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2025-2026学年吉林省长春市德惠市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的平方根是±，用数学表达式表示正确的是（　　）
A. ±=± B. =± C. = D. ±=
2.在实数-3，，，，0.101001…（每两个1之间依次增加1个0）中，无理数的个数有（　　）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
3.已知am=2，an=3，则a3m+2n的值是（　　）
A. 6 B. 24 C. 36 D. 72
4.若（x-1）（x+2）=ax2+bx+c,则代数式a+b+c的值为（　　）
A. 2 B. 0 C. -2 D. -4
5.下列调查方式，你认为最合适的是（　　）
A. 调查一批苹果的甜度情况，采用全面调查
B. 调查一批新能源汽车电池的使用寿命，采用全面调查
C. 调查全市观众对电影《浪浪山小妖怪》的喜爱程度，采用抽样调查
D. 调查神州二十二号载人飞船的零部件质量，采用抽样调查
6.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，若BD=6，则DE的长为（　　）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
7.如图，在△BCD中BD=CD，DE⊥BC，以点C为圆心、CD为半径作弧，交BD的延长线于点A，若AD=2，AB=7，则△ACD的周长是（　　）
A. 7
B. 9
C. 12
D. 15
8.如图，透明的圆柱形玻璃杯的高为7cm,底面周长为10cm,在杯子内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，且离杯口上沿2cm的点A处，若玻璃杯的厚度忽略不计，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程是（　　）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.比较大小：______3（填：“＞”或“＜”或“=”）
10.分解因式：a3-a=______．
11.若等腰三角形的周长为10，其中一边长为4，则腰长为 .
12.命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是 命题.（填“真”或“假”）
13.如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为______．
14.如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，AB=AD，AF是∠BAD的平分线，EF=EC.给出下面四个结论：①AF⊥BD；②AE=EF；③若∠C=30°，则△AEF是等边三角形；④若AD平分∠FAC，则DE=DF.上述结论中，正确结论的序号有 .
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题10分)
计算：
（1）（x-y）（x2+xy+y2）；
（2）（4a3b-6a2b2+12ab3）÷2ab.
16.(本小题5分)
先化简，再求值：（1+x）2-2x,其中.
17.(本小题6分)
已知一个正数的两个平方根分别是2a-1和a+7，负数y的立方根与它本身相同.
（1）求a,y的值；
（2）求a-11y的算术平方根.
18.(本小题6分)
如图，在△ABC中，完成下列问题.
（1）尺规作图：作出∠BAC的角平分线交BC于点D.（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）若∠B=40°，∠C=80°，求∠ADB的度数.
19.(本小题6分)
如图①是某品牌婴儿车，将其抽象出图②的结构示意图.根据安全标准需满足AB⊥BC，已知AB=60cm,BC=45cm,AC=75cm,请问：这个婴儿车是否符合安全标准，说明理由.
20.(本小题6分)
小慧想在周末观看一部电影，准备从四部电影中选取一部，分别是：A《震耳欲聋》，B《毕正明的证明》，C《刺杀小说家2》，D《浪浪人生》.对此小慧围绕“你最喜欢的电影是什么？”在全年级同学中进行随机抽样调查（四个选项中必选且只选一项），根据调查统计结果，绘制了如下两种不完整的统计图表：
项目 内容 百分比
A 《震耳欲聋》 25%
B 《毕正明的证明》 35%
C 《刺杀小说家2》 30%
D 《浪浪人生》 a
请结合统计图表，回答下列问题：
（1）填空：a= ______；本次调查的学生总人数是______；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）请你根据调查的结果初步估计全校同学中最受欢迎的电影应该是哪一部.
21.(本小题8分)
如图，点B、C、D在同一条直线上，AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，AB=CD.
（1）求证：△ABC≌△CDE.
（2）若AB=3，DE=4，求AE的长.
22.(本小题9分)
【课内链接】
我们知道，因式分解是整式乘法的逆用，如：因式分解a2±2ab+b2=（a±b）2，则有：
（1）x2+10x+25=（x+______）2；
（2）x2-12x+______=（x-______）2.（填空）
【理解新知】把形如ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的式子变形成a（x-h）2+k的形式的方法叫做配方法.
例如：2x2-4x-5=2（x2-2x）-5=2[（x2-2x+1）-1]-5=2[（x-1）2-1]-5=2（x-1）2-7.
∵（x-1）2≥0（一个数的平方为非负数）
∴2（x-1）2≥0（不等式的性质2）
∴2（x-1）2-7≥-7（不等式的性质1）
即：2x2-4x-5≥-7，
∴2x2-4x-5最小值为-7.
将2x2-3x+1配方成a（x-h）2+k的形式：则a=______；h=______；k=______；（填空）
【拓展应用】如果P=3x2+12x+2038，求P的最小值.
23.(本小题10分)
问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果顶角有公共的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形.
（1）如图1，△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，分别连接BD、CE，则有△ABD≌______；
（2）类比探究：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，B、C、D在同一条直线上.请判断线段BD与CE存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由；
（3）问题解决：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，且CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，若AE=7，BE=2，则CM=______（直接写出结果）.
24.(本小题12分)
如图①，在△ABC中，AB=8，BC=10，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC匀速运动，点Q到达点C后，立即以每秒4个单位的速度沿CB返回，当点Q返回到点B时，P、Q两点都停止运动，设点P运动时间为t秒.
（1）当t=2时，BQ=______，当t=6时，BQ=______.
（2）用含t的代数式表示BQ的长.
（3）如图②，当∠B=60°时，其他条件不变：
①当点P运动到AB的中点时，PQ与AB的位置关系是______，请说明理由.
②在点P、Q运动过程中，当△BPQ是等边三角形时直接写出△BPQ的周长.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】＜
10.【答案】a(a+1)(a-1)
11.【答案】3或4
12.【答案】假
13.【答案】45°
14.【答案】①②③
15.【答案】x3-y3 2 a2-3ab+6b2
16.【答案】x2+1，6．
17.【答案】a=-2，y=-1 3
18.【答案】作图：
∠ ADB=110°
19.【答案】该车符合安全标准，
∵AB=60cm，BC=45cm，AC=75cm，
∴AB2+BC2=602+452=5625，
∵AC2=752=5625，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
∴AB⊥BC，
∴该车符合安全标准．
20.【答案】10%，100人；
补全条形统计图：
《毕正明的证明》
21.【答案】∵AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，
∵∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，
∴∠ACB+∠BAC=∠ACB+∠DCE=90°，
∴∠BAC=∠DCE，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（ASA） 5
22.【答案】5 36;6;2;;
23.【答案】△ACE BD=CE；BD⊥CE．理由如下：
∵∠BAC=∠DAE=90°，∠BAC+∠CAD=∠BAD，∠CAE+∠CAD=∠CAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE=∠ABC，BD=CE，
∵△ABC是等腰三角形，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ACE=∠ABC=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，
∴BD⊥CE 2.5
24.【答案】4，4；
当0≤t≤5，BQ=2t，
当5＜t≤，BQ=10-4（t-5）=30-4t，
QP⊥AB，
在BQ上截取BE=BP，
∵点P运动到AB的中点
∴AP=PB=4，
∴t==4s，
∴BQ=4×2=8，
∵PB=BE=4，∠B=60°，
∴△PEB是等边三角形，
∴PE=BE=4，∠EPB=∠PEB=60°，
∴QE=PE=4，
∴∠EPQ=∠EQP，
∵∠EPQ+∠EQP=∠PEB=60°，
∴∠QPE=30°，
∴∠QPE+∠EPB=90°=∠QPB，
∴QP⊥AB；
t=或
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