“平方法”比较大小即可；
（2）模仿题干中的“平方法”比较大小即可；
（3）可利用分子有理数比较大小即可．
【详解】解：（1），
；
（2），
，
；
（3），又
，
．
【变式5-1】（2025八年级下·全国·专题练习）将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：；
．根据上述知识，请你完成下列问题：
(1)比较大小：（填“”，“”或“”）；
(2)计算：；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查二次根式的性质，二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键．
（1）先分母有理化得到，，然后比较大小即可；
（2）先分母有理化，然后合并同类二次根式；
（3）先利用分母有理化得到，则移项得到，再两边平方可得到，然后把变形位，最后利用整体代入的方法计算．
【详解】（1）解：，，
∵，
∴；
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式5-2】（24-25八年级上·北京顺义·期末）请解决下列问题：
(1)把下列各式分子有理化：
①；②；
(2)比较和的大小，并说明理由；
(3)将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________．
【答案】(1)①； ②
(2)，理由见解析
(3)，
【详解】（1）解： ，
，
故答案为：，；
（2）解：由， ，
又∵，
∴．
∴，
（3）解：
，
∵，
∴，
∴当时，有最大值，即有最大值，
故答案为：，．
【变式5-3】（24-25八年级下·北京·期中）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，学习了分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”；与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：
，，
因为，．
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由，可知，而，
当时，分母有最小值，所以的最大值是．
解决下述问题：
(1)________；
(2)比较和的大小；
(3)求的最大值．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【分析】本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去．也考查了平方差公式．
（1）利用分母有理化得到，即可解答；
（2）将变形为，变形为，利用即看判断；
（3）根据二次根式有意义的条件得到由，则，利用分母有理化得到，由于时，有最小值3，从而得到y的最大值．
【详解】（1）解：；
（2）解：，
，
∵，
∴；
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴时，有最小值，
∴的最大值为．
【题型6 二次根式的乘除运算】
【例6】（24-25八年级下·北京·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，利用二次根式的性质化简，掌握运算法则是解题的关键．
利用二次根式的乘除运算法则，利用二次根式的性质化简，分别判断即可．
【详解】解：A、，原选项错误，不符合题意；
B、，由于等号右边被开方数是负数，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，符合题意；
故选：D．
【变式6-1】计算的结果是（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的乘除混合运算的运算顺序和运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合与运算，解题的关键是掌握二次根式的乘除混合运算法则和运算顺序．
【变式6-2】（24-25九年级下·山东威海·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)已知，A、B为最简二次根式，且，求．
【答案】(1)44
(2)
(3)14
【分析】本题主要考查了最简二次根式、二次根式的性质与化简、二次根式的混合运算法则等知识点，灵活运用相关性质和运算法则是解题的关键．
（1）先根据二次根式的性质化简，二次根式的混合运算法则计算即可；
（2）先根据二次根式的性质化简，然后根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可；
（3）根据最简二次根式的定义可得，可得：，进而可得、，然后求出，从而可得，进而可得，然后把x，y的值代入中计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）
．
（3）解：∵A、B为最简二次根式，
∴，可得：，
∴、，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴的值为14．
【变式6-3】（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）幻方是一种传统游戏，类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则的值为 ．
5
10
【答案】/
【分析】本题考查二次根式的运算，先根据幻方规则和二次根式的混合运算分别求得A、B、C、D，然后代值求解即可．
【详解】解：∵方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，
∴，
，
，
，
∴
．
故答案为：．
【题型7 二次根式的化简求值】
【例7】已知，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据与互为有理化因式，利用平方差公式求得，即可求得．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法及有理化因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
【变式7-1】已知，则值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的化简求值，根据推出，再将化为，最后代入计算即可．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴值为．
故选：A．
【变式7-2】先化简，再求值：，其中实数x、y满足．
【答案】，
【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x，y的值，然后把所给代数式化简后代入计算．
【详解】解：由题意得，解得，于是，
∴原式=
=
∴原式=
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，以及二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．
【变式7-3】若三个正数a，b，c满足a+4+3b﹣2﹣c＝0，则的值是 ．
【答案】
【详解】根据完全平方公式进行添加减项将原式凑成完全平方公式，即可得出答案正数．
【解答】解：a+4+3b﹣2﹣c＝0，
，
，
∵a，b，c是正数，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，掌握配方法，和完全平方公式是解题关键．
【题型8 实数范围内分解因式】
【例8】在实数范围内分解因式：．
【答案】
【分析】根据完全平方公式和平方差公式求解即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查在实数范围内分解因式，熟记公式，能将12写成是利用平方差公式的关键．
【变式8-1】（2025·江苏泰州·三模）在实数范围内分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，综合运用提公因式法与平方差公式，因式分解的步骤一般是：先考虑提公因式法，其次考虑公式法，这是因式分解的两种基本的方法．
先提公因式，然后再利用平方差公式进行分解即可．
【详解】解：
故答案为：．
【变式8-2】（2025·江苏无锡·一模）在实数范围内分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解的方法，分母有理化，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是本题的解题关键．
先提起公因式，然后用平方差公式分解因式．
【详解】解：，
故答案为：．
【变式8-3】在实数范围内分解因式， ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，二次根式的乘法，熟练掌握公式法进行因式分解是解决本题的关键．根据题意，利用十字相乘因式分解．
【详解】解：
．
【题型9 二次根式乘除的应用】
【例9】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，有一张边长为 的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，每个小正方形的边长为 ．求剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积．
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式运算的应用，准确的计算是解题的关键．利用大正方形的面积减去四个小正方形的面积即可得出答案；
【详解】解：由题意，得
故剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积为
【变式9-1】（24-25八年级上·贵州毕节·期末）“海阔千江辏，风翻大浪随．”海浪的大小与风速和风压有很大的关系，用风速估计风压的通用公式为，其中为风压，v为风速，当风压为时，估计风速为 ．
【答案】20
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据题中的通用公式表示出风速的表达式，求解即可得出答案．
【详解】解：由题中给出的公式可知，
当风压为时，风速为，
故答案为：20．
【变式9-2】（24-25八年级下·福建厦门·期中）汽车刹车距离是指汽车从开始刹车到完全停止所行驶的距离，它反应了汽车的制动性能和行驶安全性，刹车距离越短，说明汽车的制动性能越好，行驶越安全，刹车距离与行驶速度之间的关系可以表示为公式，其中v表示车辆行驶速度（单位），表示刹车后车轮滑过的距离（单位）f表示动摩擦因数，根据我国国家标准，100公里刹车距离在42米以内是比较优秀的，（100公里刹车距离表示汽车行驶速度的刹车距离），据测量，某汽车的动摩擦因数，试判断该汽车的100公里刹车距离是否符合我国的优秀标准．
【答案】该汽车的100公里刹车距离符合我国的优秀标准
【分析】本题考查二次根式的实际应用，根据题意求出刹车距离是解题的关键．
根据题意，代入数据计算即可．
【详解】解∶ 根据题意得，
解得，
，
该汽车的100公里刹车距离符合我国的优秀标准．
【变式9-3】（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．设从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的应用，根据题意求出、，再计算与的比值即可得解．正确进行计算是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：，
故选：A．中小学教育资源及组卷应用平台
1.2 二次根式的乘法和除法 同步讲义
知识点1 二次根式的乘法
1. 二次根式的乘法法则
两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根，即．
例如：．
2. 二次根式的乘法法则的拓展
（1）二次根式的乘法公式可推广到多个二次根式相乘的运算，即．
（2）当二次根式前面有系数时，类比单项式乘法，将根号前的系数相乘，作为积的系数，即．
知识点2 积的算术平方根
1. 积的算术平方根等于积中各个因式算术平方根的积，即．
运用此公式时，被开方数必须能写成乘积的形式．
2. 该法则可以推广到多个非负数的积的算术平方根的运算，即．
3. 应用：化简二次根式，先将被开方数进行因数分解或因式分解，再利用和，将能开得尽方的因数或因式开到根号外．
知识点3 二次根式的除法
1. 二次根式的除法法则
两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根，即．
2. 二次根式的除法公式可以推广到多个二次根式相除的运算，即．
3. 二次根式前面有系数时，可类比单项式与单项式相除的法则，把系数和被开方数分别相除作为积的因式，即．
知识点4 商的算术平方根
商的算术平方根等于商中各个因式算术平方根的商，即．
知识点5 最简二次根式
1. 被开方数不含分母，并且被开方数中不含能开得尽方的因数（或因式），分母中不含根号，这样的二次根式称为最简二次根式．
2. 化为最简二次根式的步骤
（1）把根号下的带分数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数，被开方数是多项式时，先因式分解；
（2）将被开方数中能开尽的因数(或因式）进行开方；
（3）利用，使被开方数中不含分母；
（4）分母有理化，化去分母中的根号；
（5）约分化简，整理成最简二次根式．
【题型1 二次根式乘除成立的条件】
【例1】对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】能使等式成立的条件是（ ）
A． B． C． D．或
【变式1-2】等式成立的条件是
【变式1-3】小路在学习了后， 认为也成立，因此他认为一个化简过程： 是正确的．
(1)你认为他的化简对吗？ 如果不对，请写出正确的化简过程；
(2)说明成立的条件．
【题型2 最简二次根式】
【例2】（24-25八年级下·湖北随州·期中）下列各式①；②；③；④；⑤（a为正整数），其中一定是最简二次根式的有（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2个 D．1个
【变式2-1】（24-25八年级上·山西运城·期末）把化成最简二次根式的结果为 .
【变式2-2】（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）若最简二次根式与最简二次根式相等，则 ． ．
【变式2-3】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知是一个正整数，也是正整数，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．10 D．20
【题型3 根号内、外的因式互移】
【例3】把根号外的因式移到根号内结果为 ．
【变式3-1】若把根号外的因式移到根号内，得（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】将 中的a移到根号内，结果是（　　）
A． B． C． D．
【变式3-3】（24-25九年级上·四川眉山·阶段练习）把根号外面的因式移到根号里面化简的结果是 ．
【题型4 分母有理化】
【例4】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）对于有理数和，定义了一种新运算：，例如 ，则为 ．
【变式4-1】（24-25八年级上·上海·期中）写出的一个有理化因式 ．
【变式4-2】（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）已知，则= ．
【变式4-3】（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）对于任意不相等的两个正实数a，b，定义一种运算“※”如下：，例如：．
（1） ；
（2） ．
【题型5 分子有理化】
【例5】【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方．，则．
请利用“平方法”解决下面问题：
（1）比较大小，c______d（填写“>”“<”或“=”）．
（2）猜想之间的大小，并说明理由．
【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如，
比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，．，．
（3）根据材料，请选择合适的方法比较与的大小，写出具体比较过程．
【变式5-1】（2025八年级下·全国·专题练习）将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：；
．根据上述知识，请你完成下列问题：
(1)比较大小：（填“”，“”或“”）；
(2)计算：；
(3)若，求的值．
【变式5-2】（24-25八年级上·北京顺义·期末）请解决下列问题：
(1)把下列各式分子有理化：
①；②；
(2)比较和的大小，并说明理由；
(3)将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________．
【变式5-3】（24-25八年级下·北京·期中）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，学习了分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”；与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：
，，
因为，．
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由，可知，而，
当时，分母有最小值，所以的最大值是．
解决下述问题：
(1)________；
(2)比较和的大小；
(3)求的最大值．
【题型6 二次根式的乘除运算】
【例6】（24-25八年级下·北京·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】计算的结果是（　　）
A．1 B． C． D．
【变式6-2】（24-25九年级下·山东威海·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)已知，A、B为最简二次根式，且，求．
【变式6-3】（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）幻方是一种传统游戏，类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则的值为 ．
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【题型7 二次根式的化简求值】
【例7】已知，则的值为 ．
【变式7-1】已知，则值为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】先化简，再求值：，其中实数x、y满足．
【变式7-3】若三个正数a，b，c满足a+4+3b﹣2﹣c＝0，则的值是 ．
【题型8 实数范围内分解因式】
【例8】在实数范围内分解因式：．
【变式8-1】（2025·江苏泰州·三模）在实数范围内分解因式： ．
【变式8-2】（2025·江苏无锡·一模）在实数范围内分解因式： ．
【变式8-3】在实数范围内分解因式， ．
【题型9 二次根式乘除的应用】
【例9】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，有一张边长为 的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，每个小正方形的边长为 ．求剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积．
【变式9-1】（24-25八年级上·贵州毕节·期末）“海阔千江辏，风翻大浪随．”海浪的大小与风速和风压有很大的关系，用风速估计风压的通用公式为，其中为风压，v为风速，当风压为时，估计风速为 ．
【变式9-2】（24-25八年级下·福建厦门·期中）汽车刹车距离是指汽车从开始刹车到完全停止所行驶的距离，它反应了汽车的制动性能和行驶安全性，刹车距离越短，说明汽车的制动性能越好，行驶越安全，刹车距离与行驶速度之间的关系可以表示为公式，其中v表示车辆行驶速度（单位），表示刹车后车轮滑过的距离（单位）f表示动摩擦因数，根据我国国家标准，100公里刹车距离在42米以内是比较优秀的，（100公里刹车距离表示汽车行驶速度的刹车距离），据测量，某汽车的动摩擦因数，试判断该汽车的100公里刹车距离是否符合我国的优秀标准．
【变式9-3】（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．设从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（ ）
A． B． C． D．

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