资源简介

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○○○○○
○○○○○
○○○○○
绝密★启用前
考 场
考 号
姓 名
班 级
点
在
上，且
，点
为
中点，则
等于
景泰高级中学 2025—2026 学年度第一学期高二月考
A．
C．
B．
数 学 试 卷
考试时间：2026 年 1 月 考试时长：120 分钟 总分 150 分
D．
一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。）
8 已 知 双 曲 线
的 离 心 率 为
两点，则
， 其 中 一 条 渐 近 线 与 圆
1
2
若数列
A．18
直线
的前 项和
，则 =（
）
交于
，
B．16
C．14
D．12
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A．
B．
C．
D．
的倾斜角为（
）
二、多项选择题（本题共 2 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。）
A．
B．
C．
D．
9 已知等差数列
A．
的前 项和为 ，且满足
，
，则（
）
3
已知空间向量
，若
,则
（
）
B．
A．
B．
C．
D．6
C．当且仅当
10 抛物线
时， 取最小值
D．
4
双曲线
的其中一条渐近线的斜率为
，则离心率 的值为
（
）
的焦点为 ，过焦点且倾斜角为 的直线交抛物线于
，
两点，
A．
B．
C．
D．
设
，
，
，
，O 为坐标原点，则下列结论正确的是
5 记 为等差数列
的前 项和．若
，
，则
(
)
A．
B．
A．50
B．44
C．40
D．36
C．
D．
6 设 为坐标原点， 为抛物线
的焦点，点 在抛物线 上．若
，
11 双曲线 C 的两个焦点为 F ，F ，以 C 的实轴为直径的圆记为 D，过 F 作 D 的切线
则
（
）
1
2
1
与 C 交于 M，N 两点，且 cos∠F NF ＝ ，则 C 的离心率为（
）
A．3
B．4
C．
1
2
A．
B．
C．
D．
D．
7
如图，空间四边形
中，
，
，
，
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 15 分）
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1
8
(17 分)如图，在三棱锥 A﹣BCD 中，
平 面
点．
1
1
2 已知双曲线
的焦距为
，求
ABD⊥平面 BCD，AB＝AD，O 为 BD 的中
（
（
1）证明：OA⊥CD；
○ ○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○ ○
3 过直线
与直线
中，
的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方
○
2）若
，点 E 在
棱
程为_____
○
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○ ○ ○ ○ ○
AD 上，DE＝2EA，求二面角 E﹣BC﹣D
的 大
1
4 如图，三棱锥
，且平面
与底面
垂
小
直， 为 中点，
，则直线
与平面
夹角的余弦值为______
1
9(17 分)设 为抛物线
的焦点，点
在
上，点
，若
．
四、解答题（本题共 5 题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
（
（
Ⅰ）求 的方程；
1
5 (13 分) △
的三个顶点分别是
、
、
○ ○ ○ ○ ○ ○
○
○
○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○
Ⅱ）过点 作直线 交
于
、
两点，直线
为坐标原点）与 的准线交于
交于点 ，求
（
1）求边
所在直线 的方程；（2）求
外接圆 的方程．
点
，过点 作直线
的取值范围．
的垂线与 的另一交点为 ，直线
与
○ ○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○ ○
○
1
6 （15 分）记 是公差不为 0 的等差数列
1）求数列 的通项公式 ；（2）求使
的前 项和，若
，
．
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○ ○ ○ ○ ○
（
成立的 的最大值．
1
7（15 分）已知椭圆
的离心率为
，长轴长为 4．
○
○
（
（
1）求 的方程；
○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○
○○○○○
2）过点
的直线 与椭圆 交于
，
两点， 为坐标原点．若△
的面积
为
，求
．
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○
○
○○○○○
○○○○○
○○○○○
绝密★启用前
考 场
考 号
姓 名
班 级
A．50
B．44
C．40
D．36
景泰高级中学 2025—2026 学年度第一学期高二月考
解 ： 根 据 题 意 ，
，
，
， 解 得
，
，
数 学 试 卷
考试时间：2026 年 1 月 考试时长：90 分钟 总分 100 分
，选 B。
一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，
6
设
为坐标原点， 为抛物线
的焦点，点 在抛物线 上．若
只有一项是符合题目要求的。）
则
（
）
1
若数列
的前 项和
，则 =（
）
A．3
B．4
C．
D．
A．18
B．16
C．14
D．12
○
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○ ○ ○ ○ ○
解：由题意，可得抛物线 的焦点为
，则准线方程为
，
解：根据题意，
，选 D。
点
得
在抛物线 上，设点
，所以
，
，则
，由
，可得
，解
2 直线
的倾斜角为（
）
．故选：
．
A．
B．
C．
D．
7
如图，空间四边形
中，
，
，
，点
在
上，且
解：根据题意，
，
，得
，选 C。
,则
，
点
为
中点，则
等于
3
已知空间向量
，若
（
）
A．
B．
A．
B．
C．
D．6
C．
D．
解：根据题意，
，得
，
，选 A
4
双曲线
的其中一条渐近线的斜率为
，则离心率 的值为
（
）
解：因为空间四边形
上 ， 且
中，
，
，
，
A．
B．
C．
D．
点
在
， 点
为
中 点 ， 所 以
解：根据题意，由双曲线
的一条渐近线的斜率为
，
．
故选：C．
得
，可得
，选
，
D
8
已 知 双 曲 线
的 离 心 率 为
， 其 中 一 条 渐 近 线 与 圆
5
记
为等差数列
的前 项和．若
，则
(
)
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○
○
○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○
交于
，
两点，则
○ ○ ○ ○ ○ ○
C．
D．
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○ ○ ○ ○ ○
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○ ○ ○ ○ ○
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○ ○ ○ ○ ○
A．
B．
C．
D．
解：对于选项
由题意
，
，抛物线
，A 正确；
的焦点 的坐标为
，
解：根据题意，双曲线
，所以双曲线的渐近线方程为：
的离心率为
，可得
，所以
，B 错误。
，
，C 错误；
，故 正确．故选：AD．
一条渐近线与圆
圆的圆心到直线
交于
，
两点，圆的圆心
，半径为 1，
11 双曲线 C 的两个焦点为 F ，F ，以 C 的实轴为直径的圆记为 D，过 F 作 D 的切线
的距离为：
，所以
．故选：A．
1
2
1
○ ○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○ ○
与
C 交于 M，N 两点，且 cos∠F NF ＝ ，则 C 的离心率为（
）
1
2
二、多项选择题（本题共 2 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。）
○
A．
B．
C．
D．
○
○
○
○
○
○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○
9
已知等差数列
A．
的前 项和为 ，且满足
，
，则（
）
解：设双曲线的方程为
﹣
＝1（a＞0，b＞0），
B．
2
2
2
设过 F 的切线与圆 D：x +y ＝a 相切于点 P，则|OP|＝a，OP⊥PF ，又|OF |＝c，
○ ○ ○ ○ ○ ○
C．当且仅当
时， 取最小值
D．
1
1
1
○
○
○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○
所以 PF1＝
＝
＝b，过点 F 作 F Q⊥MN 于点 Q，
2
2
解：设等差数列
的公差为 ，由
，
，得
，
○ ○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○ ○
所以 OP∥F Q，又 O 为 F F 的中点，所以|F Q|＝2|PF |＝2b，|QF |＝2|OP|＝2a，
2
1
2
1
1
2
解得
对于
，
，所以
，
，
因为 cos∠F NF ＝ ，∠F NF ＜
，所以 sin∠F NF ＝
，
○ ○ ○ ○ ○ ○
1
2
1
2
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2
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○
○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○
，
，
，
，故
，
正确；
所以|NF2|＝
＝
，则|NQ|＝|NF | cos∠F NF ＝
2
1
2
，
○ ○ ○ ○ ○ ○
○
○
○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○
对于 ，令
不正确；对于 ，因为
0 抛物线
，得
，且
，则
或
时， 取最小值，故
所以|NF |＝|NQ|+|F Q|＝
+2b，由双曲线的定义可知|NF |﹣|NF |＝2a，
1
1
1
2
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，故 正确．故选：
．
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所以
＝
+2b﹣
＝2a，可得 2b＝3a，即
＝
，所以 C 的离心率 e＝
＝
○ ○ ○ ○ ○
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○○○○○
1
的焦点为 ，过焦点且倾斜角为 的直线交抛物线于
，
两点，
设
，
，
，
，O 为坐标原点，则下列结论正确的是
＝
．当直线与双曲线交于一支时，同理可得 A 正确；故选：AC．
A．
B．
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○
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○○○○○
○○○○○
○○○○○
考 场
考 号
姓 名
班 级
解：如下图，连接
，
，因为
，又平面
，
，
为
中点，
所以
，
底面
，
平面
底面
平面
，所以
平面
，
，
○
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又因为
，
平面
，所以
，
，故
，
两两垂直，
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 15 分）
1
2 已知双曲线
的焦距为
，
，求
以
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设
，由
，
解：根据题意，
，
，解得
。
可得
，
，
，
，1，
，
，
，
，
1
3 过直线
与直线
的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方
程为_____
解：由
，解得
，则两直线交点
．
由题意所求直线在两坐标轴上截距相等，
①
②
当截距为 0 时，则过点 的直线方程为
，即
；
设平面
则
的一个法向量为
，即
，
当截距不等于 0 时，设直线方程为
，
，令
，得
，
将点
坐标代入
，得
，解得
故答案为：
或
．
设所求角为 ，则
，
1
4 如图，三棱锥
中，
，则直线
，且平面
与底面
垂
所以直线
与平面
夹角的余弦值为
．
直，
为
中点，
与平面
夹角的余弦值为______
四、解答题（本题共 5 题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
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1
5 (13 分) △
的三个顶点分别是
、
、
（1）求 的方程；
的直线 与椭圆 交于
1）求边
所在直线 的方程；（2）求
外接圆 的方程．
（2）过点
，
两点， 为坐标原点．若△
的面积
（
解 ： （ 1） 根 据 题 意 ，
， 则 边
所 在 的 直 线 方 程 为
为
，求
．
，
整理得
，
解：（1）椭圆
中，
，所以
，由
，得
，
，
（
2）设圆的一般方程为
,可列表达式为
所以
，椭圆的方程为
；
○ ○ ○ ○ ○ ○
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（
2）由题意知，直线 的斜率存在且不为 0，设斜率为 ，则直线 的方程为
，
，，则圆的方程为
或
设直线 与椭圆交于
，
，
，
，
。
由
，消去 ，整理得
，
1
6 （15 分）记 是公差不为 0 的等差数列
1）求数列 的通项公式 ；（2）求使
解：（1）设等差数列
的前 项和，若
，
．
○ ○ ○ ○ ○ ○
○
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○
○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○
所以△
由
，解得
或
；
（
成立的 的最大值．
，
，
○ ○ ○ ○ ○ ○
的公差为
，
○
○
○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○
设直线 交 轴于点 ，则
，
，所以
因为
，所以
，所以
，①
因为
，所以
，则
○ ○ ○ ○ ○ ○
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，
②
由①②解得
或
，
得 4 分，又因为数列
的公差不为 0，所以
，
解得
，
，
所 以 数 列
的 通 项 公 式
； （ 2） 因 为
所以
．
，
○ ○ ○ ○ ○ ○
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所以
解得
，
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○○○○○
，又因为
，所以使
成立的 的最大值为 5．
1
7（15 分）已知椭圆
的离心率为
，长轴长为 4．
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○
○
○
○○○○○
○○○○○
○○○○○
考 场
考 号
姓 名
班 级
又，所以由
，得
，
令 x＝
，则 y＝﹣1，
，故
，
因为二面角 E﹣BC﹣D 的大小为
，
所
，根据图像可得
，二面角 E﹣
1
8
(17 分)如图，在三棱锥 A﹣BCD 中，平面 ABD⊥平面 BCD，AB＝AD，O 为 BD 的
○
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○ ○ ○ ○ ○
BC﹣D 的大小为
。
中点．
1
9(17 分)设 为抛物线
的焦点，点
在
上，点
，若
（1）证明：OA⊥CD；
（
2）若
大小
解：（1）证明：因为 AB＝AD，O 为 BD 的中点，所以 AO⊥BD，
，点 E 在棱 AD 上，DE＝2EA，求二面角 E﹣BC﹣D 的
．
（Ⅰ）求 的方程；
（Ⅱ）过点 作直线 交
于
、
两点，直线
为坐标原点）与 的准线交于
交于点 ，求
又平面 ABD⊥平面 BCD，平面 ABD∩平面 BCD＝BD，AO 平面 ABD，
所以 AO⊥平面 BCD，又 CD 平面 BCD，
点
，过点 作直线
的取值范围．
的垂线与 的另一交点为 ，直线
与
所以 AO⊥CD；
解：（Ⅰ）依题意，点 的坐标为
所以点 的横坐标为
，
，
，
（2）取 OD 的中点 F，因为△OCD 为正三角形，所以 CF⊥OD，
过 O 作 OM∥CF 与 BC 交于点 M，则 OM⊥OD，所以 OM，OD，OA 两两垂直，
以点 O 为坐标原点，分别以 OM，OD，OA 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直
，
由抛物线的定义得
，所以
，
角坐标系，
则
令
，
所以抛物线 的方程为
（Ⅱ）如图，由（Ⅰ）知点 的坐标为
方程为
．
，
，
，
，则
，
，设直线 的
因为 OA⊥平面 BCD，故平面 BCD 的一个法向量为
设平面 BCE 的法向量为 ，又
，
，
，
，
，
，
，
，
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联立
则
，消去 得
，易知△
，
○ ○ ○ ○ ○ ○
○
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，
，故
，
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○
因为 的准线为
，因为直线
平行于 轴，
的斜率为
○
所以点 的坐标为
，则直线
，
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所以直线
的斜率为 ，其方程为
，
因为点 的纵坐标为
，
所以点 的横坐标为
所以
，
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，
○
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因为
即
，则
，所以
，
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○
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○ ○ ○ ○ ○
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○ ○ ○ ○ ○
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○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○
○○○○○
的取值范围是
．
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