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2025-2026学年黑龙江省哈尔滨市道外区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中，比-4小的数是（　　）
A. -5 B. -3 C. 0 D. 1
2.黑龙江省传统剪纸艺术闻名遐迩.早在纸尚未普及以前，居住在黑龙江的蒙、满、索伦各部族的人们就已用薄片的金属、绢帛、鱼皮和兽皮、桦树皮等镂空剪刻各种图纹和形象了.以下四个剪纸作品中，不是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
3.据报道，2025年前三个季度全国各省市GDP成绩单中，黑龙江省的GDP为11489亿元，将11489用科学记数法表示为（　　）
A. 11.489×103 B. 1.1489×104 C. 0.11489×105 D. 114.89×102
4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（　　）
A.
B.
C.
D.
5.观察下列图形规律：第n个图案中“◎”的个数为（　　）
A. 3n B. 3（n+1） C. 3（n-1） D. 3n-1
6.已知反比例函数的图象经过A（x1，y1），B（x2，y2）两点，当0＜x1＜x2时y2＜y1，则k的值可能为（　　）
A. -3 B. -1 C. 0 D. 1
7.如图，滑雪场有一坡度i=1：4的滑雪道，滑雪道的水平距离BC的长为100米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AC为（　　）
A. 20米 B. 25米 C. 30米 D. 50米
8.如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上.若∠ABC=19°，则∠BAC=（　　）
A. 21°
B. 25°
C. 26°
D. 27°
9.如图，AB∥CD∥EF，若BC=5，CE=8，则=（　　）
A.
B.
C.
D.
10.已知反比例函数y=（k≠0）在第一象限内的图象与一次函数y=-x+b的图象如图所示，则函数y=x2-bx+k-1的图象可能为（　　）
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.在函数中，自变量x的取值范围是 .
12.分解因式：2x2-8= ______.
13.不等式组解集为 .
14.一个不透明的袋子里装有3个绿球、3个黑球和6个红球，它们除颜色外其余相同.从袋中任意摸出一个球为绿球的概率为______.
15.若扇形的圆心角为40°，半径为18，则它的弧长为 .
16.定义新运算：a※b=2ab-b2，则（2m）※（3n）的运算结果为 .
17.将抛物线y=x2+2的图象先向上平移3个单位再向右平移1个单位，得到新的抛物线的顶点坐标为 .
18.如图，PB，PC为⊙O的切线，点A在圆周上，且∠A=60°，，连接OP，则OP的长为 .
19.在半径为1的⊙O中，AB，AC为⊙O的两条弦，且AB=1，，则∠BAC的度数为 .
20.如图，在正方形ABCD中，点E，点F分别为边BC，CD上动点，且BE=CF，连接AE，BF交于点G，在线段AG上截取BG=HG，连接HD，GP为∠AGF的角平分线，交线段HD于点P.有如下结论：①∠BAE+∠BFC=90°；②HP=PD；③若AD=DH时，则tan∠CBF的值为；④若AB=10，点E为BC中点时，点Q为BF上一动点，AQ+DQ的最小值为.其中一定正确的结论是 .（请将正确的结论序号填在横线上）
三、解答题：本题共7小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题7分)
先化简，再求值：，其中x=tan60°-tan45°.
22.(本小题7分)
如图为7×7的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，分别在给定的网格中按下列要求作图.（只用无刻度的直尺，保留必要的作图痕迹.）
（1）在图中，作出以AB为腰，BC为底边的等腰△ABC，并且等腰三角形的面积为；
（2）在图中，在AB边上取点F，连接CF，使得∠BCF=45°；
（3）在图中，作出△ACF的高FG，点G为垂足，并直接写出FG的长.
23.(本小题8分)
某校为了了解家长和学生观看安全教育视频的情况，随机抽取本校部分学生作调查，把收集的数据按照A，B，C，D四类（A表示仅学生参与；B表示家长和学生一起参与；C表示仅家长参与；D表示其他）进行统计，得到每一类的学生人数，并把统计结果绘制成如图所示的未完成的条形统计图和扇形统计图.
（1）在这次抽样调查中，共调查了多少名学生？
（2）补全条形统计图.
（3）已知该校共有1000名学生，估计B类的学生人数.
24.(本小题8分)
定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′.当α+β=180°时，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，边B′C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”.在图2，图3中，△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”.
（1）如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为______；
（2）如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为______；
（3）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明.
25.(本小题10分)
为促进冰雪经济，平几山滑雪景区需要购买A型和B型两种型号的保暖帐篷.若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元.
（1）求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格；
（2）若该景区需要购买A型和B型两种型号的帐篷共20顶，为使购买帐篷的总费用不超过18000元，则最少购买A种型号帐篷多少顶？
26.(本小题10分)
已知：△ABC内接于⊙O，圆心O在△ABC内部，直径AH交BC于点P，.
（1）如图1，求证：AH⊥BC；
（2）如图2，过点C作CG⊥AB，垂足为G，交AH于点Q，求证：AQ=2PO；
（3）如图3，在（2）的条件下，点N为上一点，连接CN，BN，点D在BN上，连接CD，过点B作BE⊥CN于点E，交CD于点F，连接PF，连接BH.若，CN=BF，，，求线段AQ的长度.
27.(本小题18分)
已知：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+5交y轴于点A，交x轴于点B（5，0），C（-2，0）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接CD，交y轴于点E，点D横坐标为m,请用含m的式子表示△ACE的面积S；
（3）如图2，在（2）的条件下，过点O作OQ∥AB，交CD于点Q，过点Q作QH⊥OQ，交OB于点H，连接BQ，点F为线段AB上一点，连接OF，过点H作HG∥OF，交AB于点G，点K在线段CD上，连接BK，过点K作KM⊥BK，交y轴于点M，连接BM，直线BM交抛物线于点N，连接AK，若AF=BG，AK平分∠MKB，，求点N的坐标.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】A
11.【答案】x≥2
12.【答案】2（x+2）（x-2）
13.【答案】-2≤x≤1
14.【答案】
15.【答案】4π
16.【答案】12mn-9n2
17.【答案】（1，5）
18.【答案】2
19.【答案】15°或105°
20.【答案】①②③④
21.【答案】，．
22.【答案】如图△ABC即为所求 如图点F即为所求
23.【答案】200名；
见解析；
600名．
24.【答案】BC=2AD 4 BC=2AD；证明：如图1，B′D=DC′，延长AD到点M，使得AD=DM，连接B′M，C′M，
∴四边形AC′MB′是平行四边形，
∴AC′=B′M=AC，∠B′AC′+∠AB′M=180°，
∵α+β=180°，
∴∠BAC+∠B′AC′=180°，
∴∠BAC=∠AB′M，
在△ABC和△B′AM中，
，
∴△ABC≌△B′AM（SAS），
∴BC=AM，
∴BC=AM=2AD
25.【答案】每顶A型帐篷600元，每顶B型帐篷1000元 最少购买A型帐篷5顶
26.【答案】如图1，，连接OC，OB，
∴∠COH=∠BOH，
∵OC=OB，
∴OP⊥BC 如图2，OP⊥BC，连接BO并延长交⊙O于点K，连接AK，CK，
∴P为BC中点，
又∵O为BK中点，
∴PO∥CK，，
∵BK为直径，
∴∠KAB=90°，
∵CG⊥AB，
∴∠CGB=90°，
∴∠CGB=∠KAB=90°，
∴AK∥CG，
∴四边形AKCQ是平行四边形，
∴AQ=CK=2PO
27.【答案】 m
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