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四川省成都市第七中学初中学校2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题
1．（2025八上·成都期中）在，，，，（每两个5之间依次增加1）、中，无理数的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】无理数的概念；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：，
由无理数的定义可得，无理数有，，（每两个5之间依次增加1），共3个，
故选：C．
【分析】根据无理数的定义，还有开方开不尽的数，还有无限不循环小数以及，都是无理数．
2．（2025八上·成都期中）下列函数是一次函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：A、，其中的次数为2，不符合一次函数定义，故本选项不符合题意；
B、，符合的形式（，），且，因此是一次函数，故本选项符合题意；
C、，右边不是整式形式，不符合一次函数定义，故本选项不符合题意；
D、，右边不是整式形式，不符合一次函数定义，故本选项不符合题意．
故答案为：B.
【分析】形如“y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)”的函数就是一次函数，据此逐一判断得出答案.
3．（2025八上·成都期中）下列各组数据中，不是勾股数的是（　　）
A．3，4，5 B．5，7，9 C．8，15，17 D．7，24，25
【答案】B
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解： 、 ，能构成直角三角形，是整数，故此选项错误；
、 ，不能构成直角三角形，故此选项正确；
、 ，构成直角三角形，是正整数，故此选项错误；
、 ，能构成直角三角形，是整数，故此选项错误.
故答案为： .
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小数的平方和是否等于最大数的平方.
4．（2025八上·成都期中）如图是象棋棋盘一部分的示意图，建立平面直角坐标系，使棋子“士”位于点，“相”位于点，那么“炮”位于点（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：根据题意可建立如下坐标系：
∴“炮”位于点，
故答案为：A．
【分析】先根据“士”和“相”的坐标确定原点的位置和两坐标轴的位置，再建立平面直角坐标系，从而可以确定“炮”的位置．
5．（2025八上·成都期中）下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：、不是最简二次根式，故A不符合题意；
、是最简二次根式，故B符合题意；
、不是最简二次根式，故C不符合题意；
、不是最简二次根式，故D不符合题意；
故故答案为：．
【分析】最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，再对各选项逐一判断.
6．（2025八上·成都期中）点在x轴上，则点P的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在x轴上，
∴，解得：，
∴，
∴点P的坐标为，
故答案为：D．
【分析】根据在x轴上的点纵坐标为0求出m的值，再求出点P的坐标
7．（2025八上·成都期中）如图，某人持竿进门，已知门高为2米．将竿横放则比门宽长1米，将竿斜放则刚好与门框对角线长度相等，则竿的长度为（　　）
A．2.2米 B．1.9米 C．2.5米 D．2米
【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：设竿的长度为x米，则门宽为米，
根据勾股定理，得，
解得，
则竿的长度为米．
故答案为：C．
【分析】设竿的长度为x米，可表示出门的宽，再根据勾股定理可得到关于x的方程，解方程即可.
8．（2025八上·成都期中）已知直线经过一、二、三象限，则直线的图象只能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：直线经过第一、二、三象限，
，，
，
直线经过第一、三、四象限，
故答案为：C．
【分析】一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限；据此结合题意先判断出k＞0，b＞0，从而得出-k＜0，然后再根据一次函数图象与系数的关系即可判断出直线y=bx-k经过的象限.
9．（2025八上·成都期中）若二次根式 有意义，则 x 的取值范围是　 　．
【答案】x≤3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式 有意义，
∴3﹣x≥0，
解得：x≤3．
故答案为：x≤3．
【分析】二次根式有意义，则被开方数≥0，建立不等式求解即可。
10．（2025八上·成都期中）比较大小：　 　（填“>”或“<”或“=”号）；
【答案】<
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，，而
∴.
故答案为：.
【分析】由“”的逆用，将根号外的因式移到根号内，再由二次根式乘法法则“”将各个数写成某数的算术平方根的形式 ，最后根据算术平方根的性质“被开方数越大，其算术平方根就越大”进行比较即可.
11．（2025八上·成都期中）若平面直角坐标系中的两点关于x轴对称，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点关于x轴对称，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可得a，b的值，再将a、b代入代数式进行计算.
12．（2025八上·成都期中）已知一次函数的图象经过，，则　 　(填“”“”或“”)．
【答案】>
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：，
随的增大而减小，
又一次函数的图象经过，两点，且，
．
故答案为：．
【分析】一次函数ykx+b（≠0）的性质：“，随的增大而增大；，随的增大而减小”利用点A、B的横坐标的大小关系，可得答案.
13．（2025八上·成都期中）王叔叔家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是，，，那么电梯内能放入这些木条的最大长度是　 　．（结果保留根号）
【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：如图，
由勾股定理得：，
∴，
∴电梯内能放入这些木条的最大长度是，
故答案为：．
【分析】观察此几何体的长宽高的长度，构造直角三角形，利用勾股定理可求解.
14．（2025八上·成都期中）计算
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：，
，
或，
，
（4）解：，
，
，
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算；利用开平方求未知数；利用开立方求未知数
【解析】【分析】（1）先将各个二次根式化成最将二次根式，再合并同类二次根式.
（2）先根据分配律和完全平方公式去括号，再合并即可.
（3）将常数项移到等式右边，然后开平方求解即可；
（4）将系数化为，然后开立方求解即可.
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：，
，
或，
，；
（4）解：，
，
，
．
15．（2025八上·成都期中）已知，，求的值．
【答案】解：，，
，，
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】将x、y分母有理化，求出、的值，再将代数式转化为，然后整体代入求值.
16．（2025八上·成都期中）【问题解决】
【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间．已知云梯最多只能伸长到，即，消防车高，救人时云梯伸长至最长．
【任务】在演练中消防员接到命令：必须完成处、处两处个求救点的救援．
【前期工作】勘察处与处离地面M的高度分别为，．
【解决问题】消防车到达A处后，已经完成处的救援，问：消防车需要向着火楼房靠近的距离为多少米才能把完成处救援任务？
【答案】解：如图，过点作于，
，
根据题意，得，三点共线，
∵，，
∴，，
∵，
∴在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
，
∴消防车需要向着火楼房靠近的距离为才能把完成处救援任务．
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【分析】过点作于，先求出，的值，然后在和中，利用勾股定理得到的值，即可求出的值.
17．（2025八上·成都期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，在第三象限内有一点，线段与轴相交于点．
（1）用含的式子表示的面积；
（2）若，求直线的函数关系式；
（3）在（2）条件下，点是轴上的动点，当与的面积相等时，求点的坐标．
【答案】（1）解：∵，，∴，
∵第三象限内有一点，
∴，
∴
（2）解：设直线的函数关系式为（k≠0），∵，，
∴，
解得
∴直线的函数关系式为
（3）解：把代入得，∴，
∵点是轴上的动点，
∴设点坐标为，
∴，
∵与的面积相等，
∴，
即，
∴﹒
综上所述，点的坐标为或
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）利用点A、B的坐标可求出AB的长，再利用点M的坐标及三角形的面积公式可表示出△ABM的面积.
（2）设直线的函数关系式为（k≠0），将点B、C的坐标代入函数解析式，可得到关于k、b的方程组，解方程出求出k、b的值，据此可得到函数解析式.
（3）将点M的坐标代入函数解析式可求出m的值，据此可得到△ABM的面积；设点坐标为，可表示出PC的长，根据与的面积相等，可得到关于n的方程，解方程求出n的值，可得到点P的坐标.
（1）解：∵，，
∴，
∵第三象限内有一点，
∴，
∴；
（2）解：设直线的函数关系式为，
∵，，
∴，
解得
∴直线的函数关系式为；
（3）解：把代入得，
∴，
∵点是轴上的动点，
∴设点坐标为，
∴，
∵与的面积相等，
∴，
即，
∴﹒
综上所述，点的坐标为或﹒
18．（2025八上·成都期中）如图，已知在中，，点在边上，连接；过点作，交边于点．
（1）如果点在线段的垂直平分线上，
①求证：；
②如果，求的度数；
（2）如果，，且是以为腰的等腰三角形，求的长度．
【答案】（1）解：①证明：∵点P在线段的垂直平分线上，∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴；
②设，
∵，
∴，
∴，
由①得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵，，，∴，
分两种情况：
①如图3，当时，
由（1）①可知，，
过点P作于点M，
∴，
∵，，
∴，
∴在中，，
设，在和中，根据勾股定理得
∴，
即，
∴；
②如图4，当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理得，
解得，
∴﹒
综上所述，的长等于或
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；分类讨论
【解析】【分析】（1）①根据线段垂直平分线的性质可证得，可推出，利用余角的性质可证得，利用等角对等边可证得结论；②设，可表示出，由①得，根据，据此可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到∠C的度数.
（2）利用勾股定理求出AC的长
①分情况讨论：当时，由（1）①可知可求出BP的长，过点P作于点M，利用等腰三角形三线合一的性质可求出BM的长，利用勾股定理求出PM的长；利用勾股定理可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到BD的长，然后利用勾股定理求出PD的长；②当时，利用余角的性质可证得，利用等角对等边可推出，设，可表示出BD的长，利用勾股定理可得到关于m的方程，解方程求出m的值，即可求出PD的长；综上所述可得到PD的长.
（1）解：①证明：∵点P在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴；
②设，
∵，
∴，
∴，
由①得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
分两种情况：
①如图3，当时，
由（1）①可知，，
过点P作于点M，
∴，
∵，，
∴，
∴在中，，
设，在和中，根据勾股定理得
∴，
即，
∴；
②如图4，当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理得，
解得，
∴﹒
综上所述，的长等于或﹒
19．（2025八上·成都期中）如图，由内到外依次为正方形，若的面积为2，的面积为5，则的边长可以是整数　 　．
【答案】2
【知识点】无理数的估值；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为2，正方形的面积为5，
∴正方形的边长为，正方形的边长为，
∴正方形的边长，
∴正方形的边长可以是整数2，
故答案为：2．
【分析】利用正方形的面积公式可分别求出正方形A、C的边长，观察图形可知正方形B的取值范围，据此可得答案.
20．（2025八上·成都期中）点 在直线 上，则代数式 的值是　 　.
【答案】-3
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】把点 代入直线 ， ， .
.
【分析】把点 ( m ， n ) 代入直线 y=3x 2，n=3m 2 ，得到n 3m=-2；代入代数式求出代数式的值.
21．（2025八上·成都期中）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，，，，……均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：，，，，，，……，根据这个规律，点的坐标为　 　
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵，，，，，，，，，，，……，
由此发现：点在第四象限的角平分线上，点在第三象限的角平分线上，点在直线的图象上，点在第一象限的角平分线上，
∵，
∴点在第三象限的角平分线上，
∴点．
故答案为：．
【分析】利用已知点的坐标和图形可知以4个点为一组的规律，包括每组点坐标的变化特征以及每组最后一个点坐标的规律．根据各个点的位置关系，可得点在第四象限的角平分线上，点在第三象限的角平分线上，点在直线的图象上，点在第一象限的角平分线上，且，再根据第四项象限内点的符号可得到点P2025的坐标
22．（2025八上·成都期中）如图，在中，，，，点在边上，且，为边上一动点，以为边在上方作等边三角形，连接，则的最大值为　 　，最小值为　 　．
【答案】；4
【知识点】等边三角形的性质；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，以为边作等边三角形，连接，过点B作于N，过点D作于G，连接﹒
∵，，
∴，
∵和是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点F在过点H且垂直的直线上运动，
∵，
∴四边形是矩形，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点F在直线上运动，
∴当时，即点F与点N重合，的最小值为4﹒
∵E为边上一动点，，
∴的最大值为，即的最大值为，记为，
连接，
∴，
∴，
∴的最大值为﹒
故答案为：，4
【分析】以为边作等边三角形，连接直线，过点B作于N，过点D作于G，连接﹒先证明，可得，可得点F在过点H且垂直的直线上运动，再证明四边形是矩形，可求出BN的长，利用勾股定理求出BH的长，当时，即点F与点N重合，可求出的最小值；根据E为边上一动点，，据此可得到CE、HF的最大值，连接，可得到NF'的值，利用勾股定理求出BF'的长，即可得到BF的最大值.
23．（2025八上·成都期中）如图，三角形中，，点在上，，点在的延长线上，且，若，，则的长为　 　．
【答案】11
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，作于点F，交于点T，作，垂足为G，交于H．
∵，
∴，都是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴．
设，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
设，
在和中，根据勾股定理得，
解得，
即，，
∴，
∴．
设，则，
在中，根据勾股定理得，
解得，
即．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：11
【分析】作于点F，交于点T，作，垂足为G，交于H．利用等腰直角三角形和勾股定理可求出AF的长，利用勾股定理求出DF的长，设，可表示出∠BAC的度数，利用ASA可证得△AFD≌△CFT，利用全等三角形的性质可得到CT的长；再证明，利用等角对等边可求出AH的长；设，利用勾股定理可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到HG、AG的长，利用勾股定理求出CG的长，可得到TG的长；设，利用勾股定理可得到关于n的方程，解方程求出n的值，可得到BG的长；利用全等三角形的性质可推出，然后利用等腰三角形三线合一的性质可求出EG的长，根据BE=BG+EG，代入计算可求出BE的长.
24．（2025八上·成都期中）为鼓励市民节约用电，某市电力公司对城乡居民用户采取按月用电量分档收费办法.现提供一户居民某月电费发票的部分信息如下表所示：
××居民电费专用发票
计费期限：一个月
用电量（度） 电价（元/度）
第一档： 0.50
第二档： 0.55
第三档： 0.80
本月实用金额：106.5（元） （大写）壹佰零陆元伍角
根据以上提供信息解答下列问题：
（1）如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，当时，写出实付额元与月用电量度之间的函数关系式；
（2）若小强家一个月的实际用电量为250度，则实付金额分别为多少元？
（3）请你根据表中本月实付金额，计算这个家庭本月的实际用电量．
【答案】（1）解：当时，
则，
答：当时，
y与x之间的函数关系式为
（2）解：∵，∴小强家本月用电量属于第二档，
当时，
则，
∴当时，
则元．
答：小强家这一个月实付金额128.5元
（3）解：∵180度电费为：，350度电费为：，
，
∴该家庭本月用电量属于第二档，
令，
则，
解得，
答：这个家庭本月的实际用电量为210度
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件可得到当时的函数解析式.
（2）根据用电度数判断出适合的函数关系式，然后把用电度数代入关系式进行计算即可得解.
（3）先计算出106.5元的用电量超出180度，然后把实付金额代入函数关系式进行计算即可得解．
（1）解：当时，
则，
答：当时，
y与x之间的函数关系式为；
（2）解：∵，
∴小强家本月用电量属于第二档，
当时，
则，
∴当时，
则元．
答：小强家这一个月实付金额128.5元．
（3）解：∵180度电费为：，
350度电费为：，
，
∴该家庭本月用电量属于第二档，
令，
则，
解得，
答：这个家庭本月的实际用电量为210度．
25．（2025八上·成都期中）在平面直角坐标系中，对于点，，将的值叫做点与点的“纵横距离”，记为，即．若点在线段上，将的最大值与最小值之差称为线段关于点的“视差”，记为．已知点，．
（1）点与点的“纵横距离”的值为______；
（2）已知点在轴上，线段关于点的“视差”为3，求点的坐标；
（3）若点与点的“纵横距离”为4，求所有符合题意的点组成的图形与轴围成的面积．
【答案】（1）2
（2）解：设点C坐标为﹒当点C在x轴上，并且在点B的左侧时，如图：，
此时点A到线段上一点的“纵横距离”的最大值是，最小值为，
∴，
解得；
当点C在x轴上，并且在点B的右侧时，如图：
∵线段关于点的“视差”为3，最大值不能为，
∴点C在x轴正半轴，，
此时点A到线段BC上一点的“纵横距离”的最大值是，最小值为，
∴，
解得，
综上所述：点C的坐标为或
（3）解：如图，
∵点与点的“纵横距离”为4，∴所有符合题意的点组成的图形与轴围成的图形为五边形﹒
∴五边形的面积为
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】（1）解：∵点，，
∴﹒
故答案为：2；
【分析】（1）根据与点的“纵横距离”及点A、B的坐标，可求出dAB的值.
（2）设点C坐标为，分点C在点B的左侧和右侧两种情况分类讨论，结合图形分别表示出点A到线段上一点的“纵横距离”的最大值和最小值，再根据线段关于点的“视差”为3列出方程，解方程即可求解；
（3）利用已知条件：点与点的“纵横距离”为4，可得到所有符合题意的点组成的图形与轴围成的图形为五边形，然后求出五边形的面积即可.
（1）解：∵点，，
∴﹒
故答案为：2；
（2）解：设点C坐标为﹒
当点C在x轴上，并且在点B的左侧时，如图：，
此时点A到线段上一点的“纵横距离”的最大值是，最小值为，
∴，
解得；
当点C在x轴上，并且在点B的右侧时，如图：
∵线段关于点的“视差”为3，最大值不能为，
∴点C在x轴正半轴，，
此时点A到线段BC上一点的“纵横距离”的最大值是，最小值为，
∴，
解得，
综上所述：点C的坐标为或；
（3）解：如图，∵点与点的“纵横距离”为4，
∴所有符合题意的点组成的图形与轴围成的图形为五边形﹒
∴五边形的面积为﹒
26．（2025八上·成都期中）如图1，在中，，．
（1）如图2，是边的中点，是延长线上一点，连接，过点作于点，过点作交延长线于点，连接．
①求证：；
②请猜想与的关系，并证明你的结论；
（2）如图3，，点是内部一点，，且，点、分别是、边上的动点.当的值最小时，求的值．（用含的式子表示）
【答案】（1）解：①∵，∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
又，
∴；
②如图，连接并延长交的延长线于点，
，，
，，
，
是边的中点，
，
又，
，
，，
是斜边边上的中线，
，
又，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即（负值已舍去）
（2）解：过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线相交于点，连接
则，
又，
四边形是正方形，
垂直平分，
，点是内部一点，
在上，
、分别是、边上的动点，作点关于的对称点，
，过点作于点F，
则，
∴，
∴的最小值为，如图，
四边形是正方形，，
∴，，，，，
，
，，
，
，
，
又，
，
解得：（负值已舍去），
，
，
，
，
，
又，
【知识点】线段垂直平分线的性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）①利用余角的性质可证得，再利用可证得结论；②连接并延长交的延长线于点，利用证明，利用全等三角形的性质可证得，，再根据，得出，，从而可推出，根据三线合一可得，可证得△FDG是等腰直角三角形，利用勾股定理可证得与的关系 .
（2）过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线相交于点，连接，先利用两点之间线段最短与垂线段最短，得出的最小值为，并画出此时的图形，再利用勾股定理可表示出MQ'的长，再利用勾股定理可表示出DM的长，再求出DQ的长，利用勾股定理可表示出BM的长，然后求出BM与DQ的比值.
（1）解：①∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
又，
∴；
②如图，连接并延长交的延长线于点，
，，
，，
，
是边的中点，
，
又，
，
，，
是斜边边上的中线，
，
又，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即（负值已舍去）；
（2）过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线相交于点，连接
则，
又，
四边形是正方形，
垂直平分，
，点是内部一点，
在上，
、分别是、边上的动点，作点关于的对称点，
，过点作于点F，
则，
∴，
∴的最小值为，如图，
四边形是正方形，，
∴，，，，，
，
，，
，
，
，
又，
，
解得：（负值已舍去），
，
，
，
，
，
又，
.
1 / 1四川省成都市第七中学初中学校2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题
1．（2025八上·成都期中）在，，，，（每两个5之间依次增加1）、中，无理数的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2025八上·成都期中）下列函数是一次函数的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八上·成都期中）下列各组数据中，不是勾股数的是（　　）
A．3，4，5 B．5，7，9 C．8，15，17 D．7，24，25
4．（2025八上·成都期中）如图是象棋棋盘一部分的示意图，建立平面直角坐标系，使棋子“士”位于点，“相”位于点，那么“炮”位于点（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八上·成都期中）下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八上·成都期中）点在x轴上，则点P的坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八上·成都期中）如图，某人持竿进门，已知门高为2米．将竿横放则比门宽长1米，将竿斜放则刚好与门框对角线长度相等，则竿的长度为（　　）
A．2.2米 B．1.9米 C．2.5米 D．2米
8．（2025八上·成都期中）已知直线经过一、二、三象限，则直线的图象只能是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025八上·成都期中）若二次根式 有意义，则 x 的取值范围是　 　．
10．（2025八上·成都期中）比较大小：　 　（填“>”或“<”或“=”号）；
11．（2025八上·成都期中）若平面直角坐标系中的两点关于x轴对称，则的值是　 　．
12．（2025八上·成都期中）已知一次函数的图象经过，，则　 　(填“”“”或“”)．
13．（2025八上·成都期中）王叔叔家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是，，，那么电梯内能放入这些木条的最大长度是　 　．（结果保留根号）
14．（2025八上·成都期中）计算
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
15．（2025八上·成都期中）已知，，求的值．
16．（2025八上·成都期中）【问题解决】
【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间．已知云梯最多只能伸长到，即，消防车高，救人时云梯伸长至最长．
【任务】在演练中消防员接到命令：必须完成处、处两处个求救点的救援．
【前期工作】勘察处与处离地面M的高度分别为，．
【解决问题】消防车到达A处后，已经完成处的救援，问：消防车需要向着火楼房靠近的距离为多少米才能把完成处救援任务？
17．（2025八上·成都期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，在第三象限内有一点，线段与轴相交于点．
（1）用含的式子表示的面积；
（2）若，求直线的函数关系式；
（3）在（2）条件下，点是轴上的动点，当与的面积相等时，求点的坐标．
18．（2025八上·成都期中）如图，已知在中，，点在边上，连接；过点作，交边于点．
（1）如果点在线段的垂直平分线上，
①求证：；
②如果，求的度数；
（2）如果，，且是以为腰的等腰三角形，求的长度．
19．（2025八上·成都期中）如图，由内到外依次为正方形，若的面积为2，的面积为5，则的边长可以是整数　 　．
20．（2025八上·成都期中）点 在直线 上，则代数式 的值是　 　.
21．（2025八上·成都期中）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，，，，……均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：，，，，，，……，根据这个规律，点的坐标为　 　
22．（2025八上·成都期中）如图，在中，，，，点在边上，且，为边上一动点，以为边在上方作等边三角形，连接，则的最大值为　 　，最小值为　 　．
23．（2025八上·成都期中）如图，三角形中，，点在上，，点在的延长线上，且，若，，则的长为　 　．
24．（2025八上·成都期中）为鼓励市民节约用电，某市电力公司对城乡居民用户采取按月用电量分档收费办法.现提供一户居民某月电费发票的部分信息如下表所示：
××居民电费专用发票
计费期限：一个月
用电量（度） 电价（元/度）
第一档： 0.50
第二档： 0.55
第三档： 0.80
本月实用金额：106.5（元） （大写）壹佰零陆元伍角
根据以上提供信息解答下列问题：
（1）如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，当时，写出实付额元与月用电量度之间的函数关系式；
（2）若小强家一个月的实际用电量为250度，则实付金额分别为多少元？
（3）请你根据表中本月实付金额，计算这个家庭本月的实际用电量．
25．（2025八上·成都期中）在平面直角坐标系中，对于点，，将的值叫做点与点的“纵横距离”，记为，即．若点在线段上，将的最大值与最小值之差称为线段关于点的“视差”，记为．已知点，．
（1）点与点的“纵横距离”的值为______；
（2）已知点在轴上，线段关于点的“视差”为3，求点的坐标；
（3）若点与点的“纵横距离”为4，求所有符合题意的点组成的图形与轴围成的面积．
26．（2025八上·成都期中）如图1，在中，，．
（1）如图2，是边的中点，是延长线上一点，连接，过点作于点，过点作交延长线于点，连接．
①求证：；
②请猜想与的关系，并证明你的结论；
（2）如图3，，点是内部一点，，且，点、分别是、边上的动点.当的值最小时，求的值．（用含的式子表示）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的概念；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：，
由无理数的定义可得，无理数有，，（每两个5之间依次增加1），共3个，
故选：C．
【分析】根据无理数的定义，还有开方开不尽的数，还有无限不循环小数以及，都是无理数．
2．【答案】B
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：A、，其中的次数为2，不符合一次函数定义，故本选项不符合题意；
B、，符合的形式（，），且，因此是一次函数，故本选项符合题意；
C、，右边不是整式形式，不符合一次函数定义，故本选项不符合题意；
D、，右边不是整式形式，不符合一次函数定义，故本选项不符合题意．
故答案为：B.
【分析】形如“y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)”的函数就是一次函数，据此逐一判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解： 、 ，能构成直角三角形，是整数，故此选项错误；
、 ，不能构成直角三角形，故此选项正确；
、 ，构成直角三角形，是正整数，故此选项错误；
、 ，能构成直角三角形，是整数，故此选项错误.
故答案为： .
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小数的平方和是否等于最大数的平方.
4．【答案】A
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：根据题意可建立如下坐标系：
∴“炮”位于点，
故答案为：A．
【分析】先根据“士”和“相”的坐标确定原点的位置和两坐标轴的位置，再建立平面直角坐标系，从而可以确定“炮”的位置．
5．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：、不是最简二次根式，故A不符合题意；
、是最简二次根式，故B符合题意；
、不是最简二次根式，故C不符合题意；
、不是最简二次根式，故D不符合题意；
故故答案为：．
【分析】最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，再对各选项逐一判断.
6．【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在x轴上，
∴，解得：，
∴，
∴点P的坐标为，
故答案为：D．
【分析】根据在x轴上的点纵坐标为0求出m的值，再求出点P的坐标
7．【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：设竿的长度为x米，则门宽为米，
根据勾股定理，得，
解得，
则竿的长度为米．
故答案为：C．
【分析】设竿的长度为x米，可表示出门的宽，再根据勾股定理可得到关于x的方程，解方程即可.
8．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：直线经过第一、二、三象限，
，，
，
直线经过第一、三、四象限，
故答案为：C．
【分析】一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限；据此结合题意先判断出k＞0，b＞0，从而得出-k＜0，然后再根据一次函数图象与系数的关系即可判断出直线y=bx-k经过的象限.
9．【答案】x≤3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式 有意义，
∴3﹣x≥0，
解得：x≤3．
故答案为：x≤3．
【分析】二次根式有意义，则被开方数≥0，建立不等式求解即可。
10．【答案】<
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，，而
∴.
故答案为：.
【分析】由“”的逆用，将根号外的因式移到根号内，再由二次根式乘法法则“”将各个数写成某数的算术平方根的形式 ，最后根据算术平方根的性质“被开方数越大，其算术平方根就越大”进行比较即可.
11．【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点关于x轴对称，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可得a，b的值，再将a、b代入代数式进行计算.
12．【答案】>
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：，
随的增大而减小，
又一次函数的图象经过，两点，且，
．
故答案为：．
【分析】一次函数ykx+b（≠0）的性质：“，随的增大而增大；，随的增大而减小”利用点A、B的横坐标的大小关系，可得答案.
13．【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：如图，
由勾股定理得：，
∴，
∴电梯内能放入这些木条的最大长度是，
故答案为：．
【分析】观察此几何体的长宽高的长度，构造直角三角形，利用勾股定理可求解.
14．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：，
，
或，
，
（4）解：，
，
，
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算；利用开平方求未知数；利用开立方求未知数
【解析】【分析】（1）先将各个二次根式化成最将二次根式，再合并同类二次根式.
（2）先根据分配律和完全平方公式去括号，再合并即可.
（3）将常数项移到等式右边，然后开平方求解即可；
（4）将系数化为，然后开立方求解即可.
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：，
，
或，
，；
（4）解：，
，
，
．
15．【答案】解：，，
，，
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】将x、y分母有理化，求出、的值，再将代数式转化为，然后整体代入求值.
16．【答案】解：如图，过点作于，
，
根据题意，得，三点共线，
∵，，
∴，，
∵，
∴在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
，
∴消防车需要向着火楼房靠近的距离为才能把完成处救援任务．
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【分析】过点作于，先求出，的值，然后在和中，利用勾股定理得到的值，即可求出的值.
17．【答案】（1）解：∵，，∴，
∵第三象限内有一点，
∴，
∴
（2）解：设直线的函数关系式为（k≠0），∵，，
∴，
解得
∴直线的函数关系式为
（3）解：把代入得，∴，
∵点是轴上的动点，
∴设点坐标为，
∴，
∵与的面积相等，
∴，
即，
∴﹒
综上所述，点的坐标为或
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）利用点A、B的坐标可求出AB的长，再利用点M的坐标及三角形的面积公式可表示出△ABM的面积.
（2）设直线的函数关系式为（k≠0），将点B、C的坐标代入函数解析式，可得到关于k、b的方程组，解方程出求出k、b的值，据此可得到函数解析式.
（3）将点M的坐标代入函数解析式可求出m的值，据此可得到△ABM的面积；设点坐标为，可表示出PC的长，根据与的面积相等，可得到关于n的方程，解方程求出n的值，可得到点P的坐标.
（1）解：∵，，
∴，
∵第三象限内有一点，
∴，
∴；
（2）解：设直线的函数关系式为，
∵，，
∴，
解得
∴直线的函数关系式为；
（3）解：把代入得，
∴，
∵点是轴上的动点，
∴设点坐标为，
∴，
∵与的面积相等，
∴，
即，
∴﹒
综上所述，点的坐标为或﹒
18．【答案】（1）解：①证明：∵点P在线段的垂直平分线上，∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴；
②设，
∵，
∴，
∴，
由①得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵，，，∴，
分两种情况：
①如图3，当时，
由（1）①可知，，
过点P作于点M，
∴，
∵，，
∴，
∴在中，，
设，在和中，根据勾股定理得
∴，
即，
∴；
②如图4，当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理得，
解得，
∴﹒
综上所述，的长等于或
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；分类讨论
【解析】【分析】（1）①根据线段垂直平分线的性质可证得，可推出，利用余角的性质可证得，利用等角对等边可证得结论；②设，可表示出，由①得，根据，据此可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到∠C的度数.
（2）利用勾股定理求出AC的长
①分情况讨论：当时，由（1）①可知可求出BP的长，过点P作于点M，利用等腰三角形三线合一的性质可求出BM的长，利用勾股定理求出PM的长；利用勾股定理可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到BD的长，然后利用勾股定理求出PD的长；②当时，利用余角的性质可证得，利用等角对等边可推出，设，可表示出BD的长，利用勾股定理可得到关于m的方程，解方程求出m的值，即可求出PD的长；综上所述可得到PD的长.
（1）解：①证明：∵点P在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴；
②设，
∵，
∴，
∴，
由①得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
分两种情况：
①如图3，当时，
由（1）①可知，，
过点P作于点M，
∴，
∵，，
∴，
∴在中，，
设，在和中，根据勾股定理得
∴，
即，
∴；
②如图4，当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理得，
解得，
∴﹒
综上所述，的长等于或﹒
19．【答案】2
【知识点】无理数的估值；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为2，正方形的面积为5，
∴正方形的边长为，正方形的边长为，
∴正方形的边长，
∴正方形的边长可以是整数2，
故答案为：2．
【分析】利用正方形的面积公式可分别求出正方形A、C的边长，观察图形可知正方形B的取值范围，据此可得答案.
20．【答案】-3
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】把点 代入直线 ， ， .
.
【分析】把点 ( m ， n ) 代入直线 y=3x 2，n=3m 2 ，得到n 3m=-2；代入代数式求出代数式的值.
21．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵，，，，，，，，，，，……，
由此发现：点在第四象限的角平分线上，点在第三象限的角平分线上，点在直线的图象上，点在第一象限的角平分线上，
∵，
∴点在第三象限的角平分线上，
∴点．
故答案为：．
【分析】利用已知点的坐标和图形可知以4个点为一组的规律，包括每组点坐标的变化特征以及每组最后一个点坐标的规律．根据各个点的位置关系，可得点在第四象限的角平分线上，点在第三象限的角平分线上，点在直线的图象上，点在第一象限的角平分线上，且，再根据第四项象限内点的符号可得到点P2025的坐标
22．【答案】；4
【知识点】等边三角形的性质；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，以为边作等边三角形，连接，过点B作于N，过点D作于G，连接﹒
∵，，
∴，
∵和是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点F在过点H且垂直的直线上运动，
∵，
∴四边形是矩形，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点F在直线上运动，
∴当时，即点F与点N重合，的最小值为4﹒
∵E为边上一动点，，
∴的最大值为，即的最大值为，记为，
连接，
∴，
∴，
∴的最大值为﹒
故答案为：，4
【分析】以为边作等边三角形，连接直线，过点B作于N，过点D作于G，连接﹒先证明，可得，可得点F在过点H且垂直的直线上运动，再证明四边形是矩形，可求出BN的长，利用勾股定理求出BH的长，当时，即点F与点N重合，可求出的最小值；根据E为边上一动点，，据此可得到CE、HF的最大值，连接，可得到NF'的值，利用勾股定理求出BF'的长，即可得到BF的最大值.
23．【答案】11
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，作于点F，交于点T，作，垂足为G，交于H．
∵，
∴，都是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴．
设，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
设，
在和中，根据勾股定理得，
解得，
即，，
∴，
∴．
设，则，
在中，根据勾股定理得，
解得，
即．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：11
【分析】作于点F，交于点T，作，垂足为G，交于H．利用等腰直角三角形和勾股定理可求出AF的长，利用勾股定理求出DF的长，设，可表示出∠BAC的度数，利用ASA可证得△AFD≌△CFT，利用全等三角形的性质可得到CT的长；再证明，利用等角对等边可求出AH的长；设，利用勾股定理可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到HG、AG的长，利用勾股定理求出CG的长，可得到TG的长；设，利用勾股定理可得到关于n的方程，解方程求出n的值，可得到BG的长；利用全等三角形的性质可推出，然后利用等腰三角形三线合一的性质可求出EG的长，根据BE=BG+EG，代入计算可求出BE的长.
24．【答案】（1）解：当时，
则，
答：当时，
y与x之间的函数关系式为
（2）解：∵，∴小强家本月用电量属于第二档，
当时，
则，
∴当时，
则元．
答：小强家这一个月实付金额128.5元
（3）解：∵180度电费为：，350度电费为：，
，
∴该家庭本月用电量属于第二档，
令，
则，
解得，
答：这个家庭本月的实际用电量为210度
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件可得到当时的函数解析式.
（2）根据用电度数判断出适合的函数关系式，然后把用电度数代入关系式进行计算即可得解.
（3）先计算出106.5元的用电量超出180度，然后把实付金额代入函数关系式进行计算即可得解．
（1）解：当时，
则，
答：当时，
y与x之间的函数关系式为；
（2）解：∵，
∴小强家本月用电量属于第二档，
当时，
则，
∴当时，
则元．
答：小强家这一个月实付金额128.5元．
（3）解：∵180度电费为：，
350度电费为：，
，
∴该家庭本月用电量属于第二档，
令，
则，
解得，
答：这个家庭本月的实际用电量为210度．
25．【答案】（1）2
（2）解：设点C坐标为﹒当点C在x轴上，并且在点B的左侧时，如图：，
此时点A到线段上一点的“纵横距离”的最大值是，最小值为，
∴，
解得；
当点C在x轴上，并且在点B的右侧时，如图：
∵线段关于点的“视差”为3，最大值不能为，
∴点C在x轴正半轴，，
此时点A到线段BC上一点的“纵横距离”的最大值是，最小值为，
∴，
解得，
综上所述：点C的坐标为或
（3）解：如图，
∵点与点的“纵横距离”为4，∴所有符合题意的点组成的图形与轴围成的图形为五边形﹒
∴五边形的面积为
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】（1）解：∵点，，
∴﹒
故答案为：2；
【分析】（1）根据与点的“纵横距离”及点A、B的坐标，可求出dAB的值.
（2）设点C坐标为，分点C在点B的左侧和右侧两种情况分类讨论，结合图形分别表示出点A到线段上一点的“纵横距离”的最大值和最小值，再根据线段关于点的“视差”为3列出方程，解方程即可求解；
（3）利用已知条件：点与点的“纵横距离”为4，可得到所有符合题意的点组成的图形与轴围成的图形为五边形，然后求出五边形的面积即可.
（1）解：∵点，，
∴﹒
故答案为：2；
（2）解：设点C坐标为﹒
当点C在x轴上，并且在点B的左侧时，如图：，
此时点A到线段上一点的“纵横距离”的最大值是，最小值为，
∴，
解得；
当点C在x轴上，并且在点B的右侧时，如图：
∵线段关于点的“视差”为3，最大值不能为，
∴点C在x轴正半轴，，
此时点A到线段BC上一点的“纵横距离”的最大值是，最小值为，
∴，
解得，
综上所述：点C的坐标为或；
（3）解：如图，∵点与点的“纵横距离”为4，
∴所有符合题意的点组成的图形与轴围成的图形为五边形﹒
∴五边形的面积为﹒
26．【答案】（1）解：①∵，∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
又，
∴；
②如图，连接并延长交的延长线于点，
，，
，，
，
是边的中点，
，
又，
，
，，
是斜边边上的中线，
，
又，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即（负值已舍去）
（2）解：过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线相交于点，连接
则，
又，
四边形是正方形，
垂直平分，
，点是内部一点，
在上，
、分别是、边上的动点，作点关于的对称点，
，过点作于点F，
则，
∴，
∴的最小值为，如图，
四边形是正方形，，
∴，，，，，
，
，，
，
，
，
又，
，
解得：（负值已舍去），
，
，
，
，
，
又，
【知识点】线段垂直平分线的性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）①利用余角的性质可证得，再利用可证得结论；②连接并延长交的延长线于点，利用证明，利用全等三角形的性质可证得，，再根据，得出，，从而可推出，根据三线合一可得，可证得△FDG是等腰直角三角形，利用勾股定理可证得与的关系 .
（2）过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线相交于点，连接，先利用两点之间线段最短与垂线段最短，得出的最小值为，并画出此时的图形，再利用勾股定理可表示出MQ'的长，再利用勾股定理可表示出DM的长，再求出DQ的长，利用勾股定理可表示出BM的长，然后求出BM与DQ的比值.
（1）解：①∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
又，
∴；
②如图，连接并延长交的延长线于点，
，，
，，
，
是边的中点，
，
又，
，
，，
是斜边边上的中线，
，
又，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即（负值已舍去）；
（2）过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线相交于点，连接
则，
又，
四边形是正方形，
垂直平分，
，点是内部一点，
在上，
、分别是、边上的动点，作点关于的对称点，
，过点作于点F，
则，
∴，
∴的最小值为，如图，
四边形是正方形，，
∴，，，，，
，
，，
，
，
，
又，
，
解得：（负值已舍去），
，
，
，
，
，
又，
.
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