资源简介

2025-2026 学年八年级上学期期末监测卷
数学
（考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教版 2024 八年级上册全部。
第一部分（选择题 共 30 分）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求的）
1．第 33 届夏季奥运会于 2024 年 7 月 26 日至 8 月 11 日在法国巴黎举行，中国取得金牌榜第一名的好成绩，
如图所示巴黎奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，质量轻、隔热能力强，可应用于航天、军工、建筑等领域，
气凝胶颗粒尺寸通常小于 0.00000002m．数据“0.00000002m”用科学记数法表示为（ ）
A．2 × 10 8m B．0.2 × 10 8m C．0.2 × 10 7m D．2 × 10 7m
3．下列运算正确的是（ ）
A． 3 5 = 15 B． 2 = 2 2 C． 2 3 = 5 D．6 ÷ 2 = 3
4．下列由左边到右边的变形是因式分解的是（ ）
A． 2 2 = 2 4 + 4 B． 2 2 + 1 = + + 1
C． + = + D． 2 4 = + 2 2
5 5 ．把分式 2的分子分母中的 a，b 都扩大为原来的 2 倍，则分式的值（ ）
A．不变 B 1．缩小为原来的
2
C．扩大为原来的 4 倍 D．扩大为原来的 2 倍
6．如图，在四边形 中，连接 ，过点 C 作 ⊥ 于点 E．若 平分∠ ， = 13，
= 7， = ．下列结论正确的是（ ）
A． = B． = 3
C．∠ = ∠ D． Δ : Δ = 7: 13
7．如图，点 、 在 上， = ，∠ = ∠ ，添加一个条件，不能证明△ ≌△ 的是（ ）
A．∠ = ∠ B．∠ = ∠ C． = D． =
8．如图，在△ 中， = 5， = 10， = 9， 为边 的垂直平分线，点 D为直线 上一动点，
则△ 的周长的最小值为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．15
9 1 ．解分式方程 + 3 = 2 时，去分母后变形正确的是（ ）
3 3
A．1 + 3 3 = 2 B．1 + 3 3 = 2
C．1 + 3 = 2 D．1 + 3 = 2
10．如图，小敏将等腰直角三角板 放置于直角坐标系中，直角顶点 C 与 x 轴上表示 1的点重合，点 B
坐标为 2,1 ，则点 A 关于 y 轴的对称点 '的坐标为（ ）
A． 2,3 B． 2,3 C． 3,3 D． 2, 3
第二部分（非选择题 共 90分）
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分）
11．若等腰三角形的一个内角为 50°，则底角为 ．
12．如图，这是平面镜成像的原理图．若以桌面为 轴，镜面的侧面为 轴（镜面厚度忽略不计）建立平面
直角坐标系．如果某刻火焰顶尖点 的坐标是 8,4 ，那么此时对应的虚像顶尖点 '的坐标是 ．
13 2 2 ．计算： ÷ × = ．

14．如果二次三项式 2 3( + 1) + 36是一个完全平方式，那么 的值是 ．
15．如图，△ 的两条高 与 交于点 O， = ， = 7．F 是射线 上一点，且 = ，动点
P从点 O 出发，沿线段 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 B 运动，同时动点 Q 从点 A 出发，沿射线
以每秒 3 个单位长度的速度运动，当点 P 到达点 B 时，P，Q 两点同时停止运动，设运动时间为 t 秒，当△
与△ 全等时，则 = 秒．
三、解答题（本大题共 8 小题，满分 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本题 8 分）计算：
2
(1)2 1 2 5 2 4 ÷ 2 ；
2
(2) + 2 2 + + + ．
17．（本题 7 分）如图，已知△ 的顶点分别为 2, 2 , 4, 5 , 5, 1 ．
(1)作出△ 关于 轴对称的图形△ 1 1 1，并写出点 1的坐标；
(2)若点 , 是△ 内部一点，则点 关于 轴对称的点的坐标是______．
(3)在 轴上找一点 ，使得 + 最小（画出图形，找到点 的位置）．
18．（本题 8 分）综合与实践
从边长为 的正方形中剪掉一个边长为 的正方形（如图 1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图 2）．
(1)上述操作可以得到一个公式：__________；
(2)利用你得到的公式，计算：20242 2023 × 2025；
(3) 1 1 1 1 1计算：4050 × 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ．2 3 4 2024 2025
19．（本题 8 分）下面是探究性学习小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解：
甲： 2 + 4 4
= 2 + 4 4 （分成两组）
= + 4 （提公因式）
= + 4 ，（提公因式）
乙： 2 2 2 + 2
= 2 2 + 2 2 （分成两组）
= 2 2（运用公式）
= + + （运用公式）
请你在他们的解法的启发下，解答下面各题：
(1)已知 = 3， = 4，求式子 2 + 的值；
(2)已知 ， ， 为等腰△ 的三边长，且满足 2 + 2 = 20 + 24 244，求等腰△ 的周长．
20 1 1 1 1 1．（本题 10 分）定义新运算：对于非零的两个实数 ， ，规定 = ，如 2 3 = = ．
3 2 6
(1)求 2 6 的值；
2
(2) 4 +4
2 2
计算 ．
2 +2
(3)若 3 2 1 = 2，求 的值．
21．（本题 10 分）阅读与思考
等腰直角三角形的“手拉手”
如图，在共顶点 A 的等腰直角△ 和等腰直角△ 中，∠ = ∠ = 90°， = ， = ，
连接 , 相交于点 F， 交 于点 H， 交 于点 G．
(1)求证：△ ≌△ ；
(2)结合（1）的结论，利用三角形三个内角的和等于 180°，在△ 与△
中，先确定∠ 的度数；过点 A 作 ⊥ ，垂足为 M， ⊥ ，垂足为 N，
再证明 平分∠ ；最后求出∠ 的度数．请根据以上的思路，写出求∠
度数的过程．
22．（本题 11 分）综合与探究
问题情境：在数学活动课上，老师让同学们以“等腰三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动．如图 1，三角
形纸片 中， = ，∠ = 36°．将三角形纸片 进行折叠，使 落在 上，折痕为 ，点 C 的对
应点为点 E．
操作发现：（1）图 1 中，∠ = °．
实践探究：（2）如图 2，将图 1 中的纸片展平，连接 ， ，延长 交 的延长线于点 F，连接 ．试
判断 与 的位置关系，并证明你的结论．
问题解决：
（3）如图 2，若△ 的面积为 12，求出△ 的面积．
23．（本题 13 分）问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图 1，△ 中，若 = 8， = 6，求 边上的中线 的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 至点 E，使 = ，连接 ．请根据小明的
方法思考并解答：
（1）①由已知和作图能得到△ ≌△ ，依据是____________．
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
②由“三角形的三边关系”可求得 的取值范围是____________．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把
分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
类比探究：（2）如图 2，已知△ 与△ ， = ， = ，∠ + ∠ = 180°， 、 分别
为△ 中 边上的中线与高，且 = 9， = 6，求△ 的面积．
（3）拓展延伸：如图 3，四边形 中， ∥ ，E 是 的中点，
①若四边形 1的面积为 m，求证：△ 的面积为 ．
2
②若∠ + ∠ = 90°，则 、 、 三者之间的数量关系为______．2025-2026 学年八年级上学期期末监测卷
数学参考答案
一、选择题（本大题共 10小题，每小题 3分，满分 30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求的）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C A B D A B D C B
二、填空题（本大题共 5小题，每小题 3分，满分 15分）
11．50°或 65° 12． 8,4 13． /
14．3 5 15 7 7或 ． 或
4 2
三、解答题（本大题共 8小题，满分 75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本题 8 分）
1
【详解】（1）解：原式= 2 4 5 6 ÷ 2
4
=1 5 + 5 6 ÷ 2
2
1 5
= 5 + 5
2 2
= 3 5；................................4 分
（2）解：原式= 2 + 2 + 2 2 2 + 2 2
= 2 + 2 + 2 2 + 2 2 2
= 2 2 2．................................8 分
17．（本题 7 分）
【详解】（1）解：如图，△ 1 1 1即为所求．由图可得，点 1的坐标为 4,5 ．
................................3 分
（2）由题意得，点 关于 轴对称的点的坐标是 , ．
故答案为： , ．................................4 分
（3）如图，取点 关于 轴的对称点 '，连接 ' 交 轴于点 ，连接 ，
此时 + = ' + = ' ，为最小值，则点 即为所求．................................7 分
18．（本题 8 分）
【详解】（1）解：图 1阴影部分面积为 2 2，图 2阴影部分面积为 + ，
则述操作可以得到一个公式： 2 2 = + ，
故答案为： 2 2 = + ；...............................1 分
（2）解：由（1）得：20242 2023 × 2025
= 20242 2024 1 × 2024 + 1
= 20242 20242 + 1
= 1；................................4 分
（3）解：原式= 4050 × 1 1 × 1 + 1 × 1 1 × 1+ 1 1 1 × 1 + 1 × 1 1 × 1 +
2 2 3 3 2024 2024 2025
1
2025
1 3 2 4 2023 2025 2024 2026
= 4050 × 2 × 2 × 3 × 3 × × 2024 × 2024 × 2025 × 2025
1 2026
= 4050 × ×
2 2025
= 2026．................................8 分
19．（本题 8 分）
【详解】（1）解： 2 +
= 2
=
= ，
∵ = 3， = 4，
∴ = 1，
∴原式= 1 × 3 = 3；................................4 分
（2）解：∵ 2 + 2 = 20 + 24 244，
∴ 2 20 + 100 + 2 24 + 144 = 0，
∴ 10 2 + 12 2 = 0，
∴ 10 = 0， 12 = 0，
∴ = 10， = 12，
当 = = 10， = 12，10 + 10 > 12，符合三角形的定义，
∴△ 的周长为 10 + 10 + 12 = 32；
当 = 10， = = 12，10 + 12 > 12，符合三角形的定义，
∴△ 的周长为 10 + 12 + 12 = 34；
∴等腰△ 的周长为 32 或 34．................................8 分
20．（本题 10 分）
1 1 2
【详解】（1）解：2 6 = = ；................................1 分
6 2 3
2
2 4 +4 2 2
（ ）解：
2 +2
+ 2 2
=
2

2 2 4 + 4
+ 2 2
=
（ 2) 2 2
+ 2 1
=
（ 2) 2
+ 2
=
（ 2) 2
2
=
（ 2)
= 22 ；................................5 分 2
（3）解： 3 2 1 = 2，
1 1 = 2，
2 1 3
1 + 1 = 2，
2 1 3
3 + 2 1 = 6 2 1 ，
3 + 2 1 = 12 6，
2 12 = 6 3 + 1，
10 = 8，
= 4，................................8 分
5
4
检验：当 = 时，3(2 1) ≠ 0，
5
4
∴原分式方程的解是 = ．................................10 分
5
21．（本题 10 分）
【详解】（1）证明：∵△ 与△ 均为等腰直角三角形，且 = ， = ，∠ = ∠ = 90°，
∴∠ + ∠ = ∠ + ∠ ，即∠ = ∠ ，
在△ 与△ 中，
=
∠ = ∠ ，
=
∴△ ≌△ SAS ，................................3 分
（2）解：由（1）知△ ≌△ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵∠ 与∠ 是对顶角，
∴∠ = ∠ ，
根据三角形三个内角的和等于 180°，
在△ 中∠ + ∠ + ∠ = 180°，
在△ 中∠ + ∠ + ∠ = 180°，
∴∠ = ∠ = 90°，
过点 A 作 ⊥ ，垂足为 E， ⊥ ，垂足为 N，
由（1）知△ ≌△ 可得， = ， △ = △ ，
= 1 × 1∵ △ ，2 △ = × ，2
∴ = ，
∴点 A 在∠ 的平分线上，
∵∠ = ∠ = 90°，
∴ ∠ = 1∠ = 45°．................................10 分
2
22．（本题 11 分）
【详解】解：（1）∵ = ，∠ = 36°，
1
∴ ∠ = 180° 36°
2
= 72°，
由折叠得：∠ = ∠ = 72°，
∴ ∠ = 180° 72°
= 108°；
故答案为：108；................................2 分
（2） ⊥ ，
证明：由（1）得：
∠ = ∠ = 72°，∠ = 72°，
∴ ∠ = 180° ∠ ∠ = 36°，
∴ ∠ = ∠ ，
由折叠得：∠ = ∠ ，
在△ 和△ 中
∠ = ∠
∠ = ∠ ，
=
∴△ ≌△ （AAS），
∴ = ，
∴ ⊥ ；................................6 分
（3）延长 交 于 ，过 作 ⊥ 交于 ，
∵ ⊥ ，
∴ ⊥ ，
∴ ∠ = ∠ = 90°，
∵ = ，
∴ = ，
∴ △ = 2 △ ，
1
由折叠得：∠ = ∠ = 36°，
2
∴ ∠ = ∠ ，
∴ = ，
同理可证： = ，
∴ = ，
∴ △ = 2 △ ，
在△ 和△ 中
∠ = ∠
∠ = ∠ ，
=
∴△ ≌△ （AAS），
∴ △ = △ ，
∴ △ = △ = 12．................................11 分
23．（本题 13 分）问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图 1，△ 中，若 = 8， = 6，求 边上的中线 的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 至点 E，使 = ，连接 ．请根据小明的
方法思考并解答：
（1）①由已知和作图能得到△ ≌△ ，依据是____________．
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
②由“三角形的三边关系”可求得 的取值范围是____________．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把
分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
类比探究：（2）如图 2，已知△ 与△ ， = ， = ，∠ + ∠ = 180°， 、 分别
为△ 中 边上的中线与高，且 = 9， = 6，求△ 的面积．
（3）拓展延伸：如图 3，四边形 中， ∥ ，E 是 的中点，
① 1若四边形 的面积为 m，求证：△ 的面积为 ．
2
②若∠ + ∠ = 90°，则 、 、 三者之间的数量关系为______．
【答案】（1）①B；②1 < < 7（2）27（3） = +
【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系，平行线的性质，垂直平分线的性质．
（1）①由 是中线得到 = ，又∠ = ∠ ， = ，通过“SAS”可证△ ≌△ ．据此
可解答；
②由△ ≌△ ， = = 6，根据三角形的三边关系有 < < + ，即 2 < < 14，
又 = 1 ，因此 1 < < 7；
2
（2）延长 至 ，使得 = ，可证得△ ≌△ SAS ，得∠ = ∠ ， = ， △ = △ ，
可知 ∥ ，得∠ + ∠ = 180°，结合∠ + ∠ = 180°，可证∠ = ∠ ，即可证得
△ ≌△ SAS ，再由 △ = △ = △ + △ = △ + △ = △ 即可求解；
（3）①延长 交 于 ，证明△ ≌△ AAS ，得 = ， △ = △ ，可知 △ = △ =
1 △ ，再结合 四边形 = 四边形 + △ = 四边形 + △ = △ ，即可证明结论；2
②由①可知△ ≌△ ，则 = ， = ，结合题意可知∠ = 90°，可得 垂直平分 ，
进而可得 = = + = + ．
【详解】解：（1）①∵ 是中线，
∴ = ，
在△ 和△ 中，
=
∠ = ∠ ，
=
∴△ ≌△ SAS ．
故选：B；................................1 分
②解：∵△ ≌△ ，
∴ = = 6，
∴ < < + ，
∴8 6 < < 8 + 6，即 2 < < 14，
∵ = ，
∴ = 1 ，
2
∴1 < < 7．
故答案为：1 < < 7；................................3 分
（2）延长 至 ，使得 = ，
∵ 是中线，
∴ = ，
又∵∠ = ∠ ，
∴△ ≌△ SAS ，
∴∠ = ∠ ， = ， △ = △
∴ ∥ ，
∴∠ + ∠ = 180°，
∵∠ + ∠ = 180°，则∠ + ∠ = 180°，
∴∠ = ∠ ，
∵ = ，
∴ = ，
∵ = ，
∴△ ≌△ SAS ，
∴ △ = △ = △ + △
= △ + △
= △
1
=
2
1
= × 9 × 6
2
= 27；................................7 分
（3）①延长 交 于 ，
∵ ∥ ，
∴∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
又∵ 是 的中点，
∴ = ，
∴△ ≌△ AAS ，
∴ = ， △ = △
∴ 1△ = △ = 2 △ ，
∵ 四边形 = 四边形 + △ = 四边形 + △ = △ ，
1
∴ △ = △ =
1 1
2 2 四边形
= ，
2
∴△ 1的面积为 ；................................10 分
2
②由①可知△ ≌△ ，则 = ， = ，
∵∠ + ∠ = 90°，
∴∠ = 90°，即 ⊥ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ = = + = + ，
故答案为： = + ．................................13 分

展开更多......

收起↑