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(共58张PPT)
创新考法 命题预测
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1.(2025·河南焦作二模)音乐中的八度是指相邻的音组中相同音名的两个音(包括变化音级),从某一音级到它上方或下方第一个同名音级之间的音高距离,就是八度.如c1到c2、g到G.以频率来表示,相邻一个八度的两个同名音高的声波振动频率高低之比为2∶1.观察下面的钢琴键盘示意图,可以得出a1的振动频率是A1的( B )
A.4倍
B.8倍
C.12倍
D.16倍
跨学科试题
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归纳总结　解决跨学科问题要把握两点:一是掌握问题原型的特点及问题解决的思想方法;二是根据问题情景的变化,通过认真思考,合理运用已学相关学科知识点进行迁移应用.要能发现实际问题中蕴含的学科知识和数学模型,并积极运用相关知识和数学模型解决问题.
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2.(2025·河南洛阳三模)如图是一款简易电子体重计:一个装有踏板(踏板质量忽略不计)的可变电阻R2,R2与踏板上人的质量m之间的函数为R2=-2m+240 (0≤m≤120),其图象如图1所示.图2的电路中,电源电压恒为12 V,定值电阻R1的阻值为40 Ω,接通开关,人站上踏板,电流表显示的读数为I A,该读数可以换算为人的质量m,电流表量程为0~0.2 A.下列说法错误的是( D )
图1
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代数推理试题
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4.(2025·河南郑州一模)分解因式:a3-a=　a(a+1)(a-1)　;若a是整数,则a3-a一定能被整数k整除,整数k的最大值是　6　.
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具有一定条件的规律探究问题
5.(2025·浙江)【文化欣赏】
我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》,书中记载的二项和的乘方(a+b)n展开式的系数规律如图所示,其中“三乘”对应的展开式如下:
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.
【应用体验】
已知(x+2)4=x4+mx3+24x2+32x+16,则m的值为　8　.
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新定义试题
9.(2025·北京)在平面直角坐标系xOy中,对于点A和☉C给出如下定义:若☉C上存在两个不同的点M,N,对于☉C上任意满足AP=AQ的两个不同的点P,Q,都有∠PAQ≤∠MAN,则称点A是☉C的关联点,称∠MAN的大小为点A与☉C的关联角度.(本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角)
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10.(2024·河南)综合与实践
在学习特殊四边形的过程中,我们积累了一定的研究经验.请运用已有经验,对“邻等对补四边形”进行研究.
定义:至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫作邻等对补四边形.
(1)操作判断
用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形,其中是邻等对补四边形的有　②④　(填序号);
①
②
③
④
图1
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(2)性质探究
根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质.下面研究与对角线相关的性质.
如图2,四边形ABCD是邻等对补四边形,AB=AD,AC是它的一条对角线.
①写出图中相等的角,并说明理由;
②若BC=m,DC=n,∠BCD=2θ,求AC的长(用含m,n,θ的式子表示);
图2
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(3)拓展应用
如图3,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,分别在边BC,AC上取点M,N,使四边形ABMN是邻等对补四边形.当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时,请直接写出BN的长.
图3
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解:(1)观察题图1知,图①和图③中不存在对角互补,图②和图④中存在对角互补且邻边相等,故图②和图④中的四边形是邻等对补四边形.故答案为:②④.
(2)①∠ACD=∠ACB.理由如下:
延长CB至点E,使BE=DC,连接AE,如图1.
图1
∵四边形ABCD是邻等对补四边形,∴∠ABC+∠D=180°.∵∠ABC+∠ABE=180°,
∴∠ABE=∠D.又∵AB=AD,
∴△ABE≌△ADC(SAS),∴∠E=∠ACD,AE=AC,∴∠E=∠ACB,
∴∠ACD=∠ACB.
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②过点A作AF⊥EC于点F,如图2.
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∵AM=AM,∴Rt△ABM≌Rt△ANM(HL),
∴BM=NM,故不符合题意,舍去;
当AN=MN时,连接AM,过点N作NH⊥BC于点H,如图5.
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阅读理解类试题
11.(2025·山西)阅读与思考
下面是小宣同学数学笔记中的部分内容,请认真阅读并完成相应的任务.
双关联线段
【概念理解】
如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是60°,且这两条线段相等,则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段,也称这两条线段互为双关联线段.
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例如,下列各图中的线段AB与CD所在直线形成的夹角中有一个角是60°,若AB=CD,则下列各图中的线段CD都是相应线段AB的双关联线段.
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【问题解决】
问题1:如图1,在矩形ABCD中,AB图1
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问题2:如图2,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,CA的延长线上,且AE=CD,连接AD,BE.求证:线段AD是线段BE的双关联线段.
证明:延长DA交BE于点F.
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°.
∵∠BAC+∠BAE=180°,
∠ACB+∠ACD=180°,
∴∠BAE=∠ACD(依据).
∵AE=CD,∴△ABE≌△CAD(SAS).
∴BE=AD,∠E=∠D.
……
图2
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任务:
(1)问题1中的∠ACB=　30　°,问题2中的依据是　等角的补角相等　;
(2)补全问题2的证明过程;
(3)如图3,点C在线段AB上,请在图3中作线段AB的双关联线段CD(要求:①尺规作图,保留作图痕迹,不写作法;②作出一条即可).
图3
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解:(1)设AC,BD的交点为O,如图1.
∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OB,∠ABC=90°.
∵对角线AC与BD互为双关联线段,
∴∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形,
∴∠OAB=60°,∴∠ACB=90°-∠OAB=30°.
故答案为:30.
问题2中的依据是:等角的补角相等.
故答案为:等角的补角相等.
图1
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(2)∵∠AFB是△AEF的外角,∴∠AFB=∠EAF+∠E.∵∠ACB是△ACD的外角,∴∠ACB=∠CAD+∠D.∵∠EAF=∠CAD,∠E=∠D,
∴∠AFB=∠ACB=60°,即线段AD与线段BE所在直线形成的夹角中有一个角是60°.又∵AD=BE,
∴线段AD与线段BE是双关联线段.
(3)如图2,线段CD即为所求.(答案不唯一)
图2
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开放探究类试题
12.(2025·湖南)如图,已知二次函数y=ax(x-4)(a≠0)的图象过点A(2,2),连接OA,点P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x3,y3)是此二次函数图象上的三个动点,且0(1)求此二次函数的解析式;
(2)如图1,点C,D在线段OA上,且直线QC,
RD都平行于y轴,请你从下列两个命题
中选择一个进行解答:
图1
①当PB>QC时,求证:x1+x2>2;
②当PB>RD时,求证:x1+x3<2;
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13.(2025·眉山)综合与实践
【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程.
【操作实践】如图1,将矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠,使点B落在AD边上的点B'处,折痕交AB于点E,再沿着过点B'的直线折叠,使点D落在B'C边上的点D'处,折痕交CD于点F.将纸片展平,画出对应点B',D'及折痕CE,B'F,连接B'E,B'C,D'F.
图1
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智慧小组先测量BE和CF的长度,猜想其关系为②　BE=CF　.
经过探究,发现验证BE和CF数量关系的方法不唯一:
方法一:证明△AB'E≌△D'CF,得到B'E=CF,再由B'E=BE可得结论.
方法二:过点B'作AB的平行线交CE于点G,构造平行四边形CFB'G,然后证B'G=B'E可得结论.
请补充上述过程中横线上的内容;
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【尝试运用】(3)如图2,在矩形ABCD中,AB=6,按上述操作折叠并展开后,过点B'作B'G∥AB交CE于点G,连接D'G.当△B'D'G为直角三角形时,求出BE的长.
图2
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解:(2)方法一:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°,BC=AD.
∵折叠,∴∠EB'C=∠B=90°,B'D=B'D',BC=B'C=AD,∠D=∠B'D'F=90°,BE=B'E,
∴AD-B'D=B'C-B'D',
即AB'=CD',∠CD'F=90°=∠A,
由(1)知,∠CB'D=∠BCB'.
又∵∠AB'E+∠CB'D=180°-∠EB'C=90°,∠BCB'+∠B'CF=∠BCD=90°,
∴∠AB'E=∠FCD'.
又∵∠A=∠CD'F,AB'=CD',
∴△AB'E≌△D'CF(ASA),∴B'E=CF.
∵BE=B'E,∴BE=CF;
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方法二:作B'G∥AB交CE于点G,则B'G∥AB∥CD.
∵CE∥B'F,
∴四边形CFB'G为平行四边形,∴B'G=CF.
∵AB∥B'G,∴∠B'GE=∠BEC.
∵折叠,∴∠BEC=∠B'EC,BE=B'E,
∴∠B'GE=∠B'EC,
∴B'E=B'G,∴BE=B'E=B'G=CF.
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项目式探究试题
14.(2025·安徽)综合与实践
【项目主题】
某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地.
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【项目准备】
(1)密铺知识学习:用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接,使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片,叫作图形的密铺;
(2)密铺方式构建:运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式,其中正六边形和正三角形组件的边长均为20 cm;
(3)密铺规律探究:为方便研究,称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”.
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观察发现:自左向右拼接图1时,每增加一个图3所示的拼接单元,则增加1个正六边形和2个正三角形,长度增加40 cm,从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为(40x+10)cm.
自左向右拼接图2时,每增加一个图4所示的拼接单元,则增加①_________　　　　　　个正六边形和②　　　　　　个正三角形,长度增加③　　　　　　cm;从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④　　　　　　cm.
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【项目分析】
(1)项目条件:场地为长7.4 m、宽6 m的矩形;正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元.
(2)基本约定:项目成本仅计算所需组件的费用.
(3)方式确定:
(ⅰ)考虑成本因素,采用图1方式进行密铺;
(ⅱ)每行用正六边形组件顶着左墙开始,从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接,当不能继续拼接时,该行拼接结束;
(ⅲ)第一行紧靠墙边,从前往后按相同方式逐行密铺,直至不能拼接为止.
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(4)方案论证:按上述确定的方式进行密铺,有以下两种方案.
方案一:第一行沿着长度为6 m的墙自左向右拼接(如图5).
图5
根据规律,令40x+10≤600,
解得x≤14.75,
所以每行可以先拼14块拼接单元,
即共用去14个正六边形和28个正三角形组件,
由40×14+10=570知,所拼长度为570 cm,
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方案二:第一行沿着长度为7.4 m的墙自左向右拼接.
类似于方案一的成本计算,
令40x+10≤740…
方案二每行的成本为⑤　　　　　　元,总成本为⑥　　　　　　元.
【项目实施】
根据以上分析,选用总成本较少的方案完成实践活动(略).
请将上述材料中横线上所缺内容补充完整:
①　1　;②　6　;③　60　;④　(60y+10)　;⑤　126　;⑥　2 142　.
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解:【项目准备】观察图4可知,每增加一个图4所示的拼接单元,增加1个正六边形和6个正三角形;
由正六边形和正三角形组件的边长均为20 cm,
观察图4可得增加的长度为3个边长,即3×20=60(cm),
计算y个拼接单元拼成一行的长度,第一个拼接单元有一个正六边形左边的10 cm,
每增加一个拼接单元长度增加60 cm,
所以y个这样的拼接单元拼成一行的长度为(60y+10)cm.
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【项目分析】计算方案二每行可拼接的单元数量,令40x+10≤740,
移项可得40x≤740-10,即40x≤730,
两边同时除以40,解得x≤18.25,
∴每行可以先拼18块拼接单元.
计算方案二每行所需的正六边形和正三角形组件数量:
∵拼18块拼接单元,∴共用去18个正六边形和2×18=36(个)正三角形组件.
由40×18+10=730知,所拼长度为730 cm,
剩余740-730=10(cm),无法再摆放组件.
由5×18+1×36=90+36=126知,方案二每行的成本为126元.
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