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浙江省嘉兴市清华附中嘉兴实验学校2025-2026学年上学期九年级月考数学试卷
1．（2025九上·嘉兴月考）下列函数中，一定是关于的二次函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、当时，不是二次函数，故A不符合题意；
B、是一次函数，故B不符合题意；
C、里含有分式，故C不符合题意；
D、是二次函数，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的定义：（且是常数），逐项进行判断即可.
2．（2025九上·嘉兴月考）下列事件是必然事件的是（　　）
A．抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和大于2
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．如果a，b为实数，，那么
D．两条直线相交，对顶角相等
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和大于2，是随机事件，故A不符合题意；
B、两条直线被第三条直线所截，只有当两条直线平行时同位角才相等，不是必然事件，故B不符合题意；
C、如果，为实数，，那么或，不是必然事件，故C不符合题意；
D、两条直线相交，对顶角相等，是必然事件，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据必然事件的定义： 在一定条件下一定发生的事件叫做必然事件，据此逐项进行判断即可.
3．（2025九上·嘉兴月考）已知一个扇形的面积是，半径是24，则这个扇形的弧长是（　　）
A． B． C．20 D．
【答案】D
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵一个扇形的面积是，半径是24，
∴，
解得：，
故答案为：D．
【分析】利用扇形面积计算公式“”可直接列出方程并解之即可求解.
4．（2025九上·嘉兴月考）下列命题为真命题的是（　　）
A．三点确定一个圆
B．度数相等的弧相等
C．的圆周角所对的弦是直径
D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
【答案】C
【知识点】圆的相关概念；圆心角、弧、弦的关系；确定圆的条件；真命题与假命题；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故A是假命题，不符合题意；
B、度数相等的弧不一定相等，只有在同圆或等圆中才相等，故B是假命题，不符合题意；
C、的圆周角所对的弦是直径，故C是真命题，符合题意；
D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故D是假命题，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据确定圆的条件，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理推论，结合真命题与假命题的定义，逐项进行分析判断即可.
5．（2025九上·嘉兴月考）已知的半径为，点为平面内一点，，则点与的位置关系是（　　）
A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．无法确定
【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径为，，
∴点到圆心的距离大于圆的半径，
点在外，
故答案为：B．
【分析】根据点与圆的位置关系：①点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外，②点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上，③点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内，据此即可求解.
6．（2025九上·嘉兴月考）如图，四边形内接于，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：，
∴，
四边形内接于，
，
，
故答案为：A.
【分析】根据圆周角定理得到的度数，根据圆内接四边形对角互补的性质得到的度数.
7．（2025九上·嘉兴月考）抛物线的图像经过点，，，则，，大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：抛物线，
抛物线对称轴为直线，
点的对称点为，
∵抛物线开口向上，
∴对称轴左边随的增大而减小，对称轴右边随的增大而增大，
又，
，
故答案为：D．
【分析】先求出抛物线对称轴，然后根据二次函数的对称性，再利用二次函数的增减性可判断值的大小．
8．（2025九上·嘉兴月考）如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点，则点落在阴影部分的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为，
∴总面积为，阴影部分的面积为，
∴点落在阴影部分的概率为：，
故答案为：B．
【分析】设小正方形的边长为1，结合图形得到大正方形的边长为，然后分别求得阴影部分面积和总面积，最后利用概率公式进行求解.
9．（2025九上·嘉兴月考）二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为实数）．其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵抛物线与轴交于负半轴，
，
，故①错误；
，
∴根据图像可得：当时，有，
，故③正确；
∵抛物线对称轴为直线，且开口向上，
∴当时，函数取得最小值，
∴，
，故④正确；
综上所述，正确的结论个数为3个，
故答案为：C．
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴的交点位置可判断①②；根据当时，有，结合可判断③；根据当时，函数取得最小值，可判断④.
10．（2025九上·嘉兴月考）如图，在半径为3的⊙O中，是直径，是弦，是的中点，与交于点．若是的中点，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，连接，，设交于点，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，，
∴是的中位线，，
∴，
∵是的中点，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
又∵半径为3，
∴，，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】连接，，设交于点，根据圆心角、弧、弦之间的关系得，根据等腰三角形”三线合一“性质得出，，由此证得是的中位线，从而得，然后证明，得出由此根据半径的长求出的长，最后利用勾股定理即可求出的长．
11．（2025九上·嘉兴月考）若多边形的一个内角等于144°，且每个内角的度数相等，则这个多边形的边数是 　 　．
【答案】10
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设这个正多边形的边数为，
∵多边形的一个内角等于144°，且每个内角的度数相等，
∴，
解得：，
故答案为：10．
【分析】设这个正多边形的边数为，根据正多边形的内角的和公式为（大于等于3且为整数），正多边形各内角度数为，据此即可得到答案.
12．（2025九上·嘉兴月考）下图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在一常数附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是　 　．（精确到0.01）
【答案】
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意知，估计“钉尖向上”的概率是，
故答案为：．
【分析】用频率估计概率，在大量重复实验时，事件发生的频率固定在某个位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，则可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此即可求解.
13．（2025九上·嘉兴月考）将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位后新的抛物线的顶点坐标是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，
∴平移后新的抛物线解析式为，
∴新的抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
【分析】根据二次函数平移的规律：“左加右减自变量，上加下减常数项”得出新的表达式，且化为顶点式，即可得解.
14．（2025九上·嘉兴月考）如图，为半圆的直径，且，半圆绕点B顺时针旋转，点A旋转到的位置，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：根据题意，得，
∵，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据图形可知：阴影部分的面积=扇形的面积+以为直径的半圆的面积 -以为直径的半圆的面积=扇形的面积”，利用扇形面积公式即可得解.
15．（2025九上·嘉兴月考）如图，内接于，，，为直径，，那么的长为　 　
【答案】
【知识点】圆周角定理；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点作交于点，
∵，
∴，，
∴，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过点作交于点，根据等腰三角形”三线合一“性质以及三角形内角和定理得，，根据圆周角定理以及其推论得，，然后求出，由含30°的直角三角形的性质得，利用勾股定理得，最后即可求出的长度.
16．（2025九上·嘉兴月考）如图，一段抛物线：记为图象，它与x轴交于两点O、；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；…如此进行下去，若点在某段抛物线上，则　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；探索规律-函数上点的规律
【解析】【解答】解：如图，作的直线平行轴，
∵抛物线，
∴图象的顶点坐标为，
∴点和图象的顶点间的一半，横坐标为，
把代入，则，
∴，
由图象可得，每4个单位长度的图象为一个循环，
∵，，
∴点与图象的点中的纵坐标是相等的，
∴，
故答案为：．
【分析】作的直线平行轴，先求出图象的顶点坐标为，从而得点和图象的顶点间的一半，横坐标为，代入抛物线解析式即可求出点坐标，然后由图象可得，每4个单位长度的图象为一个循环，进而得点与点中的纵坐标是相等的，即可求解.
17．（2025九上·嘉兴月考）在一个不透明的袋子中装有6个白色乒乓球和10个黄色乒乓球，这些乒乓球除颜色外都相同．
（1）求从袋子中随机摸出1个乒乓球是白球的概率；
（2）小明从袋子中取出x个黄色乒乓球，同时又放入相同数目的白色乒乓球，发现随机摸出一个乒乓球是白球的概率为，求x的值．
【答案】（1）解：∵袋子中装有6个白色乒乓球和10个黄色乒乓球，
∴从袋子中随机摸出1个乒乓球是白球的概率为
（2）解：根据题意，得，
解得：，
∴的值为
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【分析】（1）利用概率公式进行求解；
（2）根据题意可知球的总数不变，然后利用概率公式列出关于的方程并解之即可.
（1）解：从袋子中随机摸出1个乒乓球是白球的概率为；
（2）解：由题意得：，
解得：，
答：x的值为．
18．（2025九上·嘉兴月考）如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点，，的坐标分别是，，．
（1）将向下平移4个单位长度，则点的对应点的坐标为________；
（2）将绕点逆时针旋转后得到，请在图中作出．
【答案】（1）
（2）解：如图，即为所求.
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（1）如图，
∵，
∴将向下平移4个单位长度，则点的对应点的坐标为，
故答案为：.
【分析】（1）根据平移的性质即可求解；
（2）根据旋转的性质在网格中找出点，再顺次连接这三点即可.
（1）解：∵，
∴点的对应点的坐标为．
故答案为：．
（2）解：∵，，，绕点逆时针旋转，
∴，
描点，连线，即得，如图．
19．（2025九上·嘉兴月考）我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查的学生人数为 人；
（2）补全条形统计图；
（3）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率．
【答案】（1）60
（2）解：（人），∴选择“编织”课程的人数有12人，
补全条形统计图如图所示：
（3）解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：
园艺 电工 木工 编织
园艺
电工，园艺 木工，园艺 编织，园艺
电工 园艺，电工
木工，电工 编织，电工
木工 园艺，木工 电工，木工
编织，木工
编织 园艺，编织 电工，编织 木工，编织
由表格可知，共有12种等可能性的结果数，其中选中“园艺、编织”的有2种，
好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【解答】
（1）
解：（人），
∴本次随机调查的学生人数为60人，
故答案为：60；
【分析】
（1）观察两统计图，可用选择“园艺”的人数除以其人数占比即可求出参与调查的人数；
（2）先利用参与调查总人数可求出选择“编织”课程的人数，然后补全统计图即可；
（3）两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据．
（1）解：（人），
∴本次随机调查的学生人数为60人，
故答案为：60；
（2）解：（人），
∴选择“编织”课程的人数有12人，
补全条形统计图如图所示：
（3）用列表法表示所有可能出现的结果如下：
园艺 电工 木工 编织
园艺
电工，园艺 木工，园艺 编织，园艺
电工 园艺，电工
木工，电工 编织，电工
木工 园艺，木工 电工，木工
编织，木工
编织 园艺，编织 电工，编织 木工，编织
由表格可知，共有12种等可能性的结果数，其中选中“园艺、编织”的有2种，
好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率．
20．（2025九上·嘉兴月考）已知二次函数
（1）求抛物线与坐标轴的交点；
（2）当时，直接写出函数y的取值范围．
【答案】（1）解：令，则，
∴，
解得：或，
∴抛物线与轴的交点为和，
令，则，
∴抛物线与轴的交点为
（2）解：∵，
∴当时，取得最小值为，
当时，有，
当时，有，
∴当时，函数的取值范围是
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）分别令和，解方程即可；
（2）先把二次函数化为顶点式，从而得当时，取得最小值为，然后分别求出当和时的函数值，最后根据二次函数的图象性质即可得到答案.
（1）解：令，则，即，解得或，
∴抛物线与x轴的交点为和；
令，则，
∴抛物线与y轴的交点为；
（2）解：，
当时，y取得最小值，
当时，，
当时，，
∴当时，．
21．（2025九上·嘉兴月考）如图，，交于点，，是半径，且于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接，
设的半径是，
∵， ，
∴，
，
，
，
，
解得：，
的半径是．
【知识点】勾股定理；垂径定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得到，根据等腰三角形”三线合一“的性质得到，从而得证结论；
（2）连接，设的半径是，根据垂径定理得到，，然后利用勾股定理得到关于的方程，解方程即可求出的半径．
（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，
设的半径是，
，，
，，
，
，
，
，
，
的半径是．
22．（2025九上·嘉兴月考）某工厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：
销售单价x（元∕件） … 30 40 50 60 …
每天销售量y（件） … 500 400 300 200 …
（1）研究发现，每天销售量y与单价x满足一次函数关系，求出y与x的关系式；
（2）当销售单价定为多少时，工厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设与的关系式为：，
将，代入关系式，得，
解得：，
∴与的关系式为：
（2）解：设工厂每天获得的利润为元，
根据题意，得，
∴当时，每天获得的利润最大，为9000元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解；
（2）设工厂每天获得的利润为元，根据销售利润＝销售量×（售价-进价），列出关于的函数关系式，然后利用二次函数的最值知识进行求解.
（1）解：设函数y与x的表达式为：，
根据题意可得
解得：．
函数关系式为：；
（2）工厂每天获得的利润为W元，由题意得：
，
∴当时，每天获得的利润最大，为9000元．
23．（2025九上·嘉兴月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，．
（1）若，求抛物线的函数解析式；
（2）用含t的式子表示抛物线的顶点坐标；
（3）当时，y有最小值，求t的值．
【答案】（1）解：当时，有，
把，代入，得，
解得：，
∴若，抛物线的解析式为：
（2）解：∵抛物线经过点， ，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有，
∴抛物线的顶点坐标为
（3）解：①当，即时，在上，随的增大而增大，
∴当时，有，
解得：（舍去）；
②当，即时，
当时，有，
解得：，（舍去）；
③当，即时，
在上，随的增大而减小，
∴当时，有（舍去）；
综上所述，的值为
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）先得到点坐标，然后利用待定系数法进行求解；
（2）根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，从而可得，进而结合，得出，于是可得，据此即可得到顶点坐标；
（3）分三种情况讨论：①当，即时，②当，即时，③当，即时，利用二次函数性质分别求解即可．
（1）解：当时，则，
将，代入，得，
解得，
∴若，
则抛物线的解析式为．
（2）解：抛物线的对称轴为直线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
∴抛物线的顶点坐标为．
（3）解：①当，即时，
在上，y随x的增大而增大，
∴时，，
解得：（不合题意，舍去）；
②当，即时，
则时，，
解得：，（不合题意，舍去）；
③当，即时，
在上，y随x的增大而减小，
∴时，（不合题意，舍去）．
综上所述，t的值为．
24．（2025九上·嘉兴月考）如图， 为的外接圆，是直径，，，点D是上的动点，且点、分别位于的两侧．
（1）求的半径；
（2）当时，求的度数；
（3）连接，设的中点为，在点的运动过程中，线段是否存在最大值？若存在，求出的最大值．
【答案】（1）解：是直径，
，
，，
，
的半径为
（2）解：如图1，连接，，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
（3）解：如图2，连接，，，，
∵的中点为，
∴，
∵，
，
点的运动轨迹是以为直径的，
∵，
∴，
∵，，
，
，
，
的最大值为
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，然后利用勾股定理求出的长；
（2）连接，，根据勾股定理逆定理得到，从而根据等腰三角形“等边对等角”性质以及三角形内角和定理得，然后证明是等边三角形，得，即可求出的度数；
（3）连接，，，，根据等腰三角形“三线合一”性质得，从而得点的运动轨迹是以为直径的，证出，利用勾股定理得，然后根据，可得结论．
（1）解：如图1中，
是直径，
，
，，
，
∴
的半径为．
（2）解：如图中，连接，．
，，
，
，
∵
，
，
是等边三角形，
，
．
（3）解：如图中，连接，．
，
，
点的运动轨迹以为直径的，
连接，，可知
是等边三角形，，
，
，
，
的最大值为．
1 / 1浙江省嘉兴市清华附中嘉兴实验学校2025-2026学年上学期九年级月考数学试卷
1．（2025九上·嘉兴月考）下列函数中，一定是关于的二次函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025九上·嘉兴月考）下列事件是必然事件的是（　　）
A．抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和大于2
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．如果a，b为实数，，那么
D．两条直线相交，对顶角相等
3．（2025九上·嘉兴月考）已知一个扇形的面积是，半径是24，则这个扇形的弧长是（　　）
A． B． C．20 D．
4．（2025九上·嘉兴月考）下列命题为真命题的是（　　）
A．三点确定一个圆
B．度数相等的弧相等
C．的圆周角所对的弦是直径
D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
5．（2025九上·嘉兴月考）已知的半径为，点为平面内一点，，则点与的位置关系是（　　）
A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．无法确定
6．（2025九上·嘉兴月考）如图，四边形内接于，若，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九上·嘉兴月考）抛物线的图像经过点，，，则，，大小关系是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025九上·嘉兴月考）如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点，则点落在阴影部分的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025九上·嘉兴月考）二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为实数）．其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2025九上·嘉兴月考）如图，在半径为3的⊙O中，是直径，是弦，是的中点，与交于点．若是的中点，则的长是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025九上·嘉兴月考）若多边形的一个内角等于144°，且每个内角的度数相等，则这个多边形的边数是 　 　．
12．（2025九上·嘉兴月考）下图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在一常数附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是　 　．（精确到0.01）
13．（2025九上·嘉兴月考）将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位后新的抛物线的顶点坐标是　 　．
14．（2025九上·嘉兴月考）如图，为半圆的直径，且，半圆绕点B顺时针旋转，点A旋转到的位置，则图中阴影部分的面积为　 　．
15．（2025九上·嘉兴月考）如图，内接于，，，为直径，，那么的长为　 　
16．（2025九上·嘉兴月考）如图，一段抛物线：记为图象，它与x轴交于两点O、；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；…如此进行下去，若点在某段抛物线上，则　 　．
17．（2025九上·嘉兴月考）在一个不透明的袋子中装有6个白色乒乓球和10个黄色乒乓球，这些乒乓球除颜色外都相同．
（1）求从袋子中随机摸出1个乒乓球是白球的概率；
（2）小明从袋子中取出x个黄色乒乓球，同时又放入相同数目的白色乒乓球，发现随机摸出一个乒乓球是白球的概率为，求x的值．
18．（2025九上·嘉兴月考）如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点，，的坐标分别是，，．
（1）将向下平移4个单位长度，则点的对应点的坐标为________；
（2）将绕点逆时针旋转后得到，请在图中作出．
19．（2025九上·嘉兴月考）我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查的学生人数为 人；
（2）补全条形统计图；
（3）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率．
20．（2025九上·嘉兴月考）已知二次函数
（1）求抛物线与坐标轴的交点；
（2）当时，直接写出函数y的取值范围．
21．（2025九上·嘉兴月考）如图，，交于点，，是半径，且于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
22．（2025九上·嘉兴月考）某工厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：
销售单价x（元∕件） … 30 40 50 60 …
每天销售量y（件） … 500 400 300 200 …
（1）研究发现，每天销售量y与单价x满足一次函数关系，求出y与x的关系式；
（2）当销售单价定为多少时，工厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？
23．（2025九上·嘉兴月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，．
（1）若，求抛物线的函数解析式；
（2）用含t的式子表示抛物线的顶点坐标；
（3）当时，y有最小值，求t的值．
24．（2025九上·嘉兴月考）如图， 为的外接圆，是直径，，，点D是上的动点，且点、分别位于的两侧．
（1）求的半径；
（2）当时，求的度数；
（3）连接，设的中点为，在点的运动过程中，线段是否存在最大值？若存在，求出的最大值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、当时，不是二次函数，故A不符合题意；
B、是一次函数，故B不符合题意；
C、里含有分式，故C不符合题意；
D、是二次函数，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的定义：（且是常数），逐项进行判断即可.
2．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和大于2，是随机事件，故A不符合题意；
B、两条直线被第三条直线所截，只有当两条直线平行时同位角才相等，不是必然事件，故B不符合题意；
C、如果，为实数，，那么或，不是必然事件，故C不符合题意；
D、两条直线相交，对顶角相等，是必然事件，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据必然事件的定义： 在一定条件下一定发生的事件叫做必然事件，据此逐项进行判断即可.
3．【答案】D
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵一个扇形的面积是，半径是24，
∴，
解得：，
故答案为：D．
【分析】利用扇形面积计算公式“”可直接列出方程并解之即可求解.
4．【答案】C
【知识点】圆的相关概念；圆心角、弧、弦的关系；确定圆的条件；真命题与假命题；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故A是假命题，不符合题意；
B、度数相等的弧不一定相等，只有在同圆或等圆中才相等，故B是假命题，不符合题意；
C、的圆周角所对的弦是直径，故C是真命题，符合题意；
D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故D是假命题，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据确定圆的条件，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理推论，结合真命题与假命题的定义，逐项进行分析判断即可.
5．【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径为，，
∴点到圆心的距离大于圆的半径，
点在外，
故答案为：B．
【分析】根据点与圆的位置关系：①点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外，②点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上，③点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内，据此即可求解.
6．【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：，
∴，
四边形内接于，
，
，
故答案为：A.
【分析】根据圆周角定理得到的度数，根据圆内接四边形对角互补的性质得到的度数.
7．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：抛物线，
抛物线对称轴为直线，
点的对称点为，
∵抛物线开口向上，
∴对称轴左边随的增大而减小，对称轴右边随的增大而增大，
又，
，
故答案为：D．
【分析】先求出抛物线对称轴，然后根据二次函数的对称性，再利用二次函数的增减性可判断值的大小．
8．【答案】B
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为，
∴总面积为，阴影部分的面积为，
∴点落在阴影部分的概率为：，
故答案为：B．
【分析】设小正方形的边长为1，结合图形得到大正方形的边长为，然后分别求得阴影部分面积和总面积，最后利用概率公式进行求解.
9．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵抛物线与轴交于负半轴，
，
，故①错误；
，
∴根据图像可得：当时，有，
，故③正确；
∵抛物线对称轴为直线，且开口向上，
∴当时，函数取得最小值，
∴，
，故④正确；
综上所述，正确的结论个数为3个，
故答案为：C．
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴的交点位置可判断①②；根据当时，有，结合可判断③；根据当时，函数取得最小值，可判断④.
10．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，连接，，设交于点，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，，
∴是的中位线，，
∴，
∵是的中点，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
又∵半径为3，
∴，，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】连接，，设交于点，根据圆心角、弧、弦之间的关系得，根据等腰三角形”三线合一“性质得出，，由此证得是的中位线，从而得，然后证明，得出由此根据半径的长求出的长，最后利用勾股定理即可求出的长．
11．【答案】10
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设这个正多边形的边数为，
∵多边形的一个内角等于144°，且每个内角的度数相等，
∴，
解得：，
故答案为：10．
【分析】设这个正多边形的边数为，根据正多边形的内角的和公式为（大于等于3且为整数），正多边形各内角度数为，据此即可得到答案.
12．【答案】
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意知，估计“钉尖向上”的概率是，
故答案为：．
【分析】用频率估计概率，在大量重复实验时，事件发生的频率固定在某个位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，则可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此即可求解.
13．【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，
∴平移后新的抛物线解析式为，
∴新的抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
【分析】根据二次函数平移的规律：“左加右减自变量，上加下减常数项”得出新的表达式，且化为顶点式，即可得解.
14．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：根据题意，得，
∵，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据图形可知：阴影部分的面积=扇形的面积+以为直径的半圆的面积 -以为直径的半圆的面积=扇形的面积”，利用扇形面积公式即可得解.
15．【答案】
【知识点】圆周角定理；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点作交于点，
∵，
∴，，
∴，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过点作交于点，根据等腰三角形”三线合一“性质以及三角形内角和定理得，，根据圆周角定理以及其推论得，，然后求出，由含30°的直角三角形的性质得，利用勾股定理得，最后即可求出的长度.
16．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；探索规律-函数上点的规律
【解析】【解答】解：如图，作的直线平行轴，
∵抛物线，
∴图象的顶点坐标为，
∴点和图象的顶点间的一半，横坐标为，
把代入，则，
∴，
由图象可得，每4个单位长度的图象为一个循环，
∵，，
∴点与图象的点中的纵坐标是相等的，
∴，
故答案为：．
【分析】作的直线平行轴，先求出图象的顶点坐标为，从而得点和图象的顶点间的一半，横坐标为，代入抛物线解析式即可求出点坐标，然后由图象可得，每4个单位长度的图象为一个循环，进而得点与点中的纵坐标是相等的，即可求解.
17．【答案】（1）解：∵袋子中装有6个白色乒乓球和10个黄色乒乓球，
∴从袋子中随机摸出1个乒乓球是白球的概率为
（2）解：根据题意，得，
解得：，
∴的值为
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【分析】（1）利用概率公式进行求解；
（2）根据题意可知球的总数不变，然后利用概率公式列出关于的方程并解之即可.
（1）解：从袋子中随机摸出1个乒乓球是白球的概率为；
（2）解：由题意得：，
解得：，
答：x的值为．
18．【答案】（1）
（2）解：如图，即为所求.
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（1）如图，
∵，
∴将向下平移4个单位长度，则点的对应点的坐标为，
故答案为：.
【分析】（1）根据平移的性质即可求解；
（2）根据旋转的性质在网格中找出点，再顺次连接这三点即可.
（1）解：∵，
∴点的对应点的坐标为．
故答案为：．
（2）解：∵，，，绕点逆时针旋转，
∴，
描点，连线，即得，如图．
19．【答案】（1）60
（2）解：（人），∴选择“编织”课程的人数有12人，
补全条形统计图如图所示：
（3）解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：
园艺 电工 木工 编织
园艺
电工，园艺 木工，园艺 编织，园艺
电工 园艺，电工
木工，电工 编织，电工
木工 园艺，木工 电工，木工
编织，木工
编织 园艺，编织 电工，编织 木工，编织
由表格可知，共有12种等可能性的结果数，其中选中“园艺、编织”的有2种，
好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【解答】
（1）
解：（人），
∴本次随机调查的学生人数为60人，
故答案为：60；
【分析】
（1）观察两统计图，可用选择“园艺”的人数除以其人数占比即可求出参与调查的人数；
（2）先利用参与调查总人数可求出选择“编织”课程的人数，然后补全统计图即可；
（3）两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据．
（1）解：（人），
∴本次随机调查的学生人数为60人，
故答案为：60；
（2）解：（人），
∴选择“编织”课程的人数有12人，
补全条形统计图如图所示：
（3）用列表法表示所有可能出现的结果如下：
园艺 电工 木工 编织
园艺
电工，园艺 木工，园艺 编织，园艺
电工 园艺，电工
木工，电工 编织，电工
木工 园艺，木工 电工，木工
编织，木工
编织 园艺，编织 电工，编织 木工，编织
由表格可知，共有12种等可能性的结果数，其中选中“园艺、编织”的有2种，
好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率．
20．【答案】（1）解：令，则，
∴，
解得：或，
∴抛物线与轴的交点为和，
令，则，
∴抛物线与轴的交点为
（2）解：∵，
∴当时，取得最小值为，
当时，有，
当时，有，
∴当时，函数的取值范围是
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）分别令和，解方程即可；
（2）先把二次函数化为顶点式，从而得当时，取得最小值为，然后分别求出当和时的函数值，最后根据二次函数的图象性质即可得到答案.
（1）解：令，则，即，解得或，
∴抛物线与x轴的交点为和；
令，则，
∴抛物线与y轴的交点为；
（2）解：，
当时，y取得最小值，
当时，，
当时，，
∴当时，．
21．【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接，
设的半径是，
∵， ，
∴，
，
，
，
，
解得：，
的半径是．
【知识点】勾股定理；垂径定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得到，根据等腰三角形”三线合一“的性质得到，从而得证结论；
（2）连接，设的半径是，根据垂径定理得到，，然后利用勾股定理得到关于的方程，解方程即可求出的半径．
（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，
设的半径是，
，，
，，
，
，
，
，
，
的半径是．
22．【答案】（1）解：设与的关系式为：，
将，代入关系式，得，
解得：，
∴与的关系式为：
（2）解：设工厂每天获得的利润为元，
根据题意，得，
∴当时，每天获得的利润最大，为9000元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解；
（2）设工厂每天获得的利润为元，根据销售利润＝销售量×（售价-进价），列出关于的函数关系式，然后利用二次函数的最值知识进行求解.
（1）解：设函数y与x的表达式为：，
根据题意可得
解得：．
函数关系式为：；
（2）工厂每天获得的利润为W元，由题意得：
，
∴当时，每天获得的利润最大，为9000元．
23．【答案】（1）解：当时，有，
把，代入，得，
解得：，
∴若，抛物线的解析式为：
（2）解：∵抛物线经过点， ，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有，
∴抛物线的顶点坐标为
（3）解：①当，即时，在上，随的增大而增大，
∴当时，有，
解得：（舍去）；
②当，即时，
当时，有，
解得：，（舍去）；
③当，即时，
在上，随的增大而减小，
∴当时，有（舍去）；
综上所述，的值为
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）先得到点坐标，然后利用待定系数法进行求解；
（2）根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，从而可得，进而结合，得出，于是可得，据此即可得到顶点坐标；
（3）分三种情况讨论：①当，即时，②当，即时，③当，即时，利用二次函数性质分别求解即可．
（1）解：当时，则，
将，代入，得，
解得，
∴若，
则抛物线的解析式为．
（2）解：抛物线的对称轴为直线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
∴抛物线的顶点坐标为．
（3）解：①当，即时，
在上，y随x的增大而增大，
∴时，，
解得：（不合题意，舍去）；
②当，即时，
则时，，
解得：，（不合题意，舍去）；
③当，即时，
在上，y随x的增大而减小，
∴时，（不合题意，舍去）．
综上所述，t的值为．
24．【答案】（1）解：是直径，
，
，，
，
的半径为
（2）解：如图1，连接，，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
（3）解：如图2，连接，，，，
∵的中点为，
∴，
∵，
，
点的运动轨迹是以为直径的，
∵，
∴，
∵，，
，
，
，
的最大值为
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，然后利用勾股定理求出的长；
（2）连接，，根据勾股定理逆定理得到，从而根据等腰三角形“等边对等角”性质以及三角形内角和定理得，然后证明是等边三角形，得，即可求出的度数；
（3）连接，，，，根据等腰三角形“三线合一”性质得，从而得点的运动轨迹是以为直径的，证出，利用勾股定理得，然后根据，可得结论．
（1）解：如图1中，
是直径，
，
，，
，
∴
的半径为．
（2）解：如图中，连接，．
，，
，
，
∵
，
，
是等边三角形，
，
．
（3）解：如图中，连接，．
，
，
点的运动轨迹以为直径的，
连接，，可知
是等边三角形，，
，
，
，
的最大值为．
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